Physics For Scientists And Engineers 6E - part 61

Problems

241

where E is the seismic wave energy in joules. According to
this  model,  what  is  the  magnitude  of  the  demonstration
quake?  (It  did  not  register  above  background  noise  over-
seas or on the seismograph of the Wolverton Seismic Vault,
Hampshire.)
A  bead  slides  without  friction  around  a  loop-the-loop
(Fig. P8.5). The bead is released from a height h " 3.50R.
(a) What is its speed at point !? (b) How large is the nor-
mal force on it if its mass is 5.00 g? 

5.

M "

log E # 4.8

1.5

6. Dave  Johnson,  the  bronze  medalist  at  the  1992  Olympic

decathlon  in  Barcelona,  leaves  the  ground  at  the  high
jump  with  vertical  velocity  component  6.00 m/s.  How  far
does his center of mass move up as he makes the jump?

7.

A  glider  of  mass  0.150 kg  moves  on  a  horizontal  friction-
less  air  track.  It  is  permanently  attached  to  one  end  of  a
massless  horizontal  spring,  which  has  a  force  constant  of
10.0 N/m  both  for  extension  and  for  compression.  The
other  end  of  the  spring  is  fixed.  The  glider  is  moved  to
compress  the  spring  by  0.180 m  and  then  released  from
rest.  Calculate  the  speed  of  the  glider  (a)  at  the  point
where it has moved 0.180 m from its starting point, so that
the spring is momentarily exerting no force and (b) at the
point where it has moved 0.250 m from its starting point.

8.

A  loaded  ore  car  has  a  mass  of  950 kg  and  rolls  on  rails
with negligible friction. It starts from rest and is pulled up
a mine shaft by a cable connected to a winch. The shaft is
inclined at 30.0° above the horizontal. The car accelerates
uniformly  to  a  speed  of  2.20 m/s  in  12.0 s  and  then  con-
tinues at constant speed. (a) What power must the winch
motor provide when the car is moving at constant speed?
(b) What maximum power must the winch motor provide?
(c)  What  total  energy  transfers  out  of  the  motor  by  work
by the time the car moves off the end of the track, which
is of length 1 250 m?

9.

A  simple  pendulum,  which  we  will  consider  in  detail  in
Chapter  15,  consists  of  an  object  suspended  by  a  string.
The object is assumed to be a particle. The string, with its
top end fixed, has negligible mass and does not stretch. In
the  absence  of  air  friction,  the  system  oscillates  by  swing-
ing  back  and  forth  in  a  vertical  plane.  If  the  string  is
2.00 m  long  and  makes  an  initial  angle  of  30.0° with  the

vertical, calculate the speed of the particle (a) at the low-
est point in its trajectory and (b) when the angle is 15.0°.

10.

An object of mass m starts from rest and slides a distance d
down a frictionless incline of angle &. While sliding, it con-
tacts  an  unstressed  spring  of  negligible  mass  as  shown  in
Figure P8.10. The object slides an additional distance x as
it  is  brought  momentarily  to  rest  by  compression  of  the
spring (of force constant k). Find the initial separation d
between object and spring.

A block of mass 0.250 kg is placed on top of a light vertical
spring of force constant 5 000 N/m and pushed downward
so  that  the  spring  is  compressed  by  0.100 m.  After  the
block  is  released  from  rest,  it  travels  upward  and  then
leaves  the  spring.  To  what  maximum  height  above  the
point of release does it rise?

12.

A circus trapeze consists of a bar suspended by two parallel
ropes, each of length !, allowing performers to swing in a
vertical  circular  arc  (Figure  P8.12).  Suppose  a  performer
with  mass  m holds  the  bar  and  steps  off  an  elevated  plat-
form, starting from rest with the ropes at an angle &

i

with

respect to the vertical. Suppose the size of the performer’s
body is small compared to the length !, that she does not
pump the trapeze to swing higher, and that air resistance is
negligible. (a) Show that when the ropes make an angle &
with the vertical, the performer must exert a force

in order to hang on. (b) Determine the angle &

i

for which

mg(3

 

cos

 

& #

2

 

cos &

i

)

11.

h

R

!

Figure P8.5

Figure P8.12

Figure P8.10

m

d

k

θ

!

θ

242

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

the force needed to hang on at the bottom of the swing is
twice the performer’s weight.

Two objects are connected by a light string passing over a
light frictionless pulley as shown in Figure P8.13. The ob-
ject of mass 5.00 kg is released from rest. Using the princi-
ple of conservation of energy, (a) determine the speed of
the  3.00-kg  object  just  as  the  5.00-kg  object  hits  the
ground.  (b)  Find  the  maximum  height  to  which  the 
3.00-kg object rises.

