Physics For Scientists And Engineers 6E - part 86

S E C T I O N   1 1 . 2     •     Angular Momentum

341

Angular Momentum of a System of Particles

In Section 9.6, we showed that Newton’s second law for a particle could be extended to
a system of particles, resulting in:

This equation states that the net external force on a system of particles is equal to the
time rate of change of the total linear momentum of the system. Let us see if there is a
similar statement that can be made in rotational motion. The total angular momentum
of a system of particles about some point is defined as the vector sum of the angular
momenta of the individual particles:

where the vector sum is over all n particles in the system.

Let us differentiate this equation with respect to time:

d

L

tot

dt

#

#

i

 

d

L

i

dt

#

#

i

 

!

i

L

tot

#

L

1

%

L

2

% & & & %

L

n

#

#

i

 

 

L

i

#

 

F

ext

#

d

p

tot

dt

Quick  Quiz  11.3

Recall  the  skater  described  at  the  beginning  of  this  sec-

tion. Let her mass be m. What would be her angular momentum relative to the pole at
the  instant  she  is  a  distance  d from  the  pole  if  she  were  skating  directly  toward  it  at
speed v? (a) zero (b) mvd (c) impossible to determine

Quick Quiz 11.4

Consider again the skater in Quick Quiz 11.3. What would

be her angular momentum relative to the pole at the instant she is a distance d from
the pole if she were skating at speed v along a straight line that would pass within a dis-
tance a from the pole? (a) zero (b) mvd (c) mva (d) impossible to determine

A particle moves in the xy plane in a circular path of radius
r,  as  shown  in  Figure  11.5.  Find  the  magnitude  and  direc-
tion of its angular momentum relative to O when its linear
velocity is 

v.

Solution The  linear  momentum  of  the  particle  is  always
changing  (in  direction,  not  magnitude).  You  might  be
tempted,  therefore,  to  conclude  that  the  angular  momen-
tum of the particle is always changing. In this situation, how-
ever,  this  is  not  the  case—let  us  see  why.  From  Equation
11.12, the magnitude of 

L is given by

where we have used ! # 90° because 

v is perpendicular to r.

This value of L is constant because all three factors on the
right are constant.

The direction of 

L also is constant, even though the di-

rection of 

p # mv keeps changing. You can visualize this by

applying  the  right-hand  rule  to  find  the  direction  of 

L #

r " p # mr " v in Figure 11.5. Your thumb points upward
and away from the page; this is the direction of 

L Hence, we

can  write  the  vector  expression 

L # (mvr)ˆk.  If  the  particle

were to move clockwise, 

L would point downward and into

the  page. 

A  particle  in  uniform  circular  motion  has  a

constant angular momentum about an axis through the

center of its path.

mvr

L # mvr sin 90( #

Example 11.3 Angular Momentum of a Particle in Circular Motion

x

y

m

v

O

r

Figure 11.5 (Example 11.3) A particle moving in a circle of ra-

dius r has an angular momentum about O that has magnitude

mvr. The vector 

L # r " p points out of the diagram.

▲

PITFALL PREVENTION

11.2 Is Rotation

Necessary for
Angular Momentum?

Notice  that  we  can  define  angu-
lar  momentum  even  if  the  parti-
cle  is  not  moving  in  a  circular
path. Even a particle moving in a
straight line has angular momen-
tum  about  any  axis  displaced
from the path of the particle.

where we have used Equation 11.11 to replace the time rate of change of the angular
momentum of each particle with the net torque on the particle.

The torques acting on the particles of the system are those associated with internal

forces  between  particles  and  those  associated  with  external  forces.  However,  the  net
torque associated with all internal forces is zero. To understand this, recall that New-
ton’s third law tells us that internal forces between particles of the system are equal in
magnitude and opposite in direction. If we assume that these forces lie along the line
of separation of each pair of particles, then the total torque around some axis passing
through  an  origin  O due  to  each  action–reaction  force  pair  is  zero.  That  is,  the  mo-
ment arm d from O to the line of action of the forces is equal for both particles and the
forces are in opposite directions. In the summation, therefore, we see that the net in-
ternal torque vanishes. We conclude that the total angular momentum of a system can
vary with time only if a net external torque is acting on the system, so that we have

(11.13)

That is

#

 !

ext

#

d

L

tot

dt

342

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

the net external torque acting on a system about some axis passing through an ori-
gin in an inertial frame equals the time rate of change of the total angular momen-
tum of the system about that origin.

The resultant torque acting on a system about an axis through the center of mass
equals  the  time  rate  of  change  of  angular  momentum  of  the  system  regardless  of
the motion of the center of mass.

Note that Equation 11.13 is indeed the rotational analog of 

F

ext

#

d

p

tot

/dt, for a

system of particles.

