Physics For Scientists And Engineers 6E - part 77

element  is  a  distance 

from  the  z axis,  the  moment  of  inertia  about  the

z axis is

However, we can relate the coordinates x, y of the mass element dm to the coordinates of
this same element located in a coordinate system having the object’s center of mass as its
origin. If the coordinates of the center of mass are x

CM

, y

CM

in the original coordinate

system centered on O, then from Figure 10.12a we see that the relationships between the
unprimed and primed coordinates are x " x1 ) x

CM

and y " y1 ) y

CM

. Therefore,

The first integral is, by definition, the moment of inertia about an axis that is parallel
to the z axis and passes through the center of mass. The second two integrals are zero
because, by definition of the center of mass, 

. The last integral is sim-

ply MD

2

because 

and D

2

"

x

CM

2

)

y

CM

2

. Therefore, we conclude that

I " I

CM

)

MD

 

2

&dm " M

&x1dm " &y1dm " 0

   "

&

 

[(x1)

2

)

(y1)

 

2

]dm ) 2x

CM

 

&

 

x1dm ) 2y

CM

 

&

 

y1dm ) (x

CM

 

2

)

y

CM

 

2

) 

&

 dm

 I "

&

 

[(x1 ) x

 

CM

)

2

)

(y1 ) y

CM

)

2

]dm

I "

&

 

r

 

2

 dm "

&

 

(x

 

2

)

y

2

)dm

r "

√

x

2

)

y

2

SECTION 10.5 •  Calculation of Moments of Inertia

305

Example 10.8 Applying the Parallel-Axis Theorem

Consider  once  again  the  uniform  rigid  rod  of  mass  M and
length L shown in Figure 10.10. Find the moment of inertia
of the rod about an axis perpendicular to the rod through
one end (the y1 axis in Fig. 10.10).

Solution Intuitively, we expect the moment of inertia to be
greater than 

because there is mass up to a dis-

tance of L away from the rotation axis, while the farthest dis-
tance  in  Example  10.6  was  only  L/2.  Because  the  distance

I

 

CM

"

1

12

 

ML

 

2

between the center-of-mass axis and the y1 axis is D " L/2,
the parallel-axis theorem gives

So, it is four times more difficult to change the rotation of a
rod spinning about its end than it is to change the motion
of one spinning about its center.

1

3

 

ML

2

I " I

CM

)

MD

2

"

1

12

 

ML

2

)

M

  

#

L

2

$

2

"

(a)

y

x, y

dm

y

′

y

CM

O

D

r

y

x

CM

x

x

CM,

 y

CM

x

′

x

CM

(b)

Axis

through

CM

x

y

z

Rotation

axis

O

CM

Figure 10.12 (a) The parallel-axis theorem: if the moment of inertia about an axis

perpendicular to the figure through the center of mass is I

CM

, then the moment of

inertia about the z axis is I

z

"

I

CM

)

MD

2

. (b) Perspective drawing showing the z axis

(the axis of rotation) and the parallel axis through the CM.

10.6 Torque

Why  are  a  door’s  hinges  and  its  doorknob  placed  near  opposite  edges  of  the  door?
Imagine trying to rotate a door by applying a force of magnitude F perpendicular to
the  door  surface  but  at  various  distances  from  the  hinges.  You  will  achieve  a  more
rapid rate of rotation for the door by applying the force near the doorknob than by ap-
plying it near the hinges.

If you cannot loosen a stubborn bolt with a socket wrench, what would you do in an

effort to loosen the bolt? You may intuitively try using a wrench with a longer handle or
slip a pipe over the existing wrench to make it longer. This is similar to the situation
with the door. You are more successful at causing a change in rotational motion (of the
door or the bolt) by applying the force farther away from the rotation axis.

When a force is exerted on a rigid object pivoted about an axis, the object tends to

rotate about that axis. The tendency of a force to rotate an object about some axis is
measured by a vector quantity called 

torque 2 (Greek tau). Torque is a vector, but we

will consider only its magnitude here and explore its vector nature in Chapter 11.

Consider the wrench pivoted on the axis through O in Figure 10.13. The applied

force 

F acts at an angle 3 to the horizontal. We define the magnitude of the torque as-

sociated with the force 

F by the expression

(10.19)

where r is the distance between the pivot point and the point of application of 

F and d

is the perpendicular distance from the pivot point to the line of action of 

F. (The line

of action of a force is an imaginary line extending out both ends of the vector represent-
ing the force. The dashed line extending from the tail of 

F in Figure 10.13 is part of

the line of action of 

F.) From the right triangle in Figure 10.13 that has the wrench as

its hypotenuse, we see that d " r sin 3. The quantity d is called the 

moment arm (or

lever arm) of 

F.