13.

14.

Two objects are connected by a light string passing over a
light  frictionless  pulley  as  in  Figure  P8.13.  The  object  of
mass m

1

is released from rest at height h. Using the princi-

ple of conservation of energy, (a) determine the speed of
m

2

just  as  m

1 

hits  the  ground.  (b)  Find  the  maximum

height to which m

2

rises.

15.

A light rigid rod is 77.0 cm long. Its top end is pivoted on a
low-friction  horizontal  axle.  The  rod  hangs  straight  down
at rest with a small massive ball attached to its bottom end.
You strike the ball, suddenly giving it a horizontal velocity
so  that  it  swings  around  in  a  full  circle.  What  minimum
speed at the bottom is required to make the ball go over
the top of the circle?

16.

Air  moving  at  11.0 m/s  in  a  steady  wind  encounters  a
windmill  of  diameter  2.30 m  and  having  an  efficiency  of
27.5%.  The  energy  generated  by  the  windmill  is  used  to
pump  water  from  a  well  35.0 m  deep  into  a  tank  2.30 m
above the ground. At what rate in liters per minute can wa-
ter be pumped into the tank? 

17.

A 20.0-kg cannon ball is fired from a cannon with muzzle
speed of 1 000 m/s at an angle of 37.0° with the horizon-
tal. A second ball is fired at an angle of 90.0°. Use the con-
servation  of  energy  principle  to  find  (a)  the  maximum
height reached by each ball and (b) the total mechanical
energy at the maximum height for each ball. Let y " 0 at
the cannon.

18.

A 2.00-kg ball is attached to the bottom end of a length of
fishline with a breaking strength of 10 lb (44.5 N). The top
end  of  the  fishline  is  held  stationary.  The  ball  is  released
from rest with the line taut and horizontal (& " 90.0°). At
what angle & (measured from the vertical) will the fishline
break?

19.

A  daredevil  plans  to  bungee-jump  from  a  balloon  65.0 m
above a carnival midway (Figure P8.19). He will use a uni-
form  elastic  cord,  tied  to  a  harness  around  his  body,  to
stop his fall at a point 10.0 m above the ground. Model his
body as a particle and the cord as having negligible mass
and  obeying  Hooke’s  force  law.  In  a  preliminary  test,
hanging at rest from a 5.00-m length of the cord, he finds
that  his  body  weight  stretches  it  by  1.50 m.  He  will  drop
from rest at the point where the top end of a longer sec-
tion  of  the  cord  is  attached  to  the  stationary  balloon.
(a) What  length  of  cord  should  he  use?  (b)  What  maxi-
mum acceleration will he experience?

20.

Review  problem. The  system  shown  in  Figure  P8.20  con-
sists  of  a  light  inextensible  cord,  light  frictionless  pulleys,
and blocks of equal mass. It is initially held at rest so that
the blocks are at the same height above the ground. The
blocks are then released. Find the speed of block A at the
moment when the vertical separation of the blocks is h. 

Section 8.3 Conservative and Nonconservative Forces

A 4.00-kg particle moves from the origin to position C, hav-
ing coordinates x " 5.00 m and y " 5.00 m. One force on
the particle is the gravitational force acting in the negative
y direction (Fig. P8.21). Using Equation 7.3, calculate the

21.

Figure P8.13 Problems 13 and 14.

h " 4.00 m

m

2

 " 3.00 kg

m

1

 " 5.00 kg

Figure P8.19

Figure P8.20

A

B

Gamma

Problems

243

22.

(a)  Suppose  that  a  constant  force  acts  on  an  object.  The
force does not vary with time, nor with the position or the
velocity of the object. Start with the general definition for
work done by a force

and  show  that  the  force  is  conservative.  (b)  As  a  special
case, suppose that the force 

N acts on a par-

ticle that moves from O to C in Figure P8.21. Calculate the
work done by F if the particle moves along each one of the
three  paths  OAC,  OBC,  and  OC.  (Your  three  answers
should be identical.)
A force acting on a particle moving in the xy plane is given
by 

,  where  x and  y are  in  meters.  The

particle  moves  from  the  origin  to  a  final  position  having
coordinates x " 5.00 m and y " 5.00 m, as in Figure P8.21.
Calculate  the  work  done  by  F along  (a)  OAC,  (b)  OBC,
(c) OC. (d) Is F conservative or nonconservative? Explain.

24.

