Physics For Scientists And Engineers 6E - part 53

Problems

209

Section 7.2 Work Done by a Constant Force

A block of mass 2.50 kg is pushed 2.20 m along a friction-
less  horizontal  table  by  a  constant  16.0-N  force  directed
25.0° below  the  horizontal.  Determine  the  work  done  on
the  block  by  (a)  the  applied  force,  (b)  the  normal  force
exerted  by  the  table,  and  (c)  the  gravitational  force.
(d) Determine the total work done on the block.

1.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging        = full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem             

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

2. A shopper in a supermarket pushes a cart with a force of

35.0 N directed at an angle of 25.0° downward from the
horizontal. Find the work done by the shopper on the cart
as he moves down an aisle 50.0 m long.

Batman,  whose  mass  is  80.0 kg,  is  dangling  on  the

free end of a 12.0-m rope, the other end of which is fixed
to a tree limb above. He is able to get the rope in motion

3.

1. When  a  particle  rotates  in  a  circle,  a  force  acts  on  it  di-

rected  toward  the  center  of  rotation.  Why  is  it  that  this
force does no work on the particle?

2. Discuss whether any work is being done by each of the fol-

lowing  agents  and,  if  so,  whether  the  work  is  positive  or
negative:  (a)  a  chicken  scratching  the  ground,  (b)  a  per-
son  studying,  (c)  a  crane  lifting  a  bucket  of  concrete,
(d) the  gravitational  force  on  the  bucket  in  part  (c),
(e) the leg muscles of a person in the act of sitting down.

3. When  a  punter  kicks  a  football,  is  he  doing  any  work  on

the ball while his toe is in contact with it? Is he doing any
work on the ball after it loses contact with his toe? Are any
forces doing work on the ball while it is in flight?

4. Cite two examples in which a force is exerted on an object

without doing any work on the object.
As  a  simple  pendulum  swings  back  and  forth,  the  forces
acting on the suspended object are the gravitational force,
the  tension  in  the  supporting  cord,  and  air  resistance.
(a) Which of these forces, if any, does no work on the pen-
dulum? (b) Which of these forces does negative work at all
times  during  its  motion?  (c)  Describe  the  work  done  by
the gravitational force while the pendulum is swinging.

6. If the dot product of two vectors is positive, does this imply

that the vectors must have positive rectangular components?

7. For what values of ! is the scalar product (a) positive and

(b) negative?

8. As  the  load  on  a  vertically  hanging  spiral  spring  is  in-

creased, one would not expect the F

s

-versus-x graph line to

remain straight, as shown in Figure 7.10d. Explain qualita-
tively what you would expect for the shape of this graph as
the load on the spring is increased.

9. A  certain  uniform  spring  has  spring  constant  k.  Now  the

spring  is  cut  in  half.  What  is  the  relationship  between  k
and  the  spring  constant  k

-

of  each  resulting  smaller

spring? Explain your reasoning.
Can kinetic energy be negative? Explain.

11. Discuss  the  work  done  by  a  pitcher  throwing  a  baseball.

What is the approximate distance through which the force
acts as the ball is thrown?

10.

5.

One  bullet  has  twice  the  mass  of  a  second  bullet.  If  both
are fired so that they have the same speed, which has more
kinetic energy? What is the ratio of the kinetic energies of
the two bullets?

13. Two  sharpshooters  fire  0.30-caliber  rifles  using  identical

shells.  A  force  exerted  by  expanding  gases  in  the  barrels
accelerates  the  bullets.  The  barrel  of  rifle  A  is  2.00  cm
longer than the barrel of rifle B. Which rifle will have the
higher muzzle speed?
(a) If the speed of a particle is doubled, what happens to
its kinetic energy? (b) What can be said about the speed of
a particle if the net work done on it is zero?

15. A car salesman claims that a souped-up 300-hp engine is a

necessary option in a compact car, in place of the conven-
tional 130-hp engine. Suppose you intend to drive the car
within  speed  limits  (( 65 mi/h)  on  flat  terrain.  How
would you counter this sales pitch?

16. Can the average power over a time interval ever be equal

to the instantaneous power at an instant within the inter-
val? Explain.

17. In  Example  7.15,  does  the  required  power  increase  or

decrease as the force of friction is reduced?

