Physics For Scientists And Engineers 6E - part 69

S E C T I O N   9 . 5 •  The Center of Mass

273

2

0

2

1

1

3

y(m)

x(m)

3

m

1

m

2

m

3

(a)

r

CM

m

3

r

3

Mr

CM

m

1

r

1

m

2

r

2

(b)

r

CM

Figure 9.21 (Example 9.13) (a) Two 1.0-kg particles are 

located on the x axis and a single 2.0-kg particle is located on

the y axis as shown. The vector indicates the location of the 

system’s center of mass. (b) The vector sum of m

i

r

i

and the 

resulting vector for 

r

CM

.

The  position  vector  to  the  center  of  mass  measured  from
the origin is therefore

We  can  verify  this  result  graphically  by  adding  together 
m

1

r

1

#

m

2

r

2

#

m

3

r

3

and dividing the vector sum by M, the

total mass. This is shown in Figure 9.21b.

(0.75

iˆ # 1.0jˆ) m

r

CM

 

 

! x

CM

iˆ # y

CM

jˆ !

!

4.0 kg)m

4.0 kg

!

1.0 m

!

(1.0 kg)(0) # (1.0 kg)(0) # (2.0 kg)(2.0 m)

4.0 kg

y

CM

!

"

i

m

i

y

i

M

!

m

1

y

1

#

m

2

y

2

#

m

3

y

3

m

1

#

m

2

#

m

3

Example 9.14 The Center of Mass of a Rod

- ! .

x, where . is a constant. Find the x coordinate of the

center of mass as a fraction of L.

Solution In this case, we replace dm by - dx, where - is not
constant. Therefore, x

CM

is

!

.

M

 

%

L

0

 

 

x

2

 dx !

.

L

3

3M

x

CM

!

1

M

 

%

 

x

 

dm !

1

M

 

%

L

0

   x-

 

dx !

1

M

 

%

L

0

 

x.

 

x dx

(A)

Show  that  the  center  of  mass  of  a  rod  of  mass  M and

length L lies midway between its ends, assuming the rod has
a uniform mass per unit length.

Solution The rod is shown aligned along the x axis in Fig-
ure  9.22,  so  that  y

CM

!

z

CM

!

0.  Furthermore,  if  we  call

the mass per unit length - (this quantity is called the linear
mass  density),  then  - ! M/L for  the  uniform  rod  we  as-
sume here. If we divide the rod into elements of length dx,
then the mass of each element is dm ! - dx. Equation 9.31
gives

Because - ! M/L, this reduces to

One  can  also  use  symmetry  arguments  to  obtain  the  same
result.

(B)

Suppose  a  rod  is  nonuniform such  that  its  mass  per

unit length varies linearly with x according to the expression

L

2

x

CM

!

L

2

2M

 

#

M

L

$

  !

x

CM

!

1

M

 

%

 

x

 

dm !

1

M

 

%

L

0

 x-

 

dx !

-

M

 

 

x

2

2

 

)

L

0

!

-

L

2

2M

L

x

dm = ldx

y

dx

O

x

Figure 9.22 (Example 9.14) The geometry used to find the

center of mass of a uniform rod.

9.6 Motion of a System of Particles

We can begin to understand the physical significance and utility of the center of mass
concept  by  taking  the  time  derivative  of  the  position  vector  given  by  Equation  9.30.
From Section 4.1 we know that the time derivative of a position vector is by definition a
velocity. Assuming M remains constant for a system of particles, that is, no particles en-
ter or leave the system, we obtain the following expression for the 

velocity of the cen-

ter of mass of the system:

(9.34)

where 

v

i

is the velocity of the ith particle. Rearranging Equation 9.34 gives

(9.35)

M

v

CM

!

"

i

m

i

v

i

!

"

i

p

i

!

p

tot

v

CM

!

d

r

CM

dt

!

1

M

 

"

i

m

i

  

 

d

r

i

dt

!

