Physics For Scientists And Engineers 6E - part 44

Problems

173

der  at  a  high  rotation  rate  forces  the  solidifying  metal
strongly to the outside. Any bubbles are displaced toward
the axis, so unwanted voids will not be present in the cast-
ing. Sometimes it is desirable to form a composite casting,
such as for a bearing. Here a strong steel outer surface is
poured, followed by an inner lining of special low-friction
metal. In some applications a very strong metal is given a
coating of corrosion-resistant metal. Centrifugal casting re-
sults in strong bonding between the layers.

Suppose that a copper sleeve of inner radius 2.10 cm

and outer radius 2.20 cm is to be cast. To eliminate bubbles
and  give  high  structural  integrity,  the  centripetal  accelera-
tion of each bit of metal should be 100g. What rate of rota-
tion is required? State the answer in revolutions per minute.

Section 6.2 Nonuniform Circular Motion

A 40.0-kg child swings in a swing supported by two chains,
each 3.00 m long. If the tension in each chain at the lowest
point  is  350 N,  find  (a)  the  child’s  speed  at  the  lowest
point and (b) the force exerted by the seat on the child at
the lowest point. (Neglect the mass of the seat.)

14.

A  child  of  mass  m  swings  in  a  swing  supported  by  two
chains,  each  of  length  R.  If  the  tension  in  each  chain  at
the lowest point is T, find (a) the child’s speed at the low-
est point and (b) the force exerted by the seat on the child
at the lowest point. (Neglect the mass of the seat.)

13.

Tarzan (m ! 85.0 kg) tries to cross a river by swinging

from a vine. The vine is 10.0 m long, and his speed at the
bottom  of  the  swing  (as  he  just  clears  the  water)  will  be
8.00 m/s. Tarzan doesn’t know that the vine has a breaking
strength of 1 000 N. Does he make it safely across the river?

16.

A  hawk  flies  in  a  horizontal  arc  of  radius  12.0 m  at  a  con-
stant speed of 4.00 m/s. (a) Find its centripetal acceleration.
(b) It continues to fly along the same horizontal arc but in-
creases its speed at the rate of 1.20 m/s

2

. Find the accelera-

tion (magnitude and direction) under these conditions.

A pail of water is rotated in a vertical circle of radius

1.00 m. What is the minimum speed of the pail at the top
of the circle if no water is to spill out?

18.

A 0.400-kg object is swung in a vertical circular path on a
string  0.500 m  long.  If  its  speed  is  4.00 m/s  at  the  top  of
the circle, what is the tension in the string there?

19.

A roller coaster car (Fig. P6.19) has a mass of 500 kg when
fully loaded with passengers. (a) If the vehicle has a speed
of  20.0 m/s  at  point  !,  what  is  the  force  exerted  by  the
track  on  the  car  at  this  point?  (b)  What  is  the  maximum
speed  the  vehicle  can  have  at  " and  still  remain  on  the
track?

17.

15.

20.

A roller coaster at the Six Flags Great America amusement
park  in  Gurnee,  IL,  incorporates  some  clever  design  tech-
nology and some basic physics. Each vertical loop, instead of
being  circular,  is  shaped  like  a  teardrop  (Fig.  P6.20).  The
cars ride on the inside of the loop at the top, and the speeds
are  high  enough  to  ensure  that  the  cars  remain  on  the
track.  The  biggest  loop  is  40.0 m  high,  with  a  maximum
speed of 31.0 m/s (nearly 70 mi/h) at the bottom. Suppose

10 m

15 m

!

"

Figure P6.19

Axis of rotation

Molten metal

Preheated steel sheath

Figure P6.12

3.00 m

2.00 m

2.00 m

Figure P6.11

174

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

the speed at the top is 13.0 m/s and the corresponding cen-
tripetal acceleration is 2g. (a) What is the radius of the arc
of the teardrop at the top? (b) If the total mass of a car plus
the riders is M, what force does the rail exert on the car at
the top? (c) Suppose the roller coaster had a circular loop
of radius 20.0 m. If the cars have the same speed, 13.0 m/s
at  the  top,  what  is  the  centripetal  acceleration  at  the  top?
Comment on the normal force at the top in this situation.

