Physics For Scientists And Engineers 6E - part 55

Potential Energy

C H A P T E R   O U T L I N E

8.1 Potential Energy of a System

8.2 The Isolated System—

Conservation of Mechanical
Energy

8.3 Conservative and

Nonconservative Forces

8.4 Changes in Mechanical

Energy for Nonconservative
Forces

8.5 Relationship Between

Conservative Forces and
Potential Energy

8.6 Energy Diagrams and

Equilibrium of a System

217

▲

A strobe photograph of a pole vaulter. During this process, several types of energy transforma-

tions occur. The two types of potential energy that we study in this chapter are evident in the 
photograph. Gravitational potential energy is associated with the change in vertical position of the
vaulter relative to the Earth. Elastic potential energy is evident in the bending of the pole. (©Harold
E. Edgerton/Courtesy of Palm Press, Inc.)

Chapter 8

I

n Chapter 7 we introduced the concepts of kinetic energy associated with the motion

of members of a system and internal energy associated with the temperature of a sys-
tem. In this chapter we introduce potential energy, the energy associated with the config-
uration of a system of objects that exert forces on each other.

The potential energy concept can be used only when dealing with a special class of

forces called conservative forces. When only conservative forces act within an isolated sys-
tem, the kinetic energy gained (or lost) by the system as its members change their rela-
tive positions is balanced by an equal loss (or gain) in potential energy. This balancing
of the two forms of energy is known as the principle of conservation of mechanical energy.

Potential  energy  is  present  in  the  Universe  in  various  forms,  including  gravita-

tional, electromagnetic, chemical, and nuclear. Furthermore, one form of energy in a
system can be converted to another. For example, when a system consists of an electric
motor connected to a battery, the chemical energy in the battery is converted to kinetic
energy as the shaft of the motor turns. The transformation of energy from one form to
another  is  an  essential  part  of  the  study  of  physics,  engineering,  chemistry,  biology,
geology, and astronomy.

8.1 Potential Energy of a System

In Chapter 7, we defined a system in general, but focused our attention primarily on
single particles or objects under the influence of an external force. In this chapter, we
consider systems of two or more particles or objects interacting via a force that is inter-
nal to the system. The kinetic energy of such a system is the algebraic sum of the ki-
netic energies of all members of the system. There may be systems, however, in which
one object is so massive that it can be modeled as stationary and its kinetic energy can
be neglected. For example, if we consider a ball–Earth system as the ball falls to the
ground, the kinetic energy of the system can be considered as just the kinetic energy of
the ball. The Earth moves so slowly in this process that we can ignore its kinetic energy.
On the other hand, the kinetic energy of a system of two electrons must include the
kinetic energies of both particles.

Let us imagine a system consisting of a book and the Earth, interacting via the grav-

itational  force.  We  do  some  work  on  the  system  by  lifting  the  book  slowly  through  a
height !y " y

b

#

y

a

, as in Figure 8.1. According to our discussion of energy and energy

transfer in Chapter 7, this work done on the system must appear as an increase in en-
ergy of the system. The book is at rest before we perform the work and is at rest after
we  perform  the  work.  Thus,  there  is  no  change  in  the  kinetic  energy  of  the  system.
There is no reason why the temperature of the book or the Earth should change, so
there is no increase in the internal energy of the system.

Because the energy change of the system is not in the form of kinetic energy or inter-

nal energy, it must appear as some other form of energy storage. After lifting the book,
we could release it and let it fall back to the position y

a

. Notice that the book (and, there-

fore, the system) will now have kinetic energy, and its source is in the work that was done

218

mg

mg

y

b

y

a

∆r

Figure 8.1 The work done by an

external agent on the system of the

book and the Earth as the book is

lifted from a height y

a

to a height y

b

is equal to mgy

b

#

mgy

a

.

SECTION 8.1 •  Potential Energy of a System

219

in lifting the book. While the book was at the highest point, the energy of the system had
the potential to become kinetic energy, but did not do so until the book was allowed to
fall. Thus, we call the energy storage mechanism before we release the book 

potential

energy. We will find that a potential energy can only be associated with specific types of
forces. In this particular case, we are discussing 

gravitational potential energy.

