Physics For Scientists And Engineers 6E - part 72

Problems

285

A billiard ball moving at 5.00 m/s strikes a stationary ball
of the same mass. After the collision, the first ball moves,
at 4.33 m/s, at an angle of 30.0° with respect to the origi-
nal  line  of  motion.  Assuming  an  elastic  collision  (and  ig-
noring  friction  and  rotational  motion),  find  the  struck
ball’s velocity after the collision.

34.

A proton, moving with a velocity of v

i

ˆi, collides elastically

with another proton that is initially at rest. If the two pro-
tons  have  equal  speeds  after  the  collision,  find  (a)  the
speed of each proton after the collision in terms of v

i

and

(b) the direction of the velocity vectors after the collision.
An object of mass 3.00 kg, moving with an initial velocity of

5.00

ˆi

m/s,

collides  with  and  sticks  to  an  object  of  mass

2.00 kg with an initial velocity of

"

3.00

ˆj

m/s

. Find the fi-

nal velocity of the composite object.

36.

Two  particles  with  masses  m and  3m are  moving  toward
each other along the x axis with the same initial speeds v

i

.

Particle m is traveling to the left, while particle 3m is travel-
ing to the right. They undergo an elastic glancing collision
such that particle m is moving downward after the collision
at right angles from its initial direction. (a) Find the final
speeds  of  the  two  particles.  (b)  What  is  the  angle  & at
which the particle 3m is scattered?

An unstable atomic nucleus of mass 17.0 * 10

"

27

kg

initially  at  rest  disintegrates  into  three  particles.  One  of
the particles, of mass 5.00 * 10

"

27

kg, moves along the y

axis with a speed of 6.00 * 10

6

m/s. Another particle, of

mass  8.40 * 10

"

27

kg,  moves  along  the  x axis  with  a

speed  of  4.00 * 10

6

m/s.  Find  (a)  the  velocity  of  the

third particle and (b) the total kinetic energy increase in
the process.

Section 9.5 The Center of Mass

38. Four  objects  are  situated  along  the  y axis  as  follows:  a

2.00 kg object is at # 3.00 m, a 3.00-kg object is at # 2.50 m,
a  2.50-kg  object  is  at  the  origin,  and  a  4.00-kg  object  is
at " 0.500 m. Where is the center of mass of these objects?

39.

A water molecule consists of an oxygen atom with two hy-
drogen atoms bound to it (Fig. P9.39). The angle between
the  two  bonds  is  106°.  If  the  bonds  are  0.100 nm  long,
where is the center of mass of the molecule?

37.

35.

33.

30.0˚

30.0˚

Figure P9.31

53

°

53

°

0.100 nm

0.100 nm

O

H

H

Figure P9.39

Section 9.4 Two-Dimensional Collisions

28.

A 90.0-kg fullback running east with a speed of 5.00 m/s is
tackled by a 95.0-kg opponent running north with a speed
of 3.00 m/s. If the collision is perfectly inelastic, (a) calcu-
late  the  speed  and  direction  of  the  players  just  after  the
tackle and (b) determine the mechanical energy lost as a
result of the collision. Account for the missing energy.

29. Two shuffleboard disks of equal mass, one orange and the

other yellow, are involved in an elastic, glancing collision.
The  yellow  disk  is  initially  at  rest  and  is  struck  by  the  or-
ange disk moving with a speed of 5.00 m/s. After the colli-
sion, the orange disk moves along a direction that makes
an angle of 37.0° with its initial direction of motion. The
velocities of the two disks are perpendicular after the colli-
sion. Determine the final speed of each disk.

30.

Two shuffleboard disks of equal mass, one orange and the
other yellow, are involved in an elastic, glancing collision.
The  yellow  disk  is  initially  at  rest  and  is  struck  by  the  or-
ange disk moving with a speed v

i

. After the collision, the

orange disk moves along a direction that makes an angle &
with  its  initial  direction  of  motion.  The  velocities  of  the
two disks are perpendicular after the collision. Determine
the final speed of each disk.

