Physics For Scientists And Engineers 6E - part 102

SECTION 13.7 •  Energy Considerations in Planetary and Satellite Motion

405

Example 13.6 The Change in Potential Energy

A particle of mass m is displaced through a small vertical dis-
tance ,y near the Earth’s surface. Show that in this situation
the  general  expression  for  the  change  in  gravitational  po-
tential energy given by Equation 13.12 reduces to the famil-
iar relationship ,U ! mg ,y.

Solution We can express Equation 13.12 in the form

If  both  the  initial  and  final  positions  of  the  particle  are 
close  to  the  Earth’s  surface,  then  r

f

"

r

i

! ,

y and 

r

i

r

f

$

R

E

2

.  (Recall  that  r is  measured  from  the  center 

of the  Earth.)  Therefore,  the  change  in  potential  energy 
becomes

where we have used the fact that g !GM

E

/R

E

2

(Eq. 13.5).

Keep in mind that the reference configuration is arbitrary
because  it  is  the  change in  potential  energy  that  is
meaningful. 

What  If?

Suppose  you  are  performing  upper-atmosphere

studies and are asked by your supervisor to find the height
in  the  Earth’s  atmosphere  at  which  the  “surface  equation”

,

U

$

GM

E

m

R

E

 

2

 ,y ! mg

 

 ,y

,

U ! "GM

E

m

 

 

!

1
r

f

"

1
r

i

"

!

GM

E

m 

!

r

f

" r

i

r

i

r

f

"

$

U ! mg $y gives a 1.0% error in the change in the potential

energy. What is this height?

Answer Because  the  surface  equation  assumes  a  constant
value  for  g,  it  will  give  a  ,U value  that  is  larger  than  the
value given by the general equation, Equation 13.12. Thus, a
1.0% error would be described by the ratio

Substituting  the  expressions  for  each  of  these  changes  ,U,
we have

where  r

i

!

R

E

and  r

f

!

R

E

& ,

y.  Substituting  for  g from

Equation 13.5, we find

Thus,

!

6.37 # 10

4

 m ! 63.7 km

,

y ! 0.010R

E 

!

0.010(6.37 # 10

6

 m)

(GM

E

/R

E

 

2

)R

E

(R

E

& ,

y)

GM

E

!

R

E

& ,

y

R

E

!

1 &

,

y

R

E

!

1.010

mg

 

 ,y

GM

E

m(,y/r

i

r

f

)

!

gr

i

r

f

GM

E

!

1.010

 

,

U

surface

,

U

general

!

1.010

7

You might recognize that we have ignored the kinetic energy of the larger body. To see that this

simplification  is  reasonable,  consider  an  object  of  mass  m falling  toward  the Earth.  Because  the
center  of  mass  of  the  object–Earth  system  is  effectively  stationary,  it  follows from  conservation  of
momentum that mv ! M

E

v

E

. Thus, the Earth acquires a kinetic energy equal to

where K is the kinetic energy of the object. Because M

E

++

m, this result shows that the kinetic energy

of the Earth is negligible.

1

2

 

M

E

v

E

 

2

!

1

2

 

 

m

2

M

E

 

 v

 

2

!

m

M

E

 K

13.7 Energy Considerations in Planetary 

and Satellite Motion

Consider an object of mass m moving with a speed v in the vicinity of a massive object
of mass M, where M ++ m. The system might be a planet moving around the Sun, a
satellite in orbit around the Earth, or a comet making a one-time flyby of the Sun. If we
assume that the object of mass M is at rest in an inertial reference frame, then the total
mechanical energy E of the two-object system when the objects are separated by a dis-
tance r is the sum of the kinetic energy of the object of mass m and the potential en-
ergy of the system, given by Equation 13.14:

7

(13.16)

E !

1

2

 

mv

 

2

"

GMm

r

E ! K & U

406

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

This equation shows that E may be positive, negative, or zero, depending on the value
of v. However, for a bound system,

8

such as the Earth–Sun system, E is necessarily less

than zero because we have chosen the convention that U : 0 as r : (.

We can easily establish that E * 0 for the system consisting of an object of mass m

moving in a circular orbit about an object of mass M ++ m (Fig. 13.15). Newton’s sec-
ond law applied to the object of mass m gives

Multiplying both sides by r and dividing by 2 gives

(13.17)

Substituting this into Equation 13.16, we obtain

(circular orbits)

(13.18)

This result clearly shows that 

the total mechanical energy is negative in the case of

circular orbits. Note that the kinetic energy is positive and equal to half the ab-
solute  value  of  the  potential  energy. The  absolute  value  of  E is  also  equal  to  the
binding energy of the system, because this amount of energy must be provided to the
system to move the two objects infinitely far apart.

The total mechanical energy is also negative in the case of elliptical orbits. The ex-

pression for E for elliptical orbits is the same as Equation 13.18 with r replaced by the
semimajor axis length a:

(elliptical orbits)

(13.19)

Furthermore, the total energy is constant if we assume that the system is isolated.

