Physics For Scientists And Engineers 6E - part 79

Because  the  magnitude  of  the  torque  due  to 

F about  O is  defined  as  rF sin 3 by

Equation 10.19, we can write the work done for the infinitesimal rotation as

(10.22)

The rate at which work is being done by 

F as the object rotates about the fixed axis

through the angle d! in a time interval dt is

Because dW/dt is the instantaneous power ! (see Section 7.8) delivered by the force
and d!/dt " &, this expression reduces to

(10.23)

This expression is analogous to ! " Fv in the case of linear motion, and the expres-
sion dW " 2 d! is analogous to dW " F

x

dx.

In studying linear motion, we found the energy approach extremely useful in de-

scribing the motion of a system. From what we learned of linear motion, we expect that
when a symmetric object rotates about a fixed axis, the work done by external forces
equals the change in the rotational energy.

To show that this is in fact the case, let us begin with  2 "

I(. Using the chain rule

from calculus, we can express the resultant torque as

Rearranging this expression and noting that  2

d! " dW, we obtain

Integrating this expression, we obtain for the total work done by the net external force
acting on a rotating system

(10.24)

where  the  angular  speed  changes  from  &

i

to  &

f

.  That  is,  the 

work–kinetic  energy

theorem for rotational motion states that

In general, then, combining this with the translational form of the work–kinetic en-
ergy theorem from Chapter 7, the net work done by external forces on an object is
the change in its total kinetic energy, which is the sum of the translational and rota-
tional  kinetic  energies.  For  example,  when  a  pitcher  throws  a  baseball,  the  work
done by the pitcher’s hands appears as kinetic energy associated with the ball mov-
ing through space as well as rotational kinetic energy associated with the spinning
of the ball.

In addition to the work–kinetic energy theorem, other energy principles can also

be applied to rotational situations. For example, if a system involving rotating objects is
isolated, the principle of conservation of energy can be used to analyze the system, as
in Example 10.14 below.

Table 10.3 lists the various equations we have discussed pertaining to rotational mo-

tion, together with the analogous expressions for linear motion. The last two equations
in Table 10.3, involving angular momentum L, are discussed in Chapter 11 and are in-
cluded here only for the sake of completeness.

the net work done by external forces in rotating a symmetric rigid object about a
fixed axis equals the change in the object’s rotational energy.

 

%

 W "

&

&

f

&

i

 I& d& "

1

2

I&

f

 

 

2

%

1

2

I&

i

 

2

%

 2 d! " dW " I& d&

%

%

 2 " I( " I  

d&

dt

"

I  

d&

d!

 

d!

dt

  " I  

d&

d!

 &

%

! "

dW

dt

"

2&

 

dW

dt

"

2 

 

d!

dt

dW " 2 d!

SECTION 10.8 •  Work, Power, and Energy in Rotational Motion

313

Power delivered to a rotating

rigid object

Work–kinetic energy theorem

for rotational motion

314

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Rotational Motion About a Fixed Axis

Linear Motion

Angular speed 

&

"

d

!

/dt

Linear speed v " dx/dt

Angular acceleration 

(

"

d

&

/dt

Linear acceleration a " dv/dt

Net torque 

2

"

6(

Net force  F " ma

If 

&

f

"

&

i

)

(

t

If 

v

f

"

v

i

)

at

(

"

constant 

!

f

"

!

i

)

&

i

t )

(

t

2

a " constant 

x

f

"

x

i

)

v

i

t ) at

2

&

f

2

"

&

i

2

)

2

(

(

!

f

%

!

i

)

v

f

2

"

v

i

2

)

2a(x

f

%

x

i

)

Work W "

Work W "

Rotational kinetic energy K

R

"

6&

2

Kinetic energy K " mv

2

Power 

Power 

Angular momentum L "

6&

Linear momentum p " mv

Net torque 

2

"

dL/dt

Net force  F " dp/dt

%

%

! "

Fv

! "

2&

1

2

1

2

 

&

x

f

x

i

 F

x

 dx

 

&

!

f

!

i

 

2

 d

!

1

2

1

2

%

%

Useful Equations in Rotational and Linear Motion

Table 10.3

Quick Quiz 10.11

A rod is attached to the shaft of a motor at the center of

the rod so that the rod is perpendicular to the shaft, as in Figure 10.23a. The motor is
turned on and performs work W on the rod, accelerating it to an angular speed &. The
system is brought to rest, and the rod is attached to the shaft of the motor at one end
of the rod as in Figure 10.23b. The motor is turned on and performs work W on the
rod.  The  angular  speed  of  the  rod  in  the  second  situation  is  (a) 4& (b) 2& (c) &
(d) 0.5& (e) 0.25& (f) impossible to determine.

