Physics For Scientists And Engineers 6E - part 81

The rate at which work is done by an external force in rotating a rigid object about

a fixed axis, or the 

power delivered, is

(10.23)

If work is done on a rigid object and the only result of the work is rotation about a

fixed  axis,  the  net  work  done  by  external  forces  in  rotating  the  object  equals  the
change in the rotational kinetic energy of the object:

(10.24)

The 

total kinetic energy of a rigid object rolling on a rough surface without slip-

ping  equals  the  rotational  kinetic  energy  about  its  center  of  mass, 

,  plus  the

translational kinetic energy of the center of mass, 

:

(10.28)

K "

1

2

 

I

CM

&

 

2

)

1

2

 

Mv

CM

 

2

1

2

 

Mv

CM

 

2

1

2

 

I

 

CM

&

 

2

%

 W "

1

2

 

I&

f

 

2

%

1

2

 

I&

i

 

2

! " 2&

Questions

321

What is the angular speed of the second hand of a clock?
What is the direction of " as you view a clock hanging on a
vertical wall? What is the magnitude of the angular acceler-
ation vector # of the second hand?

2. One blade of a pair of scissors rotates counterclockwise in

the xy plane. What is the direction of "? What is the direc-
tion  of  # if  the  magnitude  of  the  angular  velocity  is  de-
creasing in time?

3. Are the kinematic expressions for !, &, and ( valid when

the angular position is measured in degrees instead of in
radians?

4. If a car’s standard tires are replaced with tires of larger out-

side  diameter,  will  the  reading  of  the  speedometer
change? Explain.

5. Suppose  a " b and  M - m for  the  system  of  particles  de-

scribed in Figure 10.8. About which axis (x, y, or z) does the
moment of inertia have the smallest value? the largest value?

6. Suppose  that  the  rod  in  Figure  10.10  has  a  nonuniform

mass distribution. In general, would the moment of inertia
about the y axis still be equal to ML

2

/12? If not, could the

moment of inertia be calculated without knowledge of the
manner in which the mass is distributed?

7. Suppose  that  just  two  external  forces  act  on  a  stationary

rigid object and the two forces are equal in magnitude and
opposite in direction. Under what condition does the ob-
ject start to rotate?

8. Suppose  a  pencil  is  balanced  on  a  perfectly  frictionless

table. If it falls over, what is the path followed by the center
of mass of the pencil?

9. Explain how you might use the apparatus described in Ex-

ample  10.12  to  determine  the  moment  of  inertia  of  the
wheel. (If the wheel does not have a uniform mass density,
the moment of inertia is not necessarily equal to 

.)

10. Using the results from Example 10.12, how would you cal-

culate the angular speed of the wheel and the linear speed
of the suspended counterweight at t " 2 s, if the system is
released from rest at t " 0? Is the expression v " R& valid
in this situation?

1

2

 

MR

2

1.

11. If a small sphere of mass M were placed at the end of the

rod in Figure 10.24, would the result for & be greater than,
less than, or equal to the value obtained in Example 10.14?

12. Explain  why  changing  the  axis  of  rotation  of  an  object

changes its moment of inertia.

13. The moment of inertia of an object depends on the choice

of rotation axis, as suggested by the parallel-axis theorem.
Argue  that  an  axis  passing  through  the  center  of  mass  of
an  object  must  be  the  axis  with  the  smallest  moment  of
inertia.

14. Suppose  you  remove  two  eggs  from  the  refrigerator,  one

hard-boiled  and  the  other  uncooked.  You  wish  to  deter-
mine  which  is  the  hard-boiled  egg  without  breaking  the
eggs.  This  can  be  done  by  spinning  the  two  eggs  on  the
floor  and  comparing  the  rotational  motions.  Which  egg
spins faster? Which rotates more uniformly? Explain.

15. Which  of  the  entries  in  Table  10.2  applies  to  finding  the

moment  of  inertia  of  a  long  straight  sewer  pipe  rotating
about its axis of symmetry? Of an embroidery hoop rotat-
ing about an axis through its center and perpendicular to
its  plane?  Of  a  uniform  door  turning  on  its  hinges?  Of  a
coin turning about an axis through its center and perpen-
dicular to its faces?

16. Is it possible to change the translational kinetic energy of

an object without changing its rotational energy?

17. Must an object be rotating to have a nonzero moment of

inertia?
If  you  see  an  object  rotating,  is  there  necessarily  a  net
torque acting on it?