Section 6.3 Motion in Accelerated Frames

21. An object of mass 5.00 kg, attached to a spring scale, rests

on a frictionless, horizontal surface as in Figure P6.21. The
spring  scale,  attached  to  the  front  end  of  a  boxcar,  has  a
constant  reading  of  18.0 N  when  the  car  is  in  motion.
(a) If the spring scale reads zero when the car is at rest, de-
termine  the  acceleration  of  the  car.  (b)  What  constant
reading  will  the  spring  scale  show  if  the  car  moves  with
constant velocity? (c) Describe the forces on the object as
observed  by  someone  in  the  car  and  by  someone  at  rest
outside the car.

22.

If the coefficient of static friction between your coffee cup
and  the  horizontal  dashboard  of  your  car  is  #

s

!

0.800,

how fast can you drive on a horizontal roadway around a
right turn of radius 30.0 m before the cup starts to slide? If
you go too fast, in what direction will the cup slide relative
to the dashboard?
A  0.500-kg  object  is  suspended  from  the  ceiling  of  an  ac-
celerating boxcar as in Figure 6.13. If a ! 3.00 m/s

2

, find

23.

(a)  the  angle  that  the  string  makes  with  the  vertical  and
(b) the tension in the string.

24.

A small container of water is placed on a carousel inside a
microwave  oven,  at  a  radius  of  12.0 cm  from  the  center.
The turntable rotates steadily, turning through one revolu-
tion  in  each  7.25 s.  What  angle  does  the  water  surface
make with the horizontal?
A person stands on a scale in an elevator. As the elevator
starts, the scale has a constant reading of 591 N. As the ele-
vator  later  stops,  the  scale  reading  is  391 N.  Assume  the
magnitude of the acceleration is the same during starting
and stopping, and determine (a) the weight of the person,
(b)  the  person’s  mass,  and  (c)  the  acceleration  of  the
elevator.

26.

The  Earth  rotates  about  its  axis  with  a  period  of  24.0 h.
Imagine  that  the  rotational  speed  can  be  increased.  If
an object  at  the  equator  is  to  have  zero  apparent  weight,
(a) what must the new period be? (b) By what factor would
the speed of the object be increased when the planet is ro-
tating at the higher speed? Note that the apparent weight
of the object becomes zero when the normal force exerted
on it is zero.

27.

A small block is at rest on the floor at the front of a rail-
road  boxcar  that  has  length  !.  The  coefficient  of  kinetic
friction  between  the  floor  of  the  car  and  the  block  is  #

k

.

The car, originally at rest, begins to move with acceleration
a. The block slides back horizontally until it hits the back
wall of the car. At that moment, what is its speed (a) rela-
tive to the car? (b) relative to Earth? 

28.

A student stands in an elevator that is continuously acceler-
ating  upward  with  acceleration  a.  Her  backpack  is  sitting
on the floor next to the wall. The width of the elevator car
is L. The student gives her backpack a quick kick at t ! 0,
imparting to it speed v, and making it slide across the ele-
vator floor. At time t, the backpack hits the opposite wall.
Find  the  coefficient  of  kinetic  friction  #

k

between  the

backpack and the elevator floor.

29.

A  child  on  vacation  wakes  up.  She  is  lying  on  her  back.
The  tension  in  the  muscles  on  both  sides  of  her  neck  is
55.0 N as she raises her head to look past her toes and out
the  motel  window.  Finally  it  is  not  raining!  Ten  minutes
later she is screaming feet first down a water slide at termi-
nal  speed  5.70 m/s,  riding  high  on  the  outside  wall  of  a
horizontal  curve  of  radius  2.40 m  (Figure  P6.29).  She
raises her head to look forward past her toes; find the ten-
sion in the muscles on both sides of her neck.

25.

Figure P6.20

5.00 kg

Figure P6.21

Frank Cezus / Getty Images

Figure P6.29

Problems

175

30.

One popular design of a household juice machine is a coni-
cal,  perforated  stainless  steel  basket  3.30 cm  high  with  a
closed bottom of diameter 8.00 cm and open top of diame-
ter  13.70 cm  that  spins  at  20  000  revolutions  per  minute
about a vertical axis (Figure P6.30). Solid pieces of fruit are
chopped into granules by cutters at the bottom of the spin-
ning cone. Then the fruit granules rapidly make their way
to  the  sloping  surface  where  the  juice  is  extracted  to  the
outside of the cone through the mesh perforations. The dry
pulp spirals upward along the slope to be ejected from the
top of the cone. The juice is collected in an enclosure im-
mediately  surrounding  the  sloped  surface  of  the  cone. 
(a) What centripetal acceleration does a bit of fruit experi-
ence when it is spinning with the basket at a point midway
between the top and bottom? Express the answer as a multi-
ple of g. (b) Observe that the weight of the fruit is a negligi-
ble force. What is the normal force on 2.00 g of fruit at that
point?  (c)  If  the  effective  coefficient  of  kinetic  friction  be-
tween the fruit and the cone is 0.600, with what acceleration
relative to the cone will the bit of fruit start to slide up the
wall of the cone at that point, after being temporarily stuck?

