Physics For Scientists And Engineers 6E - part 82

Problems

325

25. A  uniform  thin  solid  door  has  height  2.20 m,  width

0.870 m, and mass 23.0 kg. Find its moment of inertia for
rotation on its hinges. Is any piece of data unnecessary?

26. Attention!  About  face! Compute  an  order-of-magnitude  esti-

mate for the moment of inertia of your body as you stand
tall and turn about a vertical axis through the top of your
head and the point halfway between your ankles. In your
solution state the quantities you measure or estimate and
their values.

27.

The density of the Earth, at any distance r from its center,
is approximately

. "

[14.2 % 11.6(r/R)] + 10

3

kg/m

3

where R is the radius of the Earth. Show that this density
leads to a moment of inertia I " 0.330MR

2

about an axis

through the center, where M is the mass of the Earth.

28.

Calculate  the  moment  of  inertia  of  a  thin  plate,  in  the
shape of a right triangle, about an axis that passes through
one end of the hypotenuse and is parallel to the opposite
leg of the triangle, as in Figure P10.28a. Let M represent
the mass of the triangle and L the length of the base of the
triangle perpendicular to the axis of rotation. Let h repre-
sent the height of the triangle and w the thickness of the
plate,  much  smaller  than  L or  h.  Do  the  calculation  in
either  or  both  of  the  following  ways,  as  your  instructor
assigns:

(a) Use Equation 10.17. Let an element of mass con-

sist  of  a  vertical  ribbon  within  the  triangle,  of  width  dx,
height  y,  and  thickness  w.  With  x representing  the  loca-
tion  of  the  ribbon,  show  that  y " hx/L.  Show  that  the
density  of  the  material  is  given  by  . " 2M/Lwh.  Show
that the mass of the ribbon is dm " .yw dx " 2Mx dx/L

2

.

Proceed  to  use  Equation  10.17  to  calculate  the  moment
of inertia.

(b)  Let  I  represent  the  unknown  moment  of  inertia

about  an  axis  through  the  corner  of  the  triangle.  Note
that  Example  9.15  demonstrates  that  the  center  of  mass
of the triangle is two thirds of the way along the length L,
from the corner toward the side of height h. Let I

CM

rep-

resent the moment of inertia of the triangle about an axis
through  the  center  of  mass  and  parallel  to  side  h.
Demonstrate  that  I " I

CM

)

4ML

2

/9.  Figure  P10.28b

shows  the  same  object  in  a  different  orientation.

Demonstrate that the moment of inertia of the triangular
plate, about the y axis is I

h

"

I

CM

)

ML

2

/9. Demonstrate

that  the  sum  of  the  moments  of  inertia  of  the  triangles
shown in parts (a) and (b) of the figure must be the mo-
ment  of  inertia  of  a  rectangular  sheet  of  mass  2M and
length L, rotating like a door about an axis along its edge
of height h. Use information in Table 10.2 to write down
the moment of inertia of the rectangle, and set it equal to
the  sum  of  the  moments  of  inertia  of  the  two  triangles.
Solve the equation to find the moment of inertia of a tri-
angle  about  an  axis  through  its  center  of  mass,  in  terms
of M and L. Proceed to find the original unknown I.

29.

Many machines employ cams for various purposes, such as
opening and closing valves. In Figure P10.29, the cam is a
circular  disk  rotating  on  a  shaft  that  does  not  pass
through the center of the disk. In the manufacture of the
cam,  a  uniform  solid  cylinder  of  radius  R is  first  ma-
chined.  Then  an  off-center  hole  of  radius  R/2  is  drilled,
parallel to the axis of the cylinder, and centered at a point
a distance R/2 from the center of the cylinder. The cam,
of  mass  M,  is  then  slipped  onto  the  circular  shaft  and
welded into place. What is the kinetic energy of the cam
when it is rotating with angular speed & about the axis of
the shaft?

Section 10.6 Torque

30. The fishing pole in Figure P10.30 makes an angle of 20.0'

with the horizontal. What is the torque exerted by the fish
about  an  axis  perpendicular  to  the  page  and  passing
through the fisher’s hand?

