Physics For Scientists And Engineers 6E - part 54

Problems

213

use if merely sitting still. (In exercise physiology, power is
often  measured  in  kcal/h  rather  than  in  watts.  Here 
1  kcal # 1  nutritionist’s  Calorie # 4 186  J.)  Walking  at 
3.00  mi/h  requires  about  220  kcal/h.  It  is  interesting  to
compare  these  values  with  the  energy  consumption  re-
quired  for  travel  by  car.  Gasoline  yields  about  1.30 *
10

8

J/gal.  Find  the  fuel  economy  in  equivalent  miles  per

gallon for a person (a) walking, and (b) bicycling.

Section 7.9 Energy and the Automobile

44.

Suppose  the  empty  car  described  in  Table  7.2  has  a  fuel
economy  of  6.40 km/liter  (15  mi/gal)  when  traveling  at
26.8 m/s  (60  mi/h).  Assuming  constant  efficiency,  deter-
mine the fuel economy of the car if the total mass of pas-
sengers plus driver is 350 kg.

A compact car of mass 900 kg has an overall motor effi-
ciency of 15.0%. (That is, 15% of the energy supplied by
the fuel is delivered to the wheels of the car.) (a) If burn-
ing  one  gallon  of  gasoline  supplies  1.34 * 10

8

J  of  en-

ergy,  find  the  amount  of  gasoline  used  in  accelerating
the car from rest to 55.0 mi/h. Here you may ignore the
effects  of  air  resistance  and  rolling  friction.  (b)  How
many such accelerations will one gallon provide? (c) The
mileage  claimed  for  the  car  is  38.0  mi/gal  at  55  mi/h.
What power is delivered to the wheels (to overcome fric-
tional effects) when the car is driven at this speed?

Additional Problems

46.

A baseball outfielder throws a 0.150-kg baseball at a speed
of  40.0 m/s  and  an  initial  angle  of  30.0°.  What  is  the
kinetic  energy  of  the  baseball  at  the  highest  point  of  its
trajectory?

47.

While  running,  a  person  dissipates  about  0.600  J  of  me-
chanical  energy  per  step  per  kilogram  of  body  mass.  If  a
60.0-kg runner dissipates a power of 70.0 W during a race,
how fast is the person running? Assume a running step is
1.50 m long.

48.

The direction of any vector A in three-dimensional space
can be specified by giving the angles 1, 2, and 3 that the
vector makes with the x, y, and z axes, respectively. If A #
A

x

ˆi

)

A

y

ˆj

+ A

z

ˆk

, (a) find expressions for cos 1, cos 2, and

cos  3 (these  are  known  as  direction  cosines),  and  (b)  show
that  these  angles  satisfy  the  relation  cos

2

1 )

cos

2

2 )

cos

2

3 #

1.  (Hint: Take  the  scalar  product  of  A with 

ˆi

, 

ˆj

,

and

ˆk

separately.)

A 4.00-kg particle moves along the x axis. Its position varies
with time according to x # t ) 2.0t

3

, where x is in meters

and t is in seconds. Find (a) the kinetic energy at any time
t, (b) the acceleration of the particle and the force acting
on it at time t, (c) the power being delivered to the parti-
cle at time t, and (d) the work done on the particle in the
interval t # 0 to t # 2.00 s.

50.

The  spring  constant  of  an  automotive  suspension  spring
increases with increasing load due to a spring coil that is
widest at the bottom, smoothly tapering to a smaller diam-
eter  near  the  top.  The  result  is  a  softer  ride  on  normal
road surfaces from the narrower coils, but the car does not
bottom  out  on  bumps  because  when  the  upper  coils  col-

49.

45.

lapse, they leave the stiffer coils near the bottom to absorb
the  load.  For  a  tapered  spiral  spring  that  compresses 
12.9  cm  with  a  1  000-N  load  and  31.5  cm  with  a  5  000-N
load,  (a)  evaluate  the  constants  a and  b in  the  empirical
equation  F # ax

b

and  (b)  find  the  work  needed  to  com-

press the spring 25.0 cm.

