Physics For Scientists And Engineers 6E - part 57

SECTION 8.2 •  The Isolated System–Conservation of Mechanical Energy

225

You are designing an apparatus to support an actor of mass
65 kg  who  is  to  “fly”  down  to  the  stage  during  the  perfor-
mance of a play. You attach the actor’s harness to a 130-kg
sandbag  by  means  of  a  lightweight  steel  cable  running

smoothly over two frictionless pulleys, as in Figure 8.8a. You
need  3.0 m  of  cable  between  the  harness  and  the  nearest
pulley  so  that  the  pulley  can  be  hidden  behind  a  curtain.
For  the  apparatus  to  work  successfully,  the  sandbag  must

Note  that  this  result  is  consistent  with  the  expression

from kinematics, where y

i

"

h. Fur-

thermore, this result is valid even if the initial velocity is at
an angle to the horizontal (Quick Quiz 8.6) for two reasons:
(1) energy is a scalar, and the kinetic energy depends only
on the magnitude of the velocity; and (2) the change in the

v

yf

 

2

"

v

2

yi

#

2g(y

f

#

y

i

)

√

v

2

i

%

2g

 

(h # y)

v

f

"

v

2

f

"

v

2

i

%

2g (h # y)

gravitational  potential  energy  depends  only  on  the  change
in position in the vertical direction.

What If?

What if the initial velocity v

i

in part (B) were down-

ward? How would this affect the speed of the ball at position y ?

Answer We  might  be  tempted  to  claim  that  throwing  it
downward would result in it having a higher speed at y than
if  we  threw  it  upward.  Conservation  of  mechanical  energy,
however, depends  on kinetic  and  potential energies, which
are scalars. Thus, the direction of the initial velocity vector
has no bearing on the final speed.

Example 8.3 The Pendulum

A  pendulum  consists  of  a  sphere  of  mass  m attached  to  a
light cord of length L, as shown in Figure 8.7. The sphere is
released from rest at point ! when the cord makes an angle
&

A

with the vertical, and the pivot at P is frictionless. 

(A)

Find  the  speed  of  the  sphere  when  it  is  at  the  lowest

point ".

Solution The  only  force  that  does  work  on  the  sphere  is
the gravitational force. (The force applied by the cord is al-
ways  perpendicular  to  each  element  of  the  displacement
and hence does no work.) Because the pendulum–Earth sys-
tem is isolated, the energy of the system is conserved. As the
pendulum  swings,  continuous  transformation  between  po-
tential and kinetic energy occurs. At the instant the pendu-
lum is released, the energy of the system is entirely potential
energy.  At  point  " the  pendulum  has  kinetic  energy,  but
the system has lost some potential energy. At # the system

has regained its initial potential energy, and the kinetic en-
ergy of the pendulum is again zero.

If  we  measure  the  y coordinates  of  the  sphere  from  the

center  of  rotation,  then  y

A

" #

L cos &

A

and y

B

" #

L.

Therefore, U

A

" #

mg L cos &

A

and U

B

" #

mgL .

Applying the principle of conservation of mechanical en-

ergy to the system gives

(1)

(B)

What is the tension T

B

in the cord at "?

Solution Because  the  tension  force  does  no  work,  it  does
not enter into an energy equation, and we cannot determine
the tension using the energy method. To find T

B

, we can ap-

ply Newton’s second law to the radial direction. First, recall
that the centripetal acceleration of a particle moving in a cir-
cle  is  equal  to  v

2

/r directed  toward  the  center  of  rotation.

Because r " L in this example, Newton’s second law gives

Substituting  Equation  (1)  into  Equation  (2)  gives  the  ten-
sion at point " as a function of &

A

:

"

From  Equation  (2)  we  see  that  the  tension  at  " is  greater
than  the  weight  of  the  sphere.  Furthermore,  Equation  (3)
gives the expected result that T

B

"

mg when the initial angle

&

A

"

0.  Note  also  that  part  (A)  of  this  example  is  catego-

rized as an energy problem while part (B) is categorized as a
Newton’s second law problem.

mg(3 # 2 cos &

A

 

)

(3)

        T

B

"

mg % 2mg

 

(1 # cos &

A

)

(2)

           

$

 F

r

"

mg # T

B

"

ma

r

" #

m 

 

v

B

 

2

L

v

B

"

√

2gL(1 # cos &

A

)

1

2

mv

B

2

#

mgL " 0 # mgL

  

cos &

A

K

B

%

U

B

"

K

A

%

U

A

#

"

!

