Physics For Scientists And Engineers 6E - part 74

293

W

hen an extended object such as a wheel rotates about its axis, the motion cannot

be analyzed by treating the object as a particle because at any given time different parts
of the object have different linear velocities and linear accelerations. We can, however,
analyze the motion by considering an extended object to be composed of a collection
of particles, each of which has its own linear velocity and linear acceleration.

In dealing with a rotating object, analysis is greatly simplified by assuming that the

object is rigid. A 

rigid object is one that is nondeformable—that is, the relative loca-

tions of all particles of which the object is composed remain constant. All real objects
are deformable to some extent; however, our rigid-object model is useful in many situa-
tions in which deformation is negligible.

10.1 Angular Position, Velocity, and Acceleration

Figure 10.1 illustrates an overhead view of a rotating compact disc. The disc is rotating
about a fixed axis through O. The axis is perpendicular to the plane of the figure. Let
us investigate the motion of only one of the millions of “particles” making up the disc.
A particle at P is at a fixed distance r from the origin and rotates about it in a circle of
radius r. (In fact, every particle on the disc undergoes circular motion about O.) It is
convenient to represent the position of P with its polar coordinates (r, !), where r is
the  distance  from  the  origin  to  P and  ! is  measured  counterclockwise from  some
reference  line  as  shown  in  Figure  10.1a.  In  this  representation,  the  only  coordinate
for the particle that changes in time is the angle !; 

r remains constant. As the particle

moves  along  the  circle  from  the  reference  line  (! " 0),  it  moves  through  an  arc  of
length  s,  as  in  Figure  10.1b.  The  arc  length  s is  related  to  the  angle  ! through  the 
relationship

(10.1a)

(10.1b)

Note the dimensions of ! in Equation 10.1b. Because ! is the ratio of an arc length

and the radius of the circle, it is a pure number. However, we commonly give ! the arti-
ficial unit 

radian (rad), where

Because the circumference of a circle is 2#r, it follows from Equation 10.1b that 360°
corresponds to an angle of (2#

r/r) rad " 2# rad. (Also note that 2# rad corresponds

one radian is the angle subtended by an arc length equal to the radius of the arc.

! "

s

r

s " r

 

!

Rigid object

Reference

line

(a)

O

P

r

(b)

O

P

Reference

line

r

s

u

Figure 10.1 A compact disc

rotating about a fixed axis through

O perpendicular to the plane of the

figure. (a) In order to define

angular position for the disc,

a fixed reference line is chosen.

A particle at P is located at a

distance r from the rotation axis

at O. (b) As the disc rotates, point

P moves through an arc length s on

a circular path of radius r.

to one complete revolution.) Hence, 1 rad " 360°/2#

! 57.3° . To convert an angle in

degrees to an angle in radians, we use the fact that # rad " 180°, or

For example, 60° equals #/3 rad and 45° equals #/4 rad.

Because the disc in Figure 10.1 is a rigid object, as the particle moves along the cir-

cle from the reference line, every other particle on the object rotates through the same
angle !. Thus, 

we can associate the angle ! with the entire rigid object as well as

with an individual particle. This allows us to define the angular position of a rigid ob-
ject in its rotational motion. We choose a reference line on the object, such as a line
connecting O and a chosen particle on the object. The 

angular position of the rigid

object is the angle ! between this reference line on the object and the fixed reference
line in space, which is often chosen as the x axis. This is similar to the way we identify
the  position  of  an  object  in  translational  motion—the  distance  x between  the  object
and the reference position, which is the origin, x " 0.

As the particle in question on our rigid object travels from position ! to position

"

in a time interval $t as in Figure 10.2, the reference line of length r sweeps out an

angle  $! " !

f

%

!

i

.  This  quantity  $! is  defined  as  the 

angular  displacement of  the

rigid object:

The rate at which this angular displacement occurs can vary. If the rigid object spins
rapidly, this displacement can occur in a short time interval. If it rotates slowly, this dis-
placement occurs in a longer time interval. These different rotation rates can be quan-
tified  by  introducing  angular  speed.  We  define  the 

average  angular  speed

(Greek

omega) as the ratio of the angular displacement of a rigid object to the time interval
$

t during which the displacement occurs:

(10.2)

In analogy to linear speed, the 

instantaneous angular speed & is defined as the

limit of the ratio $!/$t as $t approaches zero:

(10.3)

Angular  speed  has  units  of  radians  per  second  (rad/s),  which  can  be  written  as
second

%

1

(s

%

1

) because radians are not dimensional. We take & to be positive when ! is

increasing (counterclockwise motion in Figure 10.2) and negative when ! is decreasing
(clockwise motion in Figure 10.2).

