Physics For Scientists And Engineers 6E - part 58

SECTION 8.4 •  Changes in Mechanical Energy for Nonconservative Forces

229

This equation should look familiar to you. It is the general form of the equation for
work done by the gravitational force (Eq. 8.4) as an object moves relative to the Earth
and  that  for  the  work  done  by  the  spring  force  (Eq.  7.11)  as  the  extension  of  the
spring changes. 

Nonconservative Forces

A  force  is 

nonconservative if  it  does  not  satisfy  properties  1  and  2  for  conservative

forces. Nonconservative forces acting within a system cause a change in the mechanical
energy E

mech

of the system. We have defined mechanical energy as the sum of the ki-

netic and all potential energies. For example, if a book is sent sliding on a horizontal
surface that is not frictionless, the force of kinetic friction reduces the book’s kinetic
energy. As the book slows down, its kinetic energy decreases. As a result of the friction
force, the temperatures of the book and surface increase. The type of energy associ-
ated with temperature is internal energy, which we introduced in Chapter 7. Only part
of the book’s kinetic energy is transformed to internal energy in the book. The rest ap-
pears as internal energy in the surface. (When you trip and fall while running across a
gymnasium floor, not only does the skin on your knees warm up, so does the floor!)
Because the force of kinetic friction transforms the mechanical energy of a system into
internal energy, it is a nonconservative force.

As an example of the path dependence of the work, consider Figure 8.10. Suppose

you displace a book between two points on a table. If the book is displaced in a straight
line  along  the  blue  path  between  points  ! and  " in  Figure  8.10,  you  do  a  certain
amount of work against the kinetic friction force to keep the book moving at a con-
stant speed. Now, imagine that you push the book along the brown semicircular path
in  Figure  8.10.  You  perform  more  work  against  friction  along  this  longer  path  than
along the straight path. The work done depends on the path, so the friction force can-
not be conservative.

8.4 Changes in Mechanical Energy 

for Nonconservative Forces

As we have seen, if the forces acting on objects within a system are conservative, then
the mechanical energy of the system is conserved. However, if some of the forces acting
on objects within the system are not conservative, then the mechanical energy of the
system changes.

Consider the book sliding across the surface in the preceding section. As the book

moves through a distance d, the only force that does work on it is the force of kinetic
friction. This force causes a decrease in the kinetic energy of the book. This decrease
was calculated in Chapter 7, leading to Equation 7.20, which we repeat here:

(8.13)

Suppose, however, that the book is part of a system that also exhibits a change in po-
tential energy. In this case, # f

k

d is the amount by which the mechanical energy of the

system changes because of the force of kinetic friction. For example, if the book moves
on an incline that is not frictionless, there is a change in both the kinetic energy and
the gravitational potential energy of the book–Earth system. Consequently,

In general, if a friction force acts within a system,

(8.14)

where !U is the change in all forms of potential energy. Notice that Equation 8.14 re-
duces to Equation 8.9 if the friction force is zero.

!

E

mech

" !

K % !U " #

 

f

k

d

!

E

mech

" !

K % !U

g

" #

 

f

k

d

!

K " #

 

f

k

d

!

"

Figure 8.10 The work done

against the force of kinetic friction

depends on the path taken as the

book is moved from ! to ". The

work is greater along the red path

than along the blue path. 

Change in mechanical energy of

a system due to friction within

the system

230

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

Quick  Quiz  8.9

A  block  of  mass  m is  projected  across  a  horizontal  surface

with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block
and the surface. The same block is now projected across the horizontal surface with an
initial speed 2v. When the block has come to rest, how does the distance from the pro-
jection point compare to that in the first case? (a) It is the same. (b) It is twice as large.
(c) It is four times as large. (d) The relationship cannot be determined.

Quick Quiz 8.10

A block of mass m is projected across a horizontal surface

with an initial speed v. It slides until it stops due to the friction force between the block
and the surface. The surface is now tilted at 30°, and the block is projected up the sur-
face with the same initial speed v. Assume that the friction force remains the same as
when  the  block  was  sliding  on  the  horizontal  surface.  When  the  block  comes  to  rest
momentarily, how does the decrease in mechanical energy of the block–surface–Earth
system  compare  to  that  when  the  block  slid  over  the  horizontal  surface?  (a)  It  is  the
same. (b) It is larger. (c) It is smaller. (d) The relationship cannot be determined.

P R O B L E M - S O LV I N G   H I N T S

Isolated Systems—Nonconservative Forces

You should incorporate the following procedure when you apply energy methods
to a system in which nonconservative forces are acting:

•

Follow the procedure in the first three bullets of the Problem-Solving Hints in
Section 8.2. If nonconservative forces act within the system, the third bullet
should tell you to use the techniques of this section. 