Let  us  now  derive  an  expression  for  the  gravitational  potential  energy  associated

with an object at a given location above the surface of the Earth. Consider an external
agent lifting an object of mass m from an initial height y

a

above the ground to a final

height y

b

, as in Figure 8.1. We assume that the lifting is done slowly, with no accelera-

tion,  so  that  the  lifting  force  can  be  modeled  as  being  equal  in  magnitude  to  the
weight of the object—the object is in equilibrium and moving at constant velocity. The
work done by the external agent on the system (object and Earth) as the object under-
goes  this  upward  displacement  is  given  by  the  product  of  the  upward  applied  force
F

app

and the upward displacement !

r " !y jˆ:

(8.1)

Notice how similar this equation is to Equation 7.14 in the preceding chapter. In

each equation, the work done on a system equals a difference between the final and
initial values of a quantity. In Equation 7.14, the work represents a transfer of energy
into the system, and the increase in energy of the system is kinetic in form. In Equation
8.1, the work represents a transfer of energy into the system, and the system energy ap-
pears in a different form, which we have called gravitational potential energy.

Thus, we can identify the quantity mgy as the gravitational potential energy U

g

:

(8.2)

The units of gravitational potential energy are joules, the same as those of work and ki-
netic energy. Potential energy, like work and kinetic energy, is a scalar quantity. Note
that Equation 8.2 is valid only for objects near the surface of the Earth, where g is ap-
proximately constant.

1

Using  our  definition  of  gravitational  potential  energy,  Equation  8.1  can  now  be

rewritten as

(8.3)

which mathematically describes the fact that the work done on the system in this situa-
tion appears as a change in the gravitational potential energy of the system.

The gravitational potential energy depends only on the vertical height of the object

above  the  surface  of  the  Earth.  The  same  amount  of  work  must  be  done  on  an
object–Earth system whether the object is lifted vertically from the Earth or is pushed
starting from the same point up a frictionless incline, ending up at the same height.
This  can  be  shown  by  calculating  the  work  with  a  displacement  having  both  vertical
and horizontal components:

where there is no term involving x in the final result because ˆ

j $ ˆi " 0.

In solving problems, you must choose a reference configuration for which the grav-

itational potential energy is set equal to some reference value, which is normally zero.
The  choice  of  reference  configuration  is  completely  arbitrary  because  the  important
quantity is the difference in potential energy and this difference is independent of the
choice of reference configuration.

It is often convenient to choose as the reference configuration for zero potential

energy the configuration in which an object is at the surface of the Earth, but this is
not essential. Often, the statement of the problem suggests a convenient configuration
to use.

W " (

F

app

) $!

r " (mg jˆ)$[(x

b

#

x

a

)

iˆ % (y

b

#

y

a

)

jˆ] " mg y

b

#

mg y

a

W " !U

g

U

g

  

! mgy

W " (

F

app

) ! !

r " (mg jˆ) ! [(y

b

#

y

a

)

jˆ] " mgy

b

  # mgy

a

▲

PITFALL PREVENTION

8.1 Potential Energy

Belongs to a System

Potential  energy  is  always  associ-
ated with a system of two or more
interacting objects. When a small
object  moves  near  the  surface  of
the Earth under the influence of
gravity,  we  may  sometimes  refer
to  the  potential  energy  “associ-
ated with the object” rather than
the more proper “associated with
the  system”  because  the  Earth
does  not  move  significantly.  We
will not, however, refer to the po-
tential  energy “of  the  object”  be-
cause this clearly ignores the role
of the Earth.

Gravitational potential energy

1

The assumption that g is constant is valid as long as the vertical displacement is small com-

pared with the Earth’s radius.

220

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

8.2 The Isolated System–Conservation 

of Mechanical Energy

The introduction of potential energy allows us to generate a powerful and universally
applicable principle for solving problems that are difficult to solve with Newton’s laws.
Let us develop this new principle by thinking about the book–Earth system in Figure
8.1 again. After we have lifted the book, there is gravitational potential energy stored in
the system, which we can calculate from the work done by the external agent on the
system, using W " !U

g

.