Although we do not prove it here, the following statement is an important theorem

concerning the angular momentum of a system relative to the system’s center of mass:

#

A sphere of mass m

1

and a block of mass m

2

are connected

by  a  light  cord  that  passes  over  a  pulley,  as  shown  in
Figure 11.6. The radius of the pulley is R, and the mass of
the rim is M. The spokes of the pulley have negligible mass.
The  block  slides  on  a  frictionless,  horizontal  surface.  Find
an expression for the linear acceleration of the two objects,
using the concepts of angular momentum and torque.

Solution We need to determine the angular momentum of
the system, which consists of the two objects and the pulley.

Let  us  calculate  the  angular  momentum  about  an  axis
that coincides with the axle of the pulley. The angular mo-
mentum  of  the  system  includes  that  of  two  objects  moving
translationally  (the  sphere  and  the  block)  and  one  object
undergoing pure rotation (the pulley).

At any instant of time, the sphere and the block have a

common speed v, so the angular momentum of the sphere
is m

1

vR, and that of the block is m

2

vR. At the same instant,

all points on the rim of the pulley also move with speed v, so
the  angular  momentum  of  the  pulley  is  MvR.  Hence,  the
total angular momentum of the system is

(1)

L # m

1

vR % m

2

vR % MvR # (m

1

%

m

2

%

M)vR

Now let us evaluate the total external torque acting on

the system about the pulley axle. Because it has a moment
arm of zero, the force exerted by the axle on the pulley does
not  contribute  to  the  torque.  Furthermore,  the  normal
force  acting  on  the  block  is  balanced  by  the  gravitational
force  m

2

g,  and  so  these  forces  do  not  contribute  to  the

torque.  The  gravitational  force  m

1

g acting  on  the  sphere

produces  a  torque  about  the  axle  equal  in  magnitude  to
m

1

gR, where  R is  the  moment  arm  of  the  force  about  the

axle. This is the total external torque about the pulley axle;

Example 11.4 Two Connected Objects

Figure 11.6 (Example 11.4) When the system is released, the

sphere moves downward and the block moves to the left.

m

2

v

v

m

1

R

The net external torque on a

system equals the time rate of

change of angular momentum

of the system

This theorem applies even if the center of mass is accelerating, provided ! and 

L are

evaluated relative to the center of mass.

11.3 Angular Momentum of a 

Rotating Rigid Object

In Example 11.4, we considered the angular momentum of a deformable system. Let
us  now  restrict  our  attention  to  a  nondeformable  system—a  rigid  object.  Consider  a
rigid object rotating about a fixed axis that coincides with the z axis of a coordinate sys-
tem, as shown in Figure 11.7. Let us determine the angular momentum of this object.
Each particle of the object rotates in the xy plane about the z axis with an angular speed
)

. The magnitude of the angular momentum of a particle of mass m

i

about the z axis is

m

i

v

i

r

i

.  Because  v

i

#

r

i

)

,  we  can  express  the  magnitude  of  the  angular  momentum  of

this particle as

L

i

#

m

i

r

i

2

)

The vector 

L

i

is directed along the z axis, as is the vector $.

We can now find the angular momentum (which in this situation has only a z com-

ponent) of the whole object by taking the sum of L

i

over all particles:

(11.14)

where we have recognized 

as the moment of inertia I of the object about the

z axis (Equation 10.15).

Now let us differentiate Equation 11.14 with respect to time, noting that I is con-

stant for a rigid object:

(11.15)

where * is the angular acceleration relative to the axis of rotation. Because 

dL

z

/dt is

equal to the net external torque (see Eq. 11.13), we can express Equation 11.15 as

(11.16)

That is, the net external torque acting on a rigid object rotating about a fixed axis equals
the moment of inertia about the rotation axis multiplied by the object’s angular accelera-
tion relative to that axis. This result is the same as Equation 10.21, which was derived using
a force approach, but we derived Equation 11.16 using the concept of angular momen-
tum. This equation is also valid for a rigid object rotating about a moving axis provided
the moving axis (1) passes through the center of mass and (2) is a symmetry axis.

