Physics For Scientists And Engineers 6E - part 104

Problems

413

5. Three  uniform  spheres  of  mass  2.00 kg,  4.00 kg,  and

6.00 kg  are  placed  at  the  corners  of  a  right  triangle  as  in
Figure P13.5. Calculate the resultant gravitational force on
the 4.00-kg object, assuming the spheres are isolated from
the rest of the Universe.

6. During a solar eclipse, the Moon, Earth, and Sun all lie on

the same line, with the Moon between the Earth and the
Sun.  (a)  What  force  is  exerted  by  the  Sun  on  the  Moon?
(b)  What  force  is  exerted  by  the  Earth  on  the  Moon? 
(c) What force is exerted by the Sun on the Earth?

Section 13.2 Measuring the Gravitational Constant

In  introductory  physics  laboratories,  a  typical

Cavendish  balance  for  measuring  the  gravitational  con-
stant G uses lead spheres with masses of 1.50 kg and 15.0 g
whose  centers  are  separated  by  about  4.50 cm.  Calculate
the  gravitational  force  between  these  spheres,  treating
each as a particle located at the center of the sphere.

8.

A  student  proposes  to  measure  the  gravitational  constant
G by suspending two spherical objects from the ceiling of a
tall  cathedral  and  measuring  the  deflection  of  the  cables
from the vertical. Draw a free-body diagram of one of the
objects. If two 100.0-kg objects are suspended at the lower
ends of cables 45.00 m long and the cables are attached to
the  ceiling  1.000 m  apart,  what  is  the  separation  of  the 
objects?

Section 13.3 Free-Fall Acceleration and 

the Gravitational Force

When a falling meteoroid is at a distance above the

Earth’s surface of 3.00 times the Earth’s radius, what is its
acceleration due to the Earth’s gravitation?
The  free-fall  acceleration  on  the  surface  of  the  Moon  is
about one sixth of that on the surface of the Earth. If the
radius of the Moon is about 0.250R

E

, find the ratio of their

average densities, )

Moon

/)

Earth

.

11.

On  the  way  to  the  Moon  the  Apollo astronauts  reached  a
point where the Moon’s gravitational pull became stronger
than the Earth’s. (a) Determine the distance of this point
from the center of the Earth. (b) What is the acceleration
due to the Earth’s gravitation at this point?

10.

9.

7.

Section 13.4 Kepler’s Laws and the Motion 

of Planets

12. The center-to-center distance between Earth and Moon is

384 400 km.  The  Moon  completes  an  orbit  in  27.3  days.
(a)  Determine  the  Moon’s  orbital  speed.  (b)  If  gravity
were switched off, the Moon would move along a straight
line tangent to its orbit, as described by Newton’s first law.
In its actual orbit in 1.00 s, how far does the Moon fall be-
low the tangent line and toward the Earth?
Plaskett’s binary system consists of two stars that revolve in
a  circular  orbit  about  a  center  of  mass  midway  between
them.  This  means  that  the  masses  of  the  two  stars  are
equal (Fig. P13.13). Assume the orbital speed of each star
is  220 km/s  and  the  orbital  period  of  each  is  14.4  days.
Find the mass M of each star. (For comparison, the mass of
our Sun is 1.99 # 10

30

kg.)

13.

14.

A particle of mass m moves along a straight line with con-
stant speed in the x direction, a distance b from the x axis
(Fig. P13.14). Show that Kepler’s second law is satisfied by
showing  that  the  two  shaded  triangles  in  the  figure  have
the same area when t

4

"

t

3

!

t

2

"

t

1

.

Io, a moon of Jupiter, has an orbital period of 1.77 days

and  an  orbital  radius  of  4.22 # 10

5

km.  From  these  data,

determine the mass of Jupiter.

16.

The  Explorer  VIII satellite,  placed  into  orbit  November  3,
1960, to investigate the ionosphere, had the following or-
bit  parameters:  perigee,  459 km;  apogee,  2 289 km  (both
distances  above  the  Earth’s  surface);  period,  112.7 min.
Find  the  ratio  v

p

/v

a

of  the  speed  at  perigee  to  that  at

apogee.

15.

y

2.00 kg

F

24

(0, 3.00) m

x

O

6.00 kg

(–

 

4.00, 0) m

F

64

4.00 kg

Figure P13.5

220 km/s

M

220 km/s

M

CM

Figure P13.13

x

t

 

1

t

 

2

t

 

3

t

 

4

y

b

O

v

0

m

Figure P13.14

414

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

17.