θ

A

L cos 

θ

A

L

T

P

m

 

g

θ

θ

Figure 8.7 (Example 8.3) If the sphere is released from rest at

the angle 

&

A

, it will never swing above this position during its

motion. At the start of the motion, when the sphere is at

position !, the energy of the sphere–Earth system is entirely

potential. This initial potential energy is transformed into

kinetic energy when the sphere is at the lowest elevation ". As

the sphere continues to move along the arc, the energy again

becomes entirely potential energy when the sphere is at #.

Example 8.4 A Grand Entrance

Compare  the  effect  of  upward,  downward,  and  zero  initial  velocities  at  the  Interactive  Worked  Example  link  at
http://www.pse6.com.

Interactive

226

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

never lift above the floor as the actor swings from above the
stage to the floor. Let us call the initial angle that the actor’s
cable makes with the vertical &. What is the maximum value
&

can have before the sandbag lifts off the floor?

Solution We must use several concepts to solve this prob-
lem. To conceptualize, imagine what happens as the actor
approaches  the  bottom  of  the  swing.  At  the  bottom,  the
cable  is  vertical  and  must  support  his  weight  as  well  as
provide centripetal acceleration of his body in the upward
direction.  At  this  point,  the  tension  in  the  cable  is  the
highest and the sandbag is most likely to lift off the floor.
Looking  first  at  the  swinging  of  the  actor  from  the
initial point  to  the  lowest  point,  we  categorize  this  as  an
energy  problem  involving  an  isolated  system—the  actor
and the Earth. We use the principle of conservation of me-
chanical energy for the system to find the actor’s speed as
he  arrives  at  the  floor  as  a  function  of  the  initial  angle  &
and  the  radius  R of  the  circular  path  through  which  he
swings.

Applying  conservation  of  mechanical  energy  to  the 

actor–Earth system gives

(1)

     

1

2

 

m

actor

v

2

f

%

0 " 0 % m

actor

 

gy

i

 

 

 K

f

%

U

f

"

K

i

%

U

i

where y

i

is the initial height of the actor above the floor and

v

f

is  the  speed  of  the  actor  at  the  instant  before  he  lands.

(Note  that  K

i

"

0  because  he  starts  from  rest  and  that

U

f

"

0  because  we  define  the  configuration  of  the  actor  at

the floor as having a gravitational potential energy of zero.)
From the geometry in Figure 8.8a, and noting that y

f

"

0, we

see that y

i

"

R # R cos & " R(1 # cos &). Using this relation-

ship in Equation (1), we obtain

Next,  we  focus  on  the  instant  the  actor  is  at  the  lowest

point.  Because  the  tension  in  the  cable  is  transferred  as  a
force applied to the sandbag, we categorize the situation at
this  instant  as  a  Newton’s  second  law  problem.  We  apply
Newton’s second law to the actor at the bottom of his path,
using the free-body diagram in Figure 8.8b as a guide:

Finally, we note that the sandbag lifts off the floor when

the  upward  force  exerted  on  it  by  the  cable  exceeds  the
gravitational  force  acting  on  it;  the  normal  force  is  zero
when  this  happens.  Thus,  when  we  focus  our  attention  on
the  sandbag,  we  categorize  this  part  of  the  situation  as  an-
other Newton’s second law problem. A force T of the magni-
tude given by Equation (3) is transmitted by the cable to the
sandbag. If the sandbag is to be just lifted off the floor, the
normal  force  on  it  becomes  zero  and  we  require  that 
T " m

bag

g, as in Figure 8.8c. Using this condition together

with Equations (2) and (3), we find that

Solving  for  cos & and  substituting  in  the  given  parameters,
we obtain

Note that we had to combine techniques from different ar-
eas of our study—energy and Newton’s second law. Further-
more, we see that the length R of the cable from the actor’s
harness to the leftmost pulley did not appear in the final al-
gebraic equation. Thus, the final answer is independent of R.

What  If?

What if a stagehand locates the sandbag so that

the cable from the sandbag to the right-hand pulley in Figure
8.8a is not vertical but makes an angle 

'

with the vertical? If

the actor swings from the angle found in the solution above,
will the sandbag lift off the floor? Assume that the length R
remains the same.