A  particle  of  mass  m " 5.00 kg  is  released  from  point  !
and slides on the frictionless track shown in Figure P8.24.
Determine (a) the particle’s speed at points " and # and
(b) the net work done by the gravitational force in moving
the particle from ! to #.

F " (2y

 

iˆ % x

 

2

 

jˆ) N

23.

F " (3iˆ % 4jˆ)

W "

%

f

i

F ! dr

Section 8.4 Changes in Mechanical Energy for

Nonconservative Forces

26. At time t

i

, the kinetic energy of a particle is 30.0 J and the

potential energy of the system to which it belongs is 10.0 J.
At some later time t

f

, the kinetic energy of the particle is

18.0 J.  (a)  If  only  conservative  forces  act  on  the  particle,
what are the potential energy and the total energy at time
t

f

?  (b)  If  the  potential  energy  of  the  system  at  time  t

f

is

5.00 J, are there any nonconservative forces acting on the
particle? Explain.

27.

In  her  hand  a  softball  pitcher  swings  a  ball  of  mass
0.250 kg around a vertical circular path of radius 60.0 cm
before releasing it from her hand. The pitcher maintains a
component  of  force  on  the  ball  of  constant  magnitude
30.0 N  in  the  direction  of  motion  around  the  complete
path.  The  speed  of  the  ball  at  the  top  of  the  circle  is
15.0 m/s. If she releases the ball at the bottom of the cir-
cle, what is its speed upon release?

28. An  electric  scooter  has  a  battery  capable  of  supplying 

120  Wh  of  energy.  If  friction  forces  and  other  losses  ac-
count for 60.0% of the energy usage, what altitude change
can  a  rider  achieve  when  driving  in  hilly  terrain,  if  the
rider and scooter have a combined weight of 890 N?

29.

The  world’s  biggest  locomotive  is  the  MK5000C,  a  behe-
moth of mass 160 metric tons driven by the most powerful
engine  ever  used  for  rail  transportation,  a  Caterpillar
diesel capable of 5 000 hp. Such a huge machine can pro-
vide  a  gain  in  efficiency,  but  its  large  mass  presents  chal-
lenges as well. The engineer finds that the locomotive han-
dles  differently  from  conventional  units,  notably  in
braking  and  climbing  hills.  Consider  the  locomotive
pulling no train, but traveling at 27.0 m/s on a level track
while operating with output power 1 000 hp. It comes to a
5.00%  grade  (a  slope  that  rises  5.00 m  for  every  100 m
along the track). If the throttle is not advanced, so that the
power  level  is  held  steady,  to  what  value  will  the  speed
drop?  Assume  that  friction  forces  do  not  depend  on  the
speed.

30.

A 70.0-kg diver steps off a 10.0-m tower and drops straight
down  into  the  water.  If  he  comes  to  rest  5.00 m  beneath
the surface of the water, determine the average resistance
force exerted by the water on the diver.

The coefficient of friction between the 3.00-kg block

and the surface in Figure P8.31 is 0.400. The system starts
from rest. What is the speed of the 5.00-kg ball when it has
fallen 1.50 m?

31.

Figure P8.21 Problems 21, 22 and 23.

(5.00, 5.00) m

C

B

y

x

A

O

Figure P8.24

Figure P8.31

3.20 m

!

"

#

m

2.00 m

5.00 m

25. A  single  constant  force 

acts  on  a  4.00-kg

particle.  (a)  Calculate  the  work  done  by  this  force  if  the
particle moves from the origin to the point having the vec-
tor  position 

.  Does  this  result  depend  on

the path? Explain. (b) What is the speed of the particle at

r if  its  speed  at  the  origin  is  4.00 m/s?  (c)  What  is  the
change in the potential energy?

r " (2 iˆ # 3jˆ) m

F " (3iˆ % 5jˆ) N

3.00 kg

5.00 kg

work done by the gravitational force in going from O to C
along (a) OAC. (b) OBC. (c) OC. Your results should all be
identical. Why?

244

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

32. A boy in a wheelchair (total mass 47.0 kg) wins a race with

a skateboarder. The boy has speed 1.40 m/s at the crest of
a slope 2.60 m high and 12.4 m long. At the bottom of the
slope his speed is 6.20 m/s. If air resistance and rolling re-
sistance  can  be  modeled  as  a  constant  friction  force  of
41.0 N,  find  the  work  he  did  in  pushing  forward  on  his
wheels during the downhill ride.