Therefore, as the object of mass m moves from ! to " in Figure 13.12, the total en-
ergy remains constant and Equation 13.16 gives

(13.20)

Combining this statement of energy conservation with our earlier discussion of conser-
vation of angular momentum, we see that 

both the total energy and the total angu-

lar  momentum  of  a  gravitationally  bound,  two-object  system  are  constants  of
the motion.

E !

1

2

 

mv

i

 

2

"

GMm

r

i

!

1

2

 

mv

f

 

2

"

GMm

r

f

E ! "

GMm

2a

E ! "

GMm

2r

E !

GMm

2r

"

GMm

r

1

2

 

mv

 

2

!

GMm

2r

GMm

r

 

2

!

ma !

mv

 

2

r

Total energy for circular orbits

Total energy for elliptical orbits

8

Of  the  three  examples  provided  at  the  beginning  of  this  section,  the  planet  moving  around  the

Sun and a satellite in orbit around the Earth are bound systems—the Earth will always stay near the
Sun, and the satellite will always stay near the Earth. The one-time comet flyby represents an unbound
system—the comet interacts once with the Sun but is not bound to it. Thus, in theory the comet can
move infinitely far away from the Sun.

Figure 13.15 An object of mass m

moving in a circular orbit about a

much larger object of mass M.

r

M

m

v

Quick  Quiz  13.7

A  comet  moves  in  an  elliptical  orbit  around  the  Sun.

Which  point  in  its  orbit  (perihelion  or  aphelion)  represents  the  highest  value  of 
(a) the speed of the comet (b) the potential energy of the comet–Sun system (c) the 
kinetic energy of the comet (d) the total energy of the comet–Sun system?

SECTION 13.7 •  Energy Considerations in Planetary and Satellite Motion

407

Example 13.7 Changing the Orbit of a Satellite

The space shuttle releases a 470-kg communications satellite
while  in  an  orbit  280 km  above  the  surface  of  the  Earth.
A rocket engine on the satellite boosts it into a geosynchro-
nous  orbit,  which  is  an  orbit  in  which  the  satellite  stays
directly over a single location on the Earth. How much en-
ergy does the engine have to provide?

Solution We first determine the initial radius (not the alti-
tude above the Earth’s surface) of the satellite’s orbit when
it is still in the shuttle’s cargo bay. This is simply

In  Example  13.5,  we  found  that  the  radius  of  the  orbit  of  a
geosynchronous satellite is r

f

!

4.23 # 10

7

m. Applying Equa-

tion 13.18, we obtain, for the total initial and final energies,

The energy required from the engine to boost the satellite is

! 1.19 # 10

10

 J

#

!

1

4.23 # 10

7

 m

"

1

6.65 # 10

6

 m

"

! "

(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(5.98 # 10

24

 

kg)(470 kg)

2

,

E ! E

f

"

E

i 

! "

GM

E

m

2

 

!

1
r

f

"

1

r

i

"

E

i

! "

GM

E

m

2r

i

   

E

f

! "

GM

E

m

2r

f

R

E

&

280 km ! 6.65 # 10

6

 m ! r

i

This is the energy equivalent of 89 gal of gasoline. NASA en-
gineers  must  account  for  the  changing  mass  of  the  space-
craft  as  it  ejects  burned  fuel,  something  we  have  not  done
here. Would you expect the calculation that includes the ef-
fect of this changing mass to yield a greater or lesser amount
of energy required from the engine?

If we wish to determine how the energy is distributed af-

ter the engine is fired, we find from Equation 13.17 that the
change  in  kinetic  energy  is  ,K ! (GM

E

m/2)(1/r

f

"

1/r

i

) !

"

1.19 # 10

10

J  (a  decrease),  and  the  corresponding

change in  potential  energy  is  ,U ! " GM

E

m(1/r

f

"

1/r

i

) !

2.38 # 10

10

J  (an  increase).  Thus,  the  change  in  orbital

energy  of  the  system  is  ,E ! ,K & ,U ! 1.19 # 10

10

J,  as

we already  calculated.  The  firing  of  the  engine  results  in  a
transformation  of  chemical  potential  energy  in  the  fuel  to
orbital  energy  of  the  system.  Because  an  increase  in  gravita-
tional  potential  energy  is  accompanied  by  a  decrease  in
kinetic  energy,  we  conclude  that  the  speed  of  an  orbiting
satellite decreases as its altitude increases.

Escape Speed

Suppose  an  object  of  mass  m is  projected  vertically  upward  from  the  Earth’s  surface
with an initial speed v

i

, as illustrated in Figure 13.16. We can use energy considerations

to find the minimum value of the initial speed needed to allow the object to move infi-
nitely far away from the Earth. Equation 13.16 gives the total energy of the system at
any point. At the surface of the Earth, v ! v

i

and r ! r

i

!

R

E

. When the object reaches

its maximum altitude, v ! v

f

!

