Physics For Scientists And Engineers 6E - part 62

Problems

245

Section 8.6 Energy Diagrams and Equilibrium 

of a System 

44. A right circular cone can be balanced on a horizontal sur-

face  in  three  different  ways.  Sketch  these  three  equilib-
rium configurations, and identify them as positions of sta-
ble, unstable, or neutral equilibrium.

45. For  the  potential  energy  curve  shown  in  Figure  P8.45, 

(a) determine whether the force F

x

is positive, negative, or

zero at the five points indicated. (b) Indicate points of sta-
ble,  unstable,  and  neutral  equilibrium.  (c)  Sketch  the
curve for F

x

versus x from x " 0 to x " 9.5 m.

have force constant k and each is initially unstressed. (a) If
the particle is pulled a distance x along a direction perpen-
dicular  to  the  initial  configuration  of  the  springs,  as  in
Figure P8.47, show that the potential energy of the system is

(Hint:  See  Problem  58  in  Chapter  7.)  (b)  Make  a  plot  of
U(x)  versus  x and  identify  all  equilibrium  points.  Assume
that  L " 1.20 m  and  k " 40.0 N/m.  (c)  If  the  particle  is
pulled  0.500 m  to  the  right  and  then  released,  what  is  its
speed when it reaches the equilibrium point x " 0?

U(x) " kx

2

%

2kL

 

(

L #

√

x

2

%

L

2

)

Additional Problems

48.

A block slides down a curved frictionless track and then up
an inclined plane as in Figure P8.48. The coefficient of ki-
netic friction between block and incline is )

k

. Use energy

methods to show that the maximum height reached by the
block is

y

max

"

h

1 % )

k

 

 cot &

49. Make  an  order-of-magnitude  estimate  of  your  power  out-

put as you climb stairs. In your solution, state the physical
quantities you take as data and the values you measure or
estimate  for  them.  Do  you  consider  your  peak  power  or
your sustainable power?

50.

Review problem. The mass of a car is 1 500 kg. The shape
of the body is such that its aerodynamic drag coefficient is
D " 0.330  and  the  frontal  area  is  2.50 m

2

.  Assuming  that

the drag force is proportional to v

2

and neglecting other

sources of friction, calculate the power required to main-
tain a speed of 100 km/h as the car climbs a long hill slop-
ing at 3.20°.

4

U ( J)

!

"

$

%

6

2

0

–2

–4

2

8

6

4

x(m)

#

Figure P8.45

46. A particle moves along a line where the potential energy of

its  system  depends  on  its  position  r as  graphed  in
Figure P8.46. In the limit as r increases without bound, U(r)
approaches %1 J. (a) Identify each equilibrium position for
this particle. Indicate whether each is a point of stable, un-
stable,  or  neutral  equilibrium.  (b)  The  particle  will  be
bound  if  the  total  energy  of  the  system  is  in  what  range?
Now  suppose  that  the  system  has  energy  #3 J.  Determine
(c) the range of positions where the particle can be found,
(d) its maximum kinetic energy, (e) the location where it
has maximum kinetic energy, and (f) the binding energy of
the system—that is, the additional energy that it would have
to be given in order for the particle to move out to r : 1 .

0

r(mm)

+2

U( J)

+4

+6

+2

–2

–4

–6

2

4

6

Figure P8.46

Figure P8.48

47.

A particle of mass 1.18 kg is attached between two identical
springs  on  a  horizontal  frictionless  tabletop.  The  springs

Top View

L

L

x

m

k

k

x

Figure P8.47

y

max

θ

h

246

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

block  moves  20.0 cm  down  the  incline  before  coming  to
rest. Find the coefficient of kinetic friction between block
and incline.

55.

Review  problem. Suppose  the  incline  is  frictionless  for
the  system  described  in  Problem  54  (Fig.  P8.54).  The
block  is  released  from  rest  with  the  spring  initially  un-
stretched. (a) How far does it move down the incline be-
fore  coming  to  rest?  (b)  What  is  its  acceleration  at  its
lowest  point?  Is  the  acceleration  constant?  (c)  Describe
the  energy  transformations  that  occur  during  the
descent.

56.

A child’s pogo stick (Fig. P8.56) stores energy in a spring
with  a  force  constant  of  2.50 0 10

4

N/m.  At  position  !

(x

A

" #

0.100 m),  the  spring  compression  is  a  maximum

and  the  child  is  momentarily  at  rest.  At  position  "
(x

B

"

0), the spring is relaxed and the child is moving up-

ward. At position #, the child is again momentarily at rest
at  the  top  of  the  jump.  The  combined  mass  of  child  and
pogo stick is 25.0 kg. (a) Calculate the total energy of the
child–stick–Earth  system  if  both  gravitational  and  elastic
potential  energies  are  zero  for  x " 0.  (b)  Determine  x

C

.

(c)  Calculate  the  speed  of  the  child  at  x " 0.  (d)  Deter-
mine  the  value  of  x for  which  the  kinetic  energy  of  the
system is a maximum. (e) Calculate the child’s maximum
upward speed.

2R/3

R

!

