Physics For Scientists And Engineers 6E - part 49

SECTION 7.5 •  Kinetic Energy and the Work—Kinetic Energy Theorem

193

7.5 Kinetic Energy and the Work–Kinetic 

Energy Theorem

We  have  investigated  work  and  identified  it  as  a  mechanism  for  transferring  energy
into a system. One of the possible outcomes of doing work on a system is that the sys-
tem changes its speed. In this section, we investigate this situation and introduce our
first type of energy that a system can possess, called kinetic energy.

Consider a system consisting of a single object. Figure 7.13 shows a block of mass m

moving through a displacement directed to the right under the action of a net force 

F,  also  directed  to  the  right.  We  know  from  Newton’s  second  law  that  the  block

moves with an acceleration 

a. If the block moves through a displacement "r # "xˆi #

(x

f

&

x

i

)ˆ

i , the work done by the net force  F is

(7.13)

Using Newton’s second law, we can substitute for the magnitude of the net force

+

F # ma, and then perform the following chain-rule manipulations on the integrand:

#

W #

$

x

f

x

i

 

#

 Fdx

#

#

v

f

ΣF

m

v

i

∆ x

Figure 7.13 An object undergoing

a displacement "r # "x

ˆi

and a

change in velocity under the action

of a constant net force  F.

#

F

s

mg

d

(c)

(b)

(a)

Figure 7.12 (Example 7.6) Determining the force constant k of

a spring. The elongation d is caused by the attached object,

which has a weight mg. Because the spring force balances the

gravitational force, it follows that k # mg/d.

Example 7.6 Measuring k for a Spring

A common technique used to measure the force constant of
a  spring  is  demonstrated  by  the  setup  in  Figure  7.12.  The
spring is hung vertically, and an object of mass m is attached
to  its  lower  end.  Under  the  action  of  the  “load”  mg,  the
spring  stretches  a  distance  d from  its  equilibrium  position.

(A)

If a spring is stretched 2.0 cm by a suspended object hav-

ing a mass of 0.55 kg, what is the force constant of the spring?

Solution Because the object (the system) is at rest, the up-
ward spring force balances the downward gravitational force
m

g. In this case, we apply Hooke’s law to give 'F

s

' # kd # mg,

or

(B)

How  much  work  is  done  by  the  spring  as  it  stretches

through this distance?

2.7 * 10

2

  N/m

k #

mg

d

#

(0.55 kg)(9.80 m/s

2

)

2.0 * 10

&

2 

m

#

Solution Using Equation 7.11, 

What If?

Suppose this measurement is made on an eleva-

tor with an upward vertical acceleration a. Will the unaware ex-
perimenter arrive at the same value of the spring constant?

Answer

The force 

F

s

in Figure 7.12 must be larger than m

g

to produce an upward acceleration of the object. Because 

F

s

must increase in magnitude, and 

'F

s

' # kd, the spring must

extend farther. The experimenter sees a larger extension for
the same hanging weight and therefore measures the spring
constant to be smaller than the value found in part (A) for

a # 0.

Newton’s second law applied to the hanging object gives

where k is the actual spring constant. Now, the experimenter
is  unaware  of  the  acceleration,  so  she  claims  that 

'F

s

' #

k-d # mg where k- is the spring constant as measured by the
experimenter. Thus,

If the acceleration of the elevator is upward so that a

y

is posi-

tive, this result shows that the measured spring constant will
be smaller, consistent with our conceptual argument.

k- #

mg

d

#

mg

%

m(g ) a

y

)

k

&

#

g

g ) a

y

k

d #

m(g ) a

y

)

k

kd & mg # ma

y

#

 F

y 

#

' F

s

' & mg # ma

y

&

5.4 * 10

&

2

  

J

  #

W

s

 

#

0 &

1

2

kd

2

# &

1

2

(2.7 * 10

2

  N/m)(2.0 * 10

&

2

  m)

2

194

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

(7.14)

where v

i

is the speed of the block when it is at x # x

i

and v

f

is its speed at x

f

.

This equation was generated for the specific situation of one-dimensional motion,

but it is a general result. It tells us that the work done by the net force on a particle of
mass  m is  equal  to  the  difference  between  the  initial  and  final  values  of  a  quantity

. The quantity 

represents the energy associated with the motion of the parti-

cle.  This  quantity  is  so  important  that  it  has  been  given  a  special  name—

kinetic

energy. Equation 7.14 states that the net work done on a particle by a net force  F
acting on it equals the change in kinetic energy of the particle.

In general, the kinetic energy K of a particle of mass m moving with a speed v is de-

fined as

(7.15)

Kinetic  energy  is  a  scalar  quantity  and  has  the  same  units  as  work.  For  example,  a
2.0 kg object moving with a speed of 4.0 m/s has a kinetic energy of 16 J. Table 7.1 lists
the kinetic energies for various objects.

It is often convenient to write Equation 7.14 in the form

(7.16)

Another way to write this is K

f

#

K

i

)

W, which tells us that the final kinetic energy is

equal to the initial kinetic energy plus the change due to the work done.