51.

A bead at the bottom of a bowl is one example of an ob-
ject in a stable equilibrium position. When a physical sys-
tem is displaced by an amount x from stable equilibrium, 
a  restoring  force  acts  on  it,  tending  to  return  the  system 
to  its  equilibrium  configuration.  The  magnitude  of  the
restoring  force  can  be  a  complicated  function  of  x.  For 
example,  when  an  ion  in  a  crystal  is  displaced  from  its 
lattice  site,  the  restoring  force  may  not  be  a  simple  func-
tion  of  x.  In  such  cases  we  can  generally  imagine  the 
function  F(x)  to  be  expressed  as  a  power  series  in  x,  as 
F(x) # & (k

1

x ) k

2

x

2

)

k

3

x

3

)

.  .  .).  The  first  term  here 

is  just  Hooke’s  law,  which  describes  the  force  exerted  by 
a  simple  spring  for  small  displacements.  For  small  excur-
sions  from  equilibrium  we  generally  neglect  the  higher 
order  terms,  but  in  some  cases  it  may  be  desirable  to 
keep  the  second  term  as  well.  If  we  model  the  restoring
force  as  F # & (k

1

x ) k

2

x

2

),  how  much  work  is  done  in 

displacing the system from x # 0 to x # x

max

by an applied

force & F ?

52.

A traveler at an airport takes an escalator up one floor, as
in  Figure  P7.52.  The  moving  staircase  would  itself  carry
him  upward  with  vertical  velocity  component  v  between
entry  and  exit  points  separated  by  height  h.  However,
while  the  escalator  is  moving,  the  hurried  traveler  climbs
the steps of the escalator at a rate of n steps/s. Assume that
the height of each step is h

s

. (a) Determine the amount of

chemical energy converted into mechanical energy by the
traveler’s leg muscles during his escalator ride, given that

Figure P7.52

Ron Chapple/FPG

214

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

his mass is m. (b) Determine the work the escalator motor
does on this person.

53. A mechanic pushes a car of mass m, doing work W in mak-

ing it accelerate from rest. Neglecting friction between car
and  road,  (a)  what  is  the  final  speed  of  the  car?  During
this  time,  the  car  moves  a  distance  d.  (b)  What  constant
horizontal force did the mechanic exert on the car?

54. A 5.00-kg steel ball is dropped onto a copper plate from a

height of 10.0 m. If the ball leaves a dent 3.20 mm deep,
what is the average force exerted by the plate on the ball
during the impact?

55.

A single constant force 

F acts on a particle of mass m. The

particle  starts  at  rest  at  t # 0.  (a)  Show  that  the  instanta-
neous  power  delivered  by  the  force  at  any  time  t is 
! #

(F

2

/m)t.  (b)  If  F # 20.0  N  and  m # 5.00 kg,  what  is

the power delivered at t # 3.00 s?

56.

Two  springs  with  negligible  masses,  one  with  spring  con-
stant k

1

and the other with spring constant k

2

, are attached

to  the  endstops  of  a  level  air  track  as  in  Figure  P7.56.  A
glider  attached  to  both  springs  is  located  between  them.
When the glider is in equilibrium, spring 1 is stretched by
extension  x

i1

to  the  right  of  its  unstretched  length  and

spring  2  is  stretched  by  x

i2

to  the  left.  Now  a  horizontal

force 

F

app

is applied to the glider to move it a distance x

a

to the right from its equilibrium position. Show that in this
process (a) the work done on spring 1 is  k

1

(x

a

2

)

2x

a

x

i1

),

(b) the work done on spring 2 is  k

2

(x

a

2

&

2x

a

x

i2

), (c) x

i2

is  related  to  x

i1

by  x

i2

#

k

1

x

i1

/k

2

,  and  (d)  the  total  work

done by the force F

app

is 

57.