31.

The mass of the blue puck in Figure P9.31 is 20.0% greater
than the mass of the green one. Before colliding, the pucks
approach  each  other  with  momenta  of  equal  magnitudes
and  opposite  directions,  and  the  green  puck  has  an  initial
speed of 10.0 m/s. Find the speeds of the pucks after the col-
lision if half the kinetic energy is lost during the collision.

5.00 m/s

3.00 m/s

–4.00 m/s

10.0 kg

4.00 kg

3.00 kg

Figure P9.27

32. Two automobiles of equal mass approach an intersection.

One vehicle is traveling with velocity 13.0 m/s toward the
east, and the other is traveling north with speed v

2i

. Nei-

ther driver sees the other. The vehicles collide in the inter-
section and stick together, leaving parallel skid marks at an
angle of 55.0° north of east. The speed limit for both roads
is  35 mi/h,  and  the  driver  of  the  northward-moving  vehi-
cle claims he was within the speed limit when the collision
occurred. Is he telling the truth?

286

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

40. The  mass  of  the  Earth  is  5.98 * 10

24

kg,  and  the  mass  of

the  Moon  is  7.36 * 10

22

kg.  The  distance  of  separation,

measured  between  their  centers,  is  3.84 * 10

8

m.  Locate

the center of mass of the Earth–Moon system as measured
from the center of the Earth.
A uniform piece of sheet steel is shaped as in Figure P9.41.
Compute the x and y coordinates of the center of mass of
the piece.

41.

where x is the distance from one end, measured in meters.
(a)  What  is  the  mass  of  the  rod?  (b)  How  far  from  the 
x ! 0 end is its center of mass?

44.

In the 1968 Olympic Games, University of Oregon jumper
Dick Fosbury introduced a new technique of high jumping
called  the  “Fosbury  flop.”  It  contributed  to  raising  the
world  record  by  about  30 cm  and  is  presently  used  by
nearly  every  world-class  jumper.  In  this  technique,  the
jumper goes over the bar face up while arching his back as
much  as  possible,  as  in  Figure  P9.44a.  This  action  places
his center of mass outside his body, below his back. As his
body goes over the bar, his center of mass passes below the
bar. Because a given energy input implies a certain eleva-
tion for his center of mass, the action of arching his back
means his body is higher than if his back were straight. As
a  model,  consider  the  jumper  as  a  thin  uniform  rod  of
length L . When the rod is straight, its center of mass is at
its center. Now bend the rod in a circular arc so that it sub-
tends an angle of 90.0° at the center of the arc, as shown
in Figure P9.44b. In this configuration, how far outside the
rod is the center of mass?

Section 9.6 Motion of a System of Particles

A  2.00-kg  particle  has  a  velocity  (2.00ˆ

i " 3.00ˆj) m/s, and

a 3.00-kg  particle  has  a  velocity  (1.00ˆ

i # 6.00ˆj) m/s. 

Find (a) the velocity of the center of mass and (b) the total
momentum of the system.

46. Consider  a  system  of  two  particles  in  the  xy plane:  m

1

! 

2.00 kg  is  at  the  location 

r

1

!

(1.00ˆ

i # 2.00ˆj) m and  has 

a velocity  of  (3.00ˆ

i # 0.500ˆj) m/s; m

2

!

3.00 kg  is  at 

r

2

!

(" 4.00ˆ

i " 3.00ˆj) m and  has  velocity  (3.00ˆi " 2.00ˆj) m/s.

45.

30

20

10

y(cm)

x(cm)

10

20

30

Figure P9.41

(a)

90

°

(b)

Figure P9.44

©

Eye Ubiquitous/CORBIS

42.

(a) Consider an extended object whose different portions
have  different  elevations.  Assume  the  free-fall  accelera-
tion  is  uniform  over  the  object.  Prove  that  the  gravita-
tional  potential  energy  of  the  object–Earth  system  is
given by U

g

!

