Physics For Scientists And Engineers 6E - part 56

SECTION 8.2 •  The Isolated System–Conservation of Mechanical Energy

221

Therefore, equating these two expressions for the work done on the book,

(8.5)

Now, let us relate each side of this equation to the system of the book and the Earth. For
the right-hand side,

where U

g

is the gravitational potential energy of the system. For the left-hand side of

Equation  8.5,  because  the  book  is  the  only  part  of  the  system  that  is  moving,  we  see
that !K

book

" !

K, where K is the kinetic energy of the system. Thus, with each side of

Equation 8.5 replaced with its system equivalent, the equation becomes

(8.6)

This equation can be manipulated to provide a very important general result for solv-
ing  problems.  First,  we  bring  the  change  in  potential  energy  to  the  left  side  of  the
equation:

(8.7)

On  the  left,  we  have  a  sum  of  changes  of  the  energy  stored  in  the  system.  The
right hand is zero because there are no transfers of energy across the boundary of the
system—the book–Earth system is isolated from the environment.

We define the sum of kinetic and potential energies as 

mechanical energy:

We will encounter other types of potential energy besides gravitational later in the text,
so we can write the general form of the definition for mechanical energy without a sub-
script on U :

(8.8)

where U represents the total of all types of potential energy.

Let us now write the changes in energy in Equation 8.7 explicitly:

(8.9)

For the gravitational situation that we have described, Equation 8.9 can be written as

As the book falls to the Earth, the book–Earth system loses potential energy and gains ki-
netic energy, such that the total of the two types of energy always remains constant.

Equation  8.9  is  a  statement  of 

conservation  of  mechanical  energy for  an  iso-

lated system. An isolated system is one for which there are no energy transfers across
the boundary. The energy in such a system is conserved—the sum of the kinetic and
potential  energies  remains  constant.  (This  statement  assumes  that  no  nonconservative
forces act within the system; see Pitfall Prevention 8.2.)

  

1

2

mv

2

f

  % mg y

f

"

 

1

2

mv

2

i

%

mg y

i

K

f

%

U

f

"

K

i

%

U

i

(K

f

#

K

i

) % (U

f

#

U

i

) " 0

E

mech 

! K % U

E

mech

"

K % U

g

!

K % !U

g

"

0

!

K " #

 

!

U

g

mg y

b

#

mg y

a

" #

 

(mg y

a

#

mg y

b

) " #

 

(U

f

#

U

i

) " # !U

g

!

K

book

"

mg y

b

#

mg y

a

Quick  Quiz  8.4

In  an  isolated  system,  which  of  the  following  is  a  correct

statement  of  the  quantity  that  is  conserved?  (a)  kinetic  energy  (b)  potential  energy 
(c) kinetic energy plus potential energy (d) both kinetic energy and potential energy.

Mechanical energy of a system 

The mechanical energy of an

isolated, friction-free system is

conserved.

▲

PITFALL PREVENTION

8.2 Conditions on

Equation 8.6

Equation 8.6 is true for only one
of two categories of forces. These
forces are called conservative forces,
as  discussed  in  the  next  section.

▲

PITFALL PREVENTION

8.3 Mechanical Energy in

an Isolated System

Equation 8.9 is not the only state-
ment we can make for an isolated
system.  This  describes  conserva-
tion  of  mechanical  energy  only  for
the  isolated  system.  We  will  see
shortly  how  to  include  internal
energy.  In  later  chapters,  we  will
generate  new  conservation  state-
ments (and associated equations)
related  to  other  conserved
quantities.

