Physics For Scientists And Engineers 6E - part 76

SECTION 10.4 •  Rotational Kinetic Energy

301

Quick  Quiz  10.7

A  section  of  hollow  pipe  and  a  solid  cylinder  have  the

same  radius,  mass,  and  length.  They  both  rotate  about  their  long  central  axes  with
the same angular speed. Which object has the higher rotational kinetic energy? (a) the
hollow  pipe  (b)  the  solid  cylinder  (c)  they  have  the  same  rotational  kinetic  energy
(d) impossible to determine.

Example 10.3 The Oxygen Molecule

Consider an oxygen molecule (O

2

) rotating in the xy plane

about the z axis. The rotation axis passes through the center
of  the  molecule,  perpendicular  to  its  length.  The  mass  of
each  oxygen  atom  is  2.66 + 10

%

26

kg,  and  at  room

temperature the average separation between the two atoms is
d " 1.21 + 10

%

10

m.  (The  atoms  are  modeled  as  particles.)

(A)

Calculate the moment of inertia of the molecule about

the z axis.

Solution This is a straightforward application of the defini-
tion  of  I.  Because  each  atom  is  a  distance  d/2  from  the  z
axis, the moment of inertia about the axis is

 "

(2.66 + 10

%

26

 kg)(1.21 + 10

%

10

 m)

2

2

I "

%

i

 

m

i

 

r

i

 

2

"

m 

#

d
2

$

2

)

m 

#

d
2

$

2

"

md

 

2

2

"

This  is  a  very  small  number,  consistent  with  the  minuscule
masses and distances involved.

(B)

If  the  angular  speed  of  the  molecule  about  the  z

axis is  4.60 + 10

12

rad/s,  what  is  its  rotational  kinetic

energy?

Solution We apply the result we just calculated for the mo-
ment of inertia in the equation for K

R

:

" 2.06 + 10

%

21

 J

 "

1

2

(1.95 + 10

%

46

 kg,m

2

)(4.60 + 10

12

 rad/s)

2

K

R

 "

1

2

 

I&

2

1.95 + 10

%

46

 kg,m

2

Example 10.4 Four Rotating Objects

Four  tiny  spheres  are  fastened  to  the  ends  of  two  rods  of
negligible mass lying in the xy plane (Fig. 10.8). We shall as-
sume that the radii of the spheres are small compared with
the dimensions of the rods.

(A)

If the system rotates about the y axis (Fig. 10.8a) with an

angular  speed  &,  find  the  moment  of  inertia  and  the  rota-
tional kinetic energy about this axis.

Solution First, note that the two spheres of mass m, which
lie on the y axis, do not contribute to I

y

(that is, r

i

"

0 for

these spheres about this axis). Applying Equation 10.15, we
obtain

Therefore, the rotational kinetic energy about the y axis is

The  fact  that  the  two  spheres  of  mass  m do  not  enter  into
this result makes sense because they have no motion about
the  axis  of  rotation;  hence,  they  have  no  rotational  kinetic
energy.  By  similar  logic,  we  expect  the  moment  of  inertia
about the x axis to be I

x

"

2mb

2

with a rotational kinetic en-

ergy about that axis of K

R

"

mb

2

&

2

.

Ma

2

&

2

K

R

"

1

2

 

I

y

&

2

"

1

2

(2Ma

2

)&

2

"

2Ma

2

I

y

"

%

i

 

m

i

 

r

i

 

2

"

Ma

2

)

Ma

2

"

(B)

Suppose  the  system  rotates  in  the  xy plane  about  an

axis (the z axis) through O (Fig. 10.8b). Calculate the mo-
ment  of  inertia  and  rotational  kinetic  energy  about  this
axis.

Solution Because  r

i

in  Equation  10.15  is  the  distance  be-

tween a sphere and the axis of rotation, we obtain

"

Comparing  the  results  for  parts  (A)  and  (B),  we  con-

clude  that  the  moment  of  inertia  and  therefore  the  rota-
tional kinetic energy associated with a given angular speed
depend on the axis of rotation. In part (B), we expect the
result to include all four spheres and distances because all
four  spheres  are  rotating  in  the  xy plane.  Furthermore,
the  fact  that  the  rotational  kinetic  energy  in  part  (A)  is
smaller  than  that  in  part  (B)  indicates,  based  on  the
work–kinetic  energy  theorem,  that  it  would  require  less
work to set the system into rotation about the y axis than
about the z axis.