Equation 7.16 is an important result known as the 

work–kinetic energy theorem:

#

#

W # K

f

&

K

i

# "

K

K 

 

! 

 

1

2

mv

2

#

1

2

mv

2

1

2

mv

2

#

 W #

1

2

mv

f

2

&

1

2

mv

2

i

#

 

W #

$

x

f

x

i

 

madx #

$

x

f

x

i

 

m 

dv

dt

 dx #

$

x

f

x

i

 

m 

dv
dx

 

 

dx

dt

 dx #

$

v

f

v

i

 

mv dv

Object

Mass (kg)

Speed (m/s)

Kinetic Energy ( J)

Earth orbiting the Sun

5.98 * 10

24

2.98 * 10

4

2.66 * 10

33

Moon orbiting the Earth 

7.35 * 10

22

1.02 * 10

3

3.82 * 10

28

Rocket moving at escape speed

a

500

1.12 * 10

4

3.14 * 10

10

Automobile at 65 mi/h

2 000

29

8.4 * 10

5

Running athlete

70

10

3 500

Stone dropped from 10 m

1.0

14

98

Golf ball at terminal speed

0.046

44

45

Raindrop at terminal speed

3.5 * 10

&

5

9.0

1.4 * 10

&

3

Oxygen molecule in air

5.3 * 10

&

26

500

6.6 * 10

&

21

Kinetic Energies for Various Objects

Table 7.1

a

Escape speed is the minimum speed an object must reach near the Earth’s surface in order to move
infinitely far away from the Earth.

In the case in which work is done on a system and the only change in the system is
in its speed, the work done by the net force equals the change in kinetic energy of
the system.

▲

PITFALL PREVENTION

7.6 Conditions for the

Work–Kinetic Energy
Theorem

The work

–

kinetic energy theorem

is important, but limited in its ap-
plication—it is not a general prin-
ciple. There are many situations in
which other changes in the system
occur besides its speed, and there
are other interactions with the en-
vironment  besides  work.  A  more
general principle involving energy
is  conservation  of  energy  in  Sec-
tion 7.6.

Kinetic energy 

Work–kinetic energy theorem

The work–kinetic energy theorem indicates that the speed of a particle will increase if
the net work done on it is positive, because the final kinetic energy will be greater than
the initial kinetic energy. The speed will decrease if the net work is negative, because the
final kinetic energy will be less than the initial kinetic energy.

SECTION 7.5 •  Kinetic Energy and the Work—Kinetic Energy Theorem

195

Example 7.7 A Block Pulled on a Frictionless Surface

A  6.0-kg  block  initially  at  rest  is  pulled  to  the  right  along  a
horizontal, frictionless surface by a constant horizontal force
of 12 N. Find the speed of the block after it has moved 3.0 m.

Solution We have made a drawing of this situation in Figure
7.14. We could apply the equations of kinematics to determine
the answer, but let us practice the energy approach. The block
is the system, and there are three external forces acting on the
system. The normal force balances the gravitational force on
the  block,  and  neither  of  these  vertically  acting  forces  does
work on the block because their points of application are hori-
zontally displaced. Thus, the net external force acting on the
block is the 12-N force. The work done by this force is

W # F

 

"

x # (12

 

N)(3.0

 

m) # 36

  

J

Using the work

–

kinetic energy theorem and noting that the

initial kinetic energy is zero, we obtain

What  If?

Suppose  the  magnitude  of  the  force  in  this

example is doubled to F - # 2F. The 6.0-kg block accel-
erates to 3.5 m/s due to this applied force while moving
through a displacement "x-. 

(A)

How does the displace-

ment  "x- compare  to  the  original  displacement  "x?

(B)

How  does  the  time  interval  "t- for  the  block  to  ac-

celerate from rest to 3.5 m/s compare to the original in-
terval "t?

Answer (A) If  we  pull  harder,  the  block  should  acceler-
ate  to  a  higher  speed  in  a  shorter  distance,  so  we  expect 
"

x- ' "x.  Mathematically,  from  the  work

–

kinetic  energy

theorem W # "K, we find

and  the  distance  is  shorter  as  suggested  by  our  conceptual
argument.

"

x- #

F

F-

"

x #

F

2F

"

x #

1

2

"

x

F -"x- # "K # F"x

3.5

 

m/s

v

f

#

√

2W

m

#

√

2(36

  

J)

6.0

 

kg

#

W # K

f 

&

 

K

i

#

1

2

mv

2

f

&

0

n

F

mg

∆x

v

f

Figure 7.14 (Example 7.7) A block pulled to the right on a fric-

tionless surface by a constant horizontal force.

Because we have only investigated translational motion through space so far, we ar-

rived at the work–kinetic energy theorem by analyzing situations involving translational
motion. Another type of motion is rotational motion, in which an object spins about an
axis. We will study this type of motion in Chapter 10. The work–kinetic energy theorem
is  also  valid  for  systems  that  undergo  a  change  in  the  rotational  speed  due  to  work
done on the system. The windmill in the chapter opening photograph is an example of
work causing rotational motion.