18. The kinetic energy of an object depends on the frame of

reference in which its motion is measured. Give an exam-
ple to illustrate this point.

19. Words  given  precise  definitions  in  physics  are  sometimes

used in popular literature in interesting ways. For example,
a rock falling from the top of a cliff is said to be “gathering
force as it falls to the beach below.” What does the phrase
“gathering force” mean, and can you repair this phrase?

20. In most circumstances, the normal force acting on an ob-

ject and the force of static friction do zero work on the ob-
ject. However, the reason that the work is zero is different
for the two cases. Explain why each does zero work.

21. “A level air track can do no work.” Argue for or against this

statement.

22. Who  first  stated  the  work

–

kinetic  energy  theorem?  Who

showed  that  it  is  useful  for  solving  many  practical  prob-
lems? Do some research to answer these questions.

14.

12.

Q U E S T I O N S

210

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

as  only  Batman  knows  how,  eventually  getting  it  to  swing
enough that he can reach a ledge when the rope makes a
60.0° angle with the vertical. How much work was done by
the gravitational force on Batman in this maneuver?

4. A  raindrop  of  mass  3.35 * 10

&

5

kg  falls  vertically  at  con-

stant  speed  under  the  influence  of  gravity  and  air  resis-
tance. Model the drop as a particle. As it falls 100 m, what
is the work done on the raindrop (a) by the gravitational
force and (b) by air resistance?

Section 7.3 The Scalar Product of Two Vectors

5. Vector A has a magnitude of 5.00 units, and B has a magni-

tude of 9.00 units. The two vectors make an angle of 50.0°
with each other. Find A ! B.

6. For any two vectors A and B, show that A ! B # A

x

B

x

)

A

y

B

y

)

A

z

B

z

. (Suggestion: Write A and B in unit vector form and

use Equations 7.4 and 7.5.)

A force F # (6

ˆi

&

2

ˆj

) N acts on a particle that under-

goes  a  displacement  "r # (3

ˆi

)

ˆj

) m.  Find  (a)  the  work

done  by  the  force  on  the  particle  and  (b)  the  angle  be-
tween F and "r.

8. Find the scalar product of the vectors in Figure P7.8.

7.

Note: In Problems 7 through 10, calculate numerical an-
swers to three significant figures as usual.

12.

The force acting on a particle is F

x

#

(8x & 16) N, where

x is in meters. (a) Make a plot of this force versus x from
x # 0  to  x # 3.00  m.  (b)  From  your  graph,  find  the  net
work  done  by  this  force  on  the  particle  as  it  moves  from
x # 0 to x # 3.00 m.

A particle is subject to a force F

x

that varies with po-

sition as in Figure P7.13. Find the work done by the force
on the particle as it moves (a) from x # 0 to x # 5.00 m,
(b) from  x # 5.00  m  to  x # 10.0  m,  and  (c)  from  x #
10.0 m to x # 15.0 m. (d) What is the total work done by
the force over the distance x # 0 to x # 15.0 m?

13.

118

°

132

°

y

x

32.8 N

17.3 cm/s

Figure P7.8

2

4

6 8

10

x(m)

–2

–4

2

4

6

F

x

(N)

Figure P7.11

0

2

4

6

8 10 12 14 16

1

2

3

F

x

(N)

x(m)

Figure P7.13 Problems 13 and 28.

9.

Using the definition of the scalar product, find the angles
between  (a)  A # 3

ˆi

&

2

ˆj

and  B # 4

ˆi

&

4

ˆj

;  (b)  A #

&

2

ˆi

)

4

ˆj

and B # 3

ˆi

&

4

ˆj) 2ˆk

; (c) A #

ˆi

&

2

ˆj) 2ˆk

and

B # 3

ˆj

)

4

ˆk

.

10. For A # 3

ˆi

)

ˆj & ˆk

, B # &

ˆi

)

2

ˆj ) 5ˆk

, and C # 2

ˆj

&

3

ˆk,

find C ! (A & B).

Section 7.4 Work Done by a Varying Force

11. The  force  acting  on  a  particle  varies  as  in  Figure  P7.11.

Find the work done by the force on the particle as it moves
(a)  from  x # 0  to  x # 8.00  m,  (b)  from  x # 8.00  m  to 
x # 10.0 m, and (c) from x # 0 to x # 10.0 m.

14.

