Physics For Scientists And Engineers 6E - part 73

Problems

289

ter of the string fixed to represent the tree branch, and re-
produce a model of the motions of George and the gorilla.
What changes in your analysis will make it apply to this situ-
ation? What If? Assume the magnet is strong, so that it no-
ticeably attracts the screw over a distance of a few centime-
ters.  Then  the  screw  will  be  moving  faster  just  before  it
sticks to the magnet. Does this make a difference?

64.

A cannon is rigidly attached to a carriage, which can move
along horizontal rails but is connected to a post by a large
spring,  initially  unstretched  and  with  force  constant  k !
2.00 * 10

4

N/m,  as  in  Figure  P9.64.  The  cannon  fires  a

200-kg  projectile  at  a  velocity  of  125  m/s  directed  45.0°
above the horizontal. (a) If the mass of the cannon and its
carriage  is  5 000 kg,  find  the  recoil  speed  of  the  cannon.
(b)  Determine  the  maximum  extension  of  the  spring.
(c) Find the maximum force the spring exerts on the car-
riage.  (d)  Consider  the  system  consisting  of  the  cannon,
carriage,  and  shell.  Is  the  momentum  of  this  system  con-
served during the firing? Why or why not?

through the relation

What  numerical  value  does  she  obtain  for  v

1

A

based  on

her  measured  values  of  x ! 257 cm  and  y ! 85.3 cm?
What  factors  might  account  for  the  difference  in  this
value compared to that obtained in part (a)?

66.

Small ice cubes, each of mass 5.00 g, slide down a friction-
less  track  in  a  steady  stream,  as  shown  in  Figure  P9.66.
Starting  from  rest,  each  cube  moves  down  through  a  net
vertical  distance  of  1.50 m  and  leaves  the  bottom  end  of
the track at an angle of 40.0° above the horizontal. At the
highest point of its subsequent trajectory, the cube strikes
a  vertical  wall  and  rebounds  with  half  the  speed  it  had
upon impact. If 10.0 cubes strike the wall per second, what
average force is exerted on the wall?

v

1

A

!

x

√

2y/g

y

v

1

A

x

Figure P9.65

40.0

°

1.50 m

Figure P9.66

v

5.00 cm

400 m/s

Figure P9.67

65.

A student performs a ballistic pendulum experiment using
an apparatus similar to that shown in Figure 9.11b. She ob-
tains the following average data: h ! 8.68 cm, m

1

!

68.8 g,

and m

2

!

263 g. The symbols refer to the quantities in Fig-

ure 9.11a. (a) Determine the initial speed v

1

A

of the pro-

jectile. (b) The second part of her experiment is to obtain
v

1

A

by firing the same projectile horizontally (with the pen-

dulum removed from the path), by measuring its final hor-
izontal position x and distance of fall y (Fig. P9.65). Show
that the initial speed of the projectile is related to x and y

45.0

°

Figure P9.64

A 5.00-g bullet moving with an initial speed of 400 m/s is
fired into and passes through a 1.00-kg block, as in Figure
P9.67. The block, initially at rest on a frictionless, horizon-
tal  surface,  is  connected  to  a  spring  with  force  constant
900 N/m. If the block moves 5.00 cm to the right after im-
pact, find (a) the speed at which the bullet emerges from
the  block  and  (b)  the  mechanical  energy  converted  into
internal energy in the collision.

67.

68.

Consider as a system the Sun with the Earth in a circular
orbit  around  it.  Find  the  magnitude  of  the  change  in
the velocity of the Sun relative to the center of mass of the

290

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

system over a period of 6 months. Neglect the influence of
other celestial objects. You may obtain the necessary astro-
nomical data from the endpapers of the book.

69.

Review problem. There are (one can say) three coequal the-
ories of motion: Newton’s second law, stating that the total
force on an object causes its acceleration; the work–kinetic
energy  theorem,  stating  that  the  total  work  on  an  object
causes  its  change  in  kinetic  energy;  and  the  impulse–mo-
mentum  theorem,  stating  that  the  total  impulse  on  an
object causes its change in momentum. In this problem, you
compare predictions of the three theories in one particular
case. A 3.00-kg object has velocity 7.00ˆ

j m/s. Then, a total

force 12.0ˆ

i N acts on the object for 5.00 s. (a) Calculate the

object’s  final  velocity,  using  the  impulse–momentum  theo-
rem.  (b)  Calculate  its  acceleration  from 

a ! (v

f

"

v

i

)/(t.

