Physics For Scientists And Engineers 6E - part 65

(9.8)

To evaluate the integral, we need to know how the force varies with time. The quantity
on the right side of this equation is called the 

impulse of the force F acting on a parti-

cle over the time interval (t ! t

f

"

t

i

. Impulse is a vector defined by

(9.9)

Equation  9.8  is  an  important  statement  known  as  the 

impulse–momentum

theorem:

3

I ! 

%

t

f

t

i

 

F

 

dt

(

p ! p

f

"

p

i

!

%

t

f

t

i

 

Fdt

S E C T I O N   9 . 2 •  Impulse and Momentum

257

The impulse of the force 

F acting on a particle equals the change in the momen-

tum of the particle.

This statement is equivalent to Newton’s second law. From this definition, we see that im-
pulse  is  a  vector  quantity  having  a  magnitude  equal  to  the  area  under  the  force–time
curve, as described in Figure 9.4a. In this figure, it is assumed that the force varies in time
in the general manner shown and is nonzero in the time interval (t ! t

f

"

t

i

. The direc-

tion of the impulse vector is the same as the direction of the change in momentum. Im-
pulse has the dimensions of momentum—that is, ML/T. Note that impulse is not a prop-
erty of a particle; rather, it is a measure of the degree to which an external force changes
the momentum of the particle. Therefore, when we say that an impulse is given to a parti-
cle, we mean that momentum is transferred from an external agent to that particle.

Because the force imparting an impulse can generally vary in time, it is convenient

to define a time-averaged force

(9.10)

where  (t ! t

f

"

t

i

.  (This  is  an  application  of  the  mean  value  theorem  of  calculus.)

Therefore, we can express Equation 9.9 as

(9.11)

I ! F

 

(

t

F ! 

1

(

t

 

%

t

f

t

i

 

F

 

dt

t

 

i

t

 

f

t

 

i

F

(a)

t

 

f

t

F

(b)

t

F

Area = F

∆t

Figure 9.4 (a) A force acting on a

particle may vary in time. The im-

pulse imparted to the particle by

the force is the area under the

force-versus-time curve. (b) In the

time interval (t, the time-averaged

force (horizontal dashed line) gives

the same impulse to a particle as

does the time-varying force de-

scribed in part (a).

Airbags in automobiles have

saved countless lives in acci-

dents. The airbag increases the

time interval during which the

passenger is brought to rest,

thereby decreasing the force on

(and resultant injury to) the

passenger. 

Courtesy of Saab

3

Although we assumed that only a single force acts on the particle, the impulse–momentum theo-

rem is valid when several forces act; in this case, we replace F in Equation 9.8 with 

"F.

Impulse of a force

Impulse–momentum theorem

This  time-averaged force,  shown  in  Figure  9.4b,  can  be  interpreted  as  the  constant
force that would give to the particle in the time interval (t the same impulse that the
time-varying force gives over this same interval.

In  principle,  if

F  is  known  as  a  function  of  time,  the  impulse  can  be  calculated

from  Equation  9.9.  The  calculation  becomes  especially  simple  if  the  force  acting  on
the particle is constant. In this case, 

and Equation 9.11 becomes

(9.12)

In  many  physical  situations,  we  shall  use  what  is  called  the 

impulse  approxima-

tion, in which we assume that one of the forces exerted on a particle acts for a
short time but is much greater than any other force present. This approximation
is especially useful in treating collisions in which the duration of the collision is very
short. When this approximation is made, we refer to the force as an impulsive force. For
example, when a baseball is struck with a bat, the time of the collision is about 0.01 s
and  the  average  force  that  the  bat  exerts  on  the  ball  in  this  time  is  typically  several
thousand newtons. Because this contact force is much greater than the magnitude of
the  gravitational  force,  the  impulse  approximation  justifies  our  ignoring  the  gravita-
tional forces exerted on the ball and bat. When we use this approximation, it is impor-
tant to remember that 

p

i

and 

p

f

represent the momenta immediately before and after

the collision, respectively. Therefore, in any situation in which it is proper to use the
impulse approximation, the particle moves very little during the collision.

I ! F

 

(

t

F ! F

258

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

Quick Quiz 9.5

Two objects are at rest on a frictionless surface. Object 1 has a

greater  mass  than  object  2.  When  a  constant  force  is  applied  to  object  1,  it  accelerates
through a distance d. The force is removed from object 1 and is applied to object 2. At
the  moment  when  object  2  has  accelerated  through  the  same  distance  d,  which  state-
ments are true? (a) p

1

$

p

2

(b) p

1

!

p

2

(c) p

1

%

p

2

(d) K

1

$

K

2

(e) K

1

!

