Physics For Scientists And Engineers 6E - part 78

SECTION 10.7 •  Relationship Between Torque and Angular Acceleration

309

Quick Quiz 10.10

You turn off your electric drill and find that the time in-

terval for the rotating bit to come to rest due to frictional torque in the drill is $t. You
replace the bit with a larger one that results in a doubling of the moment of inertia of
the entire rotating mechanism of the drill. When this larger bit is rotated at the same
angular speed as the first and the drill is turned off, the frictional torque remains the
same as that for the previous situation. The time for this second bit to come to rest is
(a) 4$t (b) 2$t (c) $t (d) 0.5$t (e) 0.25$t (f) impossible to determine.

Example 10.10 Rotating Rod

A  uniform  rod  of  length  L and  mass  M is  attached  at  one
end  to  a  frictionless  pivot  and  is  free  to  rotate  about  the
pivot in the vertical plane, as in Figure 10.18. The rod is re-
leased from rest in the horizontal position. What is the ini-
tial angular acceleration of the rod and the initial linear ac-
celeration of its right end?

Solution We cannot use our kinematic equations to find (
or  a because  the  torque  exerted  on  the  rod  varies  with  its
angular position and so neither acceleration is constant. We
have enough information to find the torque, however, which
we can then use in Equation 10.21 to find the initial ( and
then the initial a.

The only force contributing to the torque about an axis

through  the  pivot  is  the  gravitational  force  M

g exerted on

the rod. (The force exerted by the pivot on the rod has zero
torque about the pivot because its moment arm is zero.) To
compute the torque on the rod, we assume that the gravita-
tional force acts at the center of mass of the rod, as shown in
Figure 10.18. The magnitude of the torque due to this force
about an axis through the pivot is

With  2 " I(,  and 

for  this  axis  of  rotation  (see

Table 10.2), we obtain

All points on the rod have this initial angular acceleration.

To find the initial linear acceleration of the right end of

the  rod,  we  use  the  relationship  a

t

"

r( (Eq.  10.11),  with

r " L:

 

3

2

 

g

a

t

"

L( "

3g

2L

(1)

            ( "

2

I

"

Mg(L/2)

1

3

 

ML

2

"

I  "

1

3

 

ML

2

%

2 "

Mg

  

#

L

2

$

What  If?

What  if  we  were  to  place  a  penny  on  the  end  of

the rod and release the rod? Would the penny stay in contact
with the rod?

Answer The  result  for  the  initial  acceleration  of  a  point
on the end of the rod shows that a

t

-

g. A penny will fall at

acceleration g. This means that if we place a penny at the
end of the rod and then release the rod, the end of the rod
falls  faster  than  the  penny  does!  The  penny  does  not  stay
in contact with the rod. (Try this with a penny and a meter
stick!)

This raises the question as to the location on the rod at

which we can place a penny that will stay in contact as both
begin to fall. To find the linear acceleration of an arbitrary
point on the rod at a distance r * L from the pivot point, we
combine (1) with Equation 10.11:

For  the  penny  to  stay  in  contact  with  the  rod,  the  limiting
case is that the linear acceleration must be equal to that due
to gravity:

Thus, a penny placed closer to the pivot than two thirds of
the length of the rod will stay in contact with the falling rod
while a penny farther out than this point will lose contact.

r "

2

3

 

L

a

t

"

g "

3g

2L

 r

a

t 

"

r

 

( "

3g

2L

 r

L

Pivot

Mg

Figure 10.18 (Example 10.10) A rod is free to rotate around a

pivot at the left end.

310

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Example 10.12 Angular Acceleration of a Wheel

A  wheel  of  radius  R,  mass  M,  and  moment  of  inertia  I is
mounted on a frictionless horizontal axle, as in Figure 10.20.
A light cord wrapped around the wheel supports an object of
mass m. Calculate the angular acceleration of the wheel, the
linear acceleration of the object, and the tension in the cord.

Solution The magnitude of the torque acting on the wheel
about its axis of rotation is 2 " TR, where T is the force ex-
erted  by  the  cord  on  the  rim  of  the  wheel.  (The  gravita-
tional force exerted by the Earth on the wheel and the nor-
mal  force  exerted  by  the  axle  on  the  wheel  both  pass
through the axis of rotation and thus produce no torque.)
Because  2 " I(, we obtain

Now let us apply Newton’s second law to the motion of the
object, taking the downward direction to be positive:

Equations  (1)  and  (2)  have  three  unknowns:  (,  a,  and  T. 
Because the object and wheel are connected by a cord that
does  not  slip,  the  linear  acceleration  of  the  suspended 
object  is  equal  to  the  tangential  acceleration  of  a  point  on
the rim of the wheel. Therefore, the angular acceleration (
of  the  wheel  and  the  linear  acceleration  of  the  object  are 
related  by  a " R (.  Using  this  fact  together  with  Equations
(1) and (2), we obtain

(4)

T "

mg

1 ) (mR

2

/I )

(3)

            a " R( "

TR

2

I

"

mg % T

m

(2)

            a "

mg % T

m

%

 F

y 

"

mg % T " ma

(1)

             ( "

TR

I

%

 2 " I( " TR

%

Figure 10.19 (Conceptual Example 10.11) A falling

smokestack breaks at some point along its length.