0 and r ! r

f

!

r

max

. Because the total energy of the sys-

tem is constant, substituting these conditions into Equation 13.20 gives

Solving for v

i

2

gives

(13.21)

Therefore,  if  the  initial  speed  is  known,  this  expression  can  be  used  to  calculate  the
maximum altitude h because we know that

h ! r

max

"

R

E

We are now in a position to calculate 

escape speed, which is the minimum speed

the object must have at the Earth’s surface in order to approach an infinite separation
distance  from  the  Earth.  Traveling  at  this  minimum  speed,  the  object  continues  to

v

i

 

2

!

2GM

E

 

!

1

R

E

"

1

r

max

"

1

2

 

mv

i

 

2

"

GM

E

m

R

E

! "

GM

E

m

r

max

Figure 13.16 An object of mass m

projected upward from the Earth’s

surface with an initial speed v

i

reaches a maximum altitude h.

h

m

v

i

r

max

v

f

 = 0

M

 

E

R

 

E

408

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

Planet

v

esc

(km/s)

Mercury

4.3

Venus

10.3

Earth

11.2

Mars

5.0

Jupiter

60

Saturn

36

Uranus

22

Neptune

24

Pluto

1.1

Moon

2.3

Sun

618

Escape Speeds from the 
Surfaces of the Planets, 
Moon, and Sun

Table 13.3

move farther and farther away from the Earth as its speed asymptotically approaches
zero. Letting r

max

: (

in Equation 13.21 and taking v

i

!

v

esc

, we obtain

(13.22)

Note  that  this  expression  for  v

esc

is  independent  of  the  mass  of  the  object.  In  other

words, a spacecraft has the same escape speed as a molecule. Furthermore, the result is
independent of the direction of the velocity and ignores air resistance.

If the object is given an initial speed equal to v

esc

, the total energy of the system is

equal to zero. This can be seen by noting that when r : (, the object’s kinetic energy
and the potential energy of the system are both zero. If v

i

is greater than v

esc

, the total

energy  of  the  system  is  greater  than  zero  and  the  object  has  some  residual  kinetic 
energy as r : (.

v

esc

!

√

2GM

E

R

E

Equations 13.21 and 13.22 can be applied to objects projected from any planet. That

is, in general, the escape speed from the surface of any planet of mass M and radius R is

(13.23)

Escape speeds for the planets, the Moon, and the Sun are provided in Table 13.3.

Note  that  the  values  vary  from  1.1 km/s  for  Pluto  to  about  618 km/s  for  the  Sun.
These results, together with some ideas from the kinetic theory of gases (see Chapter
21),  explain  why  some  planets  have  atmospheres  and  others  do  not.  As  we  shall  see
later, at a given temperature the average kinetic energy of a gas molecule depends only
on the mass of the molecule. Lighter molecules, such as hydrogen and helium, have a
higher average speed than heavier molecules at the same temperature. When the aver-
age speed of the lighter molecules is not much less than the escape speed of a planet, a
significant fraction of them have a chance to escape.

This mechanism also explains why the Earth does not retain hydrogen molecules

and helium atoms in its atmosphere but does retain heavier molecules, such as oxygen
and nitrogen. On the other hand, the very large escape speed for Jupiter enables that
planet to retain hydrogen, the primary constituent of its atmosphere.

v

esc

!

√

2GM

R

Example 13.8 Escape Speed of a Rocket

Calculate  the  escape  speed  from  the  Earth  for  a  5 000-kg
spacecraft, and determine the kinetic energy it must have at
the Earth’s surface in order to move infinitely far away from
the Earth.

Solution Using Equation 13.22 gives

!

This corresponds to about 25 000 mi/h.

The kinetic energy of the spacecraft is

!

3.14 # 10

11

 J

K !

1

2

 

mv

esc

2

!

1

2

(5.00 # 10

3

 kg)(1.12 # 10

4

 m/s)

2

1.12 # 10

4

 m/s

 !

√

2(6.67 # 10

"

11

 N$m

2

/kg

2

)(5.98 # 10

24

 kg)

6.37 # 10

6

 m

v

esc 

!

√

2GM

E

R

E

This is equivalent to about 2 300 gal of gasoline. 

What  If?

What  if  we  wish  to  launch  a  1 000-kg  space-

craft at  the  escape  speed?  How  much  energy  does  this
require?

Answer In Equation 13.22, the mass of the object moving
with  the  escape  speed  does  not  appear.  Thus,  the  escape
speed for the 1 000-kg spacecraft is the same as that for the
5 000-kg spacecraft. The only change in the kinetic energy is
due to the mass, so the 1 000-kg spacecraft will require one
fifth of the energy of the 5 000-kg spacecraft:

K !

1

5

 

(3.14 # 10

11

 J) ! 6.28 # 10

10

 J

▲

PITFALL PREVENTION

13.3 You Can’t Really

Escape

Although  Equation  13.22  pro-
vides the “escape speed” from the
Earth,  complete escape  from  the
Earth’s  gravitational  influence  is
impossible  because  the  gravita-
tional  force  is  of  infinite  range.
No matter how far away you are,
you  will  always  feel  some  gravita-
tional force due to the Earth.