Physics For Scientists And Engineers 6E - part 80

SECTION 10.9 •  Rolling Motion of a Rigid Object

317

R

s

θ

s = R

θ

Figure 10.27 For pure rolling motion, as

the cylinder rotates through an angle 

!

, its center

moves a linear distance s " R

!

.

P

CM

Q

P

′

2v

CM

v

CM

Figure 10.28 All points on a

rolling object move in a direction

perpendicular to an axis through

the instantaneous point of contact

P. In other words, all points rotate

about P. The center of mass of the

object moves with a velocity 

v

CM

,

and the point P 1 moves with a

velocity 2

v

CM

.

The  magnitude  of  the  linear  acceleration  of  the  center  of  mass  for  pure  rolling
motion is

(10.26)

where ( is the angular acceleration of the cylinder.

The linear velocities of the center of mass and of various points on and within the

cylinder  are  illustrated  in  Figure  10.28.  A  short  time  after  the  moment  shown  in
the drawing, the rim point labeled P might rotate from the six o’clock position to, say,
the seven o’clock position, while the point Q would rotate from the ten o’clock posi-
tion to the eleven o’clock position, and so on. Note that the linear velocity of any point
is in a direction perpendicular to the line from that point to the contact point P. At
any instant, the part of the rim that is at point P is at rest relative to the surface because
slipping does not occur.

All points on the cylinder have the same angular speed. Therefore, because the dis-

tance from P1 to P is twice the distance from P to the center of mass, P1 has a speed
2v

CM

"

2R&. To see why this is so, let us model the rolling motion of the cylinder in Fig-

ure 10.29 as a combination of translational (linear) motion and rotational motion. For
the pure translational motion shown in Figure 10.29a, imagine that the cylinder does
not rotate, so that each point on it moves to the right with speed v

CM

. For the pure rota-

tional motion shown in Figure 10.29b, imagine that a rotation axis through the center
of mass is stationary, so that each point on the cylinder has the same angular speed &.
The combination of these two motions represents the rolling motion shown in Figure
10.29c.  Note  in  Figure  10.29c  that  the  top  of  the  cylinder  has  linear  speed
v

CM

)

R& " v

CM

)

v

CM

"

2v

CM

,  which  is  greater  than  the  linear  speed  of  any  other

point on the cylinder. As mentioned earlier, the center of mass moves with linear speed
v

CM

while the contact point between the surface and cylinder has a linear speed of zero.

We can express the total kinetic energy of the rolling cylinder as

(10.27)

where  I

P

is  the  moment  of  inertia  about  a  rotation  axis  through  P.  Applying  the

parallel-axis theorem, we can substitute I

P

"

I

CM

)

MR

2

into Equation 10.27 to obtain

or, because v

CM

"

R&,

(10.28)

K "

1

2

 

I

CM

&

 

2

)

1

2

Mv

CM

 

2

K "

1

2

 

I

CM

&

 

2

)

1

2

MR

 

2

&

2

K "

1

2

 

I

P

 

&

 

2

a

 

CM

"

dv

CM

dt

"

R

 

 

d&

dt

"

R(

Total kinetic energy of a rolling

object

The term

represents the rotational kinetic energy of the cylinder about its center

of mass, and the term 

represents the kinetic energy the cylinder would have if it

were  just  translating  through  space  without  rotating.  Thus,  we  can  say  that  the 

total

kinetic energy of a rolling object is the sum of the rotational kinetic energy about
the center of mass and the translational kinetic energy of the center of mass.

We can use energy methods to treat a class of problems concerning the rolling mo-

tion  of  an  object  down  a  rough  incline.  For  example,  consider  Figure  10.30,  which
shows a sphere rolling without slipping after being released from rest at the top of the
incline. Note that accelerated rolling motion is possible only if a friction force is pre-
sent between the sphere and the incline to produce a net torque about the center of
mass. Despite the presence of friction, no loss of mechanical energy occurs because the
contact point is at rest relative to the surface at any instant. (On the other hand, if the
sphere  were  to  slip,  mechanical  energy  of  the  sphere–incline–Earth  system  would  be
lost due to the nonconservative force of kinetic friction.)

Using  the  fact  that  v

CM

"

R& for  pure  rolling  motion,  we  can  express  Equation

10.28 as

(10.29)

For the system of the sphere and the Earth, we define the zero configuration of gravita-
tional  potential  energy  to  be  when  the  sphere  is  at  the  bottom  of  the  incline.  Thus,
conservation of mechanical energy gives us

(10.30)

v

CM 

"

#

2gh

1 ) (I

CM

/MR

2

)

$

1/2

1

2

 

#

I

CM

R

2

)

M

$

 v

CM

 

2

)

0 " 0 ) Mgh

K

f

)

U

f 

"

K

i

)

U

i

K  "

1

2

 

#

I

CM

R

 

2

)

M

$

 v

CM

 

2

K  "

1

2

 

I

CM

 

#

v

CM

R

$

2

)

1

2

Mv

CM

 

2

1

2

 

Mv

CM

 

2

1

2

 

I

CM

&

 

2

318

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

h

x

v

CM

ω

M

R

θ

Active Figure 10.30 A sphere

rolling down an incline.

Mechanical energy of the

sphere–incline–Earth system is

conserved if no slipping occurs.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you
can roll several objects down
the hill and see how the final
speed depends on the type of
object.

P

′

v

CM

CM

v

CM

v

CM

P

P

′

CM

v = 0

P

v = R

ω

v = R

ω

(a) Pure translation

(b) Pure rotation

P

′

CM

P

v = 0

v = v

CM

v = v

CM

 + R

ω

 = 2v

CM

(c) Combination of translation and rotation

ω

ω

ω

Figure 10.29 The motion of a rolling object can be modeled as a combination of pure

translation and pure rotation.