Conceptual Example 10.11 Falling Smokestacks and Tumbling Blocks

When a tall smokestack falls over, it often breaks somewhere
along its length before it hits the ground, as shown in Figure
10.19.  The  same  thing  happens  with  a  tall  tower  of  chil-
dren’s toy blocks. Why does this happen?

Solution As the smokestack rotates around its base, each
higher portion of the smokestack falls with a larger tangen-
tial acceleration than the portion below it. (The tangential
acceleration of a given point on the smokestack is propor-
tional  to  the  distance  of  that  portion  from  the  base.)  As
the  angular  acceleration  increases  as  the  smokestack  tips
farther,  higher  portions  of  the  smokestack  experience  an
acceleration  greater  than  that  which  could  result  from
gravity  alone;  this  is  similar  to  the  situation  described  in
Example 10.10. This can happen only if these portions are
being pulled downward by a force in addition to the gravi-
tational  force.  The  force  that  causes  this  to  occur  is  the
shear force from lower portions of the smokestack. Eventu-
ally  the  shear  force  that  provides  this  acceleration  is
greater than the smokestack can withstand, and the smoke-
stack breaks.

Interactive

M

O

R

T

m g

m

T

Figure 10.20 (Example 10.12) An object hangs from a cord

wrapped around a wheel. 

SECTION 10.7 •  Relationship Between Torque and Angular Acceleration

311

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can change the masses of the object and the wheel
as well as the radius of the wheel to see the effect on how the system moves.

Substituting Equation (4) into Equation (2) and solving for
a and (, we find that

(5)

a "

What  If?

What  if  the  wheel  were  to  become  very  massive

so that I becomes very large? What happens to the accelera-
tion a of the object and the tension T?

Answer If  the  wheel  becomes  infinitely  massive,  we  can
imagine that the object of mass m will simply hang from the
cord without causing the wheel to rotate.

g

R ) (I/mR)

( "

a

R

"

 

g

1 ) (I/mR

2

)

We  can  show  this  mathematically  by  taking  the  limit

I : 4, so that Equation (5) becomes

This agrees with our conceptual conclusion that the object
will hang at rest. We also find that Equation (4) becomes

This is consistent with the fact that the object simply hangs
at  rest  in  equilibrium  between  the  gravitational  force  and
the tension in the string.

T "

mg

1 ) (mR

2

/I )

      9:      

mg

1 ) 0

"

mg

a "

g

1 ) (I/mR

2

)

      9:       0

Example 10.13 Atwood’s Machine Revisited

Two blocks having masses m

1

and m

2

are connected to each

other by a light cord that passes over two identical friction-
less pulleys, each having a moment of inertia I and radius R,
as  shown  in  Figure  10.21a.  Find  the  acceleration  of  each
block and the tensions T

1

, T

2

, and T

3

in the cord. (Assume

no slipping between cord and pulleys.)

Solution Compare this situation with the Atwood machine
of Example 5.9 (p. 129). The motion of m

1

and m

2

is similar

to  the  motion  of  the  two  blocks  in  that  example.  The  pri-
mary  differences  are  that  in  the  present  example  we  have
two pulleys and each of the pulleys has mass. Despite these
differences, the apparatus in the present example is indeed
an Atwood machine.

We  shall  define  the  downward  direction  as  positive  for

m

1

and upward as the positive direction for m

2

. This allows

us  to  represent  the  acceleration  of  both  masses  by  a  single
variable a and also enables us to relate a positive a to a posi-
tive  (counterclockwise)  angular  acceleration  ( of  the  pul-
leys.  Let  us  write  Newton’s  second  law  of  motion  for  each
block,  using  the  free-body  diagrams  for  the  two  blocks  as
shown in Figure 10.21b:

(1)

m

1

g % T

1

"

m

1

a

(2)

T

3

%

m

2

g " m

2

a

Next,  we  must  include  the  effect  of  the  pulleys  on  the

motion. Free-body diagrams for the pulleys are shown in Fig-
ure 10.21c. The net torque about the axle for the pulley on
the left is (T

1

%

T

2

)R, while the net torque for the pulley on

the right is (T

2

%

T

3

)R. Using the relation 52 " I( for each

pulley and noting that each pulley has the same angular ac-
celeration (, we obtain

(3)

(T

1

%

T

2

)R " I(

(4)

