Physics For Scientists And Engineers 6E - part 83

Problems

329

friction required to maintain pure rolling motion for the
disk? 

54.

A uniform solid disk and a uniform hoop are placed side
by side at the top of an incline of height h. If they are re-
leased  from  rest  and  roll  without  slipping,  which  object
reaches the bottom first? Verify your answer by calculating
their speeds when they reach the bottom in terms of h.

55.

A  metal  can  containing  condensed  mushroom  soup  has
mass  215 g,  height  10.8 cm,  and  diameter  6.38 cm.  It  is
placed at rest on its side at the top of a 3.00-m-long incline
that is at 25.0° to the horizontal, and it is then released to
roll straight down. Assuming mechanical energy conserva-
tion, calculate the moment of inertia of the can if it takes
1.50 s to reach the bottom of the incline. Which pieces of
data, if any, are unnecessary for calculating the solution?

56.

A  tennis  ball  is  a  hollow  sphere  with  a  thin  wall.  It  is  set
rolling  without  slipping  at  4.03 m/s  on  a  horizontal  sec-
tion of a track, as shown in Figure P10.56. It rolls around
the  inside  of  a  vertical  circular  loop  90.0 cm  in  diameter
and  finally  leaves  the  track  at  a  point  20.0 cm  below  the
horizontal section. (a) Find the speed of the ball at the top
of  the  loop.  Demonstrate  that  it  will  not  fall  from  the
track.  (b)  Find  its  speed  as  it  leaves  the  track. 

What  If?

(c) Suppose that static friction between ball and track were
negligible, so that the ball slid instead of rolling. Would its
speed then be higher, lower, or the same at the top of the
loop? Explain. 

Additional Problems

57.

As in Figure P10.57, toppling chimneys often break apart
in mid-fall because the mortar between the bricks cannot
withstand much shear stress. As the chimney begins to fall,
shear forces must act on the topmost sections to accelerate
them tangentially so that they can keep up with the rota-
tion  of  the  lower  part  of  the  stack.  For  simplicity,  let  us
model the chimney as a uniform rod of length " pivoted at
the lower end. The rod starts at rest in a vertical position
(with  the  frictionless  pivot  at  the  bottom)  and  falls  over
under the influence of gravity. What fraction of the length
of  the  rod  has  a  tangential  acceleration  greater  than 
g sin !,  where  ! is  the  angle  the  chimney  makes  with  the
vertical axis? 

58.

Review  problem. A  mixing  beater  consists  of  three  thin
rods, each 10.0 cm long. The rods diverge from a central
hub, separated from each other by 120°, and all turn in the
same plane. A ball is attached to the end of each rod. Each
ball has cross-sectional area 4.00 cm

2

and is so shaped that

it  has  a  drag  coefficient  of  0.600.  Calculate  the  power  in-
put required to spin the beater at 1 000 rev/min (a) in air
and (b) in water.
A  4.00-m  length  of  light  nylon  cord  is  wound  around  a
uniform  cylindrical  spool  of  radius  0.500 m  and  mass
1.00 kg. The spool is mounted on a frictionless axle and is
initially  at  rest.  The  cord  is  pulled  from  the  spool  with  a
constant  acceleration  of  magnitude  2.50 m/s

2

.  (a)  How

much  work  has  been  done  on  the  spool  when  it  reaches
an  angular  speed  of  8.00 rad/s?  (b)  Assuming  there  is
enough cord on the spool, how long does it take the spool
to reach this angular speed? (c) Is there enough cord on
the spool?

60.

A videotape cassette contains two spools, each of radius r

s

,

on which the tape is wound. As the tape unwinds from the
first  spool,  it  winds  around  the  second  spool.  The  tape
moves  at  constant  linear  speed  v past  the  heads  between
the spools. When all the tape is on the first spool, the tape
has an outer radius r

t

. Let r represent the outer radius of

the tape on the first spool at any instant while the tape is
being  played.  (a)  Show  that  at  any  instant  the  angular
speeds of the two spools are

(b) Show that these expressions predict the correct maxi-
mum  and  minimum  values  for  the  angular  speeds  of  the
two spools.

&

1

"

v/r

and

&

 

2

"

v/(r

s

 

2

)

r

t

 

2

%

r

 

2

)

1/2

59.

Figure P10.56

Figure P10.57 A building demolition site in Baltimore, MD. At

the left is a chimney, mostly concealed by the building, that has

broken apart on its way down. Compare with Figure 10.19.

Jerry W

achter / Photo Researchers, Inc.

330

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

A  long  uniform  rod  of  length  L and  mass  M is  pivoted

about a horizontal, frictionless pin through one end. The
rod is released from rest in a vertical position, as shown in
Figure  P10.61.  At  the  instant  the  rod  is  horizontal,  find
(a) its angular speed, (b) the magnitude of its angular ac-
celeration, (c) the x and y components of the acceleration
of its center of mass, and (d) the components of the reac-
tion force at the pivot.

61.

62.

A shaft is turning at 65.0 rad/s at time t " 0. Thereafter, its
angular acceleration is given by

where  t is  the  elapsed  time.  (a)  Find  its  angular  speed  at
t " 3.00 s. (b) How far does it turn in these 3 s?

