Physics For Scientists And Engineers 6E - part 68

S E C T I O N   9 . 4 •  Two-Dimensional Collisions

269

Because  the  total  momentum  in  the  x direction  is  con-
served, we can equate these two equations to obtain

Similarly, the total initial momentum of the system in the y

direction is that of the van, and the magnitude of this momen-
tum  is  (2 500 kg)(20.0 m/s) ! 5.00 * 10

4

kg ) m/s.  Applying

conservation of momentum to the y direction, we have

If we divide Equation (2) by Equation (1), we obtain

(2)

            5.00 * 10

4

 kg)m/s ! (4 000 kg)v

f

 

 

sin &

"

p

yi

!

"

p

yf

(1)

            3.75 * 10

4

 kg)m/s ! (4 000 kg)v

f

 

 

cos &

"

p

xf

!

(4 000 kg)v

f

  cos &

Example 9.11 Proton–Proton Collision

A proton collides elastically with another proton that is ini-
tially  at  rest.  The  incoming  proton  has  an  initial  speed  of
3.50 * 10

5

m/s and makes a glancing collision with the sec-

ond  proton,  as  in  Figure  9.13.  (At  close  separations,  the
protons exert a repulsive electrostatic force on each other.)
After the collision, one proton moves off at an angle of 37.0°
to the original direction of motion, and the second deflects
at  an  angle  of  + to  the  same  axis.  Find  the  final  speeds  of
the two protons and the angle +.

Solution The  pair  of  protons  is  an  isolated  system.  Both
momentum and kinetic energy of the system are conserved
in this glancing elastic collision. Because m

1

!

m

2

, & ! 37.0°,

and we are given that v

1i

!

3.50 * 10

5

m/s, Equations 9.24,

9.25, and 9.26 become

(1)

(3)

We rewrite Equations (1) and (2) as follows:

Now we square these two equations and add them:

v

2f

2

!

1.23 * 10

11

  " (5.59 * 10

5

 )v

1f

  # v

1f

2

 

#

v

1f

2

 cos

2

 37.0, #  v

1f

2

 sin

2

 37.0,

!

1.23 * 10

11

 m

2

/s

2

"

(7.00 * 10

5

 m/s)v

1f

  cos 37.0,

v

2f

2

  cos

2

 + # v

2f

2

  sin 

2

 +

v

2f

  sin + ! v

1f

  sin 37.0,

v

2f

  cos + ! 3.50 * 10

5

 m/s "

 

v

1f

  cos 37.0,

  ! 1.23 * 10

11

 m

2

/s

2

 v

1f

2

#

v

2f

2

!

(3.50 * 10

5

 m/s)

2

(2)

            v

1f

  sin 37.0, " v

2f

  sin + ! 0

v

1f

  cos 37, # v

2f

  cos + ! 3.50 * 10

5

 m/s

Substituting into Equation (3) gives

One  possibility  for  the  solution  of  this  equation  is  v

1f

!

0,

which  corresponds  to  a  head-on  collision—the  first  proton
stops  and  the  second  continues  with  the  same  speed  in
the same  direction.  This  is  not  what  we  want.  The  other
possibility is

From Equation (3),

and from Equation (2),

It is interesting to note that & # + ! 90°. This result is not
accidental. Whenever two objects of equal mass collide elas-
tically in a glancing collision and one of them is initially at
rest,  their  final  velocities  are  perpendicular  to  each  other.
The next example illustrates this point in more detail.

53.0,

!

+ !

sin

"

1

#

v

1f

  sin 37.0,

v

2f

$

!

sin

"

1

#

(2.80 * 10

5

) sin 37.0,

2.12 * 10

5

$

!

2.12 * 10

5

 m/s

v

2f

  !

√

1.23 * 10

11

"

v

1f

2

!

√

1.23 * 10

11

"

(2.80 * 10

5

)

2

2.80 * 10

5

 m/s

2v

1f

"

5.59 * 10

5

  ! 0

      9:       v

1f

  !

2v

1f

2

"

(5.59 * 10

5

 )v

1f

  ! (2v

1f

"

5.59 * 10

5

)v

1f

!