•

Write expressions for the total initial and total final mechanical energies of
the system. The difference between the total final mechanical energy and the
total initial mechanical energy equals the change in mechanical energy of
the system due to friction.

Example 8.6 Crate Sliding Down a Ramp

A  3.00-kg  crate  slides  down  a  ramp.  The  ramp  is  1.00 m  in
length and inclined at an angle of 30.0°, as shown in Figure
8.11. The crate starts from rest at the top, experiences a con-
stant  friction  force  of  magnitude  5.00 N,  and  continues  to
move a short distance on the horizontal floor after it leaves
the  ramp.  Use  energy  methods  to  determine  the  speed  of
the crate at the bottom of the ramp.

Solution Because  v

i

"

0,  the  initial  kinetic  energy  of  the

crate–Earth system when the crate is at the top of the ramp
is zero. If the y coordinate is measured from the bottom of
the ramp (the final position of the crate, for which the gravi-
tational potential energy of the system is zero) with the up-
ward direction being positive, then y

i

"

0.500 m. Therefore,

the total mechanical energy of the system when the crate is
at the top is all potential energy:

"

(3.00 kg)(9.80 m/s

2

)(0.500 m) " 14.7 J

E

i

"

K

i

%

U

i

"

0 % U

i

"

mgy

i

When the crate reaches the bottom of the ramp, the po-

tential energy of the system is zero because the elevation of

30.0

°

v

f

d = 1.00 m

v

i

 = 0

0.500 m

Figure 8.11 (Example 8.6) A crate slides down a ramp under

the influence of gravity. The potential energy decreases while

the kinetic energy increases. 

SECTION 8.4 •  Changes in Mechanical Energy for Nonconservative Forces

231

Example 8.7 Motion on a Curved Track

A  child  of  mass  m rides  on  an  irregularly  curved  slide  of
height h " 2.00 m, as shown in Figure 8.12. The child starts
from rest at the top.

(A)

Determine his speed at the bottom, assuming no friction

is present.

Solution Although  you  have  no  experience  on  totally 
frictionless  surfaces,  you  can  conceptualize  that  your 
speed  at  the  bottom  of  a  frictionless  ramp  would  be 
greater  than  in  the  situation  in  which  friction  acts. If  we
tried  to  solve  this  problem  with  Newton’s  laws,  we  would
have  a  difficult  time  because  the  acceleration  of  the  child
continuously  varies  in  direction  due  to  the  irregular  shape
of the slide. The child–Earth system is isolated and friction-
less, however, so we can categorize this as a conservation of
energy problem and search for a solution using the energy
approach. (Note that the normal force 

n does no work on

the  child  because  this  force  is  always  perpendicu-
lar  to  each  element  of  the  displacement.)  To  analyze  the 
situation,  we  measure  the  y coordinate  in  the  upward  di-
rection  from  the  bottom  of  the  slide  so  that  y

i

"

h,  y

f

"

0,

and we obtain

Note that the result is the same as it would be had the child
fallen  vertically  through  a  distance  h!  In  this  example, 
h " 2.00 m, giving

6.26

 

m/s

"

v

f

"

√

2gh "

√

2(9.80 m/s

2

)(2.00 m)

v

f

"

√

2gh

 

1

2

 

mv

f

2

%

0 " 0 % mgh

K

f

%

U

f

"

K

i

%

U

i

the crate is y

f

"

0. Therefore, the total mechanical energy of

the system when the crate reaches the bottom is all kinetic
energy:

We cannot say that E

i

"

E

f

because a nonconservative force

reduces  the  mechanical  energy  of  the  system.  In  this  case,
Equation 8.14 gives !E

mech

" #

f

k

d, where d is the distance

the crate moves along the ramp. (Remember that the forces
normal to the ramp do no work on the crate because they
are  perpendicular  to  the  displacement.)  With  f

k

"

5.00 N

and d " 1.00 m, we have

Applying Equation 8.14 gives

What  If?

A  cautious  worker  decides  that  the  speed  of  the

crate when it arrives at the bottom of the ramp may be so large

2.54 m/s

v

f

"

v

f

2

"

19.4 J

3.00 kg

"

6.47 m

2

/s

2

(2)

     

1

2

 

mv

f

2

"

14.7 J # 5.00 J " 9.70 J

E

f

#

E

i

"

1

2

 

mv

2

f

#

mgy

i

" #

 

f

k

d

(1)

     

 # 

 

f

k

d " (#

 

5.00 N)(1.00 m) "#5.00 J

E

f

"

K

f

%

U

f

"

1

2

 

mv

2

f

%

0

that its contents may be damaged. Therefore, he replaces the
ramp with a longer one such that the new ramp makes an an-
gle  of  25° with  the  ground.  Does  this  new  ramp  reduce  the
speed of the crate as it reaches the ground?