A  force  F # (4x

ˆi

)

3y

ˆj) N

acts  on  an  object  as  the 

object  moves  in  the  x direction  from  the  origin  to 
x # 5.00  m.  Find  the  work 

done  on  the  ob-

ject by the force.

15. When a 4.00-kg object is hung vertically on a certain light

spring  that  obeys  Hooke’s  law,  the  spring  stretches
2.50 cm. If the 4.00-kg object is removed, (a) how far will
the  spring  stretch  if  a  1.50-kg  block  is  hung  on  it,  and
(b) how much work must an external agent do to stretch
the same spring 4.00 cm from its unstretched position?

16. An  archer  pulls  her  bowstring  back  0.400  m  by  exerting  a

force that increases uniformly from zero to 230 N. (a) What
is the equivalent spring constant of the bow? (b) How much
work does the archer do in pulling the bow?

17. Truck suspensions often have “helper springs” that engage

at high loads. One such arrangement is a leaf spring with a
helper  coil  spring  mounted  on  the  axle,  as  in  Figure
P7.17.  The  helper  spring  engages  when  the  main  leaf
spring  is  compressed  by  distance  y

0

,  and  then  helps  to

support  any  additional  load.  Consider  a  leaf  spring
constant  of  5.25 * 10

5

N/m,  helper  spring  constant  of

3.60 * 10

5

N/m,  and  y

0

#

0.500 m.  (a)  What  is  the

W # $

F$dr

Problems

211

22. A light spring with spring constant k

1

is hung from an ele-

vated support. From its lower end a second light spring is
hung, which has spring constant k

2

. An object of mass m is

hung  at  rest  from  the  lower  end  of  the  second  spring.
(a) Find the total extension distance of the pair of springs.
(b) Find the effective spring constant of the pair of springs
as a system. We describe these springs as in series.

23. Express  the  units  of  the  force  constant  of  a  spring  in  SI

base units.

Section 7.5 Kinetic Energy and the Work–Kinetic 

Energy Theorem

Section 7.6 The Nonisolated System—Conservation

of Energy

24. A 0.600-kg particle has a speed of 2.00 m/s at point ! and

kinetic energy of 7.50 J at point ". What is (a) its kinetic
energy at !?  (b) its speed at "? (c) the total work done
on the particle as it moves from ! to "?

25. A 0.300-kg ball has a speed of 15.0 m/s. (a) What is its ki-

netic energy? (b) What If? If its speed were doubled, what
would be its kinetic energy?

26. A  3.00-kg  object  has  a  velocity  (6.00

ˆi

&

2.00

ˆj

)  m/s. 

(a)  What  is  its  kinetic  energy  at  this  time?  (b)  Find  the 
total  work  done  on  the  object  if  its  velocity  changes  to
(8.00

ˆi

)

4.00

ˆj

) m/s. (Note: From the definition of the dot

product, v

2

#

v ! v.)

A 2 100-kg pile driver is used to drive a steel I-beam into the
ground. The pile driver falls 5.00 m before coming into con-
tact with the top of the beam, and it drives the beam 12.0 cm
farther into the ground before coming to rest. Using energy
considerations, calculate the average force the beam exerts
on the pile driver while the pile driver is brought to rest.

28. A 4.00-kg particle is subject to a total force that varies with

position  as  shown  in  Figure  P7.13.  The  particle  starts 
from  rest  at  x # 0.  What  is  its  speed  at  (a)  x # 5.00  m, 
(b) x # 10.0 m, (c) x # 15.0 m?

29.

You can think of the work

–

kinetic energy theorem as a sec-

ond theory of motion, parallel to Newton’s laws in describ-
ing how outside influences affect the motion of an object.
In  this  problem,  solve  parts  (a)  and  (b)  separately  from
parts  (c)  and  (d)  to  compare  the  predictions  of  the  two

27.

y

0

Axle

Truck body

Figure P7.17

F

m

R

θ

Figure P7.20

compression of the leaf spring for a load of 5.00 * 10

5

N?

(b) How much work is done in compressing the springs?

18.

A 100-g bullet is fired from a rifle having a barrel 0.600 m
long.  Assuming  the  origin  is  placed  where  the  bullet  be-
gins  to  move,  the  force  (in  newtons)  exerted  by  the  ex-
panding gas on the bullet is 15 000 ) 10 000x & 25 000x

2

,

where x is in meters. (a) Determine the work done by the
gas on the bullet as the bullet travels the length of the bar-
rel. (b) 

What If? If the barrel is 1.00 m long, how much

work  is  done,  and  how  does  this  value  compare  to  the
work calculated in (a)?