0

!

1.23 * 10

11

v

1f

2

#

'1.23 * 10

11

 " (5.59 * 10

5

 )v

1f

  # v

1f

2

 

(

& !

When this angle is substituted into Equation (2), the value
of v

f

is

It might be instructive for you to draw the momentum vec-
tors of each vehicle before the collision and the two vehicles
together after the collision.

15.6 m/s

 v

f

!

5.00 * 10

4

 kg)m/s

(4 000 kg)sin 53.1,

!

53.1,

 

sin &

cos &

!

tan & !

5.00 * 10

4

3.75 * 10

4

!

1.33

Example 9.12 Billiard Ball Collision

In a game of billiards, a player wishes to sink a target ball in
the corner pocket, as shown in Figure 9.15. If the angle to
the corner pocket is 35°, at what angle & is the cue ball de-
flected?  Assume  that  friction  and  rotational  motion  are
unimportant  and  that  the  collision  is  elastic.  Also  assume
that all billiard balls have the same mass m.

Solution Let ball 1 be the cue ball and ball 2 be the target
ball. Because the target ball is initially at rest, conservation
of kinetic energy (Eq. 9.16) for the two-ball system gives

But m

1

!

m

2

!

m, so that

1

2

m

1

v

1i

2

!

1

2

m

1

v

1f

2

#

1

2

m

2

v

2f

2

9.5 The Center of Mass

In this section we describe the overall motion of a mechanical system in terms of a spe-
cial point called the

center of mass of the system. The mechanical system can be ei-

ther a group of particles, such as a collection of atoms in a container, or an extended
object, such as a gymnast leaping through the air. We shall see that the center of mass
of  the  system  moves  as  if  all  the  mass  of  the  system  were  concentrated  at  that  point.
Furthermore, if the resultant external force on the system is 

"F

ext

and the total mass of

the system is M, the center of mass moves with an acceleration given by

a ! "F

ext

/M.

That is, the system moves as if the resultant external force were applied to a single par-
ticle of mass M located at the center of mass. This behavior is independent of other
motion, such as rotation or vibration of the system. This is the particle model that was in-
troduced in Chapter 2.

Consider  a  mechanical  system  consisting  of  a  pair  of  particles  that  have  different

masses and are connected by a light, rigid rod (Fig. 9.16). The position of the center of
mass of a system can be described as being the average position of the system’s mass. The
center of mass of the system is located somewhere on the line joining the two particles
and is closer to the particle having the larger mass. If a single force is applied at a point
on the rod somewhere between the center of mass and the less massive particle, the sys-
tem  rotates  clockwise  (see  Fig.  9.16a).  If  the  force  is  applied  at  a  point  on  the  rod
somewhere between the center of mass and the more massive particle, the system ro-
tates counterclockwise (see Fig. 9.16b). If the force is applied at the center of mass, the
system moves in the direction of 

F without rotating (see Fig. 9.16c). Thus, the center

of mass can be located with this procedure.

The center of mass of the pair of particles described in Figure 9.17 is located on

the x axis and lies somewhere between the particles. Its x coordinate is given by

(9.27)

x

CM 

 

! 

m

1

x

1

#

m

2

x

2

m

1

#

m

2

270

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Cue ball

v

2f

v

1f

v

1i

θ

y

x

35

°

Figure 9.15 (Example 9.12) The cue ball (white) strikes the

number 4 ball (blue) and sends it toward the corner

pocket.

Applying  conservation  of  momentum  to  the  two-dimen-
sional collision gives

(2)

            m

1

v

1i

!

m

1

v

1f

#

m

2

v

2f

(1)

            v

1i

2

!

v

1f

2

#

v

2f

2

Note  that  because  m

1

!

m

2

!

m,  the  masses  also  cancel  in

Equation  (2).  If  we  square  both  sides  of  Equation  (2)  and
use  the  definition  of  the  dot  product  of  two  vectors  from
Section 7.3, we obtain

Because the angle between 

v

1f

and 

v

2f

is & # 35°, 

v

1f

!

v

2f

!

v

1f

v

2f

cos(& # 35°), and so

Subtracting Equation (1) from Equation (3) gives

or

This result shows that whenever two equal masses undergo
a  glancing  elastic  collision  and  one  of  them  is  initially  at
rest,  they  move  in  perpendicular  directions  after  the  colli-
sion.  The  same  physics  describes  two  very  different  situa-
tions,  protons  in  Example  9.11  and  billiard  balls  in  this
example.