Answer Because the ramp is longer, the friction force will
act  over  a  longer  distance  and  transform  more  of  the  me-
chanical  energy  into  internal  energy.  This  reduces  the  ki-
netic energy of the crate, and we expect a lower speed as it
reaches the ground.

We can find the length d of the new ramp as follows:

Now, Equation (1) becomes

and Equation (2) becomes

leading to

The  final  speed  is  indeed  lower  than  in  the  higher-angle
case.

v

f

"

2.42 m/s

 

1

2

 

mv

2

f

"

14.7 J # 5.90 J " 8.80 J

#

f

k

d " (#

 

5.00 N)(1.18 m) " #

 

5.90 J

sin

  

25( "

0.500 m

d

9:

d "

0.500 m

sin

 

25(

"

1.18 m

2.00 m

n

F

g 

= m g

Figure 8.12 (Example 8.7) If the slide is frictionless, the

speed of the child at the bottom depends only on the height of

the slide.

232

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

Example 8.8 Let’s Go Skiing!

(B)

If  a  force  of  kinetic  friction  acts  on  the  child,  how 

much mechanical energy does the system lose? Assume that 
v

f

"

3.00 m/s and m " 20.0 kg.

Solution We  categorize  this  case,  with  friction,  as  a  prob-
lem in which a nonconservative force acts. Hence, mechani-
cal energy is not conserved, and we must use Equation 8.14
to find the loss of mechanical energy due to friction:

Again,  !E

mech

is  negative  because  friction  is  reducing  the

mechanical energy of the system. (The final mechanical en-
ergy is less than the initial mechanical energy.)

What If?

Suppose you were asked to find the coefficient of

friction 

"

k

for the child on the slide. Could you do this?

#

 

302 J

"

#

(20.0 kg)(9.80 m/s

2

)(2.00 m)

"

1

2

 

(20.0 kg)(3.00 m/s)

2

"

(

1

2

 

mv

2

f

%

0) # (0 % mgh) "  

1

2

 

mv

f

2

#

mgh

!

E

mech

"

(K

f

%

U

f

 

) # (K

i

%

U

i

)

Answer We  can  argue  that  the  same  final  speed  could  be
obtained by having the child travel down a short slide with
large  friction  or  a  long  slide  with  less  friction.  Thus,  there
does not seem to be enough information in the problem to
determine the coefficient of friction.

The energy loss of 302 J must be equal to the product of

the friction force and the length of the slide:

We can also argue that the friction force can be expressed
as  )

k

n,  where  n is  the  magnitude  of  the  normal  force.

Thus,

If we try to evaluate the coefficient of friction from this rela-
tionship, we run into two problems. First, there is no single
value of the normal force n unless the angle of the slide rela-
tive to the horizontal remains fixed. Even if the angle were
fixed, we do not know its value. The second problem is that
we do not have information about the length d of the slide.
Thus, we cannot find the coefficient of friction from the in-
formation given.

)

k

nd " 302 J

#

f

k

d " #

 

 302 J

A skier starts from rest at the top of a frictionless incline of
height 20.0 m, as shown in Figure 8.13. At the bottom of the
incline, she encounters a horizontal surface where the coef-
ficient  of  kinetic  friction  between  the  skis  and  the  snow  is
0.210. How far does she travel on the horizontal surface be-
fore coming to rest, if she simply coasts to a stop?

Solution The  system  is  the  skier  plus  the  Earth,  and  we
choose as our configuration of zero potential energy that in

which  the  skier  is  at  the  bottom  of  the  incline.  While  the
skier is on the frictionless incline, the mechanical energy of
the  system  remains  constant,  and  we  find,  as  we  did  in
Example 8.7, that

Now  we  apply  Equation  8.14  as  the  skier  moves  along
the rough horizontal surface from " to #. The change
in mechanical  energy  along  the  horizontal  surface  is

v

B

"

√

2gh "

√

2(9.80 m/s

2

)(20.0 m) " 19.8 m/s

d

20.0

°

20.0 m

x

y

!

"

#

Figure 8.13 (Example 8.8) The skier slides down the slope and onto a level surface,

stopping after a distance d from the bottom of the hill.