222

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

Elastic Potential Energy

We are familiar now with gravitational potential energy; let us explore a second type
of potential energy. Consider a system consisting of a block plus a spring, as shown
in Figure 8.4. The force that the spring exerts on the block is given by F

s

" #

kx. In

the  previous  chapter,  we  learned  that  the  work  done  by  an  external  applied
force F

app

on  a  system  consisting  of  a  block  connected  to  the  spring  is  given  by

Equation 7.12:

(8.10)

In this situation, the initial and final x coordinates of the block are measured from its
equilibrium position, x " 0. Again (as in the gravitational case), we see that the work
done on the system is equal to the difference between the initial and final values of an
expression  related  to  the  configuration  of  the  system.  The 

elastic  potential  energy

function associated with the block–spring system is defined by

(8.11)

The elastic potential energy of the system can be thought of as the energy stored in

the deformed spring (one that is either compressed or stretched from its equilibrium
position). To visualize this, consider Figure 8.4, which shows a spring on a frictionless,
horizontal surface. When a block is pushed against the spring (Fig. 8.4b) and the spring
is  compressed  a  distance  x,  the  elastic  potential  energy  stored  in  the  spring  is 

.

1

2

kx

2

U

s

 

 

!

 

 

 

1

2

kx

2

W

F

app

"

 

1

2

 

kx

2

f

#

1

2

  

kx

2

i

Quick Quiz 8.5

A rock of mass m is dropped to the ground from a height h.

A second rock, with mass 2m, is dropped from the same height. When the second rock
strikes the ground, its kinetic energy is (a) twice that of the  first rock (b) four times
that of the first rock (c) the same as that of the first rock (d) half as much as that of the
first rock (e) impossible to determine.

Quick Quiz 8.6

Three identical balls are thrown from the top of a building,

all with the same initial speed. The first is thrown horizontally, the second at some an-
gle above the horizontal, and the third at some angle below the horizontal, as shown in
Figure  8.3.  Neglecting  air  resistance,  rank  the  speeds  of  the  balls  at  the  instant  each
hits the ground.

1

3

2

Active Figure 8.3 (Quick Quiz 8.6)

Three identical balls are thrown with the

same initial speed from the top of a 

building.

Elastic potential energy stored

in a spring

At the Active Figures link at

http://www.pse6.com, you can

throw balls at different angles from

the top of the building and compare

the trajectories and the speeds as

the balls hit the ground.

SECTION 8.2 •  The Isolated System–Conservation of Mechanical Energy

223

When the block is released from rest, the spring exerts a force on the block and returns
to its original length. The stored elastic potential energy is transformed into kinetic en-
ergy of the block (Fig. 8.4c).

The elastic potential energy stored in a spring is zero whenever the spring is unde-

formed (x " 0). Energy is stored in the spring only when the spring is either stretched
or  compressed.  Furthermore,  the  elastic  potential  energy  is  a  maximum  when  the
spring has reached its maximum compression or extension (that is, when 

#x # is a maxi-

mum). Finally, because the elastic potential energy is proportional to x

2

, we see that U

s

is always positive in a deformed spring.

Active Figure 8.4 (a) An undeformed spring on a frictionless horizontal surface.

(b) A block of mass m is pushed against the spring, compressing it a distance x. 

(c) When the block is released from rest, the elastic potential energy stored in the

spring is transferred to the block in the form of kinetic energy. 

x = 0

x

m

x = 0

v

(c)

(b)

(a)

U

s

 =    kx

2

1

2

K

i

 = 0

K

f

 =    mv

2

1

2

U

s

 = 0

m

m

m

Figure 8.5 (Quick Quizzes 8.7 and

8.8) A ball connected to a massless

spring suspended vertically. What

forms of potential energy are

associated with the system when

the ball is displaced downward?

Quick Quiz 8.7

A ball is connected to a light spring suspended vertically, as

shown in Figure 8.5. When displaced downward from its equilibrium position and re-
leased, the ball oscillates up and down. In the system of the ball, the spring, and the Earth,
what  forms  of  energy  are  there  during  the  motion?  (a)  kinetic  and  elastic  potential
(b) kinetic  and  gravitational  potential  (c)  kinetic,  elastic  potential,  and  gravitational
potential (d) elastic potential and gravitational potential.

Quick  Quiz  8.8

Consider  the  situation  in  Quick  Quiz  8.7  once  again.

