Physics For Scientists And Engineers 6E - part 51

SECTION 7.7 •  Situations Involving Kinetic Friction

201

Quick Quiz 7.11

You are traveling along a freeway at 65 mi/h. Your car has

kinetic energy. You suddenly skid to a stop because of congestion in traffic. Where is
the kinetic energy that your car once had? (a) All of it is in internal energy in the road.
(b) All of it is in internal energy in the tires. (c) Some of it has transformed to internal
energy and some of it transferred away by mechanical waves. (d) All of it is transferred
away from your car by various mechanisms.

Example 7.9 A Block Pulled on a Rough Surface

A 6.0-kg block initially at rest is pulled to the right along a
horizontal surface by a constant horizontal force of 12 N.

(A)

Find the speed of the block after it has moved 3.0 m if

the surfaces in contact have a coefficient of kinetic friction
of 0.15. (This is Example 7.7, modified so that the surface is
no longer frictionless.)

Solution Conceptualize this problem by realizing that the
rough surface is going to apply a friction force opposite to
the  applied  force.  As  a  result,  we  expect  the  speed  to  be
lower  than  that  found  in  Example  7.7.  The  surface  is
rough and we are given forces and a distance, so we cate-
gorize  this  as  a  situation  involving  kinetic  friction  that
must  be  handled  by  means  of  Equation  7.21.  To  analyze
the problem, we have made a drawing of this situation in
Figure  7.18a.  We  identify  the  block  as  the  system,  and
there are four external forces interacting with the system.
The  normal  force  balances  the  gravitational  force  on  the

block,  and  neither  of  these  vertically  acting  forces  does
work on the block because their points of application are
displaced horizontally. The applied force does work just as
in Example 7.7:

In this case we must use Equation 7.21a to calculate the ki-
netic  energy  change  due  to  friction,  "K

friction

.  Because

the  block  is  in  equilibrium  in  the  vertical  direction,  the
normal  force 

n counterbalances  the  gravitational  force

m

g, so we have n # mg. Hence, the magnitude of the fric-

tion force is

The change in kinetic energy of the block due to friction is

"

K

friction

# &

f

k

d # &(8.82

 

N)(3.0

 

m) # &26.5

  

J

f

k

#

.

k

n # .

k

mg # (0.15)(6.0 kg)(9.80 m/s

2

) # 8.82 N

W # F "x # (12 N)(3.0 m) # 36

 

 J

Interactive

(7.21a)

or

(7.21b)

Now consider the larger system of the book and the surface as the book slows down

under the influence of a friction force alone. There is no work done across the boundary
of this system—the system does not interact with the environment. There are no other
types of energy transfer occurring across the boundary of the system, assuming we ignore
the inevitable sound the sliding book makes! In this case, Equation 7.17 becomes

The change in kinetic energy of this book-plus-surface system is the same as the change
in kinetic energy of the the book alone in Equation 7.20, because the book is the only
part of the book-surface system that is moving. Thus,

(7.22)

Thus, the increase in internal energy of the system is equal to the product of the fric-
tion force and the displacement of the book.

The conclusion of this discussion is that 

the result of a friction force is to trans-

form kinetic energy into internal energy, and the increase in internal energy is
equal to the decrease in kinetic energy.

"

E

int

#

f

k

d

&

f

k

d ) "E

int

#

0

"

E

system

# "

K ) "E

int

#

0

K

f

  # K

i

&

f

k

 

d )

#

W

other forces

"

K  # &f

k

 

d )

#

W

other forces

Change in internal energy due

to friction

202

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

n

F

mg

∆x

v

f

f

k

∆x

(b)

n

F

mg

v

f

f

k

θ

Figure 7.18 (Example 7.9) (a) A block pulled to the right on a

rough surface by a constant horizontal force. (b) The applied

force is at an angle 

!

to the horizontal.

The final speed of the block follows from Equation 7.21b:

To  finalize  this  problem  note  that,  after  covering  the  same
distance  on  a  frictionless  surface  (see  Example  7.7),  the
speed of the block was 3.5 m/s.

1.8

 

m/s

  #

  #

√

0 )

2

6.0

 

kg

(&26.5

  

J ) 36

  

J)

v

f

  #

√

v

2

i

)

2

m

 

%

&

f

k

d )

#

 

W

other forces

&

1

2

mv

f

2

#

1

2

mv

i

2

&

f

k

d )

#

 

W

other forces

(B)

Suppose the force 

F is applied at an angle ! as shown in

Figure 7.18b. At what angle should the force be applied to
achieve the largest possible speed after the block has moved
3.0 m to the right?

Solution The work done by the applied force is now

where  "x # d because  the  path  followed  by  the  block  is  a
straight  line.  The  block  is  in  equilibrium  in  the  vertical  di-
rection, so

and

Because K

i

#

0, Equation 7.21b can be written,

Maximizing the speed is equivalent to maximizing the final
kinetic  energy.  Consequently,  we  differentiate  K

f

with  re-

spect to ! and set the result equal to zero:

For .

k

#

0.15, we have,

8.5%

! #

tan

&

1

(.

k

) # tan

&

1

(0.15) #

tan

 

! # .

k

.

k 

cos !