Mgy

CM

where M is the total mass of the ob-

ject  and  y

CM

is  the  elevation  of  its  center  of  mass  above

the chosen reference level. (b) Calculate the gravitational
potential  energy  associated  with  a  ramp  constructed  on
level  ground  with  stone  with  density  3 800 kg/m

3

and

everywhere 3.60 m wide. In a side view, the ramp appears
as a right triangle with height 15.7 m at the top end and
base 64.8 m (Figure P9.42).

Figure P9.42

43.

A  rod  of  length  30.0 cm  has  linear  density  (mass-per-
length) given by

,

- !

50.0 g/m # 20.0x g/m

2

Problems

287

(a)  Plot  these  particles  on  a  grid  or  graph  paper.  Draw 
their  position  vectors  and  show  their  velocities.  (b)  Find
the position of the center of mass of the system and mark
it on the grid. (c) Determine the velocity of the center of
mass and also show it on the diagram. (d) What is the total
linear momentum of the system?
Romeo  (77.0 kg)  entertains  Juliet  (55.0 kg)  by  playing  his
guitar from the rear of their boat at rest in still water, 2.70 m
away from Juliet, who is in the front of the boat. After the
serenade, Juliet carefully moves to the rear of the boat (away
from shore) to plant a kiss on Romeo’s cheek. How far does
the 80.0-kg boat move toward the shore it is facing?

48.

A ball of mass 0.200 kg has a velocity of 150ˆ

i m/s; a ball of

mass 0.300 kg has a velocity of " 0.400ˆ

i m/s. They meet in

a  head-on  elastic  collision.  (a)  Find  their  velocities  after
the collision. (b) Find the velocity of their center of mass
before and after the collision.

Section 9.7 Rocket Propulsion

The first stage of a Saturn V space vehicle consumed

fuel  and  oxidizer  at  the  rate  of  1.50 * 10

4

kg/s,  with  an

exhaust speed of 2.60 * 10

3

m/s. (a) Calculate the thrust

produced  by  these  engines.  (b)  Find  the  acceleration  of
the vehicle just as it lifted off the launch pad on the Earth
if  the  vehicle’s  initial  mass  was  3.00 * 10

6

kg.  Note: You

must include the gravitational force to solve part (b).

50. Model  rocket  engines  are  sized  by  thrust,  thrust  duration,

and  total  impulse,  among  other  characteristics.  A  size  C5
model rocket engine has an average thrust of 5.26 N, a fuel
mass of 12.7 g, and an initial mass of 25.5 g. The duration of
its burn is 1.90 s. (a) What is the average exhaust speed of
the engine? (b) If this engine is placed in a rocket body of
mass 53.5 g, what is the final velocity of the rocket if it is fired
in outer space? Assume the fuel burns at a constant rate.

51.

A rocket for use in deep space is to be capable of boosting
a  total  load  (payload  plus  rocket  frame  and  engine)  of
3.00 metric tons to a speed of 10 000 m/s. (a) It has an en-
gine  and  fuel  designed  to  produce  an  exhaust  speed  of
2 000 m/s. How much fuel plus oxidizer is required? (b) If
a  different  fuel  and  engine  design  could  give  an  exhaust
speed  of  5 000  m/s,  what  amount  of  fuel  and  oxidizer
would be required for the same task?

52.

Rocket  Science.  A  rocket  has  total  mass  M

i

!

360 kg,

including  330 kg  of  fuel  and  oxidizer.  In  interstellar
space it starts from rest, turns on its engine at time t ! 0,
and puts out exhaust with relative speed v

e

!

1 500 m/s

at  the  constant  rate  k ! 2.50 kg/s.  The  fuel  will  last  for
an  actual  burn  time  of  330 kg/(2.5 kg/s) ! 132  s,  but
define  a “projected  depletion  time”  as  T

p

!

M

i

/k !