In Figure 10.13, the only component of 

F that tends to cause rotation is F sin 3, the

component perpendicular to a line drawn from the rotation axis to the point of appli-
cation of the force. The horizontal component F cos 3, because its line of action passes
through  O,  has  no  tendency  to  produce  rotation  about  an  axis  passing  through  O.
From  the  definition  of  torque,  we  see  that  the  rotating  tendency  increases  as  F in-
creases  and  as  d increases.  This  explains  the  observation  that  it  is  easier  to  rotate  a
door if we push at the doorknob rather than at a point close to the hinge. We also want
to apply our push as closely perpendicular to the door as we can. Pushing sideways on
the doorknob will not cause the door to rotate.

If two or more forces are acting on a rigid object, as in Figure 10.14, each tends to

produce  rotation  about  the  axis  at  O.  In  this  example, 

F

2

tends  to  rotate  the  object

clockwise and 

F

1

tends to rotate it counterclockwise. We use the convention that the

sign of the torque resulting from a force is positive if the turning tendency of the force
is counterclockwise and is negative if the turning tendency is clockwise. For example,
in Figure 10.14, the torque resulting from 

F

1

, which has a moment arm d

1

, is positive

and equal to ) F

1

d

1

; the torque from 

F

2

is negative and equal to % F

2

d

2

. Hence, the net

torque about O is

Torque should not be confused with force. Forces can cause a change in linear

motion, as described by Newton’s second law. Forces can also cause a change in rota-
tional  motion,  but  the  effectiveness  of  the  forces  in  causing  this  change  depends  on
both the forces and the moment arms of the forces, in the combination that we call
torque. Torque has units of force times length—newton · meters in SI units—and should
be reported in these units. Do not confuse torque and work, which have the same units
but are very different concepts.

%

 

2 " 2

1

)

2

2

"

F

1

d

1

%

F

2

d

2

2

 

" rF sin 3 " Fd

306

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

r

F sin

F

F cos

d

O

Line of

action

φ

φ

φ

φ

r

Figure 10.13 The force 

F has a

greater rotating tendency about O

as F increases and as the moment

arm d increases. The component

F sin

3

tends to rotate the wrench

about O.

Moment arm

O

d

2

d

1

F

2

F

1

Active Figure 10.14 The force 

F

1

tends to rotate the object

counterclockwise about O, and 

F

2

tends to rotate it clockwise.

▲

PITFALL PREVENTION

10.5 Torque Depends on

Your Choice of Axis

Like  moment  of  inertia,  there  is
no  unique  value  of  the  torque—
its value depends on your choice
of rotation axis.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the magnitudes,

directions, and points of

application of forces F

1

and F

2

to see how the object

accelerates under the action of

the two forces.

Example 10.9 The Net Torque on a Cylinder

A  one-piece  cylinder  is  shaped  as  shown  in  Figure  10.15,
with  a  core  section  protruding  from  the  larger  drum.  The
cylinder is free to rotate about the central axis shown in the
drawing.  A  rope  wrapped  around  the  drum,  which  has  ra-
dius R

1

, exerts a force 

T

1

to the right on the cylinder. A rope

wrapped  around  the  core,  which  has  radius  R

2

,  exerts  a

force 

T

2

downward on the cylinder.

(A)

What is the net torque acting on the cylinder about the

rotation axis (which is the z axis in Figure 10.15)?

Solution The  torque  due  to 

T

1

is % R

1

T

1

.  (The  sign  is

negative because the torque tends to produce clockwise ro-
tation.) The torque due to 

T

2

is ) R

2

T

2

. (The sign is posi-

tive because the torque tends to produce counterclockwise
rotation.)  Therefore,  the  net  torque  about  the  rotation
axis is

We can make a quick check by noting that if the two forces
are  of  equal  magnitude,  the  net  torque  is  negative  because
R

1

-

R

2

. Starting from rest with both forces of equal magni-

tude  acting  on  it,  the  cylinder  would  rotate  clockwise  be-
cause 

T

1

would be more effective at turning it than would 

T

2

.

R

2

T

2

%

R

1

T

1

%

 

2 " 2

1

)

2

2

"

(B)

Suppose  T

1

"

5.0 N,  R

1

"

1.0 m,  T

2

"

15.0 N,  and

R

2

"

0.50 m. What is the net torque about the rotation axis,

and which way does the cylinder rotate starting from rest?

Solution Evaluating the net torque,

Because this torque is positive, the cylinder will begin to ro-
tate in the counterclockwise direction.