&

 

"  lim

$

t : 0

 

$

!

$

t

"

d!

dt

&

 

" 

!

f

%

!

i

t

f

%

t

i

"

$

!

$

t

&

$

!

 

" !

f

%

!

i

!

 

(rad) "

#

180'

 

!

 

(deg)

294

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

x

y

"

,t

f

!

,t

i

r

i

O

θ

f

θ

Figure 10.2 A particle on a

rotating rigid object moves from !

to " along the arc of a circle. In

the time interval $t " t

f

%

t

i

, the

radius vector moves through an

angular displacement $

!

"

!

f

%

!

i

.

Average angular speed

Quick  Quiz  10.1

A  rigid  object  is  rotating  in  a  counterclockwise  sense

around a fixed axis. Each of the following pairs of quantities represents an initial angu-
lar position and a final angular position of the rigid object. Which of the sets can only
occur if the rigid object rotates through more than 180°? (a) 3 rad, 6 rad (b) % 1 rad,
1 rad (c) 1 rad, 5 rad.

Quick  Quiz  10.2

Suppose  that  the  change  in  angular  position  for  each  of

the pairs of values in Quick Quiz 10.1 occurs in 1 s. Which choice represents the lowest
average angular speed?

Instantaneous angular speed

▲

PITFALL PREVENTION

10.1 Remember the

Radian

In  rotational  equations,  we  must
use  angles  expressed  in  radians.
Don’t  fall  into  the  trap  of  using
angles measured in degrees in ro-
tational equations.

ω

ω

Figure 10.3 The right-hand rule for determin-

ing the direction of the angular velocity vector.

SECTION 10.1 •  Angular Position, Velocity, and Acceleration

295

If  the  instantaneous  angular  speed  of  an  object  changes  from  &

i

to  &

f

in  the  time 

interval $t, the object has an angular acceleration. The 

average angular acceleration

(Greek alpha) of a rotating rigid object is defined as the ratio of the change in the angu-
lar speed to the time interval $t during which the change in the angular speed occurs:

(10.4)

In  analogy  to  linear  acceleration,  the 

instantaneous  angular  acceleration is 

defined as the limit of the ratio $&/$t as $t approaches zero:

(10.5)

Angular  acceleration  has  units  of  radians  per  second  squared  (rad/s

2

),  or  just

second

%

2

(s

%

2

). Note that ( is positive when a rigid object rotating counterclockwise is

speeding  up  or  when  a  rigid  object  rotating  clockwise  is  slowing  down  during  some
time interval.

When  a  rigid  object  is  rotating  about  a  fixed axis, 

every  particle  on  the  object 

rotates through the same angle in a given time interval and has the same angular
speed and the same angular acceleration. That is, the quantities !, &, and ( charac-
terize the rotational motion of the entire rigid object as well as individual particles in the
object. Using these quantities, we can greatly simplify the analysis of rigid-object rotation.

Angular position (!), angular speed (&), and angular acceleration (() are analo-

gous to linear position (x), linear speed (v), and linear acceleration (a). The variables
!

, &, and ( differ dimensionally from the variables x, v, and a only by a factor having

the unit of length. (See Section 10.3.)

We  have  not  specified  any  direction  for  angular  speed  and  angular  acceleration.

Strictly speaking, & and ( are the magnitudes of the angular velocity and the angular
acceleration vectors

1

"

and #, respectively, and they should always be positive. Because

we are considering rotation about a fixed axis, however, we can use nonvector notation
and indicate the directions of the vectors by assigning a positive or negative sign to &
and (, as discussed earlier with regard to Equations 10.3 and 10.5. For rotation about a
fixed axis, the only direction that uniquely specifies the rotational motion is the direc-
tion along the axis of rotation. Therefore, the directions of " and # are along this axis.
If an object rotates in the xy plane as in Figure 10.1, the direction of " is out of the
plane of the diagram when the rotation is counterclockwise and into the plane of the
diagram when the rotation is clockwise. To illustrate this convention, it is convenient to
use the right-hand rule demonstrated in Figure 10.3. When the four fingers of the right

(

 

"  lim

$

t:0

 

$

&

$

t

"

d&

dt

 ( 

" 

&

f

%

&

i

t

f

%

t

i

"

$

&

$

t

(

1

Although we do not verify it here, the instantaneous angular velocity and instantaneous angular ac-

celeration are vector quantities, but the corresponding average values are not. This is because angular
displacements do not add as vector quantities for finite rotations.