Comet  Halley  (Figure  P13.17)  approaches  the  Sun
to within  0.570 AU,  and  its  orbital  period  is  75.6  years.
(AU is the  symbol  for  astronomical  unit,  where
1 AU ! 1.50 # 10

11

m  is  the  mean  Earth–Sun  distance.)

How far from the Sun will Halley’s comet travel before it
starts its return journey? 

18.

Two planets X and Y travel counterclockwise in circular or-
bits about a star as in Figure P13.18. The radii of their or-
bits are in the ratio 3 : 1. At some time, they are aligned as
in Figure P13.18a, making a straight line with the star. Dur-
ing the next five years, the angular displacement of planet
X is 90.0°, as in Figure P13.18b. Where is planet Y at this
time?

A  synchronous  satellite,  which  always  remains  above  the
same  point  on  a  planet’s  equator,  is  put  in  orbit  around
Jupiter to study the famous red spot. Jupiter rotates about
its  axis  once  every  9.84 h.  Use  the  data  of  Table  13.2  to
find the altitude of the satellite.

20.

Neutron stars are extremely dense objects that are formed
from  the  remnants  of  supernova  explosions.  Many  rotate
very  rapidly.  Suppose  that  the  mass  of  a  certain  spherical
neutron star is twice the mass of the Sun and its radius is
10.0 km. Determine the greatest possible angular speed it
can have so that the matter at the surface of the star on its
equator is just held in orbit by the gravitational force.

19.

21.

Suppose  the  Sun’s  gravity  were  switched  off.  The  planets
would  leave  their  nearly  circular  orbits  and  fly  away  in
straight  lines,  as  described  by  Newton’s  first  law.  Would
Mercury  ever  be  farther  from  the  Sun  than  Pluto?  If  so,
find  how  long  it  would  take  for  Mercury  to  achieve  this
passage. If not, give a convincing argument that Pluto is al-
ways farther from the Sun. 

22.

As  thermonuclear  fusion  proceeds  in  its  core,  the  Sun
loses mass at a rate of 3.64 # 10

9

kg/s. During the 5 000-yr

period of recorded history, by how much has the length of
the  year  changed  due  to  the  loss  of  mass  from  the  Sun?
Suggestions: Assume  the  Earth’s  orbit  is  circular.  No  exter-
nal  torque  acts  on  the  Earth–Sun  system,  so  its  angular
momentum is conserved. If x is small compared to 1, then
(1 & x)

n 

is nearly equal to 1 & nx.

Section 13.5 The Gravitational Field

23.

Three objects of equal mass are located at three corners of
a  square  of  edge  length  ! as  in  Figure  P13.23.  Find  the
gravitational field at the fourth corner due to these objects.

24.

A spacecraft in the shape of a long cylinder has a length of
100 m,  and  its  mass  with  occupants  is  1 000 kg.  It  has
strayed too close to a black hole having a mass 100 times
that  of  the  Sun  (Fig.  P13.24).  The  nose  of  the  spacecraft
points toward the black hole, and the distance between the
nose and the center of the black hole is 10.0 km. (a) De-
termine the total force on the spacecraft. (b) What is the
difference  in  the  gravitational  fields  acting  on  the  occu-
pants in the nose of the ship and on those in the rear of
the  ship,  farthest  from  the  black  hole?  This  difference  in
accelerations  grows  rapidly  as  the  ship  approaches  the
black hole. It puts the body of the ship under extreme ten-
sion and eventually tears it apart. 

Compute the magnitude and direction of the gravitational
field at a point P on the perpendicular bisector of the line
joining  two  objects  of  equal  mass  separated  by  a  distance
2a as shown in Figure P13.25.

25.

Sun

0.570 AU

2a

x

Figure P13.17

(a)

Y

X

Y

X

(b)

Figure P13.18

!

O

x

m

m

!

y

m

Figure P13.23

10.0 km

100 m

Black hole

Figure P13.24

Problems

415

Section 13.6 Gravitational Potential Energy

26. A satellite of the Earth has a mass of 100 kg and is at an alti-

tude of 2.00 # 10

6

m. (a) What is the potential energy of the

satellite"Earth  system?  (b)  What  is  the  magnitude  of  the
gravitational  force  exerted  by  the  Earth  on  the  satellite? 
(c) What If? What force does the satellite exert on the Earth?