2.5 N,m

%

 

2 "

(15 N)(0.50 m) % (5.0 N)(1.0 m) "

z

x

y

R

1

R

2

O

T

1

T

2

Figure 10.15 (Example 10.9) A solid cylinder pivoted about

the z axis through O. The moment arm of 

T

1

is R

1

, and the

moment arm of 

T

2

is R

2

.

SECTION 10.7 •  Relationship Between Torque and Angular Acceleration

307

10.7 Relationship Between Torque 

and Angular Acceleration

In Chapter 4, we learned that a net force on an object causes an acceleration of the
object and that the acceleration is proportional to the net force (Newton’s second
law).  In  this  section  we  show  the  rotational  analog  of  Newton’s  second  law—the
angular acceleration of a rigid object rotating about a fixed axis is proportional to
the net torque acting about that axis. Before discussing the more complex case of
rigid-object  rotation,  however,  it  is  instructive  first  to  discuss  the  case  of  a  particle
moving in a circular path about some fixed point under the influence of an external
force.

Quick Quiz 10.8

If you are trying to loosen a stubborn screw from a piece

of wood with a screwdriver and fail, should you find a screwdriver for which the handle
is (a) longer or (b) fatter?

Quick  Quiz  10.9

If  you  are  trying  to  loosen  a  stubborn  bolt  from  a  piece

of metal  with  a  wrench  and  fail,  should  you  find  a  wrench  for  which  the  handle  is
(a) longer (b) fatter?

y

x

d

 

F

t

O

r

dm

Figure 10.17 A rigid object

rotating about an axis through O.

Each mass element dm rotates

about O with the same angular

acceleration 

(

, and the net torque

on the object is proportional to 

(

.

Consider a particle of mass m rotating in a circle of radius r under the influence of

a  tangential  force 

F

t

and  a  radial  force 

F

r

,  as  shown  in  Figure  10.16.  The  tangential

force provides a tangential acceleration 

a

t

, and

The magnitude of the torque about the center of the circle due to 

F

t

is

Because the tangential acceleration is related to the angular acceleration through the
relationship a

t

"

r( (see Eq. 10.11), the torque can be expressed as

Recall from Equation 10.15 that mr

2

is the moment of inertia of the particle about the

z axis passing through the origin, so that

(10.20)

That is, 

the torque acting on the particle is proportional to its angular accelera-

tion, and the proportionality constant is the moment of inertia. Note that 2 " I( is the
rotational analog of Newton’s second law of motion, F " ma.

Now let us extend this discussion to a rigid object of arbitrary shape rotating about

a fixed axis, as in Figure 10.17. The object can be regarded as an infinite number of
mass elements dm of infinitesimal size. If we impose a Cartesian coordinate system on
the object, then each mass element rotates in a circle about the origin, and each has a
tangential acceleration 

a

t

produced by an external tangential force d

F

t

. For any given

element, we know from Newton’s second law that

The torque d2 associated with the force d

F

t

acts about the origin and is given by

Because a

t

"

r(, the expression for d2 becomes

Although each mass element of the rigid object may have a different linear accelera-

tion 

a

t

, they all have the same angular acceleration (. With this in mind, we can integrate

the above expression to obtain the net torque  2 about O due to the external forces:

where ( can be taken outside the integral because it is common to all mass elements.
From  Equation  10.17,  we  know  that 

is  the  moment  of  inertia  of  the  object

about the rotation axis through O, and so the expression for  2 becomes

(10.21)

Note that this is the same relationship we found for a particle moving in a circular path
(see Eq. 10.20). So, again we see that the net torque about the rotation axis is propor-
tional to the angular acceleration of the object, with the proportionality factor being I,
a quantity that depends upon the axis of rotation and upon the size and shape of the
object. In view of the complex nature of the system, the relationship  2 "

I( is strik-

ingly simple and in complete agreement with experimental observations.

Finally, note that the result  2 "

I( also applies when the forces acting on the mass

elements have radial components as well as tangential components. This is because the
line  of  action  of  all  radial  components  must  pass  through  the  axis  of  rotation,  and
hence all radial components produce zero torque about that axis.

%

%

%

 

2 "

I(

%

&r

 

2

 dm

%

 

2 "

&

 

(

r

 

2

 

dm " ( 

&

 

r

 

2

 

dm

%

d2 " (r

 

2

 dm

d2 " r d

 

F

t

"

a

t

 

r dm

d

 

F

t

"

(dm)a

t

2 "

I(

2 "

(mr ()r " (mr

2

)(

2 "

F

t

r " (ma

t

)r

F

t

"

ma

t

308

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Torque is proportional to 

angular acceleration

r

F

r

m

F

t

Figure 10.16 A particle rotating in

a circle under the influence of a

tangential force 

F

t

. A force 

F

r

in the

radial direction also must be present

to maintain the circular motion.