Physics For Scientists And Engineers 6E - part 84

Problems

333

80.

A  thin  rod  of  mass  0.630 kg  and  length  1.24 m  is  at  rest,
hanging  vertically  from  a  strong  fixed  hinge  at  its  top 
end.  Suddenly  a  horizontal  impulsive  force  (14.7ˆ

i) N  is 

applied  to  it.  (a)  Suppose  the  force  acts  at  the  bottom 
end of the rod. Find the acceleration of its center of mass
and  the  horizontal  force  the  hinge  exerts.  (b)  Suppose 
the  force  acts  at  the  midpoint  of  the  rod.  Find  the  accel-
eration  of  this  point  and  the  horizontal  hinge  reaction. 
(c)  Where  can  the  impulse  be  applied  so  that  the  hinge
will  exert  no  horizontal  force?  This  point  is  called  the 
center of percussion.

81.

A  bowler  releases  a  bowling  ball  with  no  spin,  sending  it
sliding  straight  down  the  alley  toward  the  pins.  The  ball
continues  to  slide  for  a  distance  of  what  order  of  magni-
tude, before its motion becomes rolling without slipping?
State  the  quantities  you  take  as  data,  the  values  you  mea-
sure or estimate for them, and your reasoning.

82.

Following Thanksgiving dinner your uncle falls into a deep
sleep,  sitting  straight  up  facing  the  television  set.  A
naughty grandchild balances a small spherical grape at the
top of his bald head, which itself has the shape of a sphere.
After  all  the  children  have  had  time  to  giggle,  the  grape
starts  from  rest  and  rolls  down  without  slipping.  It  will
leave contact with your uncle’s scalp when the radial line
joining it to the center of curvature makes what angle with
the vertical?

83.

(a)  A  thin  rod  of  length  h  and  mass  M is  held  vertically
with its lower end resting on a frictionless horizontal sur-
face. The rod is then released to fall freely. Determine the
speed of its center of mass just before it hits the horizontal
surface.  (b)  What  If? Now  suppose  the  rod  has  a  fixed
pivot  at  its  lower  end.  Determine  the  speed  of  the  rod’s
center of mass just before it hits the surface.

84.

A  large,  cylindrical  roll  of  tissue  paper  of  initial  radius  R
lies on a long, horizontal surface with the outside end of
the  paper  nailed  to  the  surface.  The  roll  is  given  a  slight
shove (v

i

! 0) and commences to unroll. Assume the roll

has a uniform density and that mechanical energy is con-
served in the process. (a) Determine the speed of the cen-
ter of mass of the roll when its radius has diminished to r.
(b)  Calculate  a  numerical  value  for  this  speed  at
r " 1.00 mm,  assuming  R " 6.00 m.  (c)  What  If? What
happens  to  the  energy  of  the  system  when  the  paper  is
completely unrolled? 
A spool of wire of mass M and radius R is unwound under
a  constant  force 

F (Fig. P10.85). Assuming the spool is a

85.

uniform solid cylinder that doesn’t slip, show that (a) the
acceleration  of  the  center  of  mass  is  4

F/3M and  (b)  the

force of friction is to the right and equal in magnitude to
F/3.  (c)  If  the  cylinder  starts  from  rest  and  rolls  without
slipping, what is the speed of its center of mass after it has
rolled through a distance d ? 

86.

A  plank  with  a  mass  M " 6.00 kg  rides  on  top  of  two
identical  solid  cylindrical  rollers  that  have  R " 5.00 cm
and  m " 2.00 kg  (Fig.  P10.86).  The  plank  is  pulled  by  a
constant horizontal force 

F of magnitude 6.00 N applied

to the end of the plank and perpendicular to the axes of
the cylinders (which are parallel). The cylinders roll with-
out  slipping  on  a  flat  surface.  There  is  also  no  slipping
between the cylinders and the plank. (a) Find the accel-
eration of the plank and of the rollers. (b) What friction
forces are acting?

87.

A spool of wire rests on a horizontal surface as in Figure
P10.87.  As  the  wire  is  pulled,  the  spool  does  not  slip  at
the  contact  point  P.  On  separate  trials,  each  one  of
the forces 

F

1

, 

F

2

, 

F

3

, and 

F

4

is applied to the spool. For

each  one  of  these  forces,  determine  the  direction  the
spool  will  roll.  Note  that  the  line  of  action  of 

F

2

passes

through P.

88.

Refer to Problem 87 and Figure P10.87. The spool of wire
has an inner radius r and an outer radius R. The angle !
between the applied force and the horizontal can be var-
ied. Show that the critical angle for which the spool does
not roll is given by

If the wire is held at this angle and the force increased, the
spool will remain stationary until it slips along the floor.

cos !

c

"

r

R

F

M

R

Figure P10.85

M

m

R

m

R

F

Figure P10.86

c

F

1

F

2

F

3

F

4

P

θ

R

r

Figure P10.87 Problems 87 and 88.

334

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

89.