(a)

h

xx

L

y

(b)

h

y

CM

Figure P10.28

2R

R

Figure P10.29

100 N

20.0

°

20.0

°

37.0

°

2.00 m

Figure P10.30

326

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Find  the  net  torque  on  the  wheel  in  Figure  P10.31

about the axle through O if a " 10.0 cm and b " 25.0 cm.

31.

32. The  tires  of  a  1  500-kg  car  are  0.600 m  in  diameter,  and

the  coefficients  of  friction  with  the  road  surface  are
7

s

"

0.800  and  7

k

"

0.600.  Assuming  that  the  weight  is

evenly distributed on the four wheels, calculate the maxi-
mum  torque  that  can  be  exerted  by  the  engine  on  a
driving wheel without spinning the wheel. If you wish, you
may assume the car is at rest.

33. Suppose  the  car  in  Problem  32  has  a  disk  brake  system.

Each wheel is slowed by the friction force between a single
brake  pad  and  the  disk-shaped  rotor.  On  this  particular
car, the brake pad contacts the rotor at an average distance
of  22.0 cm  from  the  axis.  The  coefficients  of  friction  be-
tween  the  brake  pad  and  the  disk  are  7

s

"

0.600  and

7

k

"

0.500. Calculate the normal force that the pad must

apply  to  the  rotor  in  order  to  slow  the  car  as  quickly  as
possible.

Section 10.7 Relationship between Torque 

and Angular Acceleration

34. A grinding wheel is in the form of a uniform solid disk of

radius 7.00 cm and mass 2.00 kg. It starts from rest and ac-
celerates  uniformly  under  the  action  of  the  constant
torque of 0.600 N , m that the motor exerts on the wheel.
(a) How long does the wheel take to reach its final operat-
ing speed of 1 200 rev/min? (b) Through how many revo-
lutions does it turn while accelerating?

A model airplane with mass 0.750 kg is tethered by a

wire  so  that  it  flies  in  a  circle  30.0 m  in  radius.  The  air-
plane engine provides a net thrust of 0.800 N perpendicu-
lar to the tethering wire. (a) Find the torque the net thrust
produces about the center of the circle. (b) Find the angu-
lar  acceleration  of  the  airplane  when  it  is  in  level  flight. 
(c) Find the linear acceleration of the airplane tangent to
its flight path.

36.

The combination of an applied force and a friction force
produces a constant total torque of 36.0 N , m on a wheel
rotating  about  a  fixed  axis.  The  applied  force  acts  for
6.00 s. During this time the angular speed of the wheel in-
creases from 0 to 10.0 rad/s. The applied force is then re-
moved, and the wheel comes to rest in 60.0 s. Find (a) the
moment of inertia of the wheel, (b) the magnitude of the
frictional torque, and (c) the total number of revolutions
of the wheel.

35.

37.

A  block  of  mass  m

1

"

2.00 kg  and  a  block  of  mass

m

2

"

6.00 kg are connected by a massless string over a pul-

ley in the shape of a solid disk having radius R " 0.250 m
and mass M " 10.0 kg. These blocks are allowed to move
on  a  fixed  block-wedge  of  angle  ! " 30.0° as  in  Figure
P10.37. The coefficient of kinetic friction is 0.360 for both
blocks. Draw free-body diagrams of both blocks and of the
pulley.  Determine  (a)  the  acceleration  of  the  two  blocks
and  (b)  the  tensions  in  the  string  on  both  sides  of  the
pulley.

38.

A potter’s wheel—a thick stone disk of radius 0.500 m and
mass 100 kg—is freely rotating at 50.0 rev/min. The potter
can stop the wheel in 6.00 s by pressing a wet rag against
the  rim  and  exerting  a  radially  inward  force  of  70.0 N.
Find  the  effective  coefficient  of  kinetic  friction  between
wheel and rag.

39. An  electric  motor  turns  a  flywheel  through  a  drive  belt

that joins a pulley on the motor and a pulley that is rigidly
attached  to  the  flywheel,  as  shown  in  Figure  P10.39.  The
flywheel is a solid disk with a mass of 80.0 kg and a diame-
ter of 1.25 m. It turns on a frictionless axle. Its pulley has
much smaller mass and a radius of 0.230 m. If the tension
in the upper (taut) segment of the belt is 135 N and the
flywheel  has  a  clockwise  angular  acceleration  of
1.67 rad/s

2

, find the tension in the lower (slack) segment

of the belt.