19. Can a (momentarily) stationary object have a nonzero an-

gular acceleration?
In  a  tape  recorder,  the  tape  is  pulled  past  the  read-and-
write  heads  at  a  constant  speed  by  the  drive  mechanism.
Consider  the  reel  from  which  the  tape  is  pulled.  As  the
tape is pulled from it, the radius of the roll of remaining
tape  decreases.  How  does  the  torque  on  the  reel  change
with time? How does the angular speed of the reel change
in time? If the drive mechanism is switched on so that the

20.

18.

Q U E S T I O N S

Section 10.1 Angular Position, Velocity, 

and Acceleration

1.

During a certain period of time, the angular position of a
swinging  door  is  described  by  ! " 5.00 ) 10.0t ) 2.00t

2

,

where ! is in radians and t is in seconds. Determine the an-
gular position, angular speed, and angular acceleration of
the door (a) at t " 0 (b) at t " 3.00 s.

Section 10.2 Rotational Kinematics: Rotational

Motion with Constant Angular
Acceleration

2. A dentist’s drill starts from rest. After 3.20 s of constant an-

gular acceleration, it turns at a rate of 2.51 + 10

4

rev/min.

(a)  Find  the  drill’s  angular  acceleration.  (b)  Determine
the angle (in radians) through which the drill rotates dur-
ing this period.
A wheel starts from rest and rotates with constant angular
acceleration  to  reach  an  angular  speed  of  12.0 rad/s  in
3.00 s. Find (a) the magnitude of the angular acceleration
of the wheel and (b) the angle in radians through which it
rotates in this time.

4. An  airliner  arrives  at  the  terminal,  and  the  engines  are

shut  off.  The  rotor  of  one  of  the  engines  has  an  initial
clockwise angular speed of 2 000 rad/s. The engine’s rota-
tion  slows  with  an  angular  acceleration  of  magnitude
80.0 rad/s

2

. (a) Determine the angular speed after 10.0 s.

(b) How long does it take the rotor to come to rest?

3.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

An  electric  motor  rotating  a  grinding  wheel  at

100 rev/min is switched off. With constant negative angu-
lar  acceleration  of  magnitude  2.00 rad/s

2

,  (a)  how  long

does it take the wheel to stop? (b) Through how many ra-
dians does it turn while it is slowing down?

6. A centrifuge in a medical laboratory rotates at an angular

speed of 3 600 rev/min. When switched off, it rotates 50.0
times before coming to rest. Find the constant angular ac-
celeration of the centrifuge.

7.

The tub of a washer goes into its spin cycle, starting from
rest and gaining angular speed steadily for 8.00 s, at which
time it is turning at 5.00 rev/s. At this point the person do-
ing the laundry opens the lid, and a safety switch turns off
the  washer.  The  tub  smoothly  slows  to  rest  in  12.0 s.
Through how many revolutions does the tub turn while it
is in motion?

8.

A  rotating  wheel  requires  3.00 s  to  rotate  through  37.0
revolutions.  Its  angular  speed  at  the  end  of  the  3.00-s
interval is 98.0 rad/s. What is the constant angular acceler-
ation of the wheel?

9. (a)  Find  the  angular  speed  of  the  Earth’s  rotation  on  its

axis.  As  the  Earth  turns  toward  the  east,  we  see  the  sky
turning toward the west at this same rate.
(b) The rainy Pleiads wester

And seek beyond the sea

The head that I shall dream of

That shall not dream of me.

–A. E. Housman (© Robert E. Symons)

5.

322

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

tape is suddenly jerked with a large force, is the tape more
likely  to  break  when  it  is  being  pulled  from  a  nearly  full
reel or from a nearly empty reel?

21. The  polar  diameter  of  the  Earth  is  slightly  less  than  the

equatorial diameter. How would the moment of inertia of
the  Earth  about  its  axis  of  rotation  change  if  some  mass
from  near  the  equator  were  removed  and  transferred  to
the polar regions to make the Earth a perfect sphere?

22. Suppose you set your textbook sliding across a gymnasium

floor  with  a  certain  initial  speed.  It  quickly  stops  moving
because of a friction force exerted on it by the floor. Next,
you start a basketball rolling with the same initial speed. It
keeps rolling from one end of the gym to the other. Why
does  the  basketball  roll  so  far?  Does  friction  significantly
affect its motion?

