Physics For Scientists And Engineers 6E - part 75

SECTION 10.3 •  Angular and Linear Quantities

297

Rotational Motion  

About Fixed Axis

Linear Motion

&

f

"

&

i

)

(

t

v

f

"

v

i

)

at

!

f

"

!

i

)

&

i

t )

(

t

2

x

f

"

x

i

)

v

i

t ) at

2

&

f

2

"

&

i

2

) 

2

(

(

!

f

%

!

i

)

v

f

2

"

v

i

2

)

2a(x

f

%

x

i

)

!

f

"

!

i

)

(

&

i

)

&

f

)t

x

f

"

x

i

)

(v

i

)

v

f

)t

1

2

1

2

1

2

1

2

Kinematic Equations for Rotational and Linear 
Motion Under Constant Acceleration

Table 10.1

10.3 Angular and Linear Quantities

In this section we derive some useful relationships between the angular speed and ac-
celeration of a rotating rigid object and the linear speed and acceleration of a point in
the object. To do so, we must keep in mind that when a rigid object rotates about a
fixed axis, as in Figure 10.4, 

every particle of the object moves in a circle whose

center is the axis of rotation.

Quick Quiz 10.4

Consider again the pairs of angular positions for the rigid

object in Quick Quiz 10.1. If the object starts from rest at the initial angular position,
moves counterclockwise with constant angular acceleration, and arrives at the final an-
gular position with the same angular speed in all three cases, for which choice is the
angular acceleration the highest?

Example 10.1 Rotating Wheel

A  wheel  rotates  with  a  constant  angular  acceleration  of
3.50 rad/s

2

.

(A)

If the angular speed of the wheel is 2.00 rad/s at t

i

"

0,

through what angular displacement does the wheel rotate in
2.00 s?

Solution We can use Figure 10.2 to represent the wheel. We
arrange Equation 10.7 so that it gives us angular displacement:

"

(B)

Through  how  many  revolutions  has  the  wheel  turned

during this time interval?

Solution We multiply the angular displacement found in part
(A) by a conversion factor to find the number of revolutions:

(C)

What is the angular speed of the wheel at t " 2.00 s?

Solution Because the angular acceleration and the angular
speed  are  both  positive,  our  answer  must  be  greater  than
2.00 rad/s. Using Equation 10.6, we find

1.75 rev

$

! "

630' 

#

1 rev

360'

$

"

630'

"

(11.0 rad)(57.3'/rad) "

11.0 rad

"

(2.00 rad/s)(2.00 s) )

1

2

 (3.50 rad/s

2

)(2.00 s)

2

$

! " !

f

%

!

i

"

&

i

t )

1

2

 (t

 

2

"

We could also obtain this result using Equation 10.8 and the
results of part (A). Try it! 

What  If?

Suppose  a  particle  moves  along  a  straight  line

with  a  constant  acceleration  of  3.50 m/s

2

.  If  the  velocity  of

the particle is 2.00 m/s at t

i

$

0, through what displacement

does the particle move in 2.00 s? What is the velocity of the
particle at t $ 2.00 s?

Answer Notice  that  these  questions  are  translational
analogs  to  parts  (A)  and  (C)  of  the  original  problem.  The
mathematical  solution  follows  exactly  the  same  form.  For
the displacement,

and for the velocity,

Note that there is no translational analog to part (B) because
translational motion is not repetitive like rotational motion.

v

f

"

v

i

)

at " 2.00 m/s ) (3.50 m/s

2

)(2.00 s) " 9.00 m/s

"

11.0 m

"

(2.00 m/s)(2.00 s) )

1

2

(3.50 m/s

2

)(2.00 s)

2

$

x " x

f

%

x

i

"

v

i

t )

1

2

at

 

2

9.00 rad/s

&

f

"

&

i

)

(

t " 2.00 rad/s ) (3.50 rad/s

2

)(2.00 s)

298

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Quick  Quiz  10.5

Andy  and  Charlie  are  riding  on  a  merry-go-round.  Andy

rides on a horse at the outer rim of the circular platform, twice as far from the center
of the circular platform as Charlie, who rides on an inner horse. When the merry-go-
round is rotating at a constant angular speed, Andy’s angular speed is (a) twice Char-
lie’s (b) the same as Charlie’s (c) half of Charlie’s (d) impossible to determine.