10.0 N

30.0

°

a

O

b

12.0 N

9.00 N

Figure P10.31

m

1

m

2

M, R

θ

Figure P10.37

Figure P10.39

Section 10.8 Work, Power, and Energy 

in Rotational Motion

40. Big  Ben,  the  Parliament  tower  clock  in  London,  has  an

hour  hand  2.70 m  long  with  a  mass  of  60.0 kg,  and

Problems

327

a minute  hand  4.50 m  long  with  a  mass  of  100 kg  (Fig.
P10.40). Calculate the total rotational kinetic energy of the
two hands about the axis of rotation. (You may model the
hands as long, thin rods.)

41.

In a city with an air-pollution problem, a bus has no com-
bustion  engine.  It  runs  on  energy  drawn  from  a  large,
rapidly  rotating  flywheel  under  the  floor  of  the  bus.  The
flywheel  is  spun  up  to  its  maximum  rotation  rate  of
4 000 rev/min  by  an  electric  motor  at  the  bus  terminal.
Every  time  the  bus  speeds  up,  the  flywheel  slows  down
slightly. The bus is equipped with regenerative braking so
that the flywheel can speed up when the bus slows down.
The flywheel is a uniform solid cylinder with mass 1 600 kg
and radius 0.650 m. The bus body does work against air re-
sistance  and  rolling  resistance  at  the  average  rate  of 
18.0  hp  as  it  travels  with  an  average  speed  of  40.0 km/h.
How  far  can  the  bus  travel  before  the  flywheel  has  to  be
spun up to speed again?

42.

The  top  in  Figure  P10.42  has  a  moment  of  inertia  of
4.00 + 10

%

4

kg · m

2

and  is  initially  at  rest.  It  is  free  to

rotate  about  the  stationary  axis  AA1.  A  string,  wrapped
around a peg along the axis of the top, is pulled in such a
manner as to maintain a constant tension of 5.57 N. If the
string does not slip while it is unwound from the peg, what
is the angular speed of the top after 80.0 cm of string has
been pulled off the peg?

43.

In Figure P10.43 the sliding block has a mass of 0.850 kg,
the counterweight has a mass of 0.420 kg, and the pulley
is  a  hollow  cylinder  with  a  mass  of  0.350 kg,  an  inner
radius  of  0.020  0 m,  and  an  outer  radius  of  0.030  0 m.
The coefficient of kinetic friction between the block and
the horizontal surface is 0.250. The pulley turns without
friction on its axle. The light cord does not stretch and
does  not  slip  on  the  pulley.  The  block  has  a  velocity  of
0.820 m/s  toward  the  pulley  when  it  passes  through  a
photogate.  (a)  Use  energy  methods  to  predict  its  speed
after it has moved to a second photogate, 0.700 m away.
(b)  Find  the  angular  speed  of  the  pulley  at  the  same
moment.

44.

A  cylindrical  rod  24.0 cm  long  with  mass  1.20 kg  and  ra-
dius  1.50 cm  has  a  ball  of  diameter  8.00 cm  and  mass
2.00 kg attached to one end. The arrangement is originally
vertical and stationary, with the ball at the top. The system
is free to pivot about the bottom end of the rod after being
given  a  slight  nudge.  (a)  After  the  rod  rotates  through
ninety  degrees,  what  is  its  rotational  kinetic  energy?
(b) What  is  the  angular  speed  of  the  rod  and  ball?
(c) What is the linear speed of the ball? (d) How does this
compare to the speed if the ball had fallen freely through
the same distance of 28 cm?
An  object  with  a  weight  of  50.0 N  is  attached  to  the  free
end  of  a  light  string  wrapped  around  a  reel  of  radius
0.250 m and mass 3.00 kg. The reel is a solid disk, free to
rotate in a vertical plane about the horizontal axis passing
through  its  center.  The  suspended  object  is  released
6.00 m  above  the  floor.  (a)  Determine  the  tension  in  the
string,  the  acceleration  of  the  object,  and  the  speed  with
which the object hits the floor. (b) Verify your last answer
by using the principle of conservation of energy to find the
speed with which the object hits the floor.