23. When  a  cylinder  rolls  on  a  horizontal  surface  as  in  Figure

10.28, do any points on the cylinder have only a vertical com-
ponent of velocity at some instant? If so, where are they?

24. Three  objects  of  uniform  density—a  solid  sphere,  a  solid

cylinder,  and  a  hollow  cylinder—are  placed  at  the  top  of

an incline (Fig. Q10.24). They are all released from rest at
the same elevation and roll without slipping. Which object
reaches the bottom first? Which reaches it last? Try this at
home  and  note  that  the  result  is  independent  of  the
masses and the radii of the objects.

25. In  a  soap-box  derby  race,  the  cars  have  no  engines;  they

simply coast down a hill to race with one another. Suppose
you are designing a car for a coasting race. Do you want to
use large wheels or small wheels? Do you want to use solid
disk-like wheels or hoop-like wheels? Should the wheels be
heavy or light?

Figure Q10.24 Which object wins the race?

Chain

Sprocket

Crank

Figure P10.14

Problems

323

Cambridge,  England,  is  at  longitude  0°,  and  Saskatoon,
Saskatchewan,  is  at  longitude  107° west.  How  much  time
elapses after the Pleiades set in Cambridge until these stars
fall below the western horizon in Saskatoon?

10.

A  merry-go-round  is  stationary.  A  dog  is  running  on  the
ground just outside its circumference, moving with a con-
stant  angular  speed  of  0.750 rad/s.  The  dog  does  not
change  his  pace  when  he  sees  what  he  has  been  looking
for: a bone resting on the edge of the merry-go-round one
third of a revolution in front of him. At the instant the dog
sees the bone (t " 0), the merry-go-round begins to move
in the direction the dog is running, with a constant angu-
lar acceleration of 0.015 0 rad/s

2

. (a) At what time will the

dog reach the bone? (b) The confused dog keeps running
and  passes  the  bone.  How  long  after  the  merry-go-round
starts to turn do the dog and the bone draw even with each
other for the second time?

Section 10.3 Angular and Linear Quantities

11. Make  an  order-of-magnitude  estimate  of  the  number  of

revolutions through which a typical automobile tire turns
in  1  yr.  State  the  quantities  you  measure  or  estimate  and
their values.

12. A racing car travels on a circular track of radius 250 m. If

the  car  moves  with  a  constant  linear  speed  of  45.0 m/s,
find (a) its angular speed and (b) the magnitude and di-
rection of its acceleration.
A wheel 2.00 m in diameter lies in a vertical plane and ro-
tates  with  a  constant  angular  acceleration  of  4.00 rad/s

2

.

The wheel starts at rest at t " 0, and the radius vector of a
certain  point  P on  the  rim  makes  an  angle  of  57.3° with
the horizontal at this time. At t " 2.00 s, find (a) the angu-
lar speed of the wheel, (b) the tangential speed and the to-
tal  acceleration  of  the  point  P,  and  (c)  the  angular  posi-
tion of the point P.

14. Figure  P10.14  shows  the  drive  train  of  a  bicycle  that  has

wheels  67.3 cm  in  diameter  and  pedal  cranks  17.5 cm
long.  The  cyclist  pedals  at  a  steady  angular  rate  of

13.

76.0 rev/min.  The  chain  engages  with  a  front  sprocket
15.2 cm in diameter and a rear sprocket 7.00 cm in diame-
ter. (a) Calculate the speed of a link of the chain relative
to  the  bicycle  frame.  (b)  Calculate  the  angular  speed  of
the  bicycle  wheels.  (c)  Calculate  the  speed  of  the  bicycle
relative to the road. (d) What pieces of data, if any, are not
necessary for the calculations?

15. A  discus  thrower  (Fig.  P10.15)  accelerates  a  discus  from

rest to a speed of 25.0 m/s by whirling it through 1.25 rev.
Assume the discus moves on the arc of a circle 1.00 m in
radius. (a) Calculate the final angular speed of the discus.
(b) Determine the magnitude of the angular acceleration
of the discus, assuming it to be constant. (c) Calculate the
time  interval  required  for  the  discus  to  accelerate  from
rest to 25.0 m/s.

16. A car accelerates uniformly from rest and reaches a speed

of 22.0 m/s in 9.00 s. If the diameter of a tire is 58.0 cm,
find (a) the number of revolutions the tire makes during
this motion, assuming that no slipping occurs. (b) What is
the final angular speed of a tire in revolutions per second?