In  a  demonstration  known  as  the  ballistics  cart,  a  ball
is projected  vertically  upward  from  a  cart  moving  with
constant velocity along the horizontal direction. The ball
lands in the catching cup of the cart because both the cart
a  ball  have  the  same  horizontal  component  of  velocity.
What If? Now consider a ballistics cart on an incline mak-
ing  an  angle  ! with  the  horizontal  as  in  Figure  P10.89.
The  cart  (including  wheels)  has  a  mass  M  and  the  mo-
ment of inertia of each of the two wheels is mR

2

/2. (a) Us-

ing conservation of energy (assuming no friction between
cart  and  axles)  and  assuming  pure  rolling  motion  (no
slipping), show that the acceleration of the cart along the
incline is 

(b) Note that the x component of acceleration of the ball
released  by  the  cart  is  g sin !.  Thus,  the  x component  of
the cart’s acceleration is smaller than that of the ball by the
factor M/(M ) 2m). Use this fact and kinematic equations
to show that the ball overshoots the cart by an amount $x,
where

and v

yi

is the initial speed of the ball imparted to it by the

spring  in  the  cart.  (c)  Show  that  the  distance  d  that  the
ball travels measured along the incline is

d "

2v

yi

 

2

g

 

sin !

cos

2

 !

$

x "

#

4m

M ) 2m

$

 

 

#

sin !

cos

2

 !

$

 

v

yi

 

2

g

a

x

"

#

M

M ) 2m

$

 

 g sin !

90.

A  spool  of  thread  consists  of  a  cylinder  of  radius  R

1

with

end caps of radius R

2

as in the end view shown in Figure

P10.90. The mass of the spool, including the thread, is m
and its moment of inertia about an axis through its center
is I. The spool is placed on a rough horizontal surface so
that it rolls without slipping when a force T acting to the
right  is  applied  to  the  free  end  of  the  thread.  Show  that
the magnitude of the friction force exerted by the surface
on the spool is given by

Determine the direction of the force of friction.

f "

#

I ) mR

1

R

2

I ) mR

2

 

2

$

 

T

Answers to Quick Quizzes

10.1 (c).  For  a  rotation  of  more  than  180°,  the  angular  dis-

placement  must  be  larger  than  # " 3.14 rad.  The 
angular  displacements  in  the  three  choices  are 
(a) 6 rad % 3 rad " 3 rad (b) 1 rad % (% 1) rad " 2 rad
(c) 5 rad % 1 rad " 4 rad.

10.2 (b).  Because  all  angular  displacements  occur  in  the

same  time  interval,  the  displacement  with  the  lowest
value will be associated with the lowest average angular
speed.

10.3 (b).  The  fact  that  & is  negative  indicates  that  we  are

dealing  with  an  object  that  is  rotating  in  the  clockwise
direction. We also know that when " and # are antipar-
allel, & must be decreasing—the object is slowing down.
Therefore, the object is spinning more and more slowly
(with  less  and  less  angular  speed)  in  the  clockwise,  or
negative, direction.

10.4 (b). In Equation 10.8, both the initial and final angu-

lar speeds are the same in all three cases. As a result,
the  angular  acceleration  is  inversely  proportional  to
the  angular  displacement.  Thus,  the  highest  angular
acceleration  is  associated  with  the  lowest  angular 
displacement.

10.5 (b). The system of the platform, Andy, and Charlie is a

rigid  object,  so  all  points  on  the  rigid  object  have  the
same angular speed.

10.6 (a).  The  tangential  speed  is  proportional  to  the  radial

distance from the rotation axis.

10.7 (a). Almost all of the mass of the pipe is at the same dis-

tance from the rotation axis, so it has a larger moment
of inertia than the solid cylinder.

10.8 (b).  The  fatter  handle  of  the  screwdriver  gives  you  a

larger  moment  arm  and  increases  the  torque  that  you
can apply with a given force from your hand.

10.9 (a). The longer handle of the wrench gives you a larger

moment arm and increases the torque that you can ap-
ply with a given force from your hand.

10.10 (b). With twice the moment of inertia and the same fric-

tional  torque,  there  is  half  the  angular  acceleration.
With  half  the  angular  acceleration,  it  will  require  twice
as long to change the speed to zero.

10.11 (d).  When  the  rod  is  attached  at  its  end,  it  offers  four

times  as  much  moment  of  inertia  as  when  attached  in
the  center  (see  Table  10.2).  Because  the  rotational

∆x

θ

x

y

Figure P10.89

R

1

R

2

T

Figure P10.90

Answers to Quick Quizzes

335

kinetic energy of the rod depends on the square of the
angular  speed,  the  same  work  will  result  in  half  of  the
angular speed.

10.12 (b).  All  of  the  gravitational  potential  energy  of  the

box–Earth  system  is  transformed  to  kinetic  energy
of translation.  For  the  ball,  some  of  the  gravitational
potential energy of the ball–Earth system is transformed
to rotational kinetic energy, leaving less for translational
kinetic  energy,  so  the  ball  moves  downhill  more  slowly
than the box does.

10.13 (c). In Equation 10.30, I

CM

for a sphere is

. Thus,

MR

2

will  cancel  and  the  remaining  expression  on  the

right-hand side of the equation is independent of mass
and radius.

10.14 (a).  The  moment  of  inertia  of  the  hollow  sphere  B  is

larger than that of sphere A. As a result, Equation 10.30
tells  us  that  the  center  of  mass  of  sphere  B  will have  a
smaller speed, so sphere A should arrive first.

2

5

 

MR

2

Chapter 11

Angular Momentum

C H A P T E R   O U T L I N E

11.1 The Vector Product and

Torque

11.2 Angular Momentum

11.3 Angular Momentum of a

Rotating Rigid Object

11.4 Conservation of Angular

Momentum

11.5 The Motion of Gyroscopes

and Tops

11.6 Angular Momentum as a

Fundamental Quantity

336

▲

Mark Ruiz undergoes a rotation during a dive at the U.S. Olympic trials in June 2000. He

spins at a higher rate when he curls up and grabs his ankles due to the principle of conser-
vation of angular momentum, as discussed in this chapter. (Otto Greule/Allsport/Getty)