144 s. (This would be the burn time if the rocket could
use its payload and fuel tanks as fuel, and even the walls
of  the  combustion  chamber.)  (a)  Show  that  during  the
burn  the  velocity  of  the  rocket  is  given  as  a  function  of
time by

(b) Make a graph of the velocity of the rocket as a function
of  time  for  times  running  from  0  to  132  s.  (c)  Show  that

v(t) ! "

 

v

e

 

ln[1 " (t/T

p

)]

49.

47.

the acceleration of the rocket is

(d) Graph the acceleration as a function of time. (e) Show
that the position of the rocket is

(f) Graph the position during the burn.

53. An  orbiting  spacecraft  is  described  not  as  a  “zero-g,”  but

rather as a “microgravity” environment for its occupants and
for  on-board  experiments.  Astronauts  experience  slight
lurches due to the motions of equipment and other astro-
nauts,  and  due  to  venting  of  materials  from  the  craft.  As-
sume that a 3 500-kg spacecraft undergoes an acceleration
of 2.50 0g ! 2.45 * 10

"

5

m/s

2

due to a leak from one of its

hydraulic control systems. The fluid is known to escape with
a speed of 70.0 m/s into the vacuum of space. How much
fluid will be lost in 1 h if the leak is not stopped?

Additional Problems

54.

Two gliders are set in motion on an air track. A spring of
force constant k is attached to the near side of one glider.
The first glider, of mass m

1

, has velocity v

1

, and the second

glider, of mass m

2

, moves more slowly, with velocity v

2

, as in

Figure P9.54. When m

1

collides with the spring attached to

m

2

and compresses the spring to its maximum compression

x

max

, the velocity of the gliders is v. In terms of v

1

, v

2

, m

1

,

m

2

, and k, find (a) the velocity v at maximum compression,

(b) the maximum compression x

max

, and (c) the velocity of

each glider after m

1 

has lost contact with the spring.

x(t) ! v

e

(T

p

"

t)ln [1 " (t/T

p

)] # v

e

t

a(t) ! v

e

/(T

p

"

t)

v

 

1

v

 

2

m

 

1

m

 

2

k

Figure P9.54

55.

Review  problem.  A  60.0-kg  person  running  at  an  initial
speed of 4.00 m/s jumps onto a 120-kg cart initially at rest
(Figure P9.55). The person slides on the cart’s top surface
and finally comes to rest relative to the cart. The coefficient
of kinetic friction between the person and the cart is 0.400.
Friction  between  the  cart  and  ground  can  be  neglected.
(a) Find the final velocity of the person and cart relative to
the ground. (b) Find the friction force acting on the person
while he is sliding across the top surface of the cart. (c) How
long does the friction force act on the person? (d) Find the
change in momentum of the person and the change in mo-
mentum of the cart. (e) Determine the displacement of the
person relative to the ground while he is sliding on the cart.
(f)  Determine  the  displacement  of  the  cart  relative  to  the
ground while the person is sliding. (g) Find the change in

288

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

kinetic energy of the person. (h) Find the change in kinetic
energy of the cart. (i) Explain why the answers to (g) and
(h) differ. (What kind of collision is this, and what accounts
for the loss of mechanical energy?)

2.00ˆ

k) m/s, find the final velocity of the 1.50-kg sphere and

identify the kind of collision. (c) What If? If the velocity of
the 0.500-kg sphere after the collision is (" 1.00ˆ

i # 3.00ˆj #

aˆ

k) m/s, find the value of a and the velocity of the 1.50-kg

sphere after an elastic collision.

60.

A small block of mass m

1

!

0.500 kg is released from rest

at  the  top  of  a  curve-shaped  frictionless  wedge  of  mass
m

2

!

3.00 kg,  which  sits  on  a  frictionless  horizontal  sur-

face as in Figure P9.60a. When the block leaves the wedge,
its  velocity  is  measured  to  be  4.00  m/s  to  the  right,  as  in
Figure P9.60b. (a) What is the velocity of the wedge after
the block reaches the horizontal surface? (b) What is the
height h of the wedge?

56.