If  it  takes  4.00  J  of  work  to  stretch  a  Hooke’s-law  spring
10.0  cm  from  its  unstressed  length,  determine  the  extra
work required to stretch it an additional 10.0 cm.

20.

A small particle of mass m is pulled to the top of a fric-
tionless half-cylinder (of radius R) by a cord that passes
over  the  top  of  the  cylinder,  as  illustrated  in  Figure
P7.20. (a) If the particle moves at a constant speed, show
that F # mg cos !. (Note: If the particle moves at constant
speed, the component of its acceleration tangent to the
cylinder must be zero at all times.) (b) By directly inte-
grating 

,  find  the  work  done  in  moving  the

particle at constant speed from the bottom to the top of
the half-cylinder.

W # $

F$dr

19.

21. A  light  spring  with  spring  constant  1 200  N/m  is  hung

from  an  elevated  support.  From  its  lower  end  a  second
light spring is hung, which has spring constant 1 800 N/m.
An  object  of  mass  1.50 kg  is  hung  at  rest  from  the  lower
end of the second spring. (a) Find the total extension dis-
tance of the pair of springs. (b) Find the effective spring
constant  of  the  pair  of  springs  as  a  system.  We  describe
these springs as in series.

212

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

theories. In a rifle barrel, a 15.0-g bullet is accelerated from
rest to a speed of 780 m/s. (a) Find the work that is done
on  the  bullet.  (b)  If  the  rifle  barrel  is  72.0  cm  long,  find
the magnitude of the average total force that acted on it, as
F # W/("r cos !). (c) Find the constant acceleration of a
bullet  that  starts  from  rest  and  gains  a  speed  of 
780 m/s  over  a  distance  of  72.0  cm.  (d)  If  the  bullet  has
mass 15.0 g, find the total force that acted on it as  F # ma.

30. In the neck of the picture tube of a certain black-and-white

television set, an electron gun contains two charged metallic
plates 2.80 cm apart. An electric force accelerates each elec-
tron  in  the  beam  from  rest  to  9.60%  of  the  speed  of  light
over this distance. (a) Determine the kinetic energy of the
electron as it leaves the electron gun. Electrons carry this en-
ergy  to  a  phosphorescent  material  on  the  inner  surface  of
the television screen, making it glow. For an electron passing
between  the  plates  in  the  electron  gun,  determine  (b)  the
magnitude of the constant electric force acting on the elec-
tron, (c) the acceleration, and (d) the time of flight.

Section 7.7 Situations Involving Kinetic Friction

A 40.0-kg box initially at rest is pushed 5.00 m along a rough,
horizontal floor with a constant applied horizontal force of
130 N. If the coefficient of friction between box and floor is
0.300, find (a) the work done by the applied force, (b) the
increase  in  internal  energy  in  the  box-floor  system  due  to
friction, (c) the work done by the normal force, (d) the work
done by the gravitational force, (e) the change in kinetic en-
ergy of the box, and (f) the final speed of the box.

32.

A  2.00-kg  block  is  attached  to  a  spring  of  force  constant
500 N/m as in Figure 7.10. The block is pulled 5.00 cm to
the right of equilibrium and released from rest. Find the
speed  of  the  block  as  it  passes  through  equilibrium  if 
(a) the horizontal surface is frictionless and (b) the coeffi-
cient of friction between block and surface is 0.350.

A  crate  of  mass  10.0 kg  is  pulled  up  a  rough  incline  with
an  initial  speed  of  1.50 m/s.  The  pulling  force  is  100  N
parallel to the incline, which makes an angle of 20.0° with
the horizontal. The coefficient of kinetic friction is 0.400,
and the crate is pulled 5.00 m. (a) How much work is done
by the gravitational force on the crate? (b) Determine the
increase in internal energy of the crate

–

incline system due

to friction. (c) How much work is done by the 100-N force
on the crate? (d) What is the change in kinetic energy of
the  crate?  (e)  What  is  the  speed  of  the  crate  after  being
pulled 5.00 m?

34.