Let us now shift our focus to the work done on the book alone by the gravita-

tional  force  (Fig.  8.2)  as  the  book  falls  back  to  its  original  height. As the book
falls from y

b

to y

a

, the work done by the gravitational force on the book is

(8.4)

From  the  work–kinetic  energy  theorem  of  Chapter  7,  the  work  done  on  the  book  is
equal to the change in the kinetic energy of the book:

W

on book

" !

K

book

W

on book

"

(m

g) ! !r " (#

 

mg

jˆ) ! [(y

a

#

y

b

)

jˆ] " mg y

b

#

mg y

a

Example 8.1 The Bowler and the Sore Toe

A  bowling  ball  held  by  a  careless  bowler  slips  from  the
bowler’s hands and drops on the bowler’s toe. Choosing floor
level  as  the  y " 0  point  of  your  coordinate  system,  estimate
the change in gravitational potential energy of the ball–Earth
system as the ball falls. Repeat the calculation, using the top
of the bowler’s head as the origin of coordinates.

Solution First, we need to estimate a few values. A bowling
ball  has  a  mass  of  approximately  7 kg,  and  the  top  of  a
person’s  toe  is  about  0.03 m  above  the  floor.  Also,  we  shall
assume  the  ball  falls  from  a  height  of  0.5 m.  Keeping
nonsignificant  digits  until  we  finish  the  problem,  we
calculate the gravitational potential energy of the ball–Earth
system just  before  the  ball  is  released  to  be  U

i

"

mgy

i

"

(7 kg)(9.80 m/s

2

)(0.5 m) " 34.3 J.  A  similar  calculation  for

when  the  ball  reaches  his  toe  gives  U

f

"

mgy

f

"

(7 kg)(9.80 m/s

2

)(0.03 m) " 2.06 J.  So,  the  change  in  gravi-

tational  potential  energy  of  the  ball–Earth  system  is
!

U

g

"

U

f

#

U

i

" #

32.24 J.  We  should  probably  keep  only

one digit because of the roughness of our estimates; thus, we
estimate  that  the  change  in  gravitational  potential  energy
is # 30 J. The system had 30 J of gravitational potential energy
relative to the top of the toe before the ball began its fall.

When we use the bowler’s head (which we estimate to be

1.50 m above the floor) as our origin of coordinates, we find
that  U

i

"

mgy

i

"

(7 kg)(9.80 m/s

2

)(# 1 m) " # 68.6 J  and

U

f

"

mgy

f

"

(7 kg)(9.80 m/s

2

)(# 1.47 m) " # 100.8 J.  The

change  in  gravitational  potential  energy  of  the  ball–Earth 

system  is  !U

g

"

U

f

#

U

i

" #

32.24  J

"

This  is 

the same value as before, as it must be.

#

30 J.

Quick Quiz 8.1

Choose the correct answer. The gravitational potential energy

of a system (a) is always positive (b) is always negative (c) can be negative or positive.

Quick Quiz 8.2

An object falls off a table to the floor. We wish to analyze the

situation in terms of kinetic and potential energy. In discussing the kinetic energy of
the  system,  we  (a)  must  include  the  kinetic  energy  of  both  the  object  and  the  Earth 
(b)  can  ignore  the  kinetic  energy  of  the  Earth  because  it  is  not  part  of  the  system 
(c)  can  ignore  the  kinetic  energy  of  the  Earth  because  the  Earth  is  so  massive  com-
pared to the object.

Quick Quiz 8.3

An object falls off a table to the floor. We wish to analyze the

situation in terms of kinetic and potential energy. In discussing the potential energy of
the system, we identify the system as (a) both the object and the Earth (b) only the ob-
ject (c) only the Earth.

y

b

y

a

∆r

Figure 8.2 The work done by the

gravitational force on the book as

the book falls from y

b

to a height y

a

is equal to mgy

b

#

mgy

a

.