A golf ball (m ! 46.0 g) is struck with a force that makes
an angle of 45.0° with the horizontal. The ball lands 200 m
away on a flat fairway. If the golf club and ball are in con-
tact  for  7.00 ms,  what  is  the  average  force  of  impact?
(Neglect air resistance.)
An 80.0-kg astronaut is working on the engines of his ship,
which is drifting through space with a constant velocity. The
astronaut,  wishing  to  get  a  better  view  of  the  Universe,
pushes against the ship and much later finds himself 30.0 m
behind the ship. Without a thruster, the only way to return to
the ship is to throw his 0.500-kg wrench directly away from
the ship. If he throws the wrench with a speed of 20.0 m/s
relative  to  the  ship,  how  long  does  it  take  the  astronaut  to
reach the ship?

58.

A bullet of mass m is fired into a block of mass M initially at
rest  at  the  edge  of  a  frictionless  table  of  height  h (Fig.
P9.58). The bullet remains in the block, and after impact
the block lands a distance d from the bottom of the table.
Determine the initial speed of the bullet.

57.

h

m

M

d

Figure P9.58

m

1

(a)

h

(b)

v

2

4.00 m/s

m

2

m

2

Figure P9.60

60.0 kg

4.00 m/s

120 kg

Figure P9.55

59.

A  0.500-kg  sphere  moving  with  a  velocity  (2.00

iˆ " 3.00jˆ #

1.00ˆ

k) m/s strikes  another  sphere  of  mass  1.50 kg  moving

with  a  velocity  (" 1.00ˆ

i # 2.00ˆj " 3.00ˆk) m/s. (a)  If  the 

velocity  of  the  0.500-kg  sphere  after  the  collision  is 
(" 1.00ˆ

i # 3.00ˆj " 8.00ˆk) m/s, find the final velocity of the

1.50-kg  sphere  and  identify  the  kind  of  collision  (elastic, 
inelastic,  or  perfectly  inelastic).  (b)  If  the  velocity  of  the
0.500-kg  sphere  after  the  collision  is  (" 0.250ˆ

i # 0.750ˆj "

61.

A  bucket  of  mass  m and  volume  V is  attached  to  a  light
cart, completely covering its top surface. The cart is given
a quick push along a straight, horizontal, smooth road. It
is raining, so as the cart cruises along without friction, the
bucket gradually fills with water. By the time the bucket is
full, its speed is v. (a) What was the initial speed v

i

of the

cart? Let / represent the density of water. (b) What If? As-
sume that when the bucket is half full, it develops a slow
leak at the bottom, so that the level of the water remains
constant  thereafter.  Describe  qualitatively  what  happens
to the speed of the cart after the leak develops.

62.

A  75.0-kg  firefighter  slides  down  a  pole  while  a  constant
friction  force  of  300 N  retards  her  motion.  A  horizontal
20.0-kg platform is supported by a spring at the bottom of
the  pole  to  cushion  the  fall.  The  firefighter  starts  from
rest 4.00 m above the platform, and the spring constant is
4 000 N/m. Find (a) the firefighter’s speed just before she
collides with the platform and (b) the maximum distance
the  spring  is  compressed.  (Assume  the  friction  force  acts
during the entire motion.)

63.

George  of  the  Jungle,  with  mass  m,  swings  on  a  light  vine
hanging  from  a  stationary  tree  branch.  A  second  vine  of
equal  length  hangs  from  the  same  point,  and  a  gorilla  of
larger mass M swings in the opposite direction on it. Both
vines  are  horizontal  when  the  primates  start  from  rest  at
the same moment. George and the gorilla meet at the low-
est  point  of  their  swings.  Each  is  afraid  that  one  vine  will
break,  so  they  grab  each  other  and  hang  on.  They  swing
upward together, reaching a point where the vines make an
angle of 35.0° with the vertical. (a) Find the value of the ra-
tio m/M. (b) What If? Try this at home. Tie a small magnet
and a steel screw to opposite ends of a string. Hold the cen-