 

&

sin ! # 0

d(K

f

)

d!

# &

.

k

(0 & F

   

cos !)d & Fd sin ! # 0

  # &.

k

(mg & F

 

 sin !)d ) Fd cos !

 

  # &.

k

nd ) Fd cos !

K

f 

# &

f

k

d )

#

 W

other forces

n # mg & F

  

sin

 

!

#

 

F

y

#

n ) F

 

 sin

 

! &

mg # 0

W # F

 

"

x cos ! # Fd cos !

Conceptual Example 7.10 Useful Physics for Safer Driving

Try out the effects of pulling the block at various angles at the Interactive Worked Example link at  http://www.pse6.com.

A car traveling at an initial speed v slides a distance d to a
halt  after  its  brakes  lock.  Assuming  that  the  car’s  initial
speed is instead 2v at the moment the brakes lock, estimate
the distance it slides.

Solution Let us assume that the force of kinetic friction be-
tween the car and the road surface is constant and the same

for  both  speeds.  According  to  Equation  7.20,  the  friction
force  multiplied  by  the  distance  d is  equal  to  the  initial
kinetic  energy  of  the  car  (because  K

f

#

0).  If  the  speed  is

doubled,  as  it  is  in  this  example,  the  kinetic  energy  is
quadrupled. For a given friction force, the distance traveled
is four times as great when the initial speed is doubled, and
so the estimated distance that the car slides is 4d.

Example 7.11 A Block—Spring System

A block of mass 1.6 kg is attached to a horizontal spring that
has a force constant of 1.0 * 10

3

N/m, as shown in Figure

7.10. The spring is compressed 2.0 cm and is then released
from rest.

(A)

Calculate the speed of the block as it passes through the

equilibrium position x # 0 if the surface is frictionless.

Solution In  this  situation,  the  block  starts  with  v

i

#

0  at

x

i

# &

2.0  cm,  and  we  want  to  find  v

f

at  x

f

#

0.  We  use

Equation  7.10  to  find  the  work  done  by  the  spring  with
x

max

#

x

i

# &

2.0 cm # & 2.0 * 10

&

2

m:

W

s 

#

1

2

kx

2

max

#

1

2

(1.0 * 10

3 

N/m)(&2.0 * 10

&

 

2 

m)

2

#

0.20

  

J

Interactive

(a)

SECTION 7.8 •  Power

203

7.8 Power

Consider  Conceptual  Example  7.8  again,  which  involved  rolling  a  refrigerator  up  a
ramp into a truck. Suppose that the man is not convinced by our argument that the
work is the same regardless of the length of the ramp and sets up a long ramp with a
gentle rise. Although he will do the same amount of work as someone using a shorter
ramp, he will take longer to do the work simply because he has to move the refrigera-
tor over a greater distance. While the work done on both ramps is the same, there is
something different about the tasks—the time interval during which the work is done.

The time rate of energy transfer is called 

power. We will focus on work as the en-

ergy transfer method in this discussion, but keep in mind that the notion of power is
valid  for  any means  of  energy  transfer.  If  an  external  force  is  applied  to  an  object
(which we assume acts as a particle), and if the work done by this force in the time in-
terval "t is W, then the 

average power during this interval is defined as

Thus, while the same work is done in rolling the refrigerator up both ramps, less power
is required for the longer ramp.

In a manner similar to the way we approached the definition of velocity and accel-

eration,  we  define  the 

instantaneous  power ! as  the  limiting  value  of  the  average

power as "t approaches zero:

!

 

 

! 

 

lim

"

t :0

W

"

t

#

dW

dt

!

 

 

! 

 

W

"

t

Using  the  work

–

kinetic  energy  theorem  with  v

i

#

0,  we  set

the change in kinetic energy of the block equal to the work
done on it by the spring:

(B)

Calculate the speed of the block as it passes through the

equilibrium position if a constant friction force of 4.0 N re-
tards its motion from the moment it is released.

Solution Certainly, the answer has to be less than what we
found in part (A) because the friction force retards the mo-
tion.  We  use  Equation  7.20  to  calculate  the  kinetic  energy
lost because of friction and add this negative value to the ki-
netic energy we calculated in the absence of friction. The ki-
netic energy lost due to friction is

"

K # &f

k

d # &(4.0 N)(2.0 * 10

&

 

2 

m) # &0.080 J

0.50

 

m/s

  #

  #

√

0 )

2

1.6 kg

(0.20

  

J)

v

f 

#

√

v

2

i

)

2

m

W

s

W

s

#

1

2

mv

2

f

&

1

2

mv

2

i

In  part  (A),  the  work  done  by  the  spring  was  found  to  be
0.20 J. Therefore, the final kinetic energy in the presence of
friction is

As  expected,  this  value  is  somewhat  less  than  the  0.50 m/s
we found in part (A). If the friction force were greater, then
the value we obtained as our answer would have been even
smaller.

