Physics For Scientists And Engineers 6E - part 70

S E C T I O N   9 . 7 •  Rocket Propulsion

277

Conceptual Example 9.17 Exploding Projectile

A projectile fired into the air suddenly explodes into several
fragments (Fig. 9.26). What can be said about the motion of
the  center  of  mass  of  the  system  made  up  of  all  the  frag-
ments after the explosion?

Solution Neglecting air resistance, the only external force
on the projectile is the gravitational force. Thus, if the pro-
jectile did not explode, it would continue to move along the
parabolic path indicated by the dashed line in Figure 9.26.
Because  the  forces  caused  by  the  explosion  are  internal,
they  do  not  affect  the  motion  of  the  center  of  mass  of  the
system (the fragments). Thus, after the explosion, the cen-
ter of mass of the fragments follows the same parabolic path
the projectile would have followed if there had been no ex-
plosion.

Figure 9.26 (Conceptual Example 9.17) When a projectile

explodes into several fragments, the center of mass of the system

made up of all the fragments follows the same parabolic path

the projectile would have taken had there been no explosion.

Example 9.18 The Exploding Rocket

After the explosion,

where 

v

f

is  the  unknown  velocity  of  the  third  fragment.

Equating these two expressions (because 

p

i

!

p

f

) gives

v

f

!

What  does  the  sum  of  the  momentum  vectors  for  all  the
fragments look like?

("

 

240

iˆ # 450jˆ) m/s

!

M(300 

jˆ m/s)

M

3

 

v

f

#

M

3

 (240 

iˆ m/s) #

M

3

 (450 

jˆ m/s)

p

f

!

M

3

 (240

iˆ  m/s) #

M

3

 (450

jˆ  m/s)#

M

3

 

v

f

A rocket is fired vertically upward. At the instant it reaches
an altitude of 1 000 m and a speed of 300 m/s, it explodes
into three fragments having equal mass. One fragment con-
tinues  to  move  upward  with  a  speed  of  450  m/s  following
the explosion. The second fragment has a speed of 240 m/s
and is moving east right after the explosion. What is the ve-
locity of the third fragment right after the explosion?

Solution Let us call the total mass of the rocket M; hence,
the mass of each fragment is M/3. Because the forces of the
explosion are internal to the system and cannot affect its to-
tal momentum, the total momentum 

p

i

of the rocket just be-

fore the explosion must equal the total momentum 

p

f

of the

fragments right after the explosion.

Before the explosion,

p

i

!

M

v

i

!

M(300

 

jˆ m/s)

location  of  the  center  of  mass  of  the  system  (bear  plus
you), and so you can determine the mass of the bear from
m

b

x

b

!

m

p

x

p

.  (Unfortunately,  you  cannot  return  to  your

spiked  shoes  and  so  you  are  in  big  trouble  if  the  bear
wakes up!)

shown,  noting  your  location.  Take  off  your  spiked  shoes,
and  pull  on  the  rope  hand  over  hand.  Both  you  and  the
bear will slide over the ice until you meet. From the tape,
observe  how  far  you  slide,  x

p

,  and  how  far  the  bear

slides, x

b

. The point where you meet the bear is the fixed

9.7 Rocket Propulsion

When ordinary vehicles such as cars and locomotives are propelled, the driving force
for the motion is friction. In the case of the car, the driving force is the force exerted
by  the  road  on  the  car.  A  locomotive  “pushes”  against  the  tracks;  hence,  the  driving
force is the force exerted by the tracks on the locomotive. However, a rocket moving in
space has no road or tracks to push against. Therefore, the source of the propulsion of
a rocket must be something other than friction. Figure 9.27 is a dramatic photograph
of  a  spacecraft  at  liftoff.

The  operation  of  a  rocket  depends  upon  the  law  of

conservation of linear momentum as applied to a system of particles, where the
system is the rocket plus its ejected fuel.

278

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Figure 9.27 At liftoff, enormous thrust is generated by the space shuttle’s liquid-fuel

engines, aided by the two solid-fuel boosters. This photograph shows the liftoff of the

space shuttle Columbia, which was lost in a tragic accident during its landing attempt on

February 1, 2003 (shortly before this volume went to press).

Courtesy of NASA

(a)

(b)

M + 

∆m

p

i

 = (M + 

∆m)v

M

∆m

v

v + 

∆v

Figure 9.28 Rocket propulsion.