As the driver steps on the gas pedal, a car of mass 1 160 kg
accelerates from rest. During the first few seconds of mo-
tion,  the  car’s  acceleration  increases  with  time  according
to the expression

(a) What work is done by the wheels on the car during the
interval  from  t # 0  to  t # 2.50 s?  (b)  What  is  the  output
power of the wheels at the instant t # 2.50 s?

58.

A  particle  is  attached  between  two  identical  springs  on  a
horizontal frictionless table. Both springs have spring con-
stant  k and  are  initially  unstressed.  (a)  If  the  particle  is
pulled a distance x along a direction perpendicular to the

a # (1.16 m/s

3

)t & (0.210 m/s

4

)t

2

)

(0.240 m/s

5

)t

3

1

2

(k

1

)

k

2

)x

a

2

.

1

2

1

2

initial  configuration  of  the  springs,  as  in  Figure  P7.58,
show that the force exerted by the springs on the particle
is

(b) Determine the amount of work done by this force in
moving the particle from x # A to x # 0.

F # &

 

2kx

  

%

1 &

L

√

x

2

)

L

2

&

ˆi

k

1

k

2

F

app

Figure P7.56

Top view

A

k

k

x

L

L

Figure P7.58

59.

A rocket body of mass M will fall out of the sky with ter-
minal speed v

T

after its fuel is used up. What power out-

put must the rocket engine produce if the rocket is to fly
(a)  at  its  terminal  speed  straight  up;  (b)  at  three  times
the terminal speed straight down? In both cases assume
that the mass of the fuel and oxidizer remaining in the
rocket  is  negligible  compared  to  M.  Assume  that  the
force  of  air  resistance  is  proportional  to  the  square  of
the rocket’s speed.

60.

Review problem. Two constant forces act on a 5.00-kg ob-
ject  moving  in  the  xy plane,  as  shown  in  Figure  P7.60.
Force 

F

1

is 25.0 N at 35.0°, while 

F

2

is 42.0 N at 150°. At

time  t # 0,  the  object  is  at  the  origin  and  has  velocity
(4.00

ˆi

)

2.50

ˆj

) m/s.  (a)  Express  the  two  forces  in  unit-

vector  notation.  Use  unit-vector  notation  for  your  other
answers.  (b)  Find  the  total  force  on  the  object.  (c)  Find
the  object’s  acceleration.  Now,  considering  the  instant
t # 3.00  s,  (d)  find  the  object’s  velocity,  (e)  its  location,
(f) its kinetic energy from  mv

f

2

, and (g) its kinetic energy

from 

.

1

2

mv

2

i

)

#

F !

 

"

r

1

2

Problems

215

A  200-g  block  is  pressed  against  a  spring  of  force  con-
stant  1.40 kN/m  until  the  block  compresses  the  spring
10.0  cm.  The  spring  rests  at  the  bottom  of  a  ramp  in-
clined at 60.0° to the horizontal. Using energy considera-
tions, determine how far up the incline the block moves
before  it  stops  (a)  if  there  is  no  friction  between  the
block and the ramp and (b) if the coefficient of kinetic
friction is 0.400.

62.

When  different  weights  are  hung  on  a  spring,  the

spring stretches to different lengths as shown in the follow-
ing table. (a) Make a graph of the applied force versus the
extension of the spring. By least-squares fitting, determine
the straight line that best fits the data. (You may not want
to use all the data points.) (b) From the slope of the best-
fit  line,  find  the  spring  constant  k.  (c)  If  the  spring  is
extended to 105 mm, what force does it exert on the sus-
pended weight? 