"

#

37.0

°

2.00 kg

k = 100 N/m

Figure P8.52 Problems 52 and 53.

Figure P8.54 Problems 54 and 55.

x

A

x

C

!

"

#

Figure P8.56

51.

Assume that you attend a state university that started out
as an agricultural college. Close to the center of the cam-
pus  is  a  tall  silo  topped  with  a  hemispherical  cap.  The
cap is frictionless when wet. Someone has somehow bal-
anced a pumpkin at the highest point. The line from the
center of curvature of the cap to the pumpkin makes an
angle  &

i

"

0° with  the  vertical.  While  you  happen  to  be

standing nearby in the middle of a rainy night, a breath
of wind makes the pumpkin start sliding downward from
rest. It loses contact with the cap when the line from the
center  of  the  hemisphere  to  the  pumpkin  makes  a  cer-
tain angle with the vertical. What is this angle?

52. A 200-g particle is released from rest at point ! along the

horizontal  diameter  on  the  inside  of  a  frictionless,  hemi-
spherical  bowl  of  radius  R " 30.0 cm  (Fig.  P8.52).  Calcu-
late  (a)  the  gravitational  potential  energy  of  the
particle–Earth system when the particle is at point ! rela-
tive  to  point  ", (b)  the  kinetic  energy  of  the  particle  at
point  ",  (c)  its  speed  at  point  ", and  (d)  its  kinetic
energy  and  the  potential  energy  when  the  particle  is  at
point #.

What  If? The  particle  described  in  Problem  52  (Fig.

P8.52)  is  released  from  rest  at  !,  and  the  surface  of  the
bowl is  rough.  The  speed  of  the  particle  at  " is  1.50 m/s.
(a) What is its kinetic energy at "? (b) How much mechani-
cal energy is transformed into internal energy as the particle
moves from ! to "? (c) Is it possible to determine the coef-
ficient of friction from these results in any simple manner?
Explain.

54.

A 2.00-kg block situated on a rough incline is connected to
a  spring  of  negligible  mass  having  a  spring  constant  of 
100 N/m (Fig. P8.54). The pulley is frictionless. The block
is released from rest when the spring is unstretched. The

53.

A 10.0-kg block is released from point ! in Figure P8.57.
The  track  is  frictionless  except  for  the  portion  between
points " and # , which has a length of 6.00 m. The block
travels  down  the  track,  hits  a  spring  of  force  constant 
2  250 N/m,  and  compresses  the  spring  0.300 m  from  its
equilibrium  position  before  coming  to  rest  momentarily.
Determine  the  coefficient  of  kinetic  friction  between  the
block and the rough surface between " and #.

57.

Problems

247

58.

The  potential  energy  function  for  a  system  is  given  by
U(x) " # x

3

%

2x

2

%

3x.  (a)  Determine  the  force  F

x

as  a

function of x. (b) For what values of x is the force equal to
zero?  (c)  Plot  U(x)  versus  x and  F

x

versus  x,  and  indicate

points of stable and unstable equilibrium.
A 20.0-kg block is connected to a 30.0-kg block by a string
that  passes  over  a  light  frictionless  pulley.  The  30.0-kg
block is connected to a spring that has negligible mass and
a  force  constant  of  250 N/m,  as  shown  in  Figure  P8.59.
The spring is unstretched when the system is as shown in
the figure, and the incline is frictionless. The 20.0-kg block
is  pulled  20.0 cm  down  the  incline  (so  that  the  30.0-kg
block  is  40.0 cm  above  the  floor)  and  released  from  rest.
Find  the  speed  of  each  block  when  the  30.0-kg  block  is
20.0 cm  above  the  floor  (that  is,  when  the  spring  is  un-
stretched).

59.

ences an average friction force of 7.00 N while sliding up
the track. (a) What is x? (b) What speed do you predict for
the block at the top of the track? (c) Does the block actu-
ally  reach  the  top  of  the  track,  or  does  it  fall  off  before
reaching the top?

20.0 kg

40.0

°

30.0 kg

20.0 cm

Figure P8.59

60.

A  1.00-kg  object  slides  to  the  right  on  a  surface  having  a
coefficient of kinetic friction 0.250 (Fig. P8.60). The object
has a speed of v

i

"

3.00 m/s when it makes contact with a

light spring that has a force constant of 50.0 N/m. The ob-
ject comes to rest after the spring has been compressed a
distance d. The object is then forced toward the left by the
spring and continues to move in that direction beyond the
spring’s unstretched position. Finally, the object comes to
rest a distance D to the left of the unstretched spring. Find
(a) the distance of compression d, (b) the speed v at the
unstretched position when the object is moving to the left,
and (c) the distance D where the object comes to rest.

A block of mass 0.500 kg is pushed against a horizon-

tal spring of negligible mass until the spring is compressed
a distance x (Fig. P8.61). The force constant of the spring
is 450 N/m. When it is released, the block travels along a
frictionless, horizontal surface to point B, the bottom of a
vertical circular track of radius R " 1.00 m, and continues
to  move  up  the  track.  The  speed  of  the  block  at  the  bot-
tom  of  the  track  is  v

B

"

12.0 m/s,  and  the  block  experi-

61.

v

k

v

i

d

v

f

 = 0

v = 0

D

m

Figure P8.60

T

v

T

v

B

B

R

m

k

x

Figure P8.61

62.