(a) The initial mass of the rocket

plus all its fuel is M # (m at a time

t, and its speed is v. (b) At a time

t # (t, the rocket’s mass has been

reduced to M and an amount of

fuel (m has been ejected. The

rocket’s speed increases by an

amount (v.

Rocket propulsion can be understood by first considering a mechanical system con-

sisting of a machine gun mounted on a cart on wheels. As the gun is fired, each bullet
receives a momentum m

v in some direction, where v is measured with respect to a sta-

tionary Earth frame. The momentum of the system made up of cart, gun, and bullets
must be conserved. Hence, for each bullet fired, the gun and cart must receive a com-
pensating momentum in the opposite direction. That is, the reaction force exerted by
the bullet on the gun accelerates the cart and gun, and the cart moves in the direction
opposite that of the bullets. If n is the number of bullets fired each second, then the av-
erage force exerted on the gun is 

!

nm

v.

In a similar manner, as a rocket moves in free space, its linear momentum changes

when some of its mass is released in the form of ejected gases.

Because the gases are

given momentum when they are ejected out of the engine, the rocket receives a
compensating momentum in the opposite direction. Therefore, the rocket is accel-
erated as a result of the “push,” or thrust, from the exhaust gases. In free space, the
center  of  mass  of  the  system  (rocket  plus  expelled  gases)  moves  uniformly,  indepen-
dent of the propulsion process.

5

Suppose that at some time t, the magnitude of the momentum of a rocket plus its

fuel is (M # (m)v, where v is the speed of the rocket relative to the Earth (Fig. 9.28a).
Over a short time interval (t, the rocket ejects fuel of mass (m, and so at the end of
this interval the rocket’s speed is v # (v, where (v is the change in speed of the rocket
(Fig. 9.28b). If the fuel is ejected with a speed v

e

relative to the rocket (the subscript “e”

stands for exhaust, and v

e

is usually called the exhaust speed), the velocity of the fuel rela-

tive to a stationary frame of reference is v " v

e

. Thus, if we equate the total initial mo-

 

F

5

It is interesting to note that the rocket and machine gun represent cases of the reverse of a per-

fectly inelastic collision: momentum is conserved, but the kinetic energy of the system increases (at the
expense of chemical potential energy in the fuel).

S E C T I O N   9 . 7 •  Rocket Propulsion

279

The force from a nitrogen-

propelled hand-controlled device

allows an astronaut to move about

freely in space without restrictive

tethers, using the thrust force from

the expelled nitrogen. 

Courtesy of NASA

mentum of the system to the total final momentum, we obtain

where M represents the mass of the rocket and its remaining fuel after an amount of
fuel having mass (m has been ejected. Simplifying this expression gives

We also could have arrived at this result by considering the system in the center-of-

mass  frame  of  reference,  which  is  a  frame  having  the  same  velocity  as  the  center  of
mass of the system. In this frame, the total momentum of the system is zero; therefore,
if the rocket gains a momentum M (v by ejecting some fuel, the exhausted fuel obtains
a momentum v

e

(

m in the opposite direction, so that M (v " v

e

(

m ! 0. If we now take

the limit as (t goes to zero, we let (v : dv and (m : dm. Furthermore, the increase
in the exhaust mass dm corresponds to an equal decrease in the rocket mass, so that
dm ! " dM. Note that dM is negative because it represents a decrease in mass, so " dM
is a positive number. Using this fact, we obtain

(9.40)

We  divide  the  equation  by  M and  integrate,  taking  the  initial  mass  of  the  rocket  plus
fuel to be M

i

and the final mass of the rocket plus its remaining fuel to be M

f

. This gives

(9.41)

This is the basic expression for rocket propulsion. First, it tells us that the increase in
rocket speed is proportional to the exhaust speed v

e

of the ejected gases. Therefore,

the  exhaust  speed  should  be  very  high.  Second,  the  increase  in  rocket  speed  is  pro-
portional to the natural logarithm of the ratio M

i

/M

f

. Therefore, this ratio should be

as  large  as  possible,  which  means  that  the  mass  of  the  rocket  without  its fuel  should
be as small as possible and the rocket should carry as much fuel as possible.

The

thrust on the rocket is the force exerted on it by the ejected exhaust gases. We

can obtain an expression for the thrust from Equation 9.40:

(9.42)

This expression shows us that the thrust increases as the exhaust speed increases and as
the rate of change of mass (called the burn rate) increases.

Thrust ! M

 

 

dv

dt

!