A disk 8.00 cm in radius rotates at a constant rate of

1 200 rev/min about its central axis. Determine (a) its an-
gular  speed,  (b)  the  tangential  speed  at  a  point  3.00 cm
from  its  center,  (c)  the  radial  acceleration  of  a  point  on
the  rim,  and  (d)  the  total  distance  a  point  on  the  rim
moves in 2.00 s.

18.

A car traveling on a flat (unbanked) circular track acceler-
ates  uniformly  from  rest  with  a  tangential  acceleration  of
1.70 m/s

2

. The car makes it one quarter of the way around

the circle before it skids off the track. Determine the coef-
ficient  of  static  friction  between  the  car  and  track  from
these data.

19.

Consider a tall building located on the Earth’s equator. As
the Earth rotates, a person on the top floor of the building
moves faster than someone on the ground with respect to
an  inertial  reference  frame,  because  the  latter  person  is
closer  to  the  Earth’s  axis.  Consequently,  if  an  object  is
dropped from the top floor to the ground a distance h be-
low, it lands east of the point vertically below where it was
dropped. (a) How far to the east will the object land? Ex-
press your answer in terms of h, g, and the angular speed &
of  the  Earth.  Neglect  air  resistance,  and  assume  that  the
free-fall acceleration is constant over this range of heights.
(b)  Evaluate  the  eastward  displacement  for  h " 50.0 m. 
(c) In your judgment, were we justified in ignoring this as-
pect of the Coriolis effect in our previous study of free fall?

17.

Figure P10.15

Bruce A

yers/Stone/Getty

324

CHAPTE R 10 •  Rotation of a Rigid Object About a Fixed Axis

Section 10.4 Rotational Kinetic Energy

20. Rigid rods of negligible mass lying along the y axis connect

three  particles  (Fig.  P10.20).  If  the  system  rotates  about
the x axis with an angular speed of 2.00 rad/s, find (a) the
moment of inertia about the x axis and the total rotational
kinetic energy evaluated from 

and (b) the tangential

speed  of  each  particle  and  the  total  kinetic  energy  evalu-
ated from

.

%

 

1

2

m

i

v

i

 

2

1

2

 

I&

 

2

The four particles in Figure P10.21 are connected by

rigid rods of negligible mass. The origin is at the center of
the  rectangle.  If  the  system  rotates  in  the  xy plane  about
the z axis  with  an  angular  speed  of  6.00 rad/s,  calculate
(a) the  moment  of  inertia  of  the  system  about  the  z axis
and (b) the rotational kinetic energy of the system.

21.

22.

Two  balls  with  masses  M and  m are  connected  by  a  rigid
rod  of  length  L and  negligible  mass  as  in  Figure  P10.22.
For an axis perpendicular to the rod, show that the system
has the minimum moment of inertia when the axis passes

through the center of mass. Show that this moment of in-
ertia is I " 7L

2

, where 7 " mM/(m ) M ).

Section 10.5 Calculation of Moments of Inertia

23.

Three  identical  thin  rods,  each  of  length  L  and  mass  m,
are  welded  perpendicular  to  one  another  as  shown  in
Figure  P10.23.  The  assembly  is  rotated  about  an  axis
that passes  through  the  end  of  one  rod  and  is  parallel
to another.  Determine  the  moment  of  inertia  of  this
structure.

24.

Figure  P10.24  shows  a  side  view  of  a  car  tire.  Model  it  as
having two sidewalls of uniform thickness 0.635 cm and a
tread  wall  of  uniform  thickness  2.50 cm  and  width
20.0 cm.  Assume  the  rubber  has  uniform  density
1.10 + 10

3

kg/m

3

.  Find  its  moment  of  inertia  about  an

axis through its center.

x

O

y  =  3.00 m

4.00 kg

3.00 kg

2.00 kg

y

y  =  –2.00 m

y  =  –4.00 m

Figure P10.20

3.00 kg

2.00 kg

4.00 kg

2.00 kg

6.00 m

4.00 m

y(m)

x(m)

O

Figure P10.21

L

L – x

x

M

m

Figure P10.22

Axis of

rotation

x

y

z

Figure P10.23

Sidewall

Tread

33.0 cm

30.5 cm

16.5 cm

Figure P10.24