Example 10.14 Rotating Rod Revisited

A uniform rod of length L and mass M is free to rotate on a
frictionless  pin  passing  through  one  end  (Fig  10.24).  The
rod is released from rest in the horizontal position.

(A)

What  is  its  angular  speed  when  it  reaches  its  lowest

position?

Solution To conceptualize this problem, consider Figure
10.24  and  imagine  the  rod  rotating  downward  through  a

quarter turn about the pivot at the left end. In this situa-
tion,  the  angular  acceleration  of  the  rod  is  not  constant.
Thus, the kinematic equations for rotation (Section 10.2)
cannot  be  used  to  solve  this  problem.  As  we  found
with translational  motion,  however,  an  energy  approach
can  make  such  a  seemingly  insoluble  problem  relatively
easy.  We  categorize  this  as  a  conservation  of  energy
problem.

)

)

(a)

(b)

Figure 10.23 (Quick Quiz 10.11) (a) A rod is rotated about its midpoint by a motor.

(b) The rod is rotated about one of its ends.

Interactive

h

h

m

2

m

1

R

Figure 10.25 (Example 10.15) An Atwood machine.

SECTION 10.8 •  Work, Power, and Energy in Rotational Motion

315

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can alter the mass and length of the rod and see the
effect on the velocity at the lowest point.

To  analyze  the  problem,  we  consider  the  mechanical

energy of the system of the rod and the Earth. We choose
the configuration in which the rod is hanging straight down
as  the  reference  configuration  for  gravitational  potential
energy  and  assign  a  value  of  zero  for  this  configuration.
When the rod is in the horizontal position, it has no rota-
tional kinetic energy. The potential energy of the system in
this configuration relative to the reference configuration is
MgL/2 because the center of mass of the rod is at a height
L/2 higher than its position in the reference configuration.
When the rod reaches its lowest position, the energy is en-
tirely rotational energy 

, where I is the moment of iner-

tia about the pivot, and the potential energy of the system is
zero.  Because 

(see  Table  10.2)  and  because  the

system is isolated with no nonconservative forces acting, we
apply conservation of mechanical energy for the system:

K

f

)

U

f 

"

K

i

)

U

i

I "

1

3

 

ML

2

1

2

 

6&

2

& "

(B)

Determine  the  tangential  speed  of  the  center  of  mass

and  the  tangential  speed  of  the  lowest  point  on  the  rod
when it is in the vertical position.

Solution These two values can be determined from the re-
lationship between tangential and angular speeds. We know
&

from part (A), and so the tangential speed of the center

of mass is

Because r for the lowest point on the rod is twice what it is
for  the  center  of  mass,  the  lowest  point  has  a  tangential
speed v equal to

v " 2v

CM

"

To  finalize  this  problem,  note  that  the  initial  configuration
in this example is the same as that in Example 10.10. In Ex-
ample 10.10, however, we could only find the initial angular
acceleration  of  the  rod.  We  cannot  use  this  and  the  kine-
matic  equations  to  find  the  angular  speed  of  the  rod  at  its
lowest  point  because  the  angular  acceleration  is  not  con-
stant. Applying an energy approach in the current example
allows us to find something that we cannot in Example 10.10.

√3gL

 

1

2

 

√3gL

v

 

CM

"

r& "

L

2

 & "

√

3g

L

 

 

1

2

I&

2

)

0 "

1

2

(

1

3

 

ML

2

)&

2 

"

0 )

1

2

 

MgL

Example 10.15 Energy and the Atwood Machine

Consider two cylinders having different masses m

1

and m

2

,

connected  by  a  string  passing  over  a  pulley,  as  shown  in
Figure 10.25. The pulley has a radius R and moment of in-
ertia I about its axis of rotation. The string does not slip on
the  pulley,  and  the  system  is  released  from  rest.  Find  the
linear  speeds  of  the  cylinders  after  cylinder  2  descends
through a distance h, and the angular speed of the pulley
at this time.