63.

A bicycle is turned upside down while its owner repairs a
flat tire. A friend spins the other wheel, of radius 0.381 m,
and  observes  that  drops  of  water  fly  off  tangentially.  She
measures  the  height  reached  by  drops  moving  vertically
(Fig.  P10.63).  A  drop  that  breaks  loose  from  the  tire  on
one  turn  rises  h " 54.0 cm  above  the  tangent  point.  A
drop  that  breaks  loose  on  the  next  turn  rises  51.0 cm
above  the  tangent  point.  The  height  to  which  the  drops
rise decreases because the angular speed of the wheel de-
creases. From this information, determine the magnitude
of the average angular acceleration of the wheel.

( " %

10.0 rad/s

 

2

%

5.00t rad/s

3

,

x

Pivot

L

y

Figure P10.61

h

Figure P10.63 Problems 63 and 64.

64.

A bicycle is turned upside down while its owner repairs a
flat  tire.  A  friend  spins  the  other  wheel,  of  radius  R,  and
observes that drops of water fly off tangentially. She mea-
sures  the  height  reached  by  drops  moving  vertically  (Fig.
P10.63).  A  drop  that  breaks  loose  from  the  tire  on  one
turn  rises  a  distance  h

1

above  the  tangent  point.  A  drop

that breaks loose on the next turn rises a distance h

2

*

h

1

above  the  tangent  point.  The  height  to  which  the  drops
rise decreases because the angular speed of the wheel de-
creases. From this information, determine the magnitude
of the average angular acceleration of the wheel.

65.

A cord is wrapped around a pulley of mass m and radius r.
The free end of the cord is connected to a block of mass
M. The block starts from rest and then slides down an in-
cline that makes an angle ! with the horizontal. The coeffi-
cient  of  kinetic  friction  between  block  and  incline  is 7. 
(a) Use energy methods to show that the block’s speed as a
function of position d down the incline is

(b) Find the magnitude of the acceleration of the block in
terms of 7, m, M, g, and !.

66.

(a)  What  is  the  rotational  kinetic  energy  of  the  Earth
about  its  spin  axis?  Model  the  Earth  as  a  uniform  sphere
and  use  data  from  the  endpapers.  (b)  The  rotational  ki-
netic energy of the Earth is decreasing steadily because of
tidal  friction.  Find  the  change  in  one  day,  assuming  that
the rotational period decreases by 10.0 7s each year.

67.

Due to a gravitational torque exerted by the Moon on the
Earth,  our  planet’s  rotation  period  slows  at  a  rate  on  the
order of 1 ms/century. (a) Determine the order of magni-
tude  of  the  Earth’s  angular  acceleration.  (b)  Find  the 
order  of  magnitude  of  the  torque.  (c)  Find  the  order  of
magnitude  of  the  size  of  the  wrench  an  ordinary  person
would  need  to  exert  such  a  torque,  as  in  Figure  P10.67.
Assume  the  person  can  brace  his  feet  against  a  solid 
firmament.

v "

√

4gdM(sin ! % 7 cos !)

m ) 2M

Figure P10.67

Problems

331

68.

The speed of a moving bullet can be determined by allow-
ing  the  bullet  to  pass  through  two  rotating  paper  disks
mounted a distance d apart on the same axle (Fig. P10.68).
From the angular displacement $! of the two bullet holes
in the disks and the rotational speed of the disks, we can
determine the speed v of the bullet. Find the bullet speed
for  the  following  data:  d " 80 cm,  & " 900 rev/min,  and
$

! "

31.0°.

69.

A uniform, hollow, cylindrical spool has inside radius R/2,
outside radius R, and mass M (Fig. P10.69). It is mounted
so  that  it  rotates  on  a  fixed  horizontal  axle.  A  counter-
weight of mass m is connected to the end of a string wound
around  the  spool.  The  counterweight  falls  from  rest  at
t " 0 to a position y at time t. Show that the torque due to
the friction forces between spool and axle is

2

f

"

R 

'

m 

 

#

g %

2y
t

 

2

$

%

M 

5y

4t

 

2

(

70.

The  reel  shown  in  Figure  P10.70  has  radius  R and  mo-
ment of inertia I. One end of the block of mass m is con-
nected to a spring of force constant k, and the other end

is  fastened  to  a  cord  wrapped  around  the  reel.  The  reel
axle  and  the  incline  are  frictionless.  The  reel  is  wound
counterclockwise so that the spring stretches a distance d
from  its  unstretched  position  and  is  then  released  from
rest.  (a)  Find  the  angular  speed  of  the  reel  when  the
spring  is  again  unstretched.  (b)  Evaluate  the  angular
speed  numerically  at  this  point  if  I " 1.00 kg · m

2

,

R " 0.300 m,  k " 50.0 N/m,  m " 0.500 kg,  d " 0.200 m,
and ! " 37.0°.
Two blocks, as shown in Figure P10.71, are connected by a
string  of  negligible  mass  passing  over  a  pulley  of  radius
0.250 m  and  moment  of  inertia  I. The  block  on  the  fric-
tionless  incline  is  moving  up  with  a  constant  acceleration
of 2.00 m/s

2

. (a) Determine T

1

and T

2

, the tensions in the

two parts of the string. (b) Find the moment of inertia of
the pulley.