A uniform chain of length 8.00 m initially lies stretched out
on a horizontal table. (a) If the coefficient of static friction
between chain and table is 0.600, show that the chain will
begin to slide off the table if at least 3.00 m of it hangs over
the edge of the table. (b) Determine the speed of the chain

3.00 m

6.00 m

!

"

#

Figure P8.57

248

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

as all of it leaves the table, given that the coefficient of ki-
netic friction between the chain and the table is 0.400.

63.

A  child  slides  without  friction  from  a  height  h along  a
curved  water  slide  (Fig.  P8.63).  She  is  launched  from  a
height  h/5  into  the  pool.  Determine  her  maximum  air-
borne height y in terms of h and &.

h

θ

h/5

y

Figure P8.63

Wind

 

θ

L

F

D

φ

Tarzan

Jane

Figure P8.65

64.

Refer to the situation described in Chapter 5, Problem 65.
A  1.00-kg  glider  on  a  horizontal  air  track  is  pulled  by  a
string at angle &. The taut string runs over a light pulley at
height h

0

"

40.0 cm above the line of motion of the glider.

The other end of the string is attached to a hanging mass
of 0.500 kg as in Fig. P5.65. (a) Show that the speed of the
glider v

x

and the speed of the hanging mass v

y

are related

by  v

y

"

v

x

cos &.  The  glider  is  released  from  rest  when 

& "

30.0°.  Find  (b)  v

x

and  (c)  v

y

when  & " 45.0°.  (d)  Ex-

plain  why  the  answers  to  parts  (b)  and  (c)  to  Chapter  5,
Problem 65 do not help to solve parts (b) and (c) of this
problem.

65.

Jane,  whose  mass  is  50.0 kg,  needs  to  swing  across  a  river
(having width D) filled with man-eating crocodiles to save
Tarzan from danger. She must swing into a wind exerting
constant horizontal force 

F, on a vine having length L and

initially  making  an  angle  & with  the  vertical  (Fig.  P8.65).
Taking D " 50.0 m, F " 110 N, L " 40.0 m, and & " 50.0°,
(a) with what minimum speed must Jane begin her swing

!

" #

$

Figure P8.67

in order to just make it to the other side? (b) Once the res-
cue  is  complete,  Tarzan  and  Jane  must  swing  back  across
the river. With what minimum speed must they begin their
swing? Assume that Tarzan has a mass of 80.0 kg.

66.

A  5.00-kg  block  free  to  move  on  a  horizontal,  frictionless
surface is attached to one end of a light horizontal spring.
The  other  end  of  the  spring  is  held  fixed.  The  spring  is
compressed  0.100 m  from  equilibrium  and  released.  The
speed of the block is 1.20 m/s when it passes the equilib-
rium position of the spring. The same experiment is now
repeated with the frictionless surface replaced by a surface
for which the coefficient of kinetic friction is 0.300. Deter-
mine the speed of the block at the equilibrium position of
the spring.

67.

A skateboarder with his board can be modeled as a particle
of  mass  76.0 kg,  located  at  his  center  of  mass  (which  we
will  study  in  Chapter  9).  As  in  Figure  P8.67,  the  skate-
boarder starts from rest in a crouching position at one lip
of a half-pipe (point !). The half-pipe is a dry water chan-
nel, forming one half of a cylinder of radius 6.80 m with its
axis  horizontal.  On  his  descent,  the  skateboarder  moves
without friction so that his center of mass moves through
one quarter of a circle of radius 6.30 m. (a) Find his speed
at the bottom of the half-pipe (point "). (b) Find his cen-
tripetal  acceleration.  (c)  Find  the  normal  force  n

B

acting

on the skateboarder at point ". Immediately after passing
point ", he stands up and raises his arms, lifting his center
of  mass  from  0.500 m  to  0.950 m  above  the  concrete
(point #). To account for the conversion of chemical into
mechanical energy, model his legs as doing work by push-
ing  him  vertically  up,  with  a  constant  force  equal  to  the
normal force n

B

, over a distance of 0.450 m. (You will be

able to solve this problem with a more accurate model in
Chapter  11.)  (d)  What  is  the  work  done  on  the  skate-
boarder’s  body  in  this  process?  Next,  the  skateboarder
glides upward with his center of mass moving in a quarter
circle  of  radius  5.85 m.  His  body  is  horizontal  when  he
passes  point  $,  the  far  lip  of  the  half-pipe.  (e)  Find  his
speed  at  this  location.  At  last  he  goes  ballistic,  twisting
around while his center of mass moves vertically. (f) How
high above point $ does he rise? (g) Over what time inter-
val  is  he  airborne  before  he  touches  down,  2.34 m  below
the  level  of  point  $?  [Caution:  Do  not  try  this  yourself
without the required skill and protective equipment, or in
a drainage channel to which you do not have legal access.]