F (N)

2.0 4.0 6.0 8.0 10 12 14 16 18 20 22

L (mm) 15 32 49 64 79 98 112 126 149 175 190

The  ball  launcher  in  a  pinball  machine  has  a  spring  that
has  a  force  constant  of  1.20  N/cm  (Fig.  P7.63).  The  sur-
face on which the ball moves is inclined 10.0° with respect
to  the  horizontal.  If  the  spring  is  initially  compressed
5.00 cm, find the launching speed of a 100-g ball when the
plunger is released. Friction and the mass of the plunger
are negligible.

63.

61.

forces  at  short  distances.  For  many  molecules,  the
Lennard-Jones law is a good approximation to the magni-
tude of these forces:

where r is the center-to-center distance between the atoms
in  the  molecule,  4 is  a  length  parameter,  and  F

0

is  the

force  when  r # 4.  For  an  oxygen  molecule,  we  find  that
F

0

#

9.60 * 10

&

11

N and 4 # 3.50 * 10

&

10

m. Determine

the work done by this force if the atoms are pulled apart
from r # 4.00 * 10

&

10

m to r # 9.00 * 10

&

10

m.

66.

As  it  plows  a  parking  lot,  a  snowplow  pushes  an  ever-
growing pile of snow in front of it. Suppose a car moving
through the air is similarly modeled as a cylinder pushing a
growing plug of air in front of it. The originally stationary
air is set into motion at the constant speed v of the cylin-
der, as in Figure P7.66. In a time interval "t, a new disk of
air  of  mass  "m must  be  moved  a  distance  v"t and  hence
must be given a kinetic energy 

. Using this model,

show that the automobile’s power loss due to air resistance
is  /Av

3

and  that  the  resistive  force  acting  on  the  car is

/

Av

2

, where  / is  the  density  of  air.  Compare  this  result

with  the  empirical  expression  D/Av

2

for  the  resistive

force.

1

2

1

2

1

2

1

2

("m)v

2

F # F

0 

(

2

%

4

r

&

13

&

%

4

r

&

7

)

A

v

v

∆t

Figure P7.66

10.0

°

Figure P7.63

64.

A  0.400-kg  particle  slides  around  a  horizontal  track.  The
track has a smooth vertical outer wall forming a circle with
a radius of 1.50 m. The particle is given an initial speed of
8.00 m/s.  After  one  revolution,  its  speed  has  dropped  to
6.00 m/s  because  of  friction  with  the  rough  floor  of  the
track.  (a)  Find  the  energy  converted  from  mechanical  to
internal  in  the  system  due  to  friction  in  one  revolution.
(b) Calculate the coefficient of kinetic friction. (c) What is
the total number of revolutions the particle makes before
stopping?

65.

In diatomic molecules, the constituent atoms exert attrac-
tive  forces  on  each  other  at  large  distances  and  repulsive

F

1

F

2

150

°

35.0

°

y

x

Figure P7.60

67.

A particle moves along the x axis from x # 12.8 m to

x # 23.7 m under the influence of a force

where F is in newtons and x is in meters. Using numerical
integration,  determine  the  total  work  done  by  this  force
on  the  particle  during  this  displacement.  Your  result
should be accurate to within 2%.

68.

A windmill, such as that in the opening photograph of this
chapter, turns in response to a force of high-speed air re-
sistance,  R # D/Av

2

.  The  power  available  is  ! # Rv #

D/5r

2

v

3

, where v is the wind speed and we have assumed

a circular face for the windmill, of radius r. Take the drag
coefficient  as  D # 1.00  and  the  density  of  air  from  the
front  endpaper.  For  a  home  windmill  with  r # 1.50  m,
calculate  the  power  available  if  (a)  v # 8.00 m/s  and
(b) v # 24.0 m/s. The power delivered to the generator is
limited by the efficiency of the system, which is about 25%.
For comparison, a typical home needs about 3 kW of elec-
tric power.

69.