A  15.0-kg  block  is  dragged  over  a  rough,  horizontal  sur-
face by a 70.0-N force acting at 20.0° above the horizontal.
The  block  is  displaced  5.00  m,  and  the  coefficient  of  ki-
netic friction is 0.300. Find the work done on the block by
(a) the 70-N force, (b) the normal force, and (c) the gravi-
tational force. (d) What is the increase in internal energy
of the block-surface system due to friction? (e) Find the to-
tal change in the block’s kinetic energy.

A  sled  of  mass  m is  given  a  kick  on  a  frozen  pond.

The kick imparts to it an initial speed of 2.00 m/s. The co-
efficient  of  kinetic  friction  between  sled  and  ice  is  0.100.
Use  energy  considerations  to  find  the  distance  the  sled
moves before it stops.

35.

33.

31.

#

Section 7.8 Power

36. The  electric  motor  of  a  model  train  accelerates  the  train

from  rest  to  0.620 m/s  in  21.0  ms.  The  total  mass  of  the
train  is  875  g.  Find  the  average  power  delivered  to  the
train during the acceleration.

A 700-N Marine in basic training climbs a 10.0-m ver-

tical rope at a constant speed in 8.00 s. What is his power
output?

38. Make  an  order-of-magnitude  estimate  of  the  power  a  car

engine  contributes  to  speeding  the  car  up  to  highway
speed. For concreteness, consider your own car if you use
one. In your solution state the physical quantities you take
as data and the values you measure or estimate for them.
The mass of the vehicle is given in the owner’s manual. If
you  do  not  wish  to  estimate  for  a  car,  consider  a  bus  or
truck that you specify.

39. A  skier  of  mass  70.0 kg  is  pulled  up  a  slope  by  a  motor-

driven cable. (a) How much work is required to pull him a
distance of 60.0 m up a 30.0° slope (assumed frictionless)
at  a  constant  speed  of  2.00 m/s?  (b)  A  motor  of  what
power is required to perform this task?

40.

A  650-kg  elevator  starts  from  rest.  It  moves  upward  for 
3.00 s with constant acceleration until it reaches its cruis-
ing  speed  of  1.75 m/s.  (a)  What  is  the  average  power  of
the elevator motor during this period? (b) How does this
power  compare  with  the  motor  power  when  the  elevator
moves at its cruising speed?

41. An energy-efficient lightbulb, taking in 28.0 W of power,

can  produce  the  same  level  of  brightness  as  a  conven-
tional  bulb  operating  at  power  100  W.  The  lifetime  of
the  energy  efficient  bulb  is  10  000  h  and  its  purchase
price  is  $17.0,  whereas  the  conventional  bulb  has  life-
time 750 h and costs $0.420 per bulb. Determine the to-
tal  savings  obtained  by  using  one  energy-efficient  bulb
over its lifetime, as opposed to using conventional bulbs
over  the  same  time  period.  Assume  an  energy  cost  of
$0.080 0 per kilowatt-hour.

42.

Energy is conventionally measured in Calories as well as in
joules. One Calorie in nutrition is one kilocalorie, defined
as 1 kcal # 4 186 J. Metabolizing one gram of fat can re-
lease 9.00 kcal. A student decides to try to lose weight by
exercising.  She  plans  to  run  up  and  down  the  stairs  in  a
football  stadium  as  fast  as  she  can  and  as  many  times  as
necessary. Is this in itself a practical way to lose weight? To
evaluate the program, suppose she runs up a flight of 80
steps, each 0.150 m high, in 65.0 s. For simplicity, ignore
the energy she uses in coming down (which is small). As-
sume that a typical efficiency for human muscles is 20.0%.
This means that when your body converts 100 J from me-
tabolizing fat, 20 J goes into doing mechanical work (here,
climbing  stairs).  The  remainder  goes  into  extra  internal
energy.  Assume  the  student’s  mass  is  50.0 kg.  (a)  How
many  times  must  she  run  the  flight  of  stairs  to  lose  one
pound  of  fat?  (b)  What  is  her  average  power  output,  in
watts and in horsepower, as she is running up the stairs?

43.

For saving energy, bicycling and walking are far more effi-
cient means of transportation than is travel by automobile.
For example, when riding at 10.0 mi/h a cyclist uses food
energy at a rate of about 400 kcal/h above what he would

37.