& !

55,

& #

35, ! 90,

0 ! cos(& # 35,)

0 ! 2v

1f

v

2f

 

 

cos(& # 35,)

(3)

            v

1i

2

!

v

1f

2

#

v

2f

2

#

2v

1f

v

2f

 

 

cos(& # 35,)

v

1i

2

!

(

v

1f

#

v

2f

) ! (

v

1f

#

v

2f

) ! v

1f

2

#

v

2f

2

#

2

v

1f

 ! 

v

2f

S E C T I O N   9 . 5 •  The Center of Mass

271

CM

(a)

(b)

(c)

CM

CM

Active Figure 9.16 Two particles

of unequal mass are connected by a

light, rigid rod. (a) The system

rotates clockwise when a force is ap-

plied between the less massive parti-

cle and the center of mass. (b) The

system rotates counterclockwise

when a force is applied between the

more massive particle and the cen-

ter of mass. (c) The system moves

in the direction of the force without

rotating when a force is applied at

the center of mass.

At the Active Figures link 

at http://www.pse6.com, you

can choose the point at which

to apply the force.

y

m

1

x

1

x

 

2

CM

m

 

2

x

x

 

CM

For example, if x

1

!

0, x

2

!

d, and m

2

!

2m

1

, we find that 

That is, the cen-

ter of mass lies closer to the more massive particle. If the two masses are equal, the cen-
ter of mass lies midway between the particles.

We can extend this concept to a system of many particles with masses m

i

in three di-

mensions. The x coordinate of the center of mass of n particles is defined to be

(9.28)

where x

i

is the x coordinate of the ith particle. For convenience, we express the total

mass as 

where the sum runs over all n particles. The y and z coordinates of

the center of mass are similarly defined by the equations

(9.29)

The center of mass can also be located by its position vector 

r

CM

. The Cartesian co-

ordinates  of  this  vector  are  x

CM

,  y

CM

,  and  z

CM

,  defined  in  Equations  9.28  and  9.29.

Therefore,

(9.30)

where 

r

i

is the position vector of the ith particle, defined by

Although  locating  the  center  of  mass  for  an  extended  object  is  somewhat  more

cumbersome than locating the center of mass of a system of particles, the basic ideas
we have discussed still apply. We can think of an extended object as a system contain-
ing a large number of particles (Fig. 9.18). The particle separation is very small, and so
the object can be considered to have a continuous mass distribution. By dividing the
object into elements of mass (m

i

with coordinates x

i

, y

i

, z

i

, we see that the x coordinate

of the center of mass is approximately

with similar expressions for y

CM

and z

CM

. If we let the number of elements n approach

infinity, then x

CM

is given precisely. In this limit, we replace the sum by an integral and

(

m

i

by the differential element dm:

(9.31)

Likewise, for y

CM

and z

CM

we obtain

(9.32)

We can express the vector position of the center of mass of an extended object in the
form

y

CM

!

1

M

 

%

 

y

 

dm

   

and

   

z

CM

!

1

M

 

%

 

z

 

dm

x

CM

!

lim

(

m

i

:

0

  

"

i

x

i

  

(

m

i

M

!

1

M

 

%

 

x

 

dm

x

CM

 

 

 

&  

"

i

x

i

 

(

m

i

M

r

i

 

 

! x

i

iˆ # y

i

jˆ # z

i

kˆ

r

CM

 

 

 

! 

"

i

m

i

r

i

M

r

CM

!

x

CM

iˆ # y

CM

jˆ # z

CM

k

ˆ !