Quick Quiz 10.6

Consider again the merry-go-round situation in Quick Quiz

10.5. When the merry-go-round is rotating at a constant angular speed, Andy’s tangen-
tial speed is (a) twice Charlie’s (b) the same as Charlie’s (c) half of Charlie’s (d) impos-
sible to determine.

Relation between tangential

and angular acceleration

x

y

O

a

r

a

t

P

a

Figure 10.5 As a rigid object

rotates about a fixed axis through

O, the point P experiences a

tangential component of linear

acceleration a

t

and a radial

component of linear acceleration

a

r

. The total linear acceleration of

this point is 

a " a

t

)

a

r

.

Because point P in Figure 10.4 moves in a circle, the linear velocity vector 

v is al-

ways tangent to the circular path and hence is called tangential velocity. The magnitude
of the tangential velocity of the point P is by definition the tangential speed v " ds/dt,
where s is the distance traveled by this point measured along the circular path. Recall-
ing that s " r! (Eq. 10.1a) and noting that r is constant, we obtain

Because d!/dt " & (see Eq. 10.3), we see that

(10.10)

That is, the tangential speed of a point on a rotating rigid object equals the perpendic-
ular distance of that point from the axis of rotation multiplied by the angular speed.
Therefore, although every point on the rigid object has the same  angular speed, not
every point has the same tangential speed because r is not the same for all points on the
object. Equation 10.10 shows that the tangential speed of a point on the rotating object
increases as one moves outward from the center of rotation, as we would intuitively ex-
pect. The outer end of a swinging baseball bat moves much faster than the handle.

We can relate the angular acceleration of the rotating rigid object to the tangential

acceleration of the point P by taking the time derivative of v:

(10.11)

That is, the tangential component of the linear acceleration of a point on a rotating
rigid object equals the point’s distance from the axis of rotation multiplied by the an-
gular acceleration.

In Section 4.4 we found that a point moving in a circular path undergoes a radial

acceleration  a

r

of  magnitude  v

2

/r directed  toward  the  center  of  rotation  (Fig.  10.5).

Because v " r& for a point P on a rotating object, we can express the centripetal accel-
eration at that point in terms of angular speed as

(10.12)

The  total  linear  acceleration  vector  at  the  point  is 

a " a

t

)

a

r

,  where  the  magni-

tude of 

a

r

is the centripetal acceleration a

c

. Because 

a is a vector having a radial and a

tangential component, the magnitude of 

a at the point P on the rotating rigid object is

(10.13)

a "

√

a

t

 

2

)

a

r

 

2

"

√

r

 

2

(

 

2

)

r

 

2

&

4

"

r

  

√

(

2

)

&

4

a

c

"

v

 

2

r

"

r&

2

a

t

"

r(

a

t

"

dv

dt

"

r  

d&

dt

v " r&

v "

ds

dt

"

r  

d!

dt

y

P

x

O

v

r

u

s

Active Figure 10.4 As a rigid object

rotates about the fixed axis through

O, the point P has a tangential

velocity 

v that is always tangent to

the circular path of radius r.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can move point P and observe

the tangential velocity as the

object rotates.

