Physics For Scientists And Engineers 6E - part 85

T

he  central  topic  of  this  chapter  is  angular  momentum,  a  quantity  that  plays  a  key

role in rotational dynamics. In analogy to the principle of conservation of linear mo-
mentum, we find that the angular momentum of a system is conserved if no external
torques act on the system. Like the law of conservation of linear momentum, the law of
conservation of angular momentum is a fundamental law of physics, equally valid for
relativistic and quantum systems.

11.1 The Vector Product and Torque

An important consideration in defining angular momentum is the process of multiply-
ing two vectors by means of the operation called the vector product. We will introduce
the vector product by considering torque as introduced in the preceding chapter.

Consider a force 

F acting on a rigid object at the vector position r (Fig. 11.1). As we

saw in Section 10.6, the magnitude of the torque due to this force relative to the origin
is r F sin !, where ! is the angle between 

r and F. The axis about which F tends to pro-

duce rotation is perpendicular to the plane formed by 

r and F.

The torque vector ! is related to the two vectors 

r and F. We can establish a mathe-

matical  relationship  between  !, 

r,  and  F using  a  mathematical  operation  called  the

vector product, or cross product:

!

! r " F

(11.1)

We now give a formal definition of the vector product. Given any two vectors 

A and

B, the vector product A " B is defined as a third vector C, which has a magnitude of
AB sin ", where " is the angle between 

A

and 

B. That is, if C is given by

C # A " B

(11.2)

then its magnitude is

C

! AB sin "

(11.3)

The quantity AB sin " is equal to the area of the parallelogram formed by 

A and B, as

shown in Figure 11.2. The direction of 

C is perpendicular to the plane formed by A and

B, and the best way to determine this direction is to use the right-hand rule illustrated
in  Figure  11.2.  The  four  fingers  of  the  right  hand  are  pointed  along 

A and  then

“wrapped” into 

B through the angle ". The direction of the upright thumb is the direc-

tion of 

A " B # C. Because of the notation, A " B is often read “A cross B”; hence,

the term cross product.

Some properties of the vector product that follow from its definition are as follows:

1. Unlike the scalar product, the vector product is not commutative. Instead, the or-

der in which the two vectors are multiplied in a cross product is important:

A " B # $ B " A

(11.4)

337

O

r

P

φ

x

F

y

τ

  

= 

 

r

  

×

  

F

z

τ

Active Figure 11.1 The torque

vector 

!

lies in a direction perpen-

dicular to the plane formed by the

position vector r and the applied

force vector F.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can move point P and change

the force vector F to see the

effect on the torque vector.

▲

PITFALL PREVENTION

11.1 The Cross Product is

a Vector

Remember that the result of tak-
ing  a  cross  product  between  two
vectors  is  a  third  vector.  Equation
11.3  gives  only  the  magnitude  of
this vector.

Therefore,  if  you  change  the  order  of  the  vectors  in  a  cross  product,  you  must
change the sign. You can easily verify this relationship with the right-hand rule.

2. If 

A is  parallel  to  B (" # 0° or  180°),  then  A " B # 0;  therefore,  it  follows  that

A " A # 0.

3. If 

A is perpendicular to B, then "A " B" # AB.

4. The vector product obeys the distributive law:

A " (B % C) # A " B % A " C

(11.5)

5. The derivative of the cross product with respect to some variable such as t is

(11.6)

where  it  is  important  to  preserve  the  multiplicative  order  of 

A and  B,  in  view  of

Equation 11.4.

It  is  left  as  an  exercise  (Problem  10)  to  show  from  Equations  11.3  and  11.4  and

from the definition of unit vectors that the cross products of the rectangular unit vec-
tors ˆ

i , ˆj, and ˆk obey the following rules:

ˆi " ˆi # ˆj " ˆj # ˆk " ˆk # 0

(11.7a)

ˆi " ˆj # $ˆj " ˆi # ˆk

(11.7b)

ˆj " ˆk # $ˆk " ˆj # ˆi

(11.7c)

ˆk " ˆi # $ˆi " ˆk # ˆj

(11.7d)

Signs  are  interchangeable  in  cross  products.  For  example, 

A " ($B) # $ A " B

and ˆ

i " ($ˆj) # $ˆi " ˆj.

The cross product of any two vectors

A and B can be expressed in the following de-

terminant form:

Expanding these determinants gives the result

A " B # (A

y

B

z

$

A

z

B

y

)ˆ

i $ (A

x

B

z

$

A

z

B

x

)ˆ

j % (A

x

B

y

$

A

y

B

x

)ˆ

k

(11.8)

Given the definition of the cross product, we can now assign a direction to the torque
vector. If the force lies in the xy plane, as in Figure 11.1, the torque ! is represented by
a vector parallel to the z axis. The force in Figure 11.1 creates a torque that tends to ro-
tate the object counterclockwise about the z axis; thus the direction of ! is toward in-
creasing z, and ! is therefore in the positive z direction. If we reversed the direction of
F in Figure 11.1, then ! would be in the negative z direction.

A  "  B #

"

ˆi

A

x

B

x

ˆj

A

y

B

y

ˆk

A

z

B

z

"

#

"

A

y

B

y

A

z

B

z

"

ˆi $

"

A

x

B

x

A

z

B

z

"

ˆj %

"

A

x

B

x

A

y

B

y

"

ˆk

d

dt

 

(

A " B)  #  

d

A

dt

"

B % A "

d

B

dt

338

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

Right-hand rule

– C  =  B  

×  A

C  =  A  

×  B

A

B

θ

Figure 11.2 The vector product

A " B is a third vector C having a mag-

nitude AB sin 

"

equal to the area of

the parallelogram shown. The direc-

tion of C is perpendicular to the plane

formed by A and B, and this direction

is determined by the right-hand rule. 

Cross products of unit vectors

Properties of the vector product

S E C T I O N   1 1 . 2     •     Angular Momentum

339

Two vectors lying in the xy plane are given by the equations

A # 2ˆi % 3ˆj and  B # $ ˆi % 2ˆj.  Find  A " B and  verify 
that 

A " B # $B " A.

Solution Using  Equations  11.7a  through  11.7d,  we  obtain

(We  have  omitted  the  terms  containing  ˆ

i " ˆi and  ˆj " ˆj

because, as Equation 11.7a shows, they are equal to zero.)

7 ˆ

k

#

2ˆ

i " 2ˆj % 3ˆj " ($ˆi) # 4 ˆk % 3 ˆk #

A " B  # (2ˆi  % 3ˆj ) " ($ˆi % 2ˆj)

We can show that 

A " B # $B " A, because

Therefore, 

A " B # $B " A.

As  an  alternative  method  for  finding 

A " B,  we  could

use Equation 11.8, with A

x

#

2, A

y

#

3, A

z

#

0 and B

x

# $

1,

B

y

#

2, B

z

#

0:

A " B # (0)ˆi $ (0)ˆj % [(2)(2) $ (3)($ 1)]ˆk # 7ˆk

$

 

7 ˆ

k

# $ ˆ

i " 3ˆj % 2ˆj " 2ˆi # $3 ˆk $ 4 ˆk #

B " A # ($ˆi % 2ˆj) " (2ˆi % 3ˆj)

A  force  of 

F # (2.00ˆi % 3.00ˆj) N is  applied  to  an  object

that is pivoted about a fixed axis aligned along the z coordi-
nate  axis.  If  the  force  is  applied  at  a  point  located  at

r # (4.00ˆi % 5.00ˆj) m, find the torque vector !.

Solution The torque vector is defined by means of a cross
product in Equation 11.1:

%

 (5.00)(3.00)

jˆ " ˆj] N&m

%

 (5.00)(2.00)

jˆ " iˆ 

#

[(4.00)(2.00)

iˆ  "  iˆ % (4.00)(3.00)iˆ " ˆj

'

 [(2.00

iˆ % 3.00jˆ) N] 

! #

r " F # [(4.00 iˆ % 5.00jˆ) m]

Notice that both

r and F are in the xy plane. As expected,

the torque vector is perpendicular to this plane, having only
a z component.

2.0

kˆ N&m

#

#

 [12.0

kˆ $ 10.0kˆ) N&m 

#

 [12.0

iˆ " jˆ % 10.0jˆ " iˆ]  N&m

11.2 Angular Momentum

Imagine  a  rigid  pole  sticking  up  through  the  ice  on  a  frozen  pond  (Fig.  11.3).  A
skater glides rapidly toward the pole, aiming a little to the side so that she does not
hit it. As she approaches the pole, she reaches out and grabs it, an action that causes
her to move in a circular path around the pole. Just as the idea of linear momentum
helps  us  analyze  translational  motion,  a  rotational  analog—angular  momentum—
helps us analyze the motion of this skater and other objects undergoing rotational
motion.

Quick Quiz 11.1

Which of the following is equivalent to the following scalar

product: (A " B) # (B " A)? (a) A # B % B # A (b) (A " A) # (B " B) (c) (A " B) # (A " B)
(d) $ (A " B) # (A " B)

Quick  Quiz  11.2

Which  of  the  following  statements  is  true  about  the  rela-

tionship between the magnitude of the cross product of two vectors and the product of
the  magnitudes  of  the  vectors?  (a) 

"A " B" is  larger  than  AB;  (b)  "A " B" is  smaller

than AB; (c) 

"A " B" could be larger or smaller than AB, depending on the angle be-

tween the vectors; (d) 

"A " B" could be equal to AB.

Example 11.2 The Torque Vector 

Example 11.1 The Vector Product

In Chapter 9, we began by developing the mathematical form of linear momentum

and  then  proceeded  to  show  how  this  new  quantity  was  valuable  in  problem-solving.
We will follow a similar procedure for angular momentum.

Consider a particle of mass m located at the vector position

r and moving with linear

momentum 

p as in Figure 11.4. In describing linear motion, we found that the net force

on  the  particle  equals  the  time  rate  of  change  of  its  linear  momentum, 

F # dp/dt

(see Eq. 9.3). Let us take the cross product of each side of Equation 9.3 with 

r, which

gives us the net torque on the particle on the left side of the equation:

Now let us add to the right-hand side the term 

, which is zero because d

r/dt #

v and v and p are parallel. Thus,

We recognize the right-hand side of this equation as the derivative of 

r " p (see Equa-

tion 11.6). Therefore,

(11.9)

This  looks  very  similar  in  form  to  Equation  9.3, 

F # dp/dt.  This  suggests  that  the

combination 

r " p should play the same role in rotational motion that p plays in trans-

lational motion. We call this combination the angular momentum of the particle:

#

#

 ! # 

d(

r " p)

dt

#

 ! # r "

d

p

dt

%

d

r

dt

"

p

d

 

r

dt

"

p

r "

#

  

F # 

#

 

!

 # 

r "

d

p

dt

#

340

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

This allows us to write Equation 11.9 as

(11.11)

which is the rotational analog of Newton’s second law, 

F # dp/dt. Note that torque

causes the angular momentum 

L to change just as force causes linear momentum p to

change. Equation 11.11 states that 

the torque acting on a particle is equal to the

time rate of change of the particle’s angular momentum.

Note that Equation 11.11 is valid only if  ! and 

L are measured about the same ori-

gin. (Of course, the same origin must be used in calculating all of the torques.) Fur-
thermore, 

the expression is valid for any origin fixed in an inertial frame.

The SI unit of angular momentum is kg · m

2

/s. Note also that both the magnitude

and the direction of 

L depend on the choice of origin. Following the right-hand rule,

we  see  that  the  direction  of 

L is  perpendicular  to  the  plane  formed  by r and  p.  In

Figure 11.4,

r and p are in the xy plane, and so L points in the z direction. Because

p # mv, the magnitude of L is

L # mvr sin !

(11.12)

where ! is  the  angle  between

r and  p.  It  follows  that  L is  zero  when r is  parallel  to

p (! # 0 or 180°). In other words, when the linear velocity of the particle is along a
line  that  passes  through  the  origin,  the  particle  has  zero  angular  momentum  with
respect  to  the  origin.  On  the  other  hand,  if

r is perpendicular to p (! # 90°), then

L # mvr. At that instant, the particle moves exactly as if it were on the rim of a wheel
rotating about the origin in a plane defined by

r and p.

#

#

#

 ! # 

d

L

dt

The  instantaneous 

angular  momentum L of a particle relative to the origin O is 

defined by the cross product of the particle’s instantaneous position vector

r and its

instantaneous linear momentum 

p:

L ! r " p

(11.10)

Active Figure 11.3 As the skater

passes the pole, she grabs hold of

it. This causes her to swing around

the pole rapidly in a circular path.

Active Figure 11.4 The angular

momentum L of a particle of mass

m and linear momentum p located

at the vector position r is a vector

given by L # r " p. The value of L

depends on the origin about which

it is measured and is a vector per-

pendicular to both r and p.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the speed of the

skater and her distance to the

pole and watch her spin when

she grabs the pole.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change the position vector

r and the momentum vector p

to see the effect on the angular

momentum vector.

O

z

L  =  r  

×  p

r

m

p

φ

y

x

Angular momentum of a particle