(Ma

2

)

mb

2

)&

2

K

R

"

1

2

 

I

z

&

2

"

1

2

(2Ma

2

)

2mb

2

)&

2

"

2Ma

2

)

2mb

2

I

z

"

%

i

 

m

i

 

r

i

 

2

"

Ma

2

)

Ma

2

)

mb

2

)

mb

2

302

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

m

m

M

M

O

a

a

b

b

(b)

Figure 10.8 (Example 10.4) Four spheres form an unusual baton. (a) The baton is

rotated about the y axis. (b) The baton is rotated about the z axis.

What If?

What if the mass M is much larger than m? How

do the answers to parts (A) and (B) compare?

Answer If  M -- m,  then  m can  be  neglected  and  the
moment  of  inertia  and  rotational  kinetic  energy  in  part
(B) become

I

z

"

2Ma

2

and

K

R

"

Ma

2

&

2

which are the same as the answers in part (A). If the masses
m of the two red spheres in Figure 10.8 are negligible, then
these spheres can be removed from the figure and rotations
about the y and z axes are equivalent.

10.5 Calculation of Moments of Inertia

We can evaluate the moment of inertia of an extended rigid object by imagining the
object to be divided into many small volume elements, each of which has mass $m

i

. We 

use the definition 

and take the limit of this sum as $m

i

:

0. In this limit, 

the sum becomes an integral over the volume of the object:

(10.17)

It is usually easier to calculate moments of inertia in terms of the volume of the ele-

ments rather than their mass, and we can easily make that change by using Equation 1.1,
. "

m/V, where . is the density of the object and V is its volume. From this equation, the

mass of a small element is dm " . dV. Substituting this result into Equation 10.17 gives

If the object is homogeneous, then . is constant and the integral can be evaluated for a
known geometry. If . is not constant, then its variation with position must be known to
complete the integration.

The density given by . "

m/V sometimes is referred to as volumetric mass density be-

cause it represents mass per unit volume. Often we use other ways of expressing den-
sity. For instance, when dealing with a sheet of uniform thickness t, we can define a sur-
face  mass  density / " .t,  which  represents  mass  per  unit  area. Finally,  when  mass  is
distributed along a rod of uniform cross-sectional area A, we sometimes use linear mass
density 0 " M/L " .A, which is the mass per unit length.

I "

&

 .r

2

 dV

I " lim

$

m

i

:

0

 

%

i

 

r

i

 

2

$

m

i

"

&

 

r

 

2

 dm

I "

%

i

 r

i

 

2

$

m

i

Moment of inertia of a rigid

object

y

m

m

M

M

a

a

b

b

x

(a)

SECTION 10.5 •  Calculation of Moments of Inertia

303

Example 10.5 Uniform Thin Hoop

Find the moment of inertia of a uniform thin hoop of mass
M and radius R about an axis perpendicular to the plane of
the hoop and passing through its center (Fig. 10.9).

Solution Because  the  hoop  is  thin,  all  mass  elements  dm
are the same distance r " R from the axis, and so, applying
Equation 10.17, we obtain for the moment of inertia about
the z axis through O:

Note that this moment of inertia is the same as that of a sin-
gle particle of mass M located a distance R from the axis of
rotation.

MR

 

2

I

z

"

&

 

r

 

2 

dm " R

2

 

&

 

dm "

y

x

R

O

dm

Figure 10.9 (Example 10.5) The mass elements dm of a

uniform hoop are all the same distance from O.

Example 10.6 Uniform Rigid Rod

Calculate  the  moment  of  inertia  of  a  uniform  rigid  rod  of
length L and mass M (Fig. 10.10) about an axis perpendicular
to the rod (the y axis) and passing through its center of mass.