K

2

(f ) K

1

%

K

2

.

Quick Quiz 9.6

Two objects are at rest on a frictionless surface. Object 1 has

a  greater  mass  than  object  2.  When  a  force  is  applied  to  object  1,  it  accelerates  for
a time  interval  (t.  The  force  is  removed  from  object  1  and  is  applied  to  object  2.
After object 2 has accelerated for the same time interval (t, which statements are true?
(a) p

1

$

p

2

(b) p

1

!

p

2

(c) p

1

%

p

2

(d) K

1

$

K

2

(e) K

1

!

K

2

(f ) K

1

%

K

2

.

Quick  Quiz  9.7

Rank  an  automobile  dashboard,  seatbelt,  and  airbag  in

terms of (a) the impulse and (b) the average force they deliver to a front-seat passen-
ger during a collision, from greatest to least.

Example 9.3 Teeing Off

A golf ball of mass 50 g is struck with a club (Fig. 9.5). The
force exerted by the club on the ball varies from zero, at the
instant before contact, up to some maximum value and then
back  to  zero  when  the  ball  leaves  the  club.  Thus,  the
force–time curve is qualitatively described by Figure 9.4. As-
suming that the ball travels 200 m, estimate the magnitude
of the impulse caused by the collision.

Solution Let  us  use  ! to  denote  the  position  of  the  ball
when the club first contacts it, " to denote the position of
the ball when the club loses contact with the ball, and # to
denote  the  position  of  the  ball  upon  landing.  Neglecting

air resistance,  we  can  use  Equation  4.14  for  the  range  of  a
projectile:

Let us assume that the launch angle &

B

is 45°, the angle that

provides the maximum range for any given launch velocity.
This  assumption  gives  sin  2&

B

!

1,  and  the  launch  velocity

of the ball is

v

B

!

√

Rg

&

√

(200 m)(9.80 m/s

2

) ! 44 m/s

R ! x

C

!

v

2

B

g

  

 sin 2&

B

S E C T I O N   9 . 2 •  Impulse and Momentum

259

Considering initial and final values of the ball’s velocity for
the time interval for the collision, v

i

!

v

A

!

0 and v

f

!

v

B

.

Hence, the magnitude of the impulse imparted to the ball is

What If?

What if you were asked to find the average force

on the ball during the collision with the club? Can you deter-
mine this value?

Answer With  the  information  given  in  the  problem,  we
cannot  find  the  average  force.  Considering  Equation  9.11,
we would need to know the time interval of the collision in
order  to  calculate  the  average  force.  If  we  assume that  the
time interval is 0.01 s as it was for the baseball in the discus-
sion after Equation 9.12, we can estimate the magnitude of
the average force:

where  we  have  kept  only  one  significant  figure  due  to  our
rough estimate of the time interval.

F !

I

(

t

!

2.2 kg)m/s

0.01 s

!

2 * 10

2

 N

2.2 kg)m/s

!

I ! (p ! mv

B

"

mv

A

!

(50 * 10

"

3

 kg)(44 m/s) " 0

Figure 9.5 (Example 9.3) A golf ball being struck by a club. Note

the deformation of the ball due to the large force from the club. 

©

Harold and Esther Edgerton Foundation 2002, 

courtesy of Palm Press, Inc.

In a particular crash test, a car of mass 1 500 kg collides with
a wall, as shown in Figure 9.6. The initial and final velocities
of  the  car  are 

and 

,  respec-

tively.  If  the  collision  lasts  for  0.150 s,  find  the  impulse
caused  by  the  collision  and  the  average  force  exerted  on
the car.

Solution Let  us  assume  that  the  force  exerted  by  the  wall
on the car is large compared with other forces on the car so
that we can apply the impulse approximation. Furthermore,
we  note  that  the  gravitational  force  and  the  normal  force

v

f

!

2.60

iˆ  m/s

v

i

! "

15.0

iˆ  m/s

exerted by the road on the car are perpendicular to the mo-
tion and therefore do not affect the horizontal momentum.

The initial and final momenta of the car are

Hence, the impulse is equal to

!

0.39 * 10

4

iˆ  kg)m/s

p

f

!

m

v

f

!

(1

 

500 kg)(2.60

iˆ  m/s)

! "

 

2.25 * 10

4

iˆ  kg)m/s

p

i

!

m

v

i

!

(1

 

500 kg)("15.0

iˆ   m/s)

Example 9.4 How Good Are the Bumpers?

Before

After

+2.60 m/s

–15.0 m/s

(a)

Figure 9.6 (Example 9.4) (a) This car’s momentum changes as a result of its collision

with the wall. (b) In a crash test, much of the car’s initial kinetic energy is trans-

formed into energy associated with the damage to the car. 

Ti

m 

Wright/CORBIS

(b)

9.3 Collisions in One Dimension

In  this  section  we  use  the  law  of  conservation  of  linear  momentum  to  describe  what
happens when two particles collide. We use the term

collision to represent an event

during which two particles come close to each other and interact by means of forces.
The time interval during which the velocities of the particles change from initial to fi-
nal  values  is  assumed  to  be  short.  The  interaction  forces  are  assumed  to  be  much
greater than any external forces present, so we can use the impulse approximation.

A  collision  may  involve  physical  contact  between  two  macroscopic  objects,  as  de-

scribed in Figure 9.7a, but the notion of what we mean by collision must be generalized
because “physical contact” on a submicroscopic scale is ill-defined and hence meaning-
less. To understand this, consider a collision on an atomic scale (Fig. 9.7b), such as the
collision of a proton with an alpha particle (the nucleus of a helium atom). Because the
particles are both positively charged, they repel each other due to the strong electrosta-
tic force between them at close separations and never come into “physical contact.”

When two particles of masses m

1

and m

2

collide as shown in Figure 9.7, the impul-

sive forces may vary in time in complicated ways, such as that shown in Figure 9.4. Re-
gardless  of  the  complexity  of  the  time  behavior  of  the  force  of  interaction,  however,
this force is internal to the system of two particles. Thus, the two particles form an iso-
lated system, and the momentum of the system must be conserved. Therefore, the total
momentum of an isolated system just before a collision equals the total momentum of
the system just after the collision.

In contrast, the total kinetic energy of the system of particles may or may not be

conserved, depending on the type of collision. In fact, whether or not kinetic energy is
conserved is used to classify collisions as either elastic or inelastic.

An

elastic collision between two objects is one in which the total kinetic energy

(as well as total momentum) of the system is the same before and after the colli-
sion. Collisions between certain objects in the macroscopic world, such as billiard balls,
are only approximately elastic because some deformation and loss of kinetic energy take
place. For example, you can hear a billiard ball collision, so you know that some of the
energy is being transferred away from the system by sound. An elastic collision must be
perfectly silent! Truly elastic collisions occur between atomic and subatomic particles.

An

inelastic collision is one in which the total kinetic energy of the system is

not the same before and after the collision (even though the momentum of the
system is conserved). Inelastic collisions are of two types. When the colliding objects
stick together after the collision, as happens when a meteorite collides with the Earth,

260

C H A P T E R   9 •  Linear Momentum and Collisions

p

+

+ +

He

(b)

m

2

m

1

(a)

F

12

F

21

4

Figure 9.7 (a) The collision be-

tween two objects as the result of

direct contact. (b) The “collision”

between two charged particles.

The average force exerted by the wall on the car is

In this problem, note that the signs of the velocities indicate
the  reversal  of  directions.  What  would  the  mathematics  be
describing  if  both  the  initial  and  final  velocities  had  the
same sign?

What  If?

What  if  the  car  did  not  rebound  from  the  wall?

Suppose the final velocity of the car is zero and the time in-
terval of the collision remains at 0.150 s. Would this represent
a larger or a smaller force by the wall on the car?

 1.76 * 10

5

iˆ N

F !

(

p

(

t

!

2.64 * 10

4

iˆ kg)m/s

0.150 s

!

2.64 * 10

4

iˆ kg) m/s

I !

"

("

 

2.25 * 10

4

iˆ  kg)m/s)

I ! (p ! p

f

"

p

i

!

0.39 * 10

4

iˆ  kg) m/s

Answer In  the  original  situation  in  which  the  car  re-
bounds, the force by the wall on the car does two things in
the  time  interval—it  (1)  stops  the  car  and  (2)  causes  it  to
move  away  from  the  wall  at  2.60 m/s  after  the  collision.  If
the car does not rebound, the force is only doing the first of
these, stopping the car. This will require a smaller force.

Mathematically, in the case of the car that does not re-

bound, the impulse is

The average force exerted by the wall on the car is

which is indeed smaller than the previously calculated value,
as we argued conceptually.

F !

(

p

(

t

!

2.25 * 10

4

iˆ kg)m/s

0.150 s

!

1.50 * 10

5

iˆ N

!

2.25 * 10

4

iˆ  kg)m/s

I ! (p ! p

f

"

p

i

!

0 "("2.25 * 10

4

iˆ  kg)m/s)

Elastic collision

Inelastic collision