In the  system  of  the  ball  and  the  spring,  what  forms  of  energy  are  there  during  the
motion?  (a)  kinetic  and  elastic  potential  (b)  kinetic  and  gravitational  potential
(c) kinetic,  elastic  potential,  and  gravitational  potential  (d)  elastic  potential  and
gravitational potential.

At the Active Figures

link at http://www.pse6.com,
you can compress the spring
by varying amounts and
observe the effect on the
block’s speed.

224

CHAPTE R 8 •  Potential Energy

P R O B L E M - S O LV I N G   H I N T S

Isolated Systems—Conservation of Mechanical Energy

We can solve many problems in physics using the principle of conservation of
mechanical energy. You should incorporate the following procedure when you
apply this principle:

•

Define your isolated system, which may include two or more interacting
particles, as well as springs or other structures in which elastic potential energy
can be stored. Be sure to include all components of the system that exert
forces on each other. Identify the initial and final configurations of the system.

•

Identify configurations for zero potential energy (both gravitational and
spring). If there is more than one force acting within the system, write an
expression for the potential energy associated with each force.

•

If friction or air resistance is present, mechanical energy of the system is not
conserved and the techniques of Section 8.4 must be employed.

•

If mechanical energy of the system is conserved, you can write the total energy
E

i

"

K

i

%

U

i

for the initial configuration. Then, write an expression for the

total energy E

f

"

K

f

%

U

f

for the final configuration that is of interest.

Because mechanical energy is conserved, you can equate the two total
energies and solve for the quantity that is unknown.

Example 8.2 Ball in Free Fall

A  ball  of  mass  m is  dropped  from  a  height  h above  the
ground, as shown in Figure 8.6.

(A)

Neglecting  air  resistance,  determine  the  speed  of  the

ball when it is at a height y above the ground.

Solution Figure 8.6 and our everyday experience with falling
objects allow us to conceptualize the situation. While we can
readily  solve  this  problem  with  the  techniques  of  Chapter  2,

let us take an energy approach and categorize this as an en-
ergy problem for practice. To analyze the problem, we identify
the system as the ball and the Earth. Because there is no air re-
sistance  and  the  system  is  isolated,  we  apply  the  principle  of
conservation  of  mechanical  energy  to  the  ball–Earth  system.

At  the  instant  the  ball  is  released,  its  kinetic  energy  is

K

i

"

0 and the potential energy of the system is U

i

"

mgh.

When the ball is at a distance y above the ground, its kinetic
energy  is 

and  the  potential  energy  relative  to

the ground is U

f

"

mgy. Applying Equation 8.9, we obtain

The  speed  is  always  positive.  If  we  had  been  asked  to  find
the  ball’s  velocity,  we  would  use  the  negative  value  of  the
square  root  as  the  y component  to  indicate  the  downward
motion.

(B)

Determine the speed of the ball at y if at the instant of

release it already has an initial upward speed v

i

at the initial

altitude h.

Solution In this case, the initial energy includes kinetic en-
ergy equal to 

and Equation 8.9 gives

 

1

2

 

mv

f

2

%

mg y "

1

2

 

mv

i

2

%

mgh

 

1

2

 

mv

i

2

√

2g(h # y)

v

f

"

v

2

f

"

2g(h # y)

 

1

2

 

mv

2

f

%

mgy " 0 % mgh

K

f

%

U

f

"

K

i

%

U

i

K

f

"

1

2

mv

f

2

h

y

v

f

y

i

 = h

U

i

 = mgh

K

i

 = 0

y = 0

U = 0

y

f

 = y

U

f

 = mgy

K

f

 =   mv

f

2

1

2

Figure 8.6 (Example 8.2) A ball is dropped from a height h

above the ground. Initially, the total energy of the ball–Earth

system is potential energy, equal to mgh relative to the ground.

At the elevation y, the total energy is the sum of the kinetic and

potential energies.

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