SECTION 10.3 •  Angular and Linear Quantities

299

Example 10.2 CD Player

On a compact disc (Fig. 10.6), audio information is stored
in a series of pits and flat areas on the surface of the disc.
The information is stored digitally, and the alternations be-
tween  pits  and  flat  areas  on  the  surface  represent  binary
ones and zeroes to be read by the compact disc player and
converted  back  to  sound  waves.  The  pits  and flat  areas  are
detected  by  a  system  consisting  of  a  laser  and  lenses.  The
length of a string of ones and zeroes representing one piece
of information is the same everywhere on the disc, whether
the  information  is  near  the  center  of  the  disc  or  near  its
outer edge. In order that this length of ones and zeroes al-
ways passes by the laser–lens system in the same time period,
the  tangential  speed  of  the  disc  surface  at  the  location  of
the lens must be constant. This requires, according to Equa-
tion 10.10, that the angular speed vary as the laser–lens sys-
tem moves radially along the disc. In a typical compact disc
player, the constant speed of the surface at the point of the
laser–lens system is 1.3 m/s.

(A)

Find  the  angular  speed  of  the  disc  in  revolutions  per

minute when information is being read from the innermost
first  track  (r " 23 mm)  and  the  outermost  final  track
(r " 58 mm).

Solution Using  Equation  10.10,  we  can  find  the  angular
speed that will give us the required tangential speed at the
position of the inner track,

"

For the outer track,

"

The  player  adjusts  the  angular  speed  & of  the  disc  within
this range so that information moves past the objective lens
at a constant rate. 

(B)

The maximum playing time of a standard music CD is

74 min and 33 s. How many revolutions does the disc make
during that time?

Solution We know that the angular speed is always decreas-
ing, and we assume that it is decreasing steadily, with ( con-
stant. If t " 0 is the instant that the disc begins, with angular
speed  of  57 rad/s,  then  the  final  value  of  the  time  t is
(74 min)(60 s/min) ) 33 s " 4 473 s.  We  are  looking  for
the  angular  displacement  $! during  this  time  interval.  We
use Equation 10.9:

2.1 + 10

2

 rev/min

&

f

"

v

r

f

"

1.3 m/s

5.8 + 10

%

2

 m

"

22 rad/s

5.4 + 10

2

 rev/min

"

(57 rad/s)

#

1 rev

2# rad

$#

60 s

1 min

$

&

i

"

v

r

i

"

1.3 m/s

2.3 + 10

%

2

 m

"

57 rad/s

23 mm

58 mm

Figure 10.6 (Example 10.2) A compact disc.

George Semple

We convert this angular displacement to revolutions:

(C)

What total length of track moves past the objective lens

during this time?

Solution Because  we  know  the  (constant)  linear  velocity
and the time interval, this is a straightforward calculation:

More than 5.8 km of track spins past the objective lens!

(D)

What  is  the  angular  acceleration  of  the  CD  over  the

4 473-s time interval? Assume that ( is constant.

Solution The most direct approach to solving this problem
is to use Equation 10.6 and the results to part (A). We should
obtain  a  negative  number  for  the  angular  acceleration  be-
cause the disc spins more and more slowly in the positive di-
rection as time goes on. Our answer should also be relatively
small  because  it  takes  such  a  long  time—more  than  an
hour—for the change in angular speed to be accomplished:

"

The disc experiences a very gradual decrease in its rotation
rate, as expected.

%

7.8 + 10

%

3

 rad/s

2

( "

&

f

%

&

i

t

"

22 rad/s % 57 rad/s

4 473 s

5.8 + 10

3 

m

x

f

"

v

i

t " (1.3 m/s)(4 473 s) "

2.8 + 10

4

 rev

 $

! "

1.8 + 10

5

 rad 

#

1 rev

2# rad

$

"

"

1.8 + 10

5

 rad

"

1

2

(57 rad/s ) 22 rad/s)(4 473 s)

$

! " !

f

%

!

i

"

1

2

(&

i

)

&

f

)t

▲

PITFALL PREVENTION

10.4 No Single Moment

of Inertia

There is one major difference be-
tween mass and moment of iner-
tia.  Mass  is  an  inherent  property
of  an  object.  The  moment  of
inertia  of  an  object  depends
on your  choice  of  rotation  axis.
Thus,  there  is  no  single  value  of
the  moment  of  inertia  for  an
object. There is a minimum value
of  the  moment  of  inertia,  which
is  that  calculated  about  an  axis
passing  through  the  center  of
mass of the object.