71.

72.

A  common  demonstration,  illustrated  in  Figure  P10.72,
consists of a ball resting at one end of a uniform board of
length ", hinged at the other end, and elevated at an angle
!

. A light cup is attached to the board at r

c

so that it will

catch the ball when the support stick is suddenly removed.
(a)  Show  that  the  ball  will  lag  behind  the  falling  board
when ! is less than 35.3°. (b) If the board is 1.00 m long
and is supported at this limiting angle, show that the cup
must be 18.4 cm from the moving end.

= 31.0

°

v

d

ω

θ

∆

Figure P10.68

M

m

R/2

R/2

y

Figure P10.69

m

R

k

θ

Figure P10.70

37.0

°

15.0 kg

T

1

m

1

20.0 kg

T

2

2.00 m/s

2

m

2

Figure P10.71

r

 

c

Cup

"

Hinged end

Support

stick

θ

Figure P10.72

As  a  result  of  friction,  the  angular  speed  of  a  wheel
changes with time according to

where &

0

and / are constants. The angular speed changes

from  3.50 rad/s  at  t " 0  to  2.00 rad/s  at  t " 9.30 s.  Use
this information to determine / and &

0

. Then determine

(a)  the  magnitude  of  the  angular  acceleration  at
t " 3.00 s, (b) the number of revolutions the wheel makes
in  the  first  2.50 s,  and  (c)  the  number  of  revolutions  it
makes before coming to rest.

74.

The hour hand and the minute hand of Big Ben, the

Parliament tower clock in London, are 2.70 m and 4.50 m
long  and  have  masses  of  60.0 kg  and  100 kg,  respectively
(see Figure P10.40). (a) Determine the total torque due to
the weight of these hands about the axis of rotation when
the time reads (i) 3:00 (ii) 5:15 (iii) 6:00 (iv) 8:20 (v) 9:45.
(You  may  model  the  hands  as  long,  thin  uniform  rods.)
(b)  Determine  all  times  when  the  total  torque  about  the
axis of rotation is zero. Determine the times to the nearest
second, solving a transcendental equation numerically.

75.

(a)  Without  the  wheels,  a  bicycle  frame  has  a  mass  of
8.44 kg.  Each  of  the  wheels  can  be  roughly  modeled  as  a
uniform solid disk with a mass of 0.820 kg and a radius of
0.343 m. Find the kinetic energy of the whole bicycle when
it is moving forward at 3.35 m/s. (b) Before the invention
of a wheel turning on an axle, ancient people moved heavy
loads by placing rollers under them. (Modern people use
rollers too. Any hardware store will sell you a roller bear-
ing for a lazy susan.) A stone block of mass 844 kg moves
forward  at  0.335 m/s,  supported  by  two  uniform  cylindri-
cal  tree  trunks,  each  of  mass  82.0 kg  and  radius  0.343 m.
No  slipping  occurs  between  the  block  and  the  rollers  or
between the rollers and the ground. Find the total kinetic
energy of the moving objects. 

76.

A uniform solid sphere of radius r is placed on the inside
surface of a hemispherical bowl with much larger radius R.
The sphere is released from rest at an angle ! to the verti-
cal and rolls without slipping (Fig. P10.76). Determine the
angular speed of the sphere when it reaches the bottom of
the bowl. 

d!

dt

"

&

0

e

%

/

t

73.

A string is wound around a uniform disk of radius R and
mass M. The disk is released from rest with the string verti-
cal and its top end tied to a fixed bar (Fig. P10.77). Show
that (a) the tension in the string is one third of the weight

77.

of  the  disk,  (b)  the  magnitude  of  the  acceleration  of  the
center of mass is 2g/3, and (c) the speed of the center of
mass  is  (4gh/3)

1/2

after  the  disk  has  descended  through

distance  h.  Verify  your  answer  to  (c)  using  the  energy
approach.

78.

A constant horizontal force F is applied to a lawn roller in
the form of a uniform solid cylinder of radius R and mass
M (Fig. P10.78). If the roller rolls without slipping on the
horizontal  surface,  show  that  (a)  the  acceleration  of  the
center of mass is 2F/3M and (b) the minimum coefficient
of  friction  necessary  to  prevent  slipping  is  F/3Mg.  (Hint:
Take the torque with respect to the center of mass.)

79.

A solid sphere of mass m and radius r rolls without slipping
along the track shown in Figure P10.79. It starts from rest
with the lowest point of the sphere at height h above the
bottom  of  the  loop  of  radius  R,  much  larger  than  r. 
(a) What is the minimum value of h (in terms of R) such
that  the  sphere  completes  the  loop? (b)  What  are  the
force components on the sphere at the point P if h " 3R?

332

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

R

θ

r

Figure P10.76

h

M

R

Figure P10.77

R

M

F

Figure P10.78

h

m

R

P

Figure P10.79