46.

A  15.0-kg  object  and  a  10.0-kg  object  are  suspended,
joined by a cord that passes over a pulley with a radius of
10.0 cm and a mass of 3.00 kg (Fig. P10.46). The cord has
a negligible mass and does not slip on the pulley. The pul-
ley  rotates  on  its  axis  without  friction.  The  objects  start
from rest 3.00 m apart. Treat the pulley as a uniform disk,
and  determine  the  speeds  of  the  two  objects  as  they  pass
each other.

45.

Figure P10.40 Problems 40 and 74.

John 

Lawrence 

/Getty

F

A

′

A

Figure P10.42

Figure P10.43

328

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

This problem describes one experimental method for de-
termining the moment of inertia of an irregularly shaped
object  such  as  the  payload  for  a  satellite.  Figure  P10.47
shows  a  counterweight  of  mass  m suspended  by  a  cord
wound  around  a  spool  of  radius  r,  forming  part  of  a
turntable supporting the object. The turntable can rotate
without friction. When the counterweight is released from
rest, it descends through a distance h, acquiring a speed v.
Show that the moment of inertia I of the rotating appara-
tus (including the turntable) is mr

2

(2gh/v

2

%

1).

47.

48. A horizontal 800-N merry-go-round is a solid disk of radius

1.50 m, started from rest by a constant horizontal force of
50.0 N  applied  tangentially  to  the  edge  of  the  disk.  Find
the kinetic energy of the disk after 3.00 s.
(a) A uniform solid disk of radius R and mass M is free to
rotate  on  a  frictionless  pivot  through  a  point  on  its  rim
(Fig. P10.49). If the disk is released from rest in the posi-
tion shown by the blue circle, what is the speed of its cen-
ter of mass when the disk reaches the position indicated by
the  dashed  circle?  (b)  What  is  the  speed  of  the  lowest
point  on  the  disk  in  the  dashed  position?  (c)  What  If?
Repeat part (a) using a uniform hoop.

49.

50.

The  head  of  a  grass  string  trimmer  has  100 g  of  cord
wound  in  a  light  cylindrical  spool  with  inside  diameter
3.00 cm  and  outside  diameter  18.0 cm,  as  in  Figure
P10.50. The cord has a linear density of 10.0 g/m. A single
strand of the cord extends 16.0 cm from the outer edge of
the  spool.  (a)  When  switched  on,  the  trimmer  speeds  up
from  0  to  2 500 rev/min  in  0.215 s.  (a)  What  average
power is delivered to the head by the trimmer motor while
it is accelerating? (b) When the trimmer is cutting grass, it
spins at 2 000 rev/min and the grass exerts an average tan-
gential force of 7.65 N on the outer end of the cord, which
is still at a radial distance of 16.0 cm from the outer edge
of the spool. What is the power delivered to the head un-
der load?

Section 10.9 Rolling Motion of a Rigid Object

A cylinder of mass 10.0 kg rolls without slipping on a

horizontal  surface.  At  the  instant  its  center  of  mass  has  a
speed of 10.0 m/s, determine (a) the translational kinetic
energy of its center of mass, (b) the rotational kinetic en-
ergy about its center of mass, and (c) its total energy.

52. A bowling ball has mass M, radius R, and a moment of in-

ertia of 

. If it starts from rest, how much work must

be done on it to set it rolling without slipping at a linear
speed v? Express the work in terms of M and v.
(a) Determine the acceleration of the center of mass of a
uniform solid disk rolling down an incline making angle !
with the horizontal. Compare this acceleration with that of
a  uniform  hoop.  (b)  What  is  the  minimum  coefficient  of

53.

2

5

 

MR

2

51.

M = 3.00 kg

R = 10.0 cm

m

1 

= 15.0 kg

m

2

 = 10.0 kg

3.00 m

m

1

M

R

m

2

Figure P10.46

m

Figure P10.47

Pivot

R

g

Figure P10.49

3.0 cm

18.0 cm

16.0 cm

Figure P10.50