(c)  Calculate  its  acceleration  from 

a ! "F/m.  (d)  Find 

the  object’s  vector  displacement  from 

. 

(e)  Find  the  work  done  on  the  object  from 
(f) Find  the  final  kinetic  energy  from 
(g) Find the final kinetic energy from 

70.

A rocket has total mass M

i

!

360 kg, including 330 kg

of fuel and oxidizer. In interstellar space it starts from rest.
Its  engine  is  turned  on  at  time  t ! 0,  and  it  puts  out  ex-
haust  with  relative  speed  v

e

!

1 500 m/s  at  the  constant

rate  2.50 kg/s.  The  burn  lasts  until  the  fuel  runs  out,  at
time  330 kg/(2.5 kg/s) ! 132 s.  Set  up  and  carry  out  a
computer  analysis  of  the  motion  according  to  Euler’s
method.  Find  (a)  the  final  velocity  of  the  rocket  and 
(b) the distance it travels during the burn.

71.

A chain of length L and total mass M is released from rest
with its lower end just touching the top of a table, as in Fig-
ure  P9.71a.  Find  the  force  exerted  by  the  table  on  the
chain after the chain has fallen through a distance x, as in
Figure P9.71b. (Assume each link comes to rest the instant
it reaches the table.)

1

2

mv

i

 

2

#

W.

1

2

mv

f

 

2

!

1

2

m

v

f

)

v

f

.

W !

F)(r.

(

r ! v

i

t #

1

2

at

2

72.

Sand  from  a  stationary  hopper  falls  onto  a  moving  con-
veyor belt at the rate of 5.00 kg/s as in Figure P9.72. The
conveyor belt is supported by frictionless rollers and moves
at a constant speed of 0.750 m/s under the action of a con-
stant horizontal external force 

F

ext

supplied by the motor

that drives the belt. Find (a) the sand’s rate of change of
momentum  in  the  horizontal  direction,  (b)  the  force  of
friction  exerted  by  the  belt  on  the  sand,  (c)  the  external
force 

F

ext

,  (d)  the  work  done  by 

F

ext

in  1  s,  and  (e)  the

kinetic  energy  acquired  by  the  falling  sand  each  second
due  to  the  change  in  its  horizontal  motion.  (f )  Why  are
the answers to (d) and (e) different?

73.

A  golf  club  consists  of  a  shaft  connected  to  a  club  head.
The golf club can be modeled as a uniform rod of length !
and  mass  m

1

extending  radially  from  the  surface  of  a

sphere of radius R and mass m

2

. Find the location of the

club’s  center  of  mass,  measured  from  the  center  of  the
club head.

Answers to Quick Quizzes

9.1 (d). Two identical objects (m

1

!

m

2

) traveling at the same

speed  (v

1

!

v

2

)  have  the  same  kinetic  energies  and  the

same magnitudes of momentum. It also is possible, however,
for particular combinations of masses and velocities to sat-
isfy  K

1

!

K

2

but  not  p

1

!

p

2

.  For  example,  a  1-kg  object

moving at 2 m/s has the same kinetic energy as a 4-kg object
moving at 1 m/s, but the two clearly do not have the same
momenta.  Because  we  have  no  information  about  masses
and speeds, we cannot choose among (a), (b), or (c).

9.2 (b), (c), (a). The slower the ball, the easier it is to catch. If

the  momentum  of  the  medicine  ball  is  the  same  as  the
momentum of the baseball, the speed of the medicine ball
must be 1/10 the speed of the baseball because the medi-
cine ball has 10 times the mass. If the kinetic energies are
the same, the speed of the medicine ball must be 
the  speed  of  the  baseball  because  of  the  squared  speed
term in the equation for K. The medicine ball is hardest
to catch when it has the same speed as the baseball.

9.3 (c). The ball and the Earth exert forces on each other, so

neither is an isolated system. We must include both in the
system so that the interaction force is internal to the system.

9.4 (c).  From  Equation  9.4,  if 

p

1

#

p

2

!

constant,  then  it

follows that (

p

1

# (

p

2

!

0 and (

p

1

! " (

p

2

. While the

change  in  momentum  is  the  same,  the  change  in  the
velocity is a lot larger for the car!