Answer In  this  situation,  the  gravitational  force  acting  on
the sandbag is no longer parallel to the cable. Thus, only a
component of the force in the cable acts against the gravita-
tional force, and the vertical resultant of this force compo-
nent and the gravitational force should be downward. As a

& "

60(

cos & "

3m

actor

#

m

bag

2m

actor

"

3(65 kg) # 130 kg

2(65 kg)

"

0.50

m

bag

g " m

actor

g % m

actor 

2gR(1 # cos &)

R

(3)

            T " m

actor

g % m

actor

v

2

f

R

$

 F

y

"

T # m

actor

g " m

actor

v

2

f

R

(2)

            v

2

f

"

2gR(1 # cos &)

(a)

θ

R

Actor

Sandbag

(b)

m

actor

m

actor

g

T

m

bag

m

bag

g

(c)

T

y

i

Figure 8.8 (Example 8.4) (a) An actor uses some clever stag-

ing to make his entrance. (b) Free-body diagram for the actor

at the bottom of the circular path. (c) Free-body diagram for

the sandbag.

SECTION 8.2 •  The Isolated System–Conservation of Mechanical Energy

227

The launching mechanism of a toy gun consists of a spring
of unknown spring constant (Fig. 8.9a). When the spring is

compressed  0.120 m,  the  gun,  when  fired  vertically,  is  able
to launch a 35.0-g projectile to a maximum height of 20.0 m
above the position of the projectile before firing.

(A)

Neglecting  all  resistive  forces,  determine  the  spring

constant.

Solution Because the projectile starts from rest, its initial ki-
netic energy is zero. If we take the zero configuration for the
gravitational potential energy of the projectile–spring–Earth
system to be when the projectile is at the lowest position x

A

,

then  the  initial  gravitational  potential energy  of  the  system
also  is  zero.  The  mechanical  energy  of  this  system  is  con-
served because the system is isolated.

Initially,  the  only  mechanical  energy  in  the  system 

is  the  elastic  potential  energy  stored  in  the  spring  of  the
gun, 

,  where  the  compression  of  the  spring  is

x " 0.120 m.  The  projectile  rises  to  a  maximum  height
x

C

"

h " 20.0 m, and so the final gravitational potential en-

ergy  of  the  system  when  the  projectile  reaches  its  peak  is
mgh.  The  final  kinetic  energy  of  the  projectile  is  zero,  and
the final elastic potential energy stored in the spring is zero.
Because  the  mechanical  energy  of  the  system  is  conserved,
we find that

953 N/m

"

k "

2mgh

x

2

"

2(0.035 0 kg)(9.80 m/s

2

)(20.0 m)

(0.120 m)

2

0 % mgh % 0 " 0 % 0 %

1

2

 

kx

2

K

C

%

U

g

C

%

U

s

C

"

K

A

%

U

g

A

%

U

s

A

E

C

"

E

A

U

s

A

"

1

2

kx

2

result,  there  should  be  a  nonzero  normal  force  to  balance
this resultant, and the sandbag should not lift off the floor.

If the sandbag is in equilibrium in the y direction and the

normal  force  from  the  floor  goes  to  zero,  Newton’s  second
law gives us T cos ' " m

bag

g. In this case, Equation (3) gives 

Substituting for v

f

from Equation (2) gives

Solving for cos &, we have

For ' " 0, which is the situation in Figure 8.8a, cos ' " 1.
For  nonzero  values  of  ',  the  term  cos ' is  smaller  than  1.

(4)

            cos & "

  

3m

actor

#

m

bag

cos '

2m

actor

m

bag

g

cos '

"

m

actor

g % m

actor

2gR(1 # cos &)

R

 

m

bag

g

cos '

"

m

actor

g % m

actor

v

2

f

R

This  makes  the  numerator  of  the  fraction  in  Equation  (4)
smaller, which makes the angle & larger. Thus, the sandbag
remains on the floor if the actor swings from a larger angle.
If  he  swings  from  the  original  angle,  the  sandbag  remains
on  the  floor.  For  example,  suppose  ' " 10°.  Then,  Equa-
tion (4) gives

Thus, if he swings from 60°, he is swinging from an angle be-
low  the  new  maximum  allowed  angle,  and  the  sandbag  re-
mains on the floor.

One factor we have not addressed is the friction force be-

tween the sandbag and the floor. If this is not large enough,
the sandbag may break free and start to slide horizontally as
the actor reaches some point in his swing. This will cause the
length  R to  increase,  and  the  actor  may  have  a  frightening
moment as he begins to drop in addition to swinging!

cos & "

3(65 kg) #

130 kg

cos 10°

2(65 kg)

"

0.48 99: & " 61(

Example 8.5 The Spring-Loaded Popgun

(a)

v

(b)

x

x

x

A

 = 0

!