"

i

m

i

x

i

iˆ #

"

i

m

i

y

i

jˆ #

"

i

m

i

z

i

kˆ

M

y

CM

 

 

 

! 

"

i

m

i

y

i

M

   

and

   

z

CM

 

 

! 

"

i

m

i

z

i

M

M 

 

! 

"

i

m

i

x

CM 

 

! 

m

1

x

1

#

m

2

x

2

#

m

3

x

3

# … #

m

n

x

n

m

1

#

m

2

#

m

3

# … #

m

n

!

"

i

m

i

x

i

"

i

m

i

!

"

i

m

i

x

i

M

x

CM

!

2

3

d.

Active Figure 9.17 The center of

mass of two particles of unequal

mass on the x axis is located at x

CM

,

a point between the particles, closer

to the one having the larger mass.

At the Active Figures link 

at http://www.pse6.com, you

can adjust the masses and

positions of the particles to

see the effect on the location

of the center of mass.

272

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Example 9.13 The Center of Mass of Three Particles

A system consists of three particles located as shown in Fig-
ure 9.21a. Find the center of mass of the system.

Solution We set up the problem by labeling the masses of
the particles as shown in the figure, with m

1

!

m

2

!

1.0 kg

and m

3

!

2.0 kg. Using the defining equations for the coor-

dinates  of  the  center  of  mass  and  noting  that  z

CM

!

0,  we

obtain

Quick Quiz 9.10

A baseball bat is cut at the location of its center of mass

as  shown  in  Figure  9.20.  The  piece  with  the  smaller  mass  is  (a)  the  piece  on  the
right (b) the piece on the left (c) Both pieces have the same mass. (d) impossible to
determine.

Figure 9.20 (Quick Quiz 9.10) A baseball bat cut at the location of its center of

mass.

4

This statement is valid only for objects that have a uniform mass per unit volume.

(9.33)

which is equivalent to the three expressions given by Equations 9.31 and 9.32.

The center of mass of any symmetric object lies on an axis of symmetry and

on any plane of symmetry.

4

For example, the center of mass of a uniform rod lies in

the rod, midway between its ends. The center of mass of a sphere or a cube lies at its
geometric center.

The center of mass of an irregularly shaped object such as a wrench can be deter-

mined by suspending the object first from one point and then from another. In Figure
9.19, a wrench is hung from point A, and a vertical line AB (which can be established
with  a  plumb  bob)  is  drawn  when  the  wrench  has  stopped  swinging.  The  wrench  is
then hung from point C, and a second vertical line CD is drawn. The center of mass is
halfway through the thickness of the wrench, under the intersection of these two lines.
In general, if the wrench is hung freely from any point, the vertical line through this
point must pass through the center of mass.

Because an extended object is a continuous distribution of mass, each small mass

element  is  acted  upon  by  the  gravitational  force.  The  net  effect  of  all  these  forces  is
equivalent to the effect of a single force M

g acting through a special point, called the

center of gravity. If g is constant over the mass distribution, then the center of gravity
coincides with the center of mass. If an extended object is pivoted at its center of grav-
ity, it balances in any orientation.

r

CM

!

1

M

 

%

r

 

dm

!

3.0 kg)m

4.0 kg

!

0.75 m

!

(1.0 kg)(1.0 m) # (1.0 kg)(2.0 m) # (2.0 kg)(0)

1.0 kg # 1.0 kg # 2.0 kg

x

CM

!

"

i

m

i

x

i

M

!

m

1

x

1

#

m

2

x

2

#

m

3

x

3

m

1

#

m

2

#

m

3

y

x

z

r

i

∆m

i

r

CM

CM

Figure 9.18 An extended object

can be considered to be a distribu-

tion of small elements of mass (m

i

.

The center of mass is located at the

vector position r

CM

, which has

coordinates x

CM

, y

CM

, and z

CM

.

A

B

C

A

B

C

D

Center of

mass

Figure 9.19 An experimental tech-

nique for determining the center

of mass of a wrench. The wrench is

hung freely first from point A and

then from point C. The intersec-

tion of the two lines AB and CD

locates the center of mass.