31.

A plumb bob does not hang exactly along a line directed
to the center of the Earth’s rotation. How much does the
plumb  bob  deviate  from  a  radial  line  at  35.0° north  lati-
tude? Assume that the Earth is spherical. 

Section 6.4 Motion in the Presence of Resistive

Forces

32. A sky diver of mass 80.0 kg jumps from a slow-moving air-

craft and reaches a terminal speed of 50.0 m/s. (a) What is
the  acceleration  of  the  sky  diver  when  her  speed  is
30.0 m/s?  What  is  the  drag  force  on  the  diver  when  her
speed is (b) 50.0 m/s? (c) 30.0 m/s?

33.

A  small  piece  of  Styrofoam  packing  material  is  dropped
from a height of 2.00 m above the ground. Until it reaches
terminal speed, the magnitude of its acceleration is given
by  a ! g ' bv.  After  falling  0.500 m,  the  Styrofoam  effec-
tively  reaches  terminal  speed,  and  then  takes  5.00 s

more to  reach  the  ground.  (a)  What  is  the  value  of  the
constant b? (b) What is the acceleration at t ! 0? (c) What
is the acceleration when the speed is 0.150 m/s?

34. (a) Estimate the terminal speed of a wooden sphere (den-

sity 0.830 g/cm

3

) falling through air if its radius is 8.00 cm

and  its  drag  coefficient  is  0.500.  (b)  From  what  height
would  a  freely  falling  object  reach  this  speed  in  the  ab-
sence of air resistance?

35. Calculate the force required to pull a copper ball of radius

2.00 cm  upward  through  a  fluid  at  the  constant  speed
9.00 cm/s.  Take  the  drag  force  to  be  proportional  to  the
speed,  with  proportionality  constant  0.950 kg/s.  Ignore
the buoyant force.

36. A fire helicopter carries a 620-kg bucket at the end of a ca-

ble 20.0 m long as in Figure P6.36. As the helicopter flies
to a fire at a constant speed of 40.0 m/s, the cable makes
an angle of 40.0° with respect to the vertical. The bucket
presents  a  cross-sectional  area  of  3.80 m

2

in  a  plane  per-

pendicular  to  the  air  moving  past  it.  Determine  the  drag
coefficient assuming that the resistive force is proportional
to the square of the bucket’s speed.

A small, spherical bead of mass 3.00 g is released from rest
at t ! 0 in a bottle of liquid shampoo. The terminal speed
is observed to be v

T

!

2.00 cm/s. Find (a) the value of the

constant  b in  Equation  6.2,  (b)  the  time  , at  which  the
bead  reaches  0.632v

T

, and  (c)  the  value  of  the  resistive

force when the bead reaches terminal speed.

38. The mass of a sports car is 1 200 kg. The shape of the body

is such that the aerodynamic drag coefficient is 0.250 and
the frontal area is 2.20 m

2

. Neglecting all other sources of

friction, calculate the initial acceleration of the car if it has
been traveling at 100 km/h and is now shifted into neutral
and allowed to coast.

A  motorboat  cuts  its  engine  when  its  speed  is

10.0 m/s and  coasts  to  rest.  The  equation  describing  the
motion  of  the  motorboat  during  this  period  is  v ! v

i

e

'

ct

,

where v is the speed at time t, v

i

is the initial speed, and c is

a constant. At t ! 20.0 s, the speed is 5.00 m/s. (a) Find the
constant c. (b) What is the speed at t ! 40.0 s? (c) Differen-
tiate the expression for v(t) and thus show that the acceler-
ation of the boat is proportional to the speed at any time.

40.

Consider an object on which the net force is a resistive force
proportional  to  the  square  of  its  speed.  For  example,  as-
sume  that  the  resistive  force  acting  on  a  speed  skater  is
f ! ' kmv

2

, where k is a constant and m is the skater’s mass.

The skater crosses the finish line of a straight-line race with

39.

37.

Spinