Physics For Scientists And Engineers 6E - part 87

S E C T I O N   1 1 . 4     •     Conservation of Angular Momentum

345

Hence, the net torque exerted on the system about O is

To  find  *,  we  use  +

ext

#

I*,  where  I was  obtained  in

part (A):

Generally,  fathers  are  more  massive  than  daughters,  so  the
angular  acceleration  is  positive.  If  the  seesaw  begins  in  a
horizontal orientation (" # 0) and is released, the rotation
will be counterclockwise in Figure 11.9 and the father’s end
of  the  seesaw  drops.  This  is  consistent  with  everyday
experience.

2(m

f

$

m

d

)g cos "

" 

$

M

3

%

m

f

%

m

d

%

* #

#

 +

ext

I

#

#

#

 +

ext

#

+

f

%

+

d

#

1

2

(m

f

$

m

d

)g " cos "

What  If?

After  several  complaints  from  the  daughter  that

she simply rises into the air rather than moving up and down
as planned, the father moves inward on the seesaw to try to
balance the two sides. He moves in to a position that is a dis-
tance d from the pivot. What is the angular acceleration of the
system  in  this  case  when  it  is  released  from  an  arbitrary
angle

"

?

Answer The angular acceleration of the system should de-
crease if the system is more balanced. As the father contin-
ues  to  slide  inward,  he  should  reach  a  point  at  which  the
seesaw  is  balanced  and  there  is  no  angular  acceleration  of
the system when released.

The total moment of inertia about the z axis through O

for the modified system is

The net torque exerted on the system about O is

Now, the angular acceleration of the system is

The seesaw will be balanced when the angular acceleration
is zero. In this situation, both father and daughter can push
off  the  ground  and  rise  to  the  highest  possible  point.  We
find the required position of the father by setting * # 0:

In the rare case that the father and daughter have the same
mass, the father is located at the end of the seesaw, d # !/2.

d #

$

m

d

m

f

%

 

1

2

"

m

f

gd cos " $

1

2

m

d

g " cos " # 0

* #

m

f

gd cos " $

1

2

m

d

g " cos "

("

2

/4)[(M/3) % m

d

] % m

f

 

d

2

#

0

* #

+

net

I

#

m

f

gd cos " $

1

2

m

d

g " cos "

"

2

4

 [(M/3) % m

d

] % m

f

 

d

2

+

net

#

+

f

%

+

d

#

m

f

gd cos " $

1

2

m

d

g " cos "

#

"

2

4

 

$

M

3

%

m

d

%

%

m

f

 

d

2

I #

1

12

M"

2

%

m

f

d

2

%

m

d

 

 

$

"
2

%

2

Figure 11.9 (Example 11.6) A father and daughter demon-

strate angular momentum on a seesaw.

At the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com, you can move the father and daughter to see the effect on
the motion of the system.

"

O

θ

y

x

m

d

g

m

f

g

11.4 Conservation of Angular Momentum

In Chapter 9 we found that the total linear momentum of a system of particles remains
constant if the system is isolated, that is, if the resultant external force acting on the sys-
tem is zero. We have an analogous conservation law in rotational motion:

The total angular momentum of a system is constant in both magnitude and direc-
tion if the resultant external torque acting on the system is zero, that is, if the system
is isolated.

Conservation of angular

momentum

This follows directly from Equation 11.13, which indicates that if

(11.17)

then

(11.18)

For an isolated system consisting of a number of particles, we write this conservation
law  as 

L

tot

#

L

n

#

constant,  where  the  index  n denotes  the  nth  particle  in  the

system.

If the mass of an isolated rotating system undergoes redistribution in some way, the

system’s  moment  of  inertia  changes.  Because  the  magnitude  of  the  angular  momen-
tum of the system is L # I) (Eq. 11.14), conservation of angular momentum requires
that the product of I and ) must remain constant. Thus, a change in I for an isolated
system requires a change in ). In this case, we can express the principle of conserva-
tion of angular momentum as

I

i

)

i

#

I

f

)

f

#

constant

(11.19)

This expression is valid both for rotation about a fixed axis and for rotation about an
axis through the center of mass of a moving system as long as that axis remains fixed in
direction. We require only that the net external torque be zero.

There  are  many  examples  that  demonstrate  conservation  of  angular  momentum

for a deformable system. You may have observed a figure skater spinning in the finale
of a program (Fig. 11.10). The angular speed of the skater increases when the skater
pulls his hands and feet close to his body, thereby decreasing I. Neglecting friction be-
tween skates and ice, no external torques act on the skater. Because the angular mo-
mentum of the skater is conserved, the product I) remains constant, and a decrease in
the moment of inertia of the skater causes an increase in the angular speed. Similarly,
when  divers  or  acrobats  wish  to  make  several  somersaults,  they  pull  their  hands  and
feet close to their bodies to rotate at a higher rate, as in the opening photograph of
this chapter. In these cases, the external force due to gravity acts through the center of
mass and hence exerts no torque about this point. Therefore, the angular momentum
about the center of mass must be conserved—that is, I

i

)

i

#

I

f

)

f

. For example, when

divers wish to double their angular speed, they must reduce their moment of inertia to
half its initial value.