▲

PITFALL PREVENTION

10.2 Specify Your Axis

In  solving  rotation  problems,  you
must  specify  an  axis  of  rotation.
This is a new feature not found in
our study of translational motion.
The  choice  is  arbitrary,  but  once
you  make  it,  you  must  maintain
that  choice  consistently  through-
out  the  problem.  In  some
problems,  the  physical  situation
suggests a natural axis, such as the
center of an automobile wheel. In
other problems, there may not be
an  obvious  choice,  and  you  must
exercise judgement.

Average angular acceleration

Instantaneous angular

acceleration

296

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

hand are wrapped in the direction of rotation, the extended right thumb points in the
direction  of  ".  The  direction  of  # follows  from its  definition  #

" d"/dt.  It  is  in  the

same direction as " if the angular speed is increasing in time, and it is antiparallel to "
if the angular speed is decreasing in time.

10.2 Rotational Kinematics: Rotational Motion 

with Constant Angular Acceleration

In our study of linear motion, we found that the simplest form of accelerated motion
to  analyze  is  motion  under  constant  linear  acceleration.  Likewise,  for  rotational  mo-
tion  about  a  fixed  axis,  the  simplest  accelerated  motion  to  analyze  is  motion  under
constant angular acceleration. Therefore, we next develop kinematic relationships for
this type of motion. If we write Equation 10.5 in the form d& " ( dt, and let t

i

"

0 and

t

f

"

t, integrating this expression directly gives

(10.6)

where &

i

is the angular speed of the rigid object at time t " 0. Equation 10.6 allows us

to find the angular speed &

f

of the object at any later time t. Substituting Equation 10.6

into Equation 10.3 and integrating once more, we obtain

(10.7)

where !

i

is the angular position of the rigid object at time t " 0. Equation 10.7 allows

us to find the angular position !

f

of the object at any later time t. If we eliminate t from

Equations 10.6 and 10.7, we obtain

(10.8)

This equation allows us to find the angular speed &

f

of the rigid object for any value of

its angular position !

f

. If we eliminate ( between Equations 10.6 and 10.7, we obtain

(10.9)

Notice that these kinematic expressions for rotational motion under constant angu-

lar acceleration are of the same mathematical form as those for linear motion under
constant linear acceleration. They can be generated from the equations for linear mo-
tion  by  making  the  substitutions  x : !,  v : &,  and  a : (.  Table  10.1  compares  the
kinematic equations for rotational and linear motion.

!

f

"

!

i

)

1

2

 (&

i

)

&

f

)t

(for constant ()

&

f

2

"

&

i

2

)

2((!

f

%

!

i

)

(for constant ()

!

f

"

!

i

)

&

i

t )

1

2

(

t

 

2

(for constant ()

&

f

"

&

i

)

(

t

(for constant ()

Quick Quiz 10.3

A rigid object is rotating with an angular speed & * 0.

The angular velocity vector " and the angular acceleration vector # are antiparallel.
The angular speed of the rigid object is (a) clockwise and increasing (b) clockwise
and  decreasing  (c)  counterclockwise  and  increasing  (d)  counterclockwise  and
decreasing.

Rotational kinematic equations

▲

PITFALL PREVENTION

10.3 Just Like

Translation?

Equations 10.6 to 10.9 and Table
10.1  suggest  that  rotational  kine-
matics  is  just  like  translational
kinematics.  That  is  almost  true,
with  two  key  differences:  (1)  in
rotational  kinematics,  you  must
specify a rotation axis (per Pitfall
Prevention  10.2);  (2)  in  rota-
tional  motion,  the  object  keeps
returning  to  its  original  orienta-
tion—thus, you may be asked for
the  number  of  revolutions  made
by  a  rigid  object.  This  concept
has  no  meaning  in  translational
motion,  but  is  related  to  $!,
which is analogous to $x.