Summary

319

Quick  Quiz  10.12

A  ball  rolls  without  slipping  down  incline  A,  starting

from rest. At the same time, a box starts from rest and slides down incline B, which is
identical  to  incline  A  except  that  it  is  frictionless.  Which  arrives  at  the  bottom  first?   
(a) the ball (b) the box (c) Both arrive at the same time. (d) impossible to determine

Quick Quiz 10.13

Two solid spheres roll down an incline, starting from rest.

Sphere A has twice the mass and twice the radius of sphere B. Which arrives at the bot-
tom first? (a) sphere A (b) sphere B (c) Both arrive at the same time. (d) impossible to
determine

Quick  Quiz  10.14

Two  spheres  roll  down  an  incline,  starting  from  rest.

Sphere A has the same mass and radius as sphere B, but sphere A is solid while sphere
B is hollow. Which arrives at the bottom first? (a) sphere A (b) sphere B (c) Both arrive
at the same time. (d) impossible to determine

Example 10.16 Sphere Rolling Down an Incline

For the solid sphere shown in Figure 10.30, calculate the lin-
ear speed of the center of mass at the bottom of the incline
and the magnitude of the linear acceleration of the center
of mass.

Solution For  a  uniform  solid  sphere, 

(see

Table 10.2), and therefore Equation 10.30 gives

"

Notice that this is less than 

, which is the speed an ob-

ject would have if it simply slid down the incline without ro-
tating (see Example 8.7).

To  calculate  the  linear  acceleration  of  the  center  of

mass, we note that the vertical displacement is related to the
displacement  x along  the  incline  through  the  relationship
h " x sin !. Hence, after squaring both sides, we can express
the equation above as

v

 

CM

 

2

"

10

7

 

gx sin !

√2gh

(

10

7

 

gh)

1/2

v

 

CM

"

#

2gh

1 ) (

2

5

 

MR

2

/MR

2

)

$

1/2

I

CM

"

2

5

 

MR

 

2

Comparing  this  with  the  expression  from  kinematics,
v

CM

2

"

2a

CM

x (see Eq. 2.13), we see that the acceleration of

the center of mass is

These results are interesting because both the speed and

the acceleration of the center of mass are independent of the
mass  and  the  radius  of  the  sphere!  That  is, 

all  homoge-

neous solid spheres experience the same speed and ac-

celeration on a given incline, as we argued in the answer to
Quick Quiz 10.13.

If we were to repeat the acceleration calculation for a

hollow  sphere,  a  solid  cylinder,  or  a  hoop,  we  would  ob-
tain  similar  results  in  which  only  the  factor  in  front  of 
g sin ! would  differ.  The  constant  factors  that  appear  in
the expressions for v

CM

and a

CM

depend only on the mo-

ment  of  inertia  about  the  center  of  mass  for  the  specific
object. In all cases, the acceleration of the center of mass
is less than g sin !, the value the acceleration would have if
the incline were frictionless and no rolling occurred.

a

CM

"

5

7

 

g  sin !

If a particle moves in a circular path of radius r through an angle ! (measured in radi-
ans), the arc length it moves through is s " r!.

The 

angular position of a rigid object is defined as the angle ! between a refer-

ence line attached to the object and a reference line fixed in space. The 

angular dis-

placement of  a  particle  moving  in  a  circular  path  or  a  rigid  object  rotating  about  a
fixed axis is $!

" !

f

%

!

i

.

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking on
the Practice Test link at
http://www.pse6.com.

The 

instantaneous angular speed of a particle moving in a circular path or of a

rigid object rotating about a fixed axis is

(10.3)

The 

instantaneous angular acceleration of a particle moving in a circular path

or a rotating rigid object is

(10.5)

When a rigid object rotates about a fixed axis, every part of the object has the same an-
gular speed and the same angular acceleration.

If an object rotates about a fixed axis under constant angular acceleration, one can

apply equations of kinematics that are analogous to those for linear motion under con-
stant linear acceleration:

(10.6)

(10.7)

(10.8)

(10.9)

A useful technique in solving problems dealing with rotation is to visualize a linear ver-
sion of the same problem.

When a rigid object rotates about a fixed axis, the angular position, angular speed,

and angular acceleration are related to the linear position, linear speed, and linear ac-
celeration through the relationships

(10.1a)

(10.10)

(10.11)

The 

moment of inertia of a system of particles is defined as

(10.15)

If a rigid object rotates about a fixed axis with angular speed &, its 

rotational ki-

netic energy can be written

(10.16)

where I is the moment of inertia about the axis of rotation.

The 

moment of inertia of a rigid object is

(10.17)

where r is the distance from the mass element dm to the axis of rotation.

The magnitude of the 

torque associated with a force F acting on an object is

(10.19)

where d is the moment arm of the force, which is the perpendicular distance from the
rotation axis to the line of action of the force. Torque is a measure of the tendency of
the force to change the rotation of the object about some axis.

If a rigid object free to rotate about a fixed axis has a 

net external torque acting

on it, the object undergoes an angular acceleration (, where

(10.21)

%

 2 " I(

2 "

Fd

I "

&

 

r

 

2

 

dm

K

R

"

1

2

 

I&

 

2

I 

" 

%

i

 

m

i

r

i

 

2

a

t

"

r

 

(

v " r

 

&

s " r

 

!

!

f

 

"

!

i

 

)

1

2

(&

i

)

&

f

)t

&

f

 

2

 

"

&

i

 

2

)

2((!

f

%

!

i

)

!

f 

"

!

i

)

&

i

t )

1

2

 

(

t

 

2

&

f 

"

&

i

)

(

t

(

 

" 

d&

dt

&

 

" 

d!

dt

320

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis