Physics For Scientists And Engineers 6E - part 63

Problems

249

72.

A pendulum, comprising a string of length L and a small
sphere, swings in the vertical plane. The string hits a peg
located  a  distance  d below  the  point  of  suspension  (Fig.
P8.72).  (a)  Show  that  if  the  sphere  is  released  from  a
height below that of the peg, it will return to this height af-
ter striking the peg. (b) Show that if the pendulum is re-
leased  from  the  horizontal  position  (& " 90°)  and  is  to
swing in a complete circle centered on the peg, then the
minimum value of d must be 3L/5.

74.

Review problem. In 1887 in Bridgeport, Connecticut, C. J.
Belknap  built  the  water  slide  shown  in  Figure  P8.74.  A
rider on a small sled, of total mass 80.0 kg, pushed off to
start  at  the  top  of  the  slide  (point  !)  with  a  speed  of
2.50 m/s.  The  chute  was  9.76 m  high  at  the  top,  54.3 m
long, and 0.51 m wide. Along its length, 725 wheels made

L

(a)

F

m

L

Pivot

(b)

F

Pivot

H

m

Figure P8.69

68.

A  block  of  mass  M rests  on  a  table.  It  is  fastened  to  the
lower end of a light vertical spring. The upper end of the
spring is fastened to a block of mass m. The upper block is
pushed  down  by  an  additional  force  3mg,  so  the  spring
compression  is  4mg/k.  In  this  configuration  the  upper
block is released from rest. The spring lifts the lower block
off  the  table.  In  terms  of  m,  what  is  the  greatest  possible
value for M ?

69.

A  ball  having  mass  m is  connected  by  a  strong  string  of
length L to a pivot point and held in place in a vertical posi-
tion. A wind exerting constant force of magnitude F is blow-
ing from left to right as in Figure P8.69a. (a) If the ball is
released  from  rest,  show  that  the  maximum  height  H
reached by the ball, as measured from its initial height, is

Check  that  the  above  result  is  valid  both  for  cases  when 
0 2 H 2 L and for L 2 H 2 2L. (b) Compute the value of
H using  the  values  m " 2.00 kg,  L " 2.00 m,  and  F "
14.7 N. (c) Using these same values, determine the equilib-
rium height of the ball. (d) Could the equilibrium height
ever be larger than L? Explain.

H "

2L

1 % (mg/F )

2

The path

after string

is cut

R

θ

C

m

v

i

 =     Rg

Figure P8.70

d

L

Peg

θ

Figure P8.72

73.

A roller-coaster car is released from rest at the top of the
first  rise  and  then  moves  freely  with  negligible  friction.
The  roller  coaster  shown  in  Figure  P8.73  has  a  circular
loop of radius R in a vertical plane. (a) Suppose first that
the car barely makes it around the loop: at the top of the
loop the riders are upside down and feel weightless. Find
the required height of the release point above the bottom
of the loop in terms of R. (b) Now assume that the release
point  is  at  or  above  the  minimum  required  height.  Show
that the normal force on the car at the bottom of the loop
exceeds  the  normal  force  at  the  top  of  the  loop  by  six
times  the  weight  of  the  car.  The  normal  force  on  each
rider  follows  the  same  rule.  Such  a  large  normal  force  is
dangerous  and  very  uncomfortable  for  the  riders.  Roller
coasters are therefore not built with circular loops in verti-
cal planes. Figure P6.20 and the photograph on page 157
show two actual designs.

70.

A ball is tied to one end of a string. The other end of the
string is held fixed. The ball is set moving around a vertical
circle without friction, and with speed 

at the top

of the circle, as in Figure P8.70. At what angle & should the
string  be  cut  so  that  the  ball  will  then  travel  through  the
center of the circle?

v

i

"

√R

g

A  ball  whirls  around  in  a  vertical  circle  at  the  end  of  a
string. If the total energy of the ball–Earth system remains
constant, show that the tension in the string at the bottom
is  greater  than  the  tension  at  the  top  by  six  times  the
weight of the ball.

71.

Figure P8.73

250

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

friction  negligible.  Upon  leaving  the  chute  horizontally 
at  its  bottom  end  (point  #),  the  rider  skimmed  across 
the  water  of  Long  Island  Sound  for  as  much  as  50 m, 
“skipping  along  like  a  flat  pebble,”  before  at  last  coming 
to  rest  and  swimming  ashore,  pulling  his  sled  after  him.
According  to  Scientific  American,  “The  facial  expression  of
novices  taking  their  first  adventurous  slide  is  quite  re-
markable,  and  the  sensations  felt  are  correspondingly
novel  and  peculiar.”  (a)  Find  the  speed  of  the  sled  and
rider at point #. (b) Model the force of water friction as 
a  constant  retarding  force  acting  on  a  particle.  Find  the
work  done  by  water  friction  in  stopping  the  sled  and 
rider.  (c)  Find  the  magnitude  of  the  force  the  water  ex-
erts on the sled. (d) Find the magnitude of the force the
chute  exerts  on  the  sled  at  point  ".  (e)  At  point  # the
chute  is  horizontal  but  curving  in  the  vertical  plane.  As-
sume its radius of curvature is 20.0 m. Find the force the
chute exerts on the sled at point #.

Figure P8.74

Answers to Quick Quizzes

8.1 (c).  The  sign  of  the  gravitational  potential  energy  de-

pends on your choice of zero configuration. If the two ob-
jects  in  the  system  are  closer  together  than  in  the  zero
configuration, the potential energy is negative. If they are
farther apart, the potential energy is positive.

8.2 (c). The reason that we can ignore the kinetic energy of

the massive Earth is that this kinetic energy is so small as
to be essentially zero.

8.3 (a).  We  must  include  the  Earth  if  we  are  going  to  work

with gravitational potential energy.

8.4 (c). The total mechanical energy, kinetic plus potential, is

conserved.

8.5 (a). The more massive rock has twice as much gravitational

potential energy associated with it compared to the lighter
rock.  Because  mechanical  energy  of  an  isolated  system  is
conserved, the more massive rock will arrive at the ground
with twice as much kinetic energy as the lighter rock.

8.6 v

1

"

v

2

"

v

3

. The first and third balls speed up after they

are thrown, while the second ball initially slows down but
then  speeds  up  after  reaching  its  peak.  The  paths  of  all
three  balls  are  parabolas,  and  the  balls  take  different
times to reach the ground because they have different ini-
tial  velocities.  However,  all  three  balls  have  the  same
speed at the moment they hit the ground because all start
with  the  same  kinetic  energy  and  the  ball–Earth  system
undergoes the same change in gravitational potential en-
ergy in all three cases.

8.7 (c). This system exhibits changes in kinetic energy as well

as in both types of potential energy.

8.8 (a). Because the Earth is not included in the system, there is

no gravitational potential energy associated with the system.

8.9 (c). The friction force must transform four times as much

mechanical energy into internal energy if the speed is dou-
bled, because kinetic energy depends on the square of the
speed. Thus, the force must act over four times the distance.

8.10(c).  The  decrease  in  mechanical  energy  of  the  system  is 

f

k

d, where d is the distance the block moves along the in-

cline.  While  the  force  of  kinetic  friction  remains  the
same,  the  distance  d is  smaller  because  a  component  of
the gravitational force is pulling on the block in the direc-
tion opposite to its velocity.

8.11(d).  The  slope  of  a  U(x)-versus-x graph  is  by  definition

dU(x)/dx. From Equation 8.18, we see that this expression
is equal to the negative of the x component of the conser-
vative force acting on an object that is part of the system.

#

"

!

9.76 m

50.0 m

54.3 m

20.0 m

Engraving 

from

Scientific American, 

July 

1888

251

251

Linear Momentum 

and Collisions

▲

A moving bowling ball carries momentum, the topic of this chapter. In the collision

between the ball and the pins, momentum is transferred to the pins. (Mark Cooper/Corbis
Stock Market)

Chapter 9

C H A P T E R   O U T L I N E

9.1 Linear Momentum and Its

Conservation

9.2 Impulse and Momentum

9.3 Collisions in One Dimension

9.4 Two-Dimensional Collisions

9.5 The Center of Mass

9.6 Motion of a System of

Particles

9.7 Rocket Propulsion

C

onsider what happens when a bowling ball strikes a pin, as in the opening photo-

graph. The pin is given a large velocity as a result of the collision; consequently, it flies
away and hits other pins or is projected toward the backstop. Because the average force
exerted on the pin during the collision is large (resulting in a large acceleration), the
pin achieves the large velocity very rapidly and experiences the force for a very short
time interval. According to Newton’s third law, the pin exerts a reaction force on the
ball that is equal in magnitude and opposite in direction to the force exerted by the
ball on the pin. This reaction force causes the ball to accelerate, but because the ball is
so much more massive than the pin, the ball’s acceleration is much less than the pin’s
acceleration.

Although F and a are large for the pin, they vary in time—a complicated situation!

One of the main objectives of this chapter is to enable you to understand and analyze
such events in a simple way. First, we introduce the concept of momentum, which is use-
ful for describing objects in motion. Imagine that you have intercepted a football and
see two players from the opposing team approaching you as you run with the ball. One
of the players is the 180-lb quarterback who threw the ball; the other is a 300-lb line-
man. Both of the players are running toward you at 5 m/s. However, because the two
players have different masses, intuitively you know that you would rather collide with
the quarterback than with the lineman. The momentum of an object is related to both
its mass and its velocity. The concept of momentum leads us to a second conservation
law, that of conservation of momentum. This law is especially useful for treating prob-
lems that involve collisions between objects and for analyzing rocket propulsion. In this
chapter we also introduce the concept of the center of mass of a system of particles.
We find that the motion of a system of particles can be described by the motion of one
representative particle located at the center of mass.

9.1 Linear Momentum and Its Conservation

In the preceding two chapters we studied situations that are complex to analyze with
Newton’s  laws.  We  were  able  to  solve  problems  involving  these  situations  by  apply-
ing a conservation  principle—conservation  of  energy.  Consider  another  situation—a
60-kg archer stands on frictionless ice and fires a 0.50-kg arrow horizontally at 50 m/s.
From Newton’s third law, we know that the force that the bow exerts on the arrow will
be matched by a force in the opposite direction on the bow (and the archer). This will
cause the archer to begin to slide backward on the ice. But with what speed? We can-
not  answer  this  question  directly  using  either Newton’s  second  law  or  an  energy
approach—there is not enough information.

Despite our inability to solve the archer problem using our techniques learned so far,

this is a very simple problem to solve if we introduce a new quantity that describes mo-
tion, linear momentum. Let us apply the General Problem-Solving Strategy and conceptual-
ize an isolated system of two particles (Fig. 9.1) with masses m

1

and m

2

and moving with

velocities 

v

1

and 

v

2

at an instant of time. Because the system is isolated, the only force on

252