27. How much energy is required to move a 1 000-kg object

from  the  Earth’s  surface  to  an  altitude  twice  the  Earth’s
radius?

28.

At the Earth’s surface a projectile is launched straight up
at a speed of 10.0 km/s. To what height will it rise? Ignore
air resistance and the rotation of the Earth.
After our Sun exhausts its nuclear fuel, its ultimate fate may
be to collapse to a white dwarf state, in which it has approxi-
mately the same mass as it has now, but a radius equal to the
radius of the Earth. Calculate (a) the average density of the

29.

Assume U ! 0 at r ! (.

white dwarf, (b) the free-fall acceleration, and (c) the gravi-
tational potential energy of a 1.00-kg object at its surface. 

30. How much work is done by the Moon’s gravitational field

as  a  1 000-kg  meteor  comes  in  from  outer  space  and  im-
pacts on the Moon’s surface?

31.

A system consists of three particles, each of mass 5.00 g, lo-
cated at the corners of an equilateral triangle with sides of
30.0 cm. (a) Calculate the potential energy of the system.
(b) If the particles are released simultaneously, where will
they collide?

32.

An object is released from rest at an altitude h above

the surface of the Earth. (a) Show that its speed at a dis-
tance r from the Earth’s center, where R

E

.

r . R

E

&

h, is

given by

(b) Assume the release altitude is 500 km. Perform the in-
tegral

to find the time of fall as the object moves from the release
point to the Earth’s surface. The negative sign appears be-
cause the object is moving opposite to the radial direction,
so  its  speed  is  v ! " dr/dt.  Perform  the  integral  numeri-
cally.

Section 13.7 Energy Considerations in Planetary 

and Satellite Motion

A space probe is fired as a projectile from the Earth’s

surface with an initial speed of 2.00 # 10

4

m/s . What will

its speed be when it is very far from the Earth? Ignore fric-
tion and the rotation of the Earth.

33.

,

t !

&

f

i

 

dt ! "

&

f

i

 

dr

v

v !

√

2GM

E

 

 

!

1

r

"

1

R

E

&

h

"

a

M

P

r

M

Figure P13.25

Figure P13.35

By permission of John Hart and Creators Syndicate, Inc.

416

CHAPTE R 13 •  Universal Gravitation

34.

(a) What is the minimum speed, relative to the Sun, neces-
sary for a spacecraft to escape the solar system if it starts at
the Earth’s orbit? (b) Voyager 1 achieved a maximum speed
of 125 000 km/h on its way to photograph Jupiter. Beyond
what  distance  from  the  Sun  is  this  speed  sufficient  to  es-
cape the solar system?
A “treetop satellite” (Fig. P13.35) moves in a circular orbit
just above the surface of a planet, assumed to offer no air
resistance.  Show  that  its  orbital  speed  v and  the  escape
speed from the planet are related by the expression

.

36. A  500-kg  satellite  is  in  a  circular  orbit  at  an  altitude  of

500 km above the Earth’s surface. Because of air friction, the
satellite  eventually  falls  to  the  Earth’s  surface,  where  it  hits
the  ground  with  a  speed  of  2.00 km/s.  How  much  energy
was transformed into internal energy by means of friction?

37.

A  satellite  of  mass  200 kg  is  placed  in  Earth  orbit  at  a
height  of  200 km  above  the  surface.  (a)  With  a  circular
orbit,  how  long  does  the  satellite  take  to  complete  one
orbit?  (b)  What  is  the  satellite’s  speed?  (c)  What  is  the
minimum energy input necessary to place this satellite in
orbit?  Ignore  air  resistance  but  include  the  effect  of  the
planet’s daily rotation.

38.

A satellite of mass m, originally on the surface of the Earth,
is placed into Earth orbit at an altitude h. (a) With a circu-
lar orbit, how long does the satellite take to complete one
orbit?  (b)  What  is  the  satellite’s  speed?  (c)  What  is  the
minimum energy input necessary to place this satellite in
orbit?  Ignore  air  resistance  but  include  the  effect  of  the
planet’s daily rotation. At what location on the Earth’s sur-
face and in what direction should the satellite be launched
to  minimize  the  required  energy  investment?  Represent
the mass and radius of the Earth as M

E

and R

E

. 