"

i

m

i

v

i

M

274

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Example 9.15 The Center of Mass of a Right Triangle

To  proceed  further  and  evaluate  the  integral,  we  must  ex-
press y in terms of x. The line representing the hypotenuse
of the triangle in Figure 9.23b has a slope of b/a and passes
through  the  origin,  so  the  equation  of  this  line  is 
y ! (b/a)x.  With  this  substitution  for  y in  the  integral, 
we have

!

Thus, the wire must be attached to the sign at a distance two
thirds  of  the  length  of  the  bottom  edge  from  the  left  end.
We could also find the y coordinate of the center of mass of
the sign, but this is not needed in order to determine where
the wire should be attached.

2

3

a

x

CM

!

2

ab

 

 

%

a

0

 

x

 

 

#

b

a

 

x

$

 dx !

2

a

2

 

%

a

0

 

x

2

 dx !

2

a

2

 

*

x

3

3

+

a

0

You have been asked to hang a metal sign from a single ver-
tical wire. The sign has the triangular shape shown in Figure
9.23a. The bottom of the sign is to be parallel to the ground.
At what distance from the left end of the sign should you at-
tach the support wire?

Solution The  wire  must  be  attached  at  a  point  directly
above the center of gravity of the sign, which is the same as
its  center  of  mass  because  it  is  in  a  uniform  gravitational
field.  We  assume  that  the  triangular  sign  has  a  uniform
density and total mass M. Because the sign is a continuous
distribution of mass, we must use the integral expression in
Equation  9.31  to  find  the  x coordinate  of  the  center  of
mass.

We divide the triangle into narrow strips of width dx and

height y as shown in Figure 9.23b, where y is the height of
the hypotenuse of the triangle above the x axis for a given
value of x. The mass of each strip is the product of the vol-
ume  of  the  strip  and  the  density  / of  the  material  from
which the sign is made: dm ! /yt dx, where t is the thickness
of  the  metal  sign.  The  density  of  the  material  is  the  total
mass of the sign divided by its total volume (area of the tri-
angle times thickness), so

Using Equation 9.31 to find the x coordinate of the center
of mass gives

x

CM

!

1

M

 

%

 

x

 

dm !

1

M

 

%

a

0

 

 

x   

2My

ab

 

 dx !

2

ab

 

%

a

0

  xy

 

dx

dm ! /yt

 

dx !

#

M

1

2

abt

$

 

yt

 

dx !

2My

ab

 

 dx

a

x

x

O

y

c

b

y

dx

dm

(b)

(a)

Figure 9.23 (Example 9.15) (a) A triangular sign to be hung

from a single wire. (b) Geometric construction for locating the

center of mass.

Substituting this into the expression for x

CM

gives

2

3

L

x

CM

!

.

L

3

3.L

2

/2

!

We can eliminate . by noting that the total mass of the rod
is related to . through the relationship

M !  

%

dm !  

%

L

0

 -

 

dx !  

%

L

0

.

 

x dx !

.

L

2

2

Velocity of the center of mass

Total momentum of a system of

particles

S E C T I O N   9 . 6 •  Motion of a System of Particles

275

The center of mass of a system of particles of combined mass M moves like an equiv-
alent particle of mass M would move under the influence of the net external force
on the system.

Therefore, we conclude that the

total linear momentum of the system equals the

total  mass  multiplied  by  the  velocity  of  the  center  of  mass. In other words, the
total  linear  momentum  of  the  system  is  equal  to  that  of  a  single  particle  of  mass  M
moving with a velocity 

v

CM

.

If we now differentiate Equation 9.34 with respect to time, we obtain the

accelera-

tion of the center of mass of the system:

(9.36)

Rearranging this expression and using Newton’s second law, we obtain

(9.37)

where

F

i

is the net force on particle i.

The  forces  on  any  particle  in  the  system  may  include  both  external  forces

(from outside the system) and internal forces (from within the system). However, by
Newton’s third law, the internal force exerted by particle 1 on particle 2, for example,
is equal in magnitude and opposite in direction to the internal force exerted by parti-
cle 2 on particle 1. Thus, when we sum over all internal forces in Equation 9.37, they
cancel in pairs and we find that the net force on the system is caused only by external
forces. Thus, we can write Equation 9.37 in the form

(9.38)

That is,

the net external force on a system of particles equals the total mass of

the  system  multiplied  by  the  acceleration  of  the  center  of  mass. If we compare
this with Newton’s second law for a single particle, we see that the particle model that
we have used for several chapters can be described in terms of the center of mass:

 

"

F

ext

!