"

x

B

 = 0.120 m

x

C

 = 20.0 m

#

Figure 8.9 (Example 8.5) A spring-loaded popgun.

Let the actor fly or crash without injury to people at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.
You may choose to include the effect of friction between the sandbag and the floor.

228

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

8.3 Conservative and Nonconservative Forces

As an object moves downward near the surface of the Earth, the work done by the grav-
itational  force  on  the  object  does  not  depend  on  whether  it  falls  vertically  or  slides
down a sloping incline. All that matters is the change in the object’s elevation. How-
ever, the energy loss due to friction on that incline depends on the distance the object
slides. In other words, the path makes no difference when we consider the work done
by the gravitational force, but it does make a difference when we consider the energy
loss  due  to  friction  forces.  We  can  use  this  varying  dependence  on  path  to  classify
forces as either conservative or nonconservative.

Of  the  two  forces  just  mentioned,  the  gravitational  force  is  conservative  and  the

friction force is nonconservative.

Conservative Forces

Conservative forces have these two equivalent properties:

1. The work done by a conservative force on a particle moving between any two points

is independent of the path taken by the particle.

2. The work done by a conservative force on a particle moving through any closed path

is zero. (A closed path is one in which the beginning and end points are identical.)

The gravitational force is one example of a conservative force, and the force that a

spring exerts on any object attached to the spring is another. As we learned in the pre-
ceding section, the work done by the gravitational force on an object moving between
any two points near the Earth’s surface is W

g

"

mgy

i

#

mgy

f

. From this equation, we see

that W

g

depends only on the initial and final y coordinates of the object and hence is

independent  of  the  path.  Furthermore,  W

g

is  zero  when  the  object  moves  over  any

closed path (where y

i

"

y

f

).

For the case of the object–spring system, the work W

s

done by the spring force is

given by 

(Eq. 7.11). Again, we see that the spring force is conserva-

tive because W

s

depends only on the initial and final x coordinates of the object and is

zero for any closed path.

We can associate a potential energy for a system with any conservative force acting

between  members  of  the  system  and  can  do  this  only  for  conservative  forces.  In  the
previous  section,  the  potential  energy  associated  with  the  gravitational  force  was  de-
fined as U

g

! mgy. In general, the work W

c

done by a conservative force on an object

that is a member of a system as the object moves from one position to another is equal
to the initial value of the potential energy of the system minus the final value:

(8.12)

W

c

"

U

i

#

U

f

" # !

U

W

s

"

1

2

kx

2

i

#

1

2

kx

2

f

(B)

Find the speed of the projectile as it moves through the

equilibrium position of the spring (where x

B

"

0.120 m) as

shown in Figure 8.9b.

Solution As  already  noted,  the  only  mechanical  energy  in
the system at ! is the elastic potential energy 

. The total

energy  of  the  system  as  the  projectile  moves  through  the
equilibrium  position  of  the  spring  includes  the  kinetic  en-
ergy  of  the  projectile 

and  the  gravitational  potential

energy mgx

B

of the system. Hence, the principle of conserva-

tion of mechanical energy in this case gives

E

B

"

E

A

1

2

mv

B

2

1

2

kx

2

Solving for v

B

gives

19.7 m/s

"

  "

√

(953 N/m)(0.120 m)

2

(0.0350 kg)

#

2(9.80 m/s

2

)(0.120 m)

v

B

"

√

kx

2

m

#

2gx

B

1

2

 

mv

2

B

%

mgx

B

%

0 " 0 % 0 %

1

2

 

kx

2

K

B

%

U

g

  

B

%

U

s

 

B

"

K

A

%

U

g

A

%

U

s

A

Properties of a conservative

force

▲

PITFALL PREVENTION

8.4 Similar Equation

Warning

Compare  Equation  8.12  to  Equa-
tion 8.3. These equations are simi-
lar  except  for  the  negative  sign,
which is a common source of con-
fusion.  Equation  8.3  tells  us  that
the  work  done  by  an  outside  agent
on a system causes an increase in
the potential energy of the system
(with no change in the kinetic or
internal  energy).  Equation  8.12
states  that  work  done  on  a  compo-
nent of a system by a conservative force
internal to an isolated system causes a
decrease  in  the  potential  energy
of the system (with a correspond-
ing increase in kinetic energy).