A 5.00-kg block is set into motion up an inclined plane with

an initial speed of 8.00 m/s (Fig. P8.33). The block comes to
rest after traveling 3.00 m along the plane, which is inclined
at an angle of 30.0° to the horizontal. For this motion deter-
mine  (a)  the  change  in  the  block’s  kinetic  energy,  (b)  the
change  in  the  potential  energy  of  the  block–Earth  system,
and (c) the friction force exerted on the block (assumed to
be constant). (d) What is the coefficient of kinetic friction? 

33.

negligible mass. The coefficient of kinetic friction between
the  50.0 kg  block  and  incline  is  0.250.  Determine  the
change  in  the  kinetic  energy  of  the  50.0-kg  block  as  it
moves from ! to ", a distance of 20.0 m.

37.

A  1.50-kg  object  is  held  1.20 m  above  a  relaxed  massless
vertical spring with a force constant of 320 N/m. The ob-
ject is dropped onto the spring. (a) How far does it com-
press  the  spring?  (b)  What  If? How  far  does  it  compress
the  spring  if  the  same  experiment  is  performed  on  the
Moon, where g " 1.63 m/s

2

? (c) What If? Repeat part (a),

but  this  time  assume  a  constant  air-resistance  force  of
0.700 N acts on the object during its motion.

38.

A  75.0-kg  skysurfer  is  falling  straight  down  with  terminal
speed  60.0 m/s.  Determine  the  rate  at  which  the
skysurfer–Earth system is losing mechanical energy.

39.

A  uniform  board  of  length  L is  sliding  along  a  smooth
(frictionless)  horizontal  plane  as  in  Figure  P8.39a.  The
board  then  slides  across  the  boundary  with  a  rough  hori-
zontal surface. The coefficient of kinetic friction between
the board and the second surface is )

k

. (a) Find the accel-

eration of the board at the moment its front end has trav-
eled  a  distance  x beyond  the  boundary.  (b)  The  board
stops at the moment its back end reaches the boundary, as
in Figure P8.39b. Find the initial speed v of the board.

Section 8.5 Relationship Between Conservative

Forces and Potential Energy

40.

A  single  conservative  force  acting  on  a  particle  varies  as

, where A and B are constants and x is

in meters. (a) Calculate the potential-energy function U(x)
associated with this force, taking U " 0 at x " 0. (b) Find
the change in potential energy and the change in kinetic
energy  as  the  particle  moves  from  x " 2.00 m  to
x " 3.00 m.

A single conservative force acts on a 5.00-kg particle.

41.

F " (#

 

Ax % Bx

2

)

iˆ N

34.

An 80.0-kg skydiver jumps out of a balloon at an altitude of
1 000 m and opens the parachute at an altitude of 200 m.
(a) Assuming that the total retarding force on the diver is
constant at 50.0 N with the parachute closed and constant
at 3 600 N with the parachute open, what is the speed of
the diver when he lands on the ground? (b) Do you think
the  skydiver  will  be  injured?  Explain.  (c)  At  what  height
should the parachute be opened so that the final speed of
the skydiver when he hits the ground is 5.00 m/s? (d) How
realistic is the assumption that the total retarding force is
constant? Explain.

35.

A toy cannon uses a spring to project a 5.30-g soft rubber
ball.  The  spring  is  originally  compressed  by  5.00 cm  and
has  a  force  constant  of  8.00 N/m.  When  the  cannon  is
fired, the ball moves 15.0 cm through the horizontal bar-
rel of the cannon, and there is a constant friction force of
0.032 0 N between the barrel and the ball. (a) With what
speed does the projectile leave the barrel of the cannon?
(b)  At  what  point  does  the  ball  have  maximum  speed? 
(c) What is this maximum speed?

36.

A  50.0-kg  block  and  a  100-kg  block  are  connected  by  a
string as in Figure P8.36. The pulley is frictionless and of

Figure P8.33

3.00 m

v

i

 = 8.00 m/s

30.0

°

50.0 kg

100 kg

37.0

°

v

!

"

Figure P8.36

(a)

(b)

v

Boundary

Figure P8.39

The equation F

x

"

(2x % 4) N describes the force, where x

is  in  meters.  As  the  particle  moves  along  the  x axis  from 
x " 1.00 m to x " 5.00 m, calculate (a) the work done by
this  force,  (b)  the  change  in  the  potential  energy  of  the
system,  and  (c)  the  kinetic  energy  of  the  particle  at 
x " 5.00 m if its speed is 3.00 m/s at x " 1.00 m.

42.

A potential-energy function for a two-dimensional force is
of the form U " 3x

3

y # 7x. Find the force that acts at the

point (x, y).

The potential energy of a system of two particles sep-

43.

arated by a distance r is given by U(r) " A/r, where A is a
constant. Find the radial force 

F

r

that each particle exerts

on the other.