39. A 1 000-kg satellite orbits the Earth at a constant altitude of

100 km. How much energy must be added to the system to
move the satellite into a circular orbit with altitude 200 km?

40.

The planet Uranus has a mass about 14 times the Earth’s
mass, and its radius is equal to about 3.7 Earth radii. (a) By
setting up ratios with the corresponding Earth values, find
the  free-fall  acceleration  at  the  cloud  tops  of  Uranus. 
(b) Ignoring the rotation of the planet, find the minimum
escape speed from Uranus.

41.

Determine the escape speed for a rocket on the far side of
Ganymede, the largest of Jupiter’s moons (Figure P13.41).
The  radius  of  Ganymede  is  2.64 # 10

6

m,  and  its  mass  is

v

esc

!

√2

 

v

35.

1.495 # 10

23

kg.  The  mass  of  Jupiter  is  1.90 # 10

27

kg,

and the  distance  between  Jupiter  and  Ganymede  is
1.071 # 10

9

m.  Be  sure  to  include  the  gravitational  effect

due  to  Jupiter,  but  you  may  ignore  the  motion  of  Jupiter
and Ganymede as they revolve about their center of mass. 

42.

In Robert Heinlein’s “The Moon is a Harsh Mistress,” the
colonial inhabitants of the Moon threaten to launch rocks
down  onto  the  Earth  if  they  are  not  given  independence
(or at least representation). Assuming that a rail gun could
launch  a  rock  of  mass  m at  twice  the  lunar  escape  speed,
calculate the speed of the rock as it enters the Earth’s at-
mosphere.  (By  lunar  escape  speed we  mean  the  speed  re-
quired to move infinitely far away from a stationary Moon
alone in the Universe. Problem 61 in Chapter 30 describes
a rail gun.)

43.

An object is fired vertically upward from the surface of the
Earth (of radius R

E

) with an initial speed v

i

that is compa-

rable to but less than the escape speed v

esc

. (a) Show that

the object attains a maximum height h given by 

(b) A space vehicle is launched vertically upward from the
Earth’s surface with an initial speed of 8.76 km/s, which is
less than the escape speed of 11.2 km/s. What maximum
height  does  it  attain?  (c)  A  meteorite  falls  toward  the
Earth.  It  is  essentially  at  rest  with  respect  to  the  Earth
when  it  is  at  a  height  of  2.51 # 10

7

m.  With  what  speed

does the meteorite strike the Earth? (d) What If? Assume
that a baseball is tossed up with an initial speed that is very
small compared to the escape speed. Show that the equa-
tion from part (a) is consistent with Equation 4.13. 

44.

Derive  an  expression  for  the  work  required  to  move  an
Earth satellite of mass m from a circular orbit of radius 2R

E

to one of radius 3R

E

.

45. A comet of mass 1.20 # 10

10

kg moves in an elliptical orbit

around the Sun. Its distance from the Sun ranges between
0.500 AU  and  50.0 AU.  (a)  What  is  the  eccentricity  of  its
orbit?  (b)  What  is  its  period?  (c)  At  aphelion  what  is  the
potential  energy  of  the  comet–Sun  system?  Note: 1 AU !
one astronomical unit ! the average distance from Sun to
Earth ! 1.496 # 10

11

m.

46.

A satellite moves around the Earth in a circular orbit of ra-
dius r. (a) What is the speed v

0

of the satellite? Suddenly,

an  explosion  breaks  the  satellite  into  two  pieces,  with
masses  m and  4m.  Immediately  after  the  explosion  the
smaller  piece  of  mass  m is  stationary  with  respect  to  the
Earth and falls directly toward the Earth. (b) What is the
speed  v

i

of  the  larger  piece  immediately  after  the  explo-

sion?  (c)  Because  of  the  increase  in  its  speed,  this  larger
piece now moves in a new elliptical orbit. Find its distance
away  from  the  center  of  the  Earth  when  it  reaches  the
other end of the ellipse.

Additional Problems

47.

The Solar and Heliospheric Observatory (SOHO) spacecraft
has a special orbit, chosen so that its view of the Sun is never
eclipsed  and  it  is  always  close  enough  to  the  Earth  to

h !

R

E

  

v

i

 

2

v

esc

2

"

v

i

 

2

Ganymede

v

Jupiter

Figure P13.41