Physics For Scientists And Engineers 6E - part 47

SECTION 7.2 •  Work Done by a Constant Force

185

application.  That  is,  if  ! # 90°,  then  W # 0  because  cos  90° # 0.  For  example,  in
Figure 7.3, the work done by the normal force on the object and the work done by
the gravitational force on the object are both zero because both forces are perpen-
dicular  to  the  displacement  and  have  zero  components  along  an  axis  in  the
direction of "

r.

The sign of the work also depends on the direction of 

F relative to "r. The work

done by the applied force is positive when the projection of 

F onto "r is in the same

direction as the displacement. For example, when an object is lifted, the work done
by the applied force is positive because the direction of that force is upward, in the
same direction as the displacement of its point of application. When the projection
of 

F onto "r is in the direction opposite the displacement, W is negative. For exam-

ple, as an object is lifted, the work done by the gravitational force on the object is
negative. The factor cos ! in the definition of 

W (Eq. 7.1) automatically takes care

of the sign.

If an applied force 

F is in the same direction as the displacement "r, then ! # 0

and cos 0 # 1. In this case, Equation 7.1 gives

Work  is  a  scalar  quantity,  and  its  units  are  force  multiplied  by  length.  Therefore,

the SI unit of work is the 

newton ! meter (N · m). This combination of units is used so

frequently that it has been given a name of its own: the 

joule ( J).

An important consideration for a system approach to problems is to note that 

work

is an energy transfer. If W is the work done on a system and W is positive, energy is
transferred to the system; if W is negative, energy is transferred from the system. Thus, if
a system interacts with its environment, this interaction can be described as a transfer
of energy across the system boundary. This will result in a change in the energy stored
in the system. We will learn about the first type of energy storage in Section 7.5, after
we investigate more aspects of work.

W # F

 

"

r

Quick  Quiz  7.1

The  gravitational  force  exerted  by  the  Sun  on  the  Earth

holds the Earth in an orbit around the Sun. Let us assume that the orbit is perfectly cir-
cular. The work done by this gravitational force during a short time interval in which
the  Earth  moves  through  a  displacement  in  its  orbital  path  is  (a)  zero  (b)  positive
(c) negative (d) impossible to determine.

Quick Quiz 7.2

Figure 7.4 shows four situations in which a force is applied to

an object. In all four cases, the force has the same magnitude, and the displacement of
the object is to the right and of the same magnitude. Rank the situations in order of
the work done by the force on the object, from most positive to most negative.

Figure 7.4 (Quick Quiz 7.2)

F

(c)

(d)

(b)

F

(a)

F

F

▲

PITFALL PREVENTION

7.4 Cause of the

Displacement

We  can  calculate  the  work  done
by a force on an object, but that
force  is  not necessarily  the  cause
of  the  object’s  displacement.  For
example,  if  you  lift  an  object,
work is done by the gravitational
force, although gravity is not the
cause  of  the  object  moving 
upward!

F

θ

n

∆ r

mg

Figure 7.3 When an object is dis-

placed on a frictionless, horizontal

surface, the normal force n and the

gravitational force mg do no work

on the object. In the situation

shown here, F is the only force do-

ing work on the object. 

186

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

7.3 The Scalar Product of Two Vectors

Because of the way the force and displacement vectors are combined in Equation 7.1,
it  is  helpful  to  use  a  convenient  mathematical  tool  called  the 

scalar  product of two

vectors. We write this scalar product of vectors 

A and B as A ! B. (Because of the dot

symbol, the scalar product is often called the 

dot product.)

In general, the scalar product of any two vectors 

A and B is a scalar quantity equal

to the product of the magnitudes of the two vectors and the cosine of the angle ! be-
tween them:

(7.2)

Note that 

A and B need not have the same units, as is the case with any multiplication.

Comparing this definition to Equation 7.1, we see that we can express Equation 7.1

as a scalar product:

(7.3)

In other words, 

F ! "r (read “F dot "r”) is a shorthand notation for F "r cos !.

Before continuing with our discussion of work, let us investigate some properties of

the dot product. Figure 7.6 shows two vectors 

A and B and the angle ! between them

that is used in the definition of the dot product. In Figure 7.6, B cos ! is the projection
of 

B onto A. Therefore, Equation 7.2 means that A ! B is the product of the magnitude

of 

A and the projection of B onto A.

2

W # F

  

"

r

 

cos ! #

F ! "r

A$B ! AB

 

cos !