If a symmetrical object rotates about a fixed axis passing through its center of mass,

you can write  Equation  11.14 in  vector form  as 

L # I$, where L is the total angular

#

 +

ext

#

I*

dL

z

dt

#

I 

 

d)

dt

#

I*

#

i

 

m

i

r

i

2

L

z

#

I)

L

z

#

#

i

 

L

i

#

#

i

 

m

i

r

i

2

) #

$

#

i

 

m

i

r

i

2

%

)

S E C T I O N   1 1 . 3     •     Angular Momentum of a Rotating Rigid Object

343

Figure 11.7 When a rigid object

rotates about an axis, the angular

momentum L is in the same direc-

tion as the angular velocity 

$

, ac-

cording to the expression L # I

$

. 

that is,  +

ext

#

m

1

gR. Using this result, together with Equa-

tion (1) and Equation 11.13, we find

(2)

     

m

1

gR # (m

1

%

m

2

%

M)R 

  

dv

dt

m

1

gR #

d

dt

 

[(m

1

%

m

2

%

M)vR]

#

 +

ext 

#

dL

dt

#

Because dv/dt # a, we can solve this for a to obtain

You may wonder why we did not include the forces that the
cord  exerts  on  the  objects  in  evaluating  the  net  torque
about the axle. The reason is that these forces are internal
to the system under consideration, and we analyzed the sys-
tem  as  a  whole.  Only  external torques  contribute  to  the
change in the system’s angular momentum.

m

1

g

m

1

%

m

2

%

M

a #

y

z

L

ω

r

x

v

i

m

i

Rotational form of Newton’s

second law

momentum of the object measured with respect to the axis of rotation. Furthermore,
the  expression  is  valid  for  any  object,  regardless  of  its  symmetry,  if 

L stands  for  the

component of angular momentum along the axis of rotation.

1

344

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

Quick  Quiz  11.5

A  solid  sphere  and  a  hollow  sphere  have  the  same  mass

and radius. They are rotating with the same angular speed. The one with the higher
angular momentum is (a) the solid sphere (b) the hollow sphere (c) they both have
the same angular momentum (d) impossible to determine.

Example 11.5 Bowling Ball

Example 11.6 The Seesaw

1

In general, the expression L # I$ is not always valid. If a rigid object rotates about an arbitrary axis,

L and $ may point in different directions. In this case, the moment of inertia cannot be treated as a
scalar. Strictly speaking, L # I$ applies only to rigid objects of any shape that rotate about one of three
mutually  perpendicular  axes  (called  principal  axes)  through  the  center  of  mass.  This  is  discussed  in
more advanced texts on mechanics.

A father of mass m

f

and his daughter of mass m

d

sit on oppo-

site ends of a seesaw at equal distances from the pivot at the
center (Fig. 11.9). The seesaw is modeled as a rigid rod of
mass  M and  length  ! and  is  pivoted  without  friction.  At  a
given  moment,  the  combination  rotates  in  a  vertical  plane
with an angular speed ).

(A)

Find  an  expression  for  the  magnitude  of  the  system’s

angular momentum.

Solution The  moment  of  inertia  of  the  system  equals  the
sum of the moments of inertia of the three components: the
seesaw and the two individuals, whom we will model as parti-
cles. Referring to Table 10.2 to obtain the expression for the
moment  of  inertia  of  the  rod,  and  using  the  expression
I # mr

2

for each person, we find that the total moment of

inertia about the z axis through O is

I #

1

12

M"

2

%

m

f

  

$

"
2

%

2

%

m

d

  

$

"
2

%

2

#

"

2

4

  

$

M

3

%

m

f

%

m

d

%

Therefore, the magnitude of the angular momentum is

(B)

Find an expression for the magnitude of the angular ac-

celeration of the system when the seesaw makes an angle "
with the horizontal.

Solution To find the angular acceleration of the system at
any angle ", we first calculate the net torque on the system
and then use  +

ext

#

I* to obtain an expression for *.

The torque due to the force m

f

g about the pivot is

The torque due to the force m

d

g about the pivot is

+

d

# $

m

d

g

  

"
2

  

cos "

   

(!

d

  into page)

+

f

#

m

f

g

  

"
2

  

cos "

   

(!

f

  out of page)

#

"

2

4

  

$

M

3

%

m

f

%

m

d

%

 

)

L # I) #

Estimate  the  magnitude  of  the  angular  momentum  of  a
bowling ball spinning at 10 rev/s, as shown in Figure 11.8.

Solution We  start  by  making  some  estimates  of  the  rele-
vant physical parameters and model the ball as a uniform
solid  sphere.  A  typical  bowling  ball  might  have  a  mass  of
6.0 kg and a radius of 12 cm. The moment of inertia of a
solid  sphere  about  an  axis  through  its  center  is,  from
Table 10.2,

Therefore, the magnitude of the angular momentum is

L

z

#

I) # (0.035 kg & m

2

)(10 rev/s)(2, rad/rev)

#

2.2 kg & m

2

/s

Because of the roughness of our estimates, we probably want 

to keep only one significant figure, and so L

z

& 2 kg&m

2

/s.

I #

2

5

MR

2

#

2

5

(6.0 kg)(0.12 m)

2

#

0.035 kg&m

2

Figure 11.8 (Example 11.5) A bowling ball that rotates about

the z axis in the direction shown has an angular momentum L

in the positive z direction. If the direction of rotation is re-

versed, L points in the negative z direction.

z

y

L

x

Interactive