9.5 (c) and (e). Object 2 has a greater acceleration because

of its smaller mass. Therefore, it takes less time to travel
the distance d. Even though the force applied to objects 1
and 2 is the same, the change in momentum is less for ob-
ject  2  because  (t is  smaller.  The  work  W ! Fd done  on

1/

√

10

L – x

x

L

(a)

(b)

Figure P9.71

0.750 m/s

F

ext

Figure P9.72

Problems

291

both  objects  is  the  same  because  both  F and  d are  the
same in the two cases. Therefore, K

1

!

K

2

.

9.6 (b) and (d). The same impulse is applied to both objects,

so they experience the same change in momentum. Ob-
ject  2  has  a  larger  acceleration  due  to  its  smaller  mass.
Thus, the distance that object 2 covers in the time interval
(

t is larger than that for object 1. As a result, more work

is done on object 2 and K

2

%

K

1

.

9.7 (a)  All  three  are  the  same.  Because  the  passenger  is

brought  from  the  car’s  initial  speed  to  a  full  stop,  the
change in momentum (equal to the impulse) is the same
regardless  of  what  stops  the  passenger.  (b)  Dashboard,
seatbelt,  airbag.  The  dashboard  stops  the  passenger  very
quickly  in  a  front-end  collision,  resulting  in  a  very  large
force.  The  seatbelt  takes  somewhat  more  time,  so  the
force is smaller. Used along with the seatbelt, the airbag
can extend the passenger’s stopping time further, notably
for his head, which would otherwise snap forward.

9.8 (a). If all of the initial kinetic energy is transformed, then

nothing  is  moving  after  the  collision.  Consequently,  the
final  momentum  of  the  system  is  necessarily  zero  and,
therefore,  the  initial  momentum  of  the  system  must  be
zero.  While  (b)  and  (d)  together would  satisfy  the  con-
ditions, neither one alone does.

9.9 (b).  Because  momentum  of  the  two-ball  system  is  con-

served, 

p

Ti

#

0 !

p

Tf

#

p

B

. Because the table-tennis ball

bounces back from the much more massive bowling ball
with  approximately  the  same  speed, 

p

Tf

! "

p

Ti

.  As  a

consequence, 

p

B

!

2

p

Ti

. Kinetic energy can be expressed

as  K ! p

2

/2m.  Because  of  the  much  larger  mass  of  the

bowling ball, its kinetic energy is much smaller than that
of the table-tennis ball.

9.10 (b).  The  piece  with  the  handle  will  have  less  mass  than

the piece made up of the end of the bat. To see why this is
so, take the origin of coordinates as the center of mass be-
fore  the  bat  was  cut.  Replace  each  cut  piece  by  a  small
sphere located at the center of mass for each piece. The
sphere representing the handle piece is farther from the
origin, but the product of less mass and greater distance
balances the product of greater mass and less distance for
the end piece:

9.11 (a).  This  is  the  same  effect  as  the  swimmer  diving  off  the

raft that we just discussed. The vessel–passengers system is
isolated.  If  the  passengers  all  start  running  one  way,  the
speed  of  the  vessel  increases  (a  small amount!)  the  other
way.

9.12 (b).  Once  they  stop  running,  the  momentum  of  the  sys-

tem  is  the  same  as  it  was  before  they  started  running—
you cannot change the momentum of an isolated system
by means of internal forces. In case you are thinking that
the passengers could do this over and over to take advan-
tage of the speed increase while they are running, remem-
ber  that  they  will  slow  the  ship  down  every  time  they
return to the bow!

292

Chapter 10

Rotation of a Rigid Object

About a Fixed Axis

C H A P T E R   O U T L I N E

10.1 Angular Position, Velocity,

and Acceleration

10.2 Rotational Kinematics:

Rotational Motion with
Constant Angular Acceleration

10.3 Angular and Linear Quantities

10.4 Rotational Kinetic Energy

10.5 Calculation of Moments

of Inertia

10.6 Torque

10.7 Relationship Between Torque

and Angular Acceleration

10.8 Work, Power, and Energy in

Rotational Motion

10.9 Rolling Motion of a Rigid

Object

▲

The Malaysian pastime of gasing involves the spinning of tops that can have masses up

to 20 kg. Professional spinners can spin their tops so that they might rotate for hours before
stopping. We will study the rotational motion of objects such as these tops in this chapter.
(Courtesy Tourism Malaysia)