Figure 7.5 (Example 7.1) (a) A vacuum cleaner being pulled at

an angle of 30.0° from the horizontal. (b) Free-body diagram of

the forces acting on the vacuum cleaner. 

Example 7.1 Mr. Clean

A man cleaning a floor pulls a vacuum cleaner with a force
of magnitude F # 50.0 N at an angle of 30.0° with the hori-
zontal (Fig. 7.5a). Calculate the work done by the force on
the  vacuum  cleaner  as  the  vacuum  cleaner  is  displaced
3.00 m to the right.

Solution Figure 7.5a helps conceptualize the situation. We
are given a force, a displacement, and the angle between the
two  vectors,  so  we  can  categorize  this  as  a  simple  problem
that will need minimal analysis. To analyze the situation, we
identify the vacuum cleaner as the system and draw a free-
body diagram as shown in Figure 7.5b. Using the definition
of work (Eq. 7.1),

To finalize this problem, notice in this situation that the

normal  force 

n and  the  gravitational  F

g

#

m

g do  no  work

on the vacuum cleaner because these forces are perpendicu-
lar to its displacement.

130 J

#

130

 

N$m #

W  #  F 

 

"

r cos

 

! #

(50.0 N)(3.00 m)(cos

 

30.0%)

mg

30.0

°

50.0 N

(a)

n

50.0 N

30.0

°

n

mg

x

y

(b)

B

A

B cos 

θ

θ

θ

θ

A . B  =  AB cos

Figure 7.6 The scalar product A ! B

equals the magnitude of A multi-

plied by B cos 

!

, which is the pro-

jection of B onto A.

Scalar product of any two

vectors A and B

2

This is equivalent to stating that 

A ! B equals the product of the magnitude of B and the pro-

jection of 

A onto B.

SECTION 7.3 •  The Scalar Product of Two Vectors

187

From  the  right-hand  side  of  Equation  7.2  we  also  see  that  the  scalar  product  is

commutative.

3

That is,

Finally, the scalar product obeys the 

distributive law of multiplication, so that

The  dot  product  is  simple  to  evaluate  from  Equation  7.2  when 

A is either per-

pendicular  or  parallel  to 

B.  If  A is  perpendicular  to  B (! # 90°),  then  A ! B # 0.

(The equality 

A ! B # 0 also holds in the more trivial case in which either A or B is

zero.)  If  vector 

A is  parallel  to  vector  B and  the  two  point  in  the  same  direction

(! # 0), then 

A ! B # AB. If vector A is parallel to vector B but the two point in op-

posite  directions  (! # 180°),  then 

A ! B # & AB.  The  scalar  product  is  negative

when 90° ' ! ( 180°.

The unit vectors ˆ

i , ˆj, and ˆk, which were defined in Chapter 3, lie in the positive x,

y, and z directions, respectively, of a right-handed coordinate system. Therefore, it fol-
lows from the definition of 

A ! B that the scalar products of these unit vectors are

(7.4)

(7.5)

Equations 3.18 and 3.19 state that two vectors 

A and B can be expressed in compo-

nent vector form as

Using the information given in Equations 7.4 and 7.5 shows that the scalar product of
A and B reduces to

(7.6)

(Details of the derivation are left for you in Problem 6.) In the special case in which
A # B, we see that

A ! A # A

x

2

)

A

y

2

)

A

z

2

#

A

2

A ! B # A

x

B

x

)

A

y

B

y

)

A

z

B

z

B # B

x

iˆ ) B

y

jˆ ) B

z

kˆ

A # A

x

iˆ ) A

y

jˆ ) A

z

kˆ

iˆ ! jˆ " iˆ ! kˆ " jˆ ! kˆ " 0

iˆ ! iˆ " jˆ ! jˆ " kˆ ! kˆ " 1

A ! (B ) C) # A ! B ) A ! C

A ! B # B ! A

Quick Quiz 7.3

Which of the following statements is true about the relation-

ship  between  A ! B and  (& A) ! (& B)?  (a)  A ! B # &[(& A) ! (& B)];  (b)  If  A ! B #
AB cos  !,  then  (& A) ! (& B) # AB cos  (! ) 180°);  (c)  Both  (a)  and  (b)  are  true.
(d) Neither (a) nor (b) is true.