The work–kinetic energy theorem will clarify a result that we have seen earlier in this

chapter that may have seemed odd. In Section 7.4, we arrived at a result of zero net work
done when we let a spring push a block from x

i

# &

x

max

to x

f

#

x

max

. Notice that the

speed of the block is continually changing during this process, so it may seem compli-
cated to analyze this process. The quantity "K in the work–kinetic energy theorem, how-
ever, only refers to the initial and final points for the speeds—it does not depend on de-
tails of the path followed between these points. Thus, because the speed is zero at both
the initial and final points of the motion, the net work done on the block is zero. We will
see this concept of path independence often in similar approaches to problems.

Earlier, we indicated that work can be considered as a mechanism for transferring

energy into a system. Equation 7.16 is a mathematical statement of this concept. We do
work +W on a system and the result is a transfer of energy across the boundary of the
system. The result on the system, in the case of Equation 7.16, is a change "K in kinetic
energy. We will explore this idea more fully in the next section.

Quick Quiz 7.6

A dart is loaded into a spring-loaded toy dart gun by pushing

the spring in by a distance d. For the next loading, the spring is compressed a distance
2d. How much faster does the second dart leave the gun compared to the first? (a) four
times as fast (b) two times as fast (c) the same (d) half as fast (e) one-fourth as fast.

▲

PITFALL PREVENTION

7.7 The Work–Kinetic

Energy Theorem:
Speed, not Velocity

The  work

–

kinetic  energy  theo-

rem  relates  work  to  a  change  in
the  speed of  an  object,  not  a
change  in  its  velocity.  For  exam-
ple,  if  an  object  is  in  uniform
circular motion, the speed is con-
stant. Even though the velocity is
changing, no work is done by the
force causing the circular motion.

196

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

Conceptual Example 7.8 Does the Ramp Lessen the Work Required?

A  man  wishes  to  load  a  refrigerator  onto  a  truck  using  a
ramp,  as  shown  in  Figure  7.15.  He  claims  that  less  work
would  be  required  to  load  the  truck  if  the  length  L of  the
ramp were increased. Is his statement valid?

Solution No. Suppose the refrigerator is wheeled on a dolly
up  the  ramp  at  constant  speed.  Thus,  "K # 0.  The  normal
force  exerted  by  the  ramp  on  the  refrigerator  is  directed  at
90° to the displacement and so does no work on the refrigera-
tor.  Because  "K # 0,  the  work

–

kinetic  energy  theorem  gives

The work done by the gravitational force equals the product
of  the  weight  mg of  the  refrigerator,  the  height  h  through
which  it  is  displaced,  and  cos  180°,  or  W

by gravity

# &

mgh.

(The negative sign arises because the downward gravitational
force is opposite the displacement.) Thus, the man must do
the same amount of work mgh on the refrigerator, regardless of
the length of the ramp. Although less force is required with a
longer ramp, that force must act over a greater distance.

W

net

#

W

by man

)

W

by gravity

#

0

L

Figure 7.15 (Conceptual Example 7.8) A refrigerator attached to a frictionless wheeled

dolly is moved up a ramp at constant speed.

d

v

i

f

k

v

f

Figure 7.16 A book sliding to the

right on a horizontal surface slows

down in the presence of a force of

kinetic friction acting to the left.

The initial velocity of the book is

v

i

, and its final velocity is 

v

f

. The

normal force and the gravitational

force are not included in the dia-

gram because they are perpendicu-

lar to the direction of motion and

therefore do not influence the

book’s speed.

(B) If  we  pull  harder,  the  block  should  accelerate  to  a
higher  speed  in  a  shorter  time  interval,  so  we  expect 
"

t- ' "t.  Mathematically,  from  the  definition  of  average

velocity,

Because both the original force and the doubled force cause
the  same  change  in  velocity,  the  average  velocity 

is  the

v

v #

"

x

"

t

 

:

 

"

t #

"

x

v

same in both cases. Thus,

and the time interval is shorter, consistent with our concep-
tual argument.

"

t- #

"

x-

v

#

1

2

"

x

v

#

1

2

 

"

t

7.6 The Nonisolated System—Conservation 

of Energy

We have seen examples in which an object, modeled as a particle, is acted on by vari-
ous forces, resulting in a change in its kinetic energy. This very simple situation is the
first  example  of  the 

nonisolated  system—a  common  scenario  in  physics  problems.

Physical  problems  for  which  this  scenario  is  appropriate  involve  systems  that  interact
with or are influenced by their environment, causing some kind of change in the sys-
tem. If a system does not interact with its environment it is an 

isolated system, which

we will study in Chapter 8.

The  work–kinetic  energy  theorem  is  our  first  example  of  an  energy  equation  ap-

propriate for a nonisolated system. In the case of the work–kinetic energy theorem, the
interaction is the work done by the external force, and the quantity in the system that
changes is the kinetic energy.

In addition to kinetic energy, we now introduce a second type of energy that a sys-

tem can possess. Let us imagine the book in Figure 7.16 sliding to the right on the sur-