What If?

What if the friction force were increased to 10.0 N?

What is the block’s speed at x # 0?

Answer In this case, the loss of kinetic energy as the block
moves to x # 0 is

which is equal in magnitude to the kinetic energy at x # 0
without the loss due to friction. Thus, all of the kinetic en-
ergy has been transformed by friction when the block arrives
at x # 0 and its speed at this point is v # 0.

In this situation as well as that in part (B), the speed of

the block reaches a maximum at some position other than
x # 0. Problem 70 asks you to locate these positions.

"

K # &f

k

 

d # &(10.0 N)(2.0 * 10

&

 

2 

m)# &0.20

  

J

0.39

 

m/s

v

f

#

√

2K

f

m

#

√

2(0.12

  

J)

1.6

 

kg

#

K

f

#

0.20

  

J & 0.080

  

J

 

#

0.12

  

J #

1

2

mv

2

f

Investigate  the  role  of  the  spring  constant,  amount  of  spring  compression,  and  surface  friction  at  the  Interactive  Worked
Example link at http://www.pse6.com.

204

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

where  we  have  represented  the  infinitesimal  value  of  the  work  done  by  dW.  We  find
from Equation 7.3 that dW #

F · dr. Therefore, the instantaneous power can be written

(7.23)

where we use the fact that 

v # dr/dt.

In  general,  power  is  defined  for  any  type  of  energy  transfer.  Therefore,  the  most

general expression for power is

(7.24)

where  dE/dt is  the  rate  at  which  energy  is  crossing  the  boundary  of  the  system  by  a
given transfer mechanism.

The  SI  unit  of  power  is  joules  per  second  ( J/s),  also  called  the 

watt (W)  (after

James Watt):

A unit of power in the U.S. customary system is the 

horsepower (hp):

A  unit  of  energy  (or  work)  can  now  be  defined  in  terms  of  the  unit  of  power. 

One 

kilowatt-hour (kWh)  is  the  energy  transferred  in  1  h  at  the  constant  rate  of 

1 kW # 1 000 J/s. The amount of energy represented by 1 kWh is

Note that a kilowatt-hour is a unit of energy, not power. When you pay your electric bill,
you are buying energy, and the amount of energy transferred by electrical transmission
into  a  home  during  the  period  represented  by  the  electric  bill  is  usually  expressed  in
kilowatt-hours. For example, your bill may state that you used 900 kWh of energy during
a month, and you are being charged at the rate of 10¢ per kWh. Your obligation is then
$90 for this amount of energy. As another example, suppose an electric bulb is rated at
100  W.  In  1.00  hour  of  operation,  it  would  have  energy  transferred  to  it  by  electrical
transmission in the amount of (0.100 kW)(1.00 h) # 0.100 kWh # 3.60 * 10

5

J.

1 kWh # (10

3 

W)(3 600 s) # 3.60 * 10

6 

J

1 hp # 746 W

1 W # 1 J/s # 1 kg$m

2

/s

3

! #

dE

dt

! #

dW

dt

#

F !

d

r

dt

#

F ! v

Example 7.12 Power Delivered by an Elevator Motor

Quick  Quiz  7.12

An  older  model  car  accelerates  from  rest  to  speed  v  in

10 seconds. A newer, more powerful sports car accelerates from rest to 2v in the same
time period. What is the ratio of the power of the newer car to that of the older car?
(a) 0.25 (b) 0.5 (c) 1 (d) 2 (e) 4

An elevator car has a mass of 1 600 kg and is carrying passen-
gers  having  a  combined  mass  of  200 kg.  A  constant  fric-
tion force of 4 000 N retards its motion upward, as shown in
Figure 7.19a.

(A)

What power delivered by the motor is required to lift the

elevator car at a constant speed of 3.00 m/s?

Solution The motor must supply the force of magnitude
T that  pulls  the  elevator  car  upward.  The  problem  states
that  the  speed  is  constant,  which  provides  the  hint  that
a # 0. Therefore we know from Newton’s second law that

+

F

y

#

0.  The  free-body  diagram  in  Figure  7.19b  specifies

the  upward  direction  as  positive.  From  Newton’s  second
law we obtain

where M is the total mass of the system (car plus passengers),
equal to 1 800 kg. Therefore,

  # 2.16 * 10

4 

N

  # 4.00 * 10

3 

N ) (1.80 * 10

3 

kg)(9.80 m/s

2

)

T  # f ) Mg

#

 

F

y

#

T & f & Mg # 0

▲

PITFALL PREVENTION

7.9 W, W, and watts

Do not confuse the symbol W for
the watt with the italic symbol W
for  work.  Also,  remember  that
the watt already represents a rate
of  energy  transfer,  so  that  “watts
per second” does not make sense.
The watt is the same as a joule per
second.

The watt

Instantaneous power