Quick Quiz 7.4

Which of the following statements is true about the relation-

ship between the dot product of two vectors and the product of the magnitudes of the
vectors? (a) A ! B is larger than AB; (b) A ! B is smaller than AB; (c) A ! B could be larger
or  smaller  than  AB,  depending  on  the  angle  between  the  vectors;  (d)  A ! B could  be
equal to AB.

Dot products of unit vectors

▲

PITFALL PREVENTION

7.5 Work is a Scalar

Although  Equation  7.3  defines
the work in terms of two vectors,
work is a scalar—there is no direc-
tion associated with it. All types of
energy  and  energy  transfer  are
scalars. This is a major advantage
of  the  energy  approach—we
don’t need vector calculations!

3

This may seem obvious, but in Chapter 11 you will see another way of combining vectors that

proves useful in physics and is not commutative.

188

CHAPTE R 7 •  Energy and Energy Transfer

7.4 Work Done by a Varying Force

Consider a particle being displaced along the x axis under the action of a force that
varies  with  position.  The  particle  is  displaced  in  the  direction  of  increasing  x from
x # x

i

to x # x

f

. In such a situation, we cannot use W # F "r cos ! to calculate the work

done by the force because this relationship applies only when 

F is constant in magni-

tude and direction. However, if we imagine that the particle undergoes a very small dis-
placement "x, shown in Figure 7.7a, the x component F

x

of the force is approximately

constant over this small interval; for this small displacement, we can approximate the
work done by the force as

This is just the area of the shaded rectangle in Figure 7.7a. If we imagine that the F

x

versus x curve is divided into a large number of such intervals, the total work done for
the displacement from x

i

to x

f

is approximately equal to the sum of a large number of

such terms:

W

"

#

x

f

x

i

 F

x

"

x

W

" F

x

 

"

x

Example 7.2 The Scalar Product

The  vectors 

A and  B are  given  by  A # 2

ˆi

)

3

ˆj

and 

B #

&

ˆi

)

2

ˆj

.

(A)

Determine the scalar product 

A ! B.

Solution Substituting the specific vector expressions for 

A

and 

B, we find,

where  we  have  used  the  facts  that 

ˆi

!

ˆi

#

ˆj

!

ˆj

#

1 and

ˆi

!

ˆj

#

ˆj

!

ˆi

#

0. The same result is obtained when we use

Equation 7.6 directly, where A

x

#

2, A

y

#

3, B

x

# &

1, and

B

y

#

2.

4

  # &2 ) 6 #

  # &2(1) ) 4(0) & 3(0) ) 6(1)

  # & 2

iˆ ! iˆ ) 2iˆ ! 2jˆ & 3jˆ ! iˆ ) 3jˆ ! 2jˆ

A ! B  # (2iˆ ) 3jˆ)$(&iˆ ) 2jˆ)

(B)

Find the angle ! between 

A and B.

Solution The magnitudes of 

A and B are

Using Equation 7.2 and the result from part (a) we find

that

60.2%

! #

cos

&

1

4

8.06

#

cos

 

! #

A ! B

AB

#

4

√

13

√

5

#

4

√

65

B #

√

B

x

2

)

B

y

2

#

√

(&1)

2

)

(2)

2

#

√

5

A #

√

A

x

2

)

A

y

2

#

√

(2)

2

)

(3)

2

#

√

13

Example 7.3 Work Done by a Constant Force

(B)

Calculate the work done by 

F.

Solution Substituting  the  expressions  for 

F and  "r into

Equation 7.3 and using Equations 7.4 and 7.5, we obtain

16

  

J

  # [10 ) 0 ) 0 ) 6]

 

N$m #

  # (5.0

iˆ$2.0iˆ ) 5.0iˆ$3.0jˆ ) 2.0jˆ$2.0iˆ ) 2.0jˆ$3.0jˆ)N$m

W  #

F$"r # [(5.0iˆ ) 2.0jˆ)N]$[(2.0iˆ ) 3.0jˆ)

 

m]

A  particle  moving  in  the  xy plane  undergoes  a  displacement 
"

r # (2.0

ˆi

)

3.0

ˆj

) m as a constant force 

F # (5.0

ˆi

)

2.0

ˆj

) N

acts on the particle.

(A)

Calculate  the  magnitudes  of  the  displacement  and  the

force.

Solution We use the Pythagorean theorem:

5.4

 

N

F #

√

F

x

2

)

F

y

2

#

√

(5.0)

2

)

(2.0)

2

#

3.6

 

m

"

r #

√

("x)

2

)

("y)

2

#

√

(2.0)

2

)

(3.0)

2

#