Solution The shaded length element dx in Figure 10.10 has a
mass dm equal to the mass per unit length 0 multiplied by dx:

Substituting this expression for dm into Equation 10.17, with
r

2

"

x

2

, we obtain

1

12

 ML

2

  "

M

L

 

 

'

x

 

3

3

(

L/2

%

L/2

"

I

y

"

&

 r

 

 

2 

dm "

&

L/2

%

L/2

 

x

 

2

 

M

L

 dx "

M

L

 

&

L/2

%

L/2

 

x

 

2 

dx

dm " 0 dx "

M

L

 dx

L

x

O

x

dx

y

′

y

Figure 10.10 (Example 10.6) A uniform rigid rod of

length L. The moment of inertia about the y axis is less than

that about the y1 axis. The latter axis is examined in

Example 10.8.

Example 10.7 Uniform Solid Cylinder

A uniform solid cylinder has a radius R, mass M, and length
L. Calculate its moment of inertia about its central axis (the
z axis in Fig. 10.11).

Solution It is convenient to divide the cylinder into many
cylindrical  shells,  each  of  which  has  radius  r,  thickness  dr,
and  length  L,  as  shown  in  Figure  10.11.  The  volume  dV of
each shell is its cross-sectional area multiplied by its length:
dV " LdA " L(2#r)dr. If the mass per unit volume is ., then
the  mass  of  this  differential  volume  element  is  dm "
.

dV " 2#.Lr dr.  Substituting  this  expression  for  dm into

Equation 10.17, we obtain

Because the total volume of the cylinder is #R

2

L, we see that

. "

M/V " M/#R

2

L.  Substituting  this  value  for  . into  the

above result gives

I

z

"

1

2

MR

2

I

z

"

&

 

r

 

2

 dm "

&

 

r

 

2

(2#.Lr dr) " 2#.L 

&

R

0

 

r

 

3

dr "

1

2

#.

LR

4

What If?

What if the length of the cylinder in Figure 10.11 is

increased  to  2L, while  the  mass  M and  radius  R are  held
fixed?  How  does  this  change  the  moment  of  inertia  of  the
cylinder?

L

dr

z

r

R

Figure 10.11 (Example 10.7) Calculating I about the z axis for

a uniform solid cylinder.

304

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Hoop or thin

cylindrical shell
I

 

CM

 = MR

2

R

Solid cylinder

or disk

R

I

 

CM

 = 1

2

MR

2

Long thin rod

with rotation axis

through center

I

 

CM

 = 1

12

ML

2

L

R

Solid sphere

I

 

CM

 = 2

5

MR

2

Hollow cylinder

R

2

Long thin

rod with

rotation axis

through end

L

Thin spherical

shell
I

 

CM

 = 2

3

MR

 

2

R

1

I

 

CM

 = 1

2

M(R

1

2

 + R

2

2

)

R

Rectangular plate

I

 

CM

 = 1

12

M(a

2

 + b

2

)

b

a

I = 1

3

ML

2

Moments of Inertia of Homogeneous Rigid Objects 
with Different Geometries

Table 10.2

Answer Note that the result for the moment of inertia of a
cylinder does not depend on L, the length of the cylinder.
In other words, it applies equally well to a long cylinder and

a flat disk having the same mass M and radius R. Thus, the
moment of inertia of the cylinder would not be affected by
changing its length.

Table  10.2  gives  the  moments  of  inertia  for  a  number  of  objects  about  specific  axes.
The moments of inertia of rigid objects with simple geometry (high symmetry) are rel-
atively easy to calculate provided the rotation axis coincides with an axis of symmetry.
The  calculation  of  moments  of  inertia  about  an  arbitrary  axis  can  be  cumbersome,
however, even for a highly symmetric object. Fortunately, use of an important theorem,
called  the 

parallel-axis  theorem, often  simplifies  the  calculation.  Suppose  the

moment of inertia about an axis through the center of mass of an object is I

CM

. The

parallel-axis theorem states that the moment of inertia about any axis parallel to and
a distance D away from this axis is

(10.18)

To  prove  the  parallel-axis  theorem,  suppose  that  an  object  rotates  in  the  xy plane
about the z axis, as shown in Figure 10.12, and that the coordinates of the center of
mass  are  x

CM

,  y

CM

.  Let  the  mass  element  dm have  coordinates  x,  y.  Because  this

I " I

CM

)

MD

2

Parallel-axis theorem