M

a

CM

M

a

CM

!

"

 

m

i

a

i

!

"

i

 

F

i

a

CM

!

d

v

CM

dt

!

1

M

 

"

i

m

i 

  

d

v

i

dt

!

 

1

M

 

"

i

 

m

i

a

i

Finally, we see that if the net external force is zero, then from Equation 9.38 it follows that

so that

(9.39)

That is, the total linear momentum of a system of particles is conserved if no net exter-
nal force is acting on the system. It follows that for an isolated system of particles, both
the  total  momentum  and  the  velocity  of  the  center  of  mass  are  constant  in  time,  as
shown in Figure 9.24. This is a generalization to a many-particle system of the law of
conservation of momentum discussed in Section 9.1 for a two-particle system.

Suppose an isolated system consisting of two or more members is at rest. The cen-

ter of mass of such a system remains at rest unless acted upon by an external force. For
example, consider a system made up of a swimmer standing on a raft, with the system
initially at rest. When the swimmer dives horizontally off the raft, the raft moves in the
direction opposite to that of the swimmer and the center of mass of the system remains
at rest (if we neglect friction between raft and water). Furthermore, the linear momen-
tum of the diver is equal in magnitude to that of the raft, but opposite in direction.

As another example, suppose an unstable atom initially at rest suddenly breaks up into

two fragments of masses M

1

and M

2

, with velocities 

v

1

and 

v

2

, respectively. Because the to-

tal  momentum  of  the  system  before  the  breakup  is  zero,  the  total  momentum  of  the

 M

v

CM

!

p

tot

!

constant

   

(when 

"

F

ext

!

0)

 M

a

CM

!

M 

  

d

v

CM

dt

!

0

Acceleration of the center of

mass

Newton’s second law for a

system of particles

276

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Conceptual Example 9.16 The Sliding Bear

Solution Tie  one  end  of  the  rope  around  the  bear,  and
then lay out the tape measure on the ice with one end at
the bear’s original position, as shown in Figure 9.25. Grab
hold of the free end of the rope and position yourself as

Suppose you tranquilize a polar bear on a smooth glacier as
part of a research effort. How might you estimate the bear’s
mass using a measuring tape, a rope, and knowledge of your
own mass?

x

p

x

b

CM

Figure 9.25 (Conceptual Example 9.16) The center of mass of an isolated system re-

mains at rest unless acted on by an external force. How can you determine the mass of

the polar bear?

system after the breakup must also be zero. Therefore, M

1

v

1

#

M

2

v

2

!

0. If the velocity

of  one  of  the  fragments  is  known,  the  recoil  velocity  of  the  other  fragment  can  be
calculated.

Figure 9.24 Multiflash pho-

tograph showing an overhead

view of a wrench moving on a

horizontal surface. The white

dots are located at the center

of mass of the wrench and

show that the center of mass

moves in a straight line as the

wrench rotates. 

Richard 

Megna/Fundamental 

Photographs

Quick Quiz 9.11

The vacationers on a cruise ship are eager to arrive at their

next destination. They decide to try to speed up the cruise ship by gathering at the bow
(the front) and running all at once toward the stern (the back) of the ship. While they
are  running  toward  the  stern,  the  speed  of  the  ship  is  (a)  higher  than  it  was  before
(b) unchanged (c) lower than it was before (d) impossible to determine.

Quick  Quiz  9.12

The  vacationers  in  Quick  Quiz  9.11  stop  running  when

they reach the stern of the ship. After they have all stopped running, the speed of the
ship is (a) higher than it was before they started running (b) unchanged from what it
was  before  they  started  running  (c)  lower  than  it  was  before  they  started  running
(d) impossible to determine.