(T

2

%

T

3

)R " I(

We  now  have  four  equations  with  five  unknowns:  (,  a,  T

1

,

T

2

, and T

3

. We also have a fifth equation that relates the ac-

celerations, a " R(. These equations can be solved simulta-
neously. Adding Equations (3) and (4) gives

(5)

(T

1

%

T

3

)R " 2I(

Adding Equations (1) and (2) gives

T

3

%

T

1

)

m

1

g % m

2

g " (m

1

)

m

2

)a

(6)

T

1

%

T

3

"

(m

1

%

m

2

)g % (m

1

)

m

2

)a

Substituting Equation (6) into Equation (5), we have

[(m

1

%

m

2

)g % (m

1

)

m

2

)a]R " 2I(

T

2

T

2

T

1

T

3

T

2

T

1

T

3

m

1

g

(a)

m

2

g

(b)

n

1

T

1

m

p

g

n

2

T

3

m

p

g

(c)

m

1

m

1

m

2

m

2

+

+

Figure 10.21 (Example 10.13) (a) Another look at Atwood’s

machine. (b) Free-body diagrams for the blocks. (c) Free-body

diagrams for the pulleys, where m

p

g represents the gravitational

force acting on each pulley.

Interactive

312

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Because ( " a/R, this expression can be simplified to

(7)

a "

Note  that  if  m

1

-

m

2

,  the  acceleration  is  positive;  this

means  that  the  left  block  accelerates  downward,  the  right
block  accelerates  upward,  and  both  pulleys  accelerate
counterclockwise.  If  m

1

*

m

2

,  the  acceleration  is  negative

and the motions are reversed. If m

1

"

m

2

, no acceleration

occurs at all. You should compare these results with those
found in Example 5.9.

The expression for a can be substituted into Equations

(1) and (2) to give T

1

and T

3

. From Equation (1),

Similarly, from Equation (2),

Finally, T

2

can be found from Equation (3):

T

3

"

m

2

g ) m

2

a " 2m

2

g

  

#

 

m

1

)

(I/R

2

)

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

$

 " 2m

1

g

  

#

 

m

2

)

(I/R

2

)

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

$

 " m

1

#

g %

(m

1

%

m

2

)g

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

$

T

1 

"

m

1

g % m

1

a " m

1

(g % a)

 

(m

1

%

m

2

)g

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

(m

1

%

m

2

)g % (m

1

)

m

2

)a " 2I 

a

R

2

What  If?

What if the pulleys become massless? Does this

reduce to a previously solved problem?

Answer If  the  pulleys  become  massless,  the  system
should  behave  in  the  same  way  as  the  massless-pulley
Atwood machine that we investigated in Example 5.9. The
only  difference  is  the  existence  of  two  pulleys  instead
of one.

Mathematically, if I : 0, Equation (7) becomes

which is the same result as Equation (3) in Example 5.9. Al-
though the expressions for the three tensions in the present
example are different from each other, all three expressions
become, in the limit I : 0,

which is the same as Equation (4) in Example 5.9.

T "

#

2m

1

m

2

m

1

)

m

2

$

 g

a "

(m

1

%

m

2

)g

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

      9:       a "

#

m

1

%

m

2

m

1

)

m

2

$

 g

"

2m

1

m

2

)

(m

1

)

m

2

)(I/R

2

)

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

 

 g

%

I

R

2

  

#

 

(m

1

%

m

2

)g

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

$

"

2m

1

g

  

#

m

2

)

(I/R

2

)

m

1

)

m

2

)

2(I/R

2

)

$

T

2

"

T

1

%

I(

R

"

T

1

%

Ia

R

2

 

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can change the masses of the blocks and the pul-
leys to see the effect on the motion of the system.

10.8 Work, Power, and Energy 

in Rotational Motion

Up to this point in our discussion of rotational motion in this chapter, we focused
on an approach involving force, leading to a description of torque on a rigid object.
We  now  see  how  an  energy  approach  can  be  useful  to  us  in  solving  rotational
problems.

We begin by considering the relationship between the torque acting on a rigid ob-

ject and its resulting rotational motion in order to generate expressions for power and
a rotational analog to the work–kinetic energy theorem. Consider the rigid object piv-
oted at O in Figure 10.22. Suppose a single external force 

F is applied at P, where F lies

in the plane of the page. The work done by 

F on the object as it rotates through an in-

finitesimal distance ds " r d! is

where F sin 3 is the tangential component of 

F, or, in other words, the component of

the force along the displacement. Note that the radial component of

F does no work because

it is perpendicular to the displacement.

dW "

F,ds " (F sin 3)r d!

φ

O

P

r

d

ds

F

θ

Figure 10.22 A rigid object rotates

about an axis through O under the

action of an external force 

F

applied at P.