In Equation 11.18 we have a third conservation law to add to our list. We can now

state that the energy, linear momentum, and angular momentum of an isolated system
all remain constant:

E

i

#

E

f

p

i

#

p

f

L

i

#

L

f

 

'

        For an isolated system

#

L

tot

#

constant

   

or

   

L

i

#

L

f

#

 !

ext

#

d

L

tot

dt

#

0

346

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

Figure 11.10 Figure skater Todd

Eldridge is demonstrating angular

momentum conservation. When he

pulls his arms toward his body, he

spins faster.

Quick  Quiz  11.6

A  competitive  diver  leaves  the  diving  board  and  falls  to-

ward the water with her body straight and rotating slowly. She pulls her arms and legs
into a tight tuck position. Her angular speed (a) increases (b) decreases (c) stays the
same (d) is impossible to determine.

Quick Quiz 11.7

Consider the competitive diver in Quick Quiz 11.6 again.

When she goes into the tuck position, the rotational kinetic energy of her body (a) in-
creases (b) decreases (c) stays the same (d) is impossible to determine.

©

1998 David Madison

S E C T I O N   1 1 . 4     •     Conservation of Angular Momentum

347

A star rotates with a period of 30 days about an axis through
its  center.  After  the  star  undergoes  a  supernova  explosion,
the  stellar  core,  which  had  a  radius  of  1.0 ' 10

4

km,  col-

lapses  into  a  neutron  star  of  radius  3.0  km.  Determine  the
period of rotation of the neutron star.

Solution The  same  physics  that  makes  a  skater  spin  faster
with his arms pulled in describes the motion of the neutron
star. Let us assume that during the collapse of the stellar core,
(1) no external torque acts on it, (2) it remains spherical with
the same relative mass distribution, and (3) its mass remains
constant. Also, let us use the symbol T for the period, with T

i

being the initial period of the star and T

f

being the period of

the neutron star. The period is the length of time a point on
the star’s equator takes to make one complete circle around
the axis of rotation. The angular speed of the star is given by
) #

2,/T. Therefore, Equation 11.19 gives

I

i

  

$

2,

T

i

%

  # I

f

  

$

2,

T

f

%

I

i

)

i

  # I

f

)

f

We  don’t  know  the  mass  distribution  of  the  star,  but  we
have  assumed  that  the  distribution  is  symmetric,  so  that
the moment of inertia can be expressed as kMR

2

, where k

is  some  numerical  constant.  (From  Table  10.2,  for  exam-
ple, we see that k # 2/5 for a solid sphere and k # 2/3 for
a  spherical  shell.)  Thus,  we  can  rewrite  the  preceding
equation as

Substituting numerical values gives

Thus, the neutron star rotates about four times each second.

0.23 s

#

T

f

#

(30 days)

$

3.0 km

1.0 ' 10

4

 km

%

2

#

2.7 ' 10

$

6

 days

T

f 

#

$

R

f

2

R

i

2

%

 

T

i

kMR

i

2

 

$

2,

T

i

%

#

kMR

f

2

 

$

2,

T

f

%

A horizontal platform in the shape of a circular disk rotates
freely in a horizontal plane about a frictionless vertical axle
(Fig. 11.11). The platform has a mass M # 100 kg and a ra-
dius  R # 2.0  m.  A  student  whose  mass  is  m # 60  kg  walks
slowly from the rim of the disk toward its center. If the angu-
lar  speed  of  the  system  is  2.0  rad/s  when  the  student  is  at
the rim, what is the angular speed when he reaches a point
r # 0.50 m from the center?

Solution The speed change here is similar to the increase
in  angular  speed  of  the  spinning  skater  when  he  pulls  his
arms  inward.  Let  us  denote  the  moment  of  inertia  of  the

platform  as  I

p

and  that  of  the  student  as  I

s

.  Modeling  the

student  as  a  particle,  we  can  write  the  initial  moment  of
inertia  I

i

of  the  system  (student  plus  platform)  about  the

axis of rotation:

When the student walks to the position r - R, the moment
of inertia of the system reduces to

Note that we still use the greater radius R when calculating
I

pf

because the radius of the platform does not change. Be-

cause no external torques act on the system about the axis
of rotation, we can apply the law of conservation of angular
momentum:

As expected, the angular speed increases.

What If?

What if we were to measure the kinetic energy of

the  system  before  and  after  the  student  walks  inward?  Are
they the same?

4.1 rad/s

  #

$

440 kg&m

2

215 kg&m

2

%

(2.0 rad/s) #

#

$

1

2

(100 kg)(2.0

 

m)

2

%

(60 kg)(2.0

 

m)

2

1

2

(100 kg)(2.0

 

m)

2

%

(60 kg)(0.50

 

m)

2

%

(2.0 rad/s)

)

f

  #

$

1

2

MR

2

%

mR

2

1

2

MR

2

%

mr

2

%

  

)

i

(

1

2

MR

2

%

mR

2

))

i

  # (

1

2

MR

2

%

mr

2

))

f

I

i

)

i

  # I

f

)

f

I

f

#

I

pf

%

I

sf

#

1

2

MR

2

%

mr

2

I

i

#

I

pi

%

I

si

#

1

2

MR

2

%

mR

2

Example 11.7 Formation of a Neutron Star

Example 11.8 The Merry-Go-Round

Figure 11.11 (Example 11.8) As the student walks toward the

center of the rotating platform, the angular speed of the system

increases because the angular momentum of the system

remains constant.

M

m

R

Answer You may be tempted to say yes because the system
is  isolated.  But  remember  that  energy  comes  in  several
forms,  so  we  have  to  handle  an  energy  question  carefully.
The initial kinetic energy is

K

i

#

1

2

I

i

)

i

2

#

1

2

(440 kg&m

2

)(2.0 rad/s)

2

#

880 J

The final kinetic energy is

Thus, the kinetic energy of the system increases. The student
must do work to move himself closer to the center of rota-
tion,  so  this  extra  kinetic  energy  comes  from  chemical  po-
tential energy in the body of the student.

K

f

#

1

2

I

f

)

f

2

#

1

2

(215 kg&m

2

)(4.1 rad/s)

2

#

1.81 ' 10

3

 J

348

C H A P T E R   1 1     •     Angular Momentum

In a favorite classroom demonstration, a student holds the
axle  of  a  spinning  bicycle  wheel  while  seated  on  a  stool
that  is  free  to  rotate  (Fig.  11.12).  The  student  and  stool
are  initially  at  rest  while  the  wheel  is  spinning  in  a  hori-
zontal  plane  with  an  initial  angular  momentum 

L

i

that

points upward. When the wheel is inverted about its cen-

ter by 180°, the student and stool start rotating. In terms
of 

L

i

,  what  are  the  magnitude  and  the  direction  of 

L for

the student plus stool?

Solution The system consists of the student, the wheel, and
the  stool.  Initially,  the  total  angular  momentum  of  the  sys-
tem 

L

i

comes entirely from the spinning wheel. As the wheel

is  inverted,  the  student  applies  a  torque  to  the  wheel,  but
this  torque  is  internal  to  the  system.  No  external  torque  is
acting on the system about the vertical axis. Therefore, the
angular momentum of the system is conserved. Initially, we
have

L

system

#

L

i

#

L

wheel

(upward)

After  the  wheel  is  inverted,  we  have 

L

inverted wheel

# $

L

i

.

For angular momentum to be conserved, some other part of
the system has to start rotating so that the total final angular
momentum  equals  the  initial  angular  momentum 

L

i

.  That

other part of the system is the student plus the stool she is
sitting on. So, we can now state that

2

L

i

L

student%stool

#

L

f

#

L

i

#

L

student%stool

$

L

i

Example 11.9 The Spinning Bicycle Wheel

L

i

Figure 11.12 (Example 11.9) The wheel is initially spinning

when the student is at rest. What happens when the wheel is

inverted?

A  2.0-kg  disk  traveling  at  3.0  m/s  strikes  a  1.0-kg  stick  of
length  4.0  m  that  is  lying  flat  on  nearly  frictionless  ice,  as
shown  in  Figure  11.13.  Assume  that  the  collision  is  elastic
and  that  the  disk  does  not  deviate  from  its  original  line  of
motion. Find the translational speed of the disk, the transla-
tional speed of the stick, and the angular speed of the stick
after the collision. The moment of inertia of the stick about
its center of mass is 1.33 kg · m

2

.

Solution Conceptualize the situation by considering Figure
11.13  and  imagining  what  happens  after  the  disk  hits  the

stick. Because the disk and stick form an isolated system, we
can assume that total energy, linear momentum, and angu-
lar  momentum  are  all  conserved.  Thus,  we  can  categorize
this as a problem in which all three conservation laws might
play a part. To analyze the problem, first note that we have
three unknowns, and so we need three equations to solve si-
multaneously. The first comes from the law of the conserva-
tion of linear momentum:

(1)

Now  we  apply  the  law  of  conservation  of  angular  mo-

mentum, using the initial position of the center of the stick
as our reference point. We know that the component of an-
gular  momentum  of  the  disk  along  the  axis  perpendicular
to  the  plane  of  the  ice  is  negative.  (The  right-hand  rule
shows that 

L

d

points into the ice.) Applying conservation of

angular momentum to the system gives

$

 

rm

d

v

di

# $

rm

d

v

df

%

I)

L

i

#

L

f

6.0 kg&m/s $ (2.0 kg)v

df

#

(1.0 kg)v

s

(2.0 kg)(3.0 m/s) # (2.0 kg)v

df

%

(1.0 kg)v

s

m

d

v

di

#

m

d

v

df

%

m

s

v

s

p

i

#

p

f

Example 11.10 Disk and Stick

Before

After

2.0 m

v

di

 = 3.0 m/s

ω

v

s

v

df

Figure 11.13 (Example 11.10) Overhead view of a disk striking

a stick in an elastic collision, which causes the stick to rotate

and move to the right.

Interactive