More  than  2 300  years  ago  the  Greek  teacher  Aristotle
wrote  the  first  book  called  Physics.  Put  into  more  precise
terminology, this passage is from the end of its Section Eta:

1

2

1

2

F #

375

x

3

)

3.75x

216

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

Let ! be the power of an agent causing motion; w, the
thing moved; d, the distance covered; and "t, the time
interval required. Then (1) a power equal to ! will in a
period of time equal to "t move w/2 a distance 2d; or (2) it
will move w/2 the given distance d in the time interval
"

t/2. Also, if (3) the given power ! moves the given object

w a distance d/2 in time interval "t/2, then (4) !/2 will
move w/2 the given distance d in the given time interval "t. 

(a)  Show  that  Aristotle’s  proportions  are  included  in  the
equation !"t # bwd where b is a proportionality constant.
(b)  Show  that  our  theory  of  motion  includes  this  part  of
Aristotle’s  theory  as  one  special  case.  In  particular,  de-
scribe  a  situation  in  which  it  is  true,  derive  the  equation
representing  Aristotle’s  proportions,  and  determine  the
proportionality constant.

70.

Consider the block-spring-surface system in part (b) of Ex-
ample 7.11. (a) At what position x of the block is its speed
a maximum? (b) In the What If? section of this example,
we  explored  the  effects  of  an  increased  friction  force  of
10.0  N.  At  what  position  of  the  block  does  its  maximum
speed occur in this situation?

Answers to Quick Quizzes

7.1 (a). The force does no work on the Earth because the force

is pointed toward the center of the circle and is therefore
perpendicular to the direction of the displacement.

7.2 c,  a,  d,  b.  The  work  in  (c)  is  positive  and  of  the  largest

possible  value  because  the  angle  between  the  force  and
the displacement is zero. The work done in (a) is zero be-
cause the force is perpendicular to the displacement. In
(d)  and  (b),  negative  work  is  done  by  the  applied  force
because in neither case is there a component of the force
in the direction of the displacement. Situation (b) is the
most negative value because the angle between the force
and the displacement is 180°.

7.3 (d).  Answer  (a)  is  incorrect  because  the  scalar  product

(&

A) ! (& B) is equal to A ! B. Answer (b) is incorrect be-

cause AB cos (! ) 180%) gives the negative of the correct
value.

7.4 (d). Because of the range of values of the cosine function,

A ! B has values that range from AB to &AB.

7.5 (a).  Because  the  work  done  in  compressing  a  spring  is

proportional to the square of the compression distance x,
doubling the value of x causes the work to increase four-
fold.

7.6 (b). Because the work is proportional to the square of the

compression distance x and the kinetic energy is propor-
tional to the square of the speed v, doubling the compres-
sion distance doubles the speed.

7.7 (a) For the television set, energy enters by electrical trans-

mission (through the power cord) and electromagnetic ra-
diation (the television signal). Energy leaves by heat (from
hot  surfaces  into  the  air),  mechanical  waves  (sound  from
the  speaker),  and  electromagnetic  radiation  (from  the
screen). (b) For the gasoline-powered lawn mower, energy
enters by matter transfer (gasoline). Energy leaves by work
(on  the  blades  of  grass),  mechanical  waves  (sound),  and
heat  (from  hot  surfaces  into  the  air).  (c)  For  the  hand-
cranked  pencil  sharpener,  energy  enters  by  work  (from
your hand turning the crank). Energy leaves by work (done
on the pencil) and mechanical waves (sound).

7.8 (b). The friction force represents an interaction with the

environment of the block.

7.9 (b). The friction force represents an interaction with the

environment of the surface.

7.10 (a). The friction force is internal to the system, so there

are no interactions with the environment.

7.11 (c). The brakes and the roadway are warmer, so their inter-

nal energy has increased. In addition, the sound of the skid
represents transfer of energy away by mechanical waves.

7.12 (e). Because the speed is doubled, the kinetic energy is four

times  as  large.  This  kinetic  energy  was  attained  for  the
newer  car  in  the  same  time  interval  as  the  smaller  kinetic
energy for the older car, so the power is four times as large.