10.4 Rotational Kinetic Energy

In Chapter 7, we defined the kinetic energy of an object as the energy associated with
its motion through space. An object rotating about a fixed axis remains stationary in
space, so there is no kinetic energy associated with translational motion. The individ-
ual particles making up the rotating object, however, are moving through space—they
follow circular paths. Consequently, there should be kinetic energy associated with ro-
tational motion.

Let  us  consider  an  object  as  a  collection  of  particles  and  assume  that  it  rotates

about a fixed z axis with an angular speed &. Figure 10.7 shows the rotating object and
identifies one particle on the object located at a distance r

i

from the rotation axis. Each

such  particle  has  kinetic  energy  determined  by  its  mass  and  tangential  speed.  If  the
mass of the ith particle is m

i

and its tangential speed is v

i

, its kinetic energy is

To proceed further, recall that although every particle in the rigid object has the same
angular speed &, the individual tangential speeds depend on the distance 

r

i

from the

axis of rotation according to the expression v

i

"

r

i

&

(see Eq. 10.10). The total kinetic

energy of the rotating rigid object is the sum of the kinetic energies of the individual
particles:

We can write this expression in the form

(10.14)

where we have factored &

2

from the sum because it is common to every particle. We sim-

plify this expression by defining the quantity in parentheses as the 

moment of inertia I:

(10.15)

From  the  definition  of  moment  of  inertia,  we  see  that  it  has  dimensions  of  ML

2

(kg · m

2

in SI units).

2

With this notation, Equation 10.14 becomes

(10.16)

Although we commonly refer to the quantity 

as 

rotational kinetic energy, it is

not a new form of energy. It is ordinary kinetic energy because it is derived from a
sum  over  individual  kinetic  energies  of  the  particles  contained  in  the  rigid  object.
However,  the  mathematical  form  of  the  kinetic  energy  given  by  Equation  10.16  is
convenient  when  we  are  dealing  with  rotational  motion,  provided  we  know  how  to
calculate I. 

It  is  important  that  you  recognize  the  analogy  between  kinetic  energy  associated

with linear motion 

and rotational kinetic energy  

. The quantities I and & in

rotational motion are analogous to m and v in linear motion, respectively. (In fact, I
takes the place of m and & takes the place of v every time we compare a linear-motion
equation with its rotational counterpart.) The moment of inertia is a measure of the
resistance of an object to changes in its rotational motion, just as mass is a measure of
the tendency of an object to resist changes in its linear motion. 

1

2

 

I&

2

1

2

 

mv

 

2

1

2

 

I&

2

K

R

"

1

2

 

I&

2

I 

" 

%

i

 

m

i

 

r

i

 

2

K

R

"

1

2

 

#

%

i

 

m

i

 

r

i

 

2

$

 

&

2

K

R

"

%

i

 

K

i

"

%

i

 

1

2

 

m

i

 

v

i

 

2

"

1

2

 

 

%

i

 m

i

 

r

i

 

2

&

2

K

i

"

1

2

 

m

i

v

i

 

2

300

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

v

i

m

i

r

i

z axis

O

v

Figure 10.7 A rigid object rotating

about the z axis with angular speed

&

. The kinetic energy of the

particle of mass m

i

is 

. The

total kinetic energy of the object is

called its rotational kinetic energy.

1

2

m

i

v

i

 

2

2

Civil  engineers  use  moment  of  inertia  to  characterize  the  elastic  properties  (rigidity)  of  such

structures as loaded beams. Hence, it is often useful even in a nonrotational context.

Moment of inertia

Rotational kinetic energy