)

v

e

 

dM

dt

)

v

f

"

v

i

!

v

e

   

ln 

#

M

i

M

f

$

%

v

f

v

i

 dv ! "

 

v

e

 

%

M

f

M

i

 

dM

M

M

  

dv ! v

e

 

dm ! "

 

v

e

 

dM

M

  

(

v ! v

e

(

m

(M # (m)v ! M(v # (v) # (m(v " v

e

)

Expression for rocket propulsion

Example 9.19 A Rocket in Space

(B)

What  is  the  thrust  on  the  rocket  if  it  burns  fuel  at  the

rate of 50 kg/s?

Solution Using Equation 9.42,

2.5 * 10

5

 N

!

Thrust !

)

v

e

 

dM

dt

)

!

(5.0 * 10

3

 m/s)(50 kg/s)

6.5 * 10

3

 m/s

!

!

3.0 * 10

3

 m/s # (5.0 * 10

3

 m/s)ln

 

#

M

i

0.5

 

M

i

$

A rocket moving in free space has a speed of 3.0 * 10

3

m/s

relative to the Earth. Its engines are turned on, and fuel is
ejected  in  a  direction  opposite  the  rocket’s  motion  at  a
speed of 5.0 * 10

3

m/s relative to the rocket.

(A)

What  is  the  speed  of  the  rocket  relative  to  the  Earth

once  the  rocket’s  mass  is  reduced  to  half  its  mass  before
ignition?

Solution We  can  guess  that  the  speed  we  are  looking
for must be greater than the original speed because the rocket
is accelerating. Applying Equation 9.41, we obtain

v

f

!

v

i

#

v

e

   

ln

#

M

i

M

f

$

280

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

The

linear momentum p of a particle of mass m moving with a velocity v is

(9.2)

The law of

conservation of linear momentum indicates that the total momentum

of an isolated system is conserved. If two particles form an isolated system, the momen-
tum  of  the  system  is  conserved  regardless  of  the  nature  of  the  force  between  them.
Therefore,  the  total  momentum  of  the  system  at  all  times  equals  its  initial  total
momentum, or

(9.5)

The

impulse imparted to a particle by a force F is equal to the change in the mo-

mentum of the particle:

(9.8, 9.9)

This is known as the

impulse–momentum theorem.

Impulsive  forces  are  often  very  strong  compared  with  other  forces  on  the  system

and usually act for a very short time, as in the case of collisions.

When two particles collide, the total momentum of the isolated system before the

collision always equals the total momentum after the collision, regardless of the nature
of the collision. An

inelastic collision is one for which the total kinetic energy of the

system is not conserved. A

perfectly inelastic collision is one in which the colliding

bodies  stick  together  after  the  collision.  An

elastic  collision  is  one  in  which  the  ki-

netic energy of the system is conserved.

In  a  two-  or  three-dimensional  collision,  the  components  of  momentum  of

an isolated  system  in  each  of  the  directions  (x,  y,  and  z)  are  conserved  indepen-
dently.

The position vector of the center of mass of a system of particles is defined as

(9.30)

where 

is the total mass of the system and 

r

i

is the position vector of the ith

particle.

M !

"

i

m

i

r

CM 

 

! 

"

i

m

i

r

i

M

I ! 

%

t

f

t

i

 

  

F

 

dt ! (

p

p

1i

#

p

2i

!

p

1f

#

p

2f

p 

 

! mv

S U M M A R Y

Take a practice test for

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Example 9.20 Fighting a Fire

Firefighting  is  dangerous  work.  If  the  nozzle  should  slip
from  their  hands,  the  movement  of  the  hose  due  to  the
thrust it receives from the rapidly exiting water could injure
the firefighters.

10 m/s

v

e

!

600 N !

) v

e

 

(60 kg/s)

)

Thrust !

)

v

e

 

dM

dt

)

Two firefighters must apply a total force of 600 N to steady a
hose  that  is  discharging  water  at  the  rate  of  3 600  L/min.
Estimate the speed of the water as it exits the nozzle.

Solution The  water  is  exiting  at  3 600 L/min,  which  is
60 L/s. Knowing that 1 L of water has a mass of 1 kg, we
estimate that about 60 kg of water leaves the nozzle every
second. As the water leaves the hose, it exerts on the hose
a  thrust  that  must  be  counteracted  by  the  600-N  force
exerted  by  the  firefighters.  So,  applying  Equation  9.42
gives