Solution We  will  solve  this  problem  by  applying  energy
methods  to  an  Atwood  machine  with  a  massive  pulley.  Be-
cause  the  string  does  not  slip,  the  pulley  rotates  about  the
axle. We can neglect friction in the axle because the axle’s
radius is small relative to that of the pulley, so the frictional
torque is much smaller than the torque applied by the two
cylinders,  provided  that  their  masses  are  quite  different.
Consequently, the system consisting of the two cylinders, the
pulley,  and  the  Earth  is  isolated  with  no  nonconservative
forces  acting;  thus,  the  mechanical  energy  of  the  system  is
conserved.

We  define  the  zero  configuration  for  gravitational  po-

tential  energy  as  that  which  exists  when  the  system  is  re-

O

′

L/2

E

f

 = K

R

 = –1

2I

ω

2

E

i

 = U = MgL/2

O

ω

Figure 10.24 (Example 10.14) A uniform rigid rod pivoted at

O rotates in a vertical plane under the action of the

gravitational force.

leased.  From  Figure  10.25,  we  see  that  the  descent  of  cylin-
der  2  is  associated  with  a  decrease  in  system  potential  en-
ergy  and  the  rise  of  cylinder  1  represents  an  increase  in 

316

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

potential  energy.  Because  K

i

"

0  (the  system  is  initially  at

rest), we have

where v

f

is the same for both blocks. Because v

f

"

R&

f

, this

expression becomes

1

2

 

#

m

1

)

m

2

)

 

I

R

2

 

$

 v

f

 

 

2

"

(m

 

2

gh % m

1

gh)

#

1

2

m

1

v

f

 

2

)

1

2

m

 

2

v

f

 

2

)

1

2

 

 

I

R

2

 

v

f

 

 

2

$

"

(m

 

2

gh % m

1

gh)

(

1

2

m

1

v

f

 

2

)

1

2

m

 

2

v

f

 

2

)

1

2

 

I&

f

 

2

) ) (m

1

gh % m

2

gh) " 0 ) 0

K

f

)

U

f

"

K

i

)

U

i

Solving for v

f

, we find

v

f

"

The angular speed of the pulley at this instant is

1

R

 

 

'

2(m

2

%

m

1

)gh

(m

1

)

m

2

)

(I/R

2

))

(

1/2

 &

f

"

v

f

R

"

 

'

2(m

2

%

m

1

)gh

[m

1

)

m

2

)

(I/R

2

)]

(

1/2

Figure 10.26 One light source at the center of a rolling cylinder and another at one

point on the rim illustrate the different paths these two points take. The center moves

in a straight line (green line), while the point on the rim moves in the path called a

cycloid (red curve).

Henry Leap and Jim Lehman

10.9 Rolling Motion of a Rigid Object

In this section we treat the motion of a rigid object rolling along a flat surface. In
general,  such  motion  is  very  complex.  Suppose,  for  example,  that  a  cylinder  is
rolling on a straight path such that the axis of rotation remains parallel to its initial
orientation  in  space.  As  Figure  10.26  shows,  a  point  on  the  rim  of  the  cylinder
moves in a complex path called a cycloid. However, we can simplify matters by focus-
ing on the center of mass rather than on a point on the rim of the rolling object. As
we see in Figure 10.26, the center of mass moves in a straight line. If an object such
as a cylinder rolls without slipping on the surface (we call this pure rolling motion), we
can  show  that  a  simple  relationship  exists  between  its  rotational  and  translational
motions.

Consider  a  uniform  cylinder  of  radius  R rolling  without  slipping  on  a  horizontal

surface  (Fig.  10.27).  As  the  cylinder  rotates  through  an  angle  !,  its  center  of  mass
moves a linear distance s " R! (see Eq. 10.1a). Therefore, the linear speed of the cen-
ter of mass for pure rolling motion is given by

(10.25)

where & is the angular speed of the cylinder. Equation 10.25 holds whenever a cylin-
der or sphere rolls without slipping and is the 

condition for pure rolling motion.

v

CM

"

ds

dt

"

R

 

 

d!

dt

"

R&

▲

PITFALL PREVENTION

10.6 Equation 10.25 Looks

Familiar

Equation  10.25  looks  very  simi-
lar to Equation 10.10, so be sure
that  you  are  clear  on  the  differ-
ence.  Equation  10.10  gives  the
tangential speed  of  a  point  on  a
rotating object located a distance
r from  the  rotation  axis  if  the
object  is  rotating  with  angular
speed  &.  Equation  10.25  gives
the  translational speed  of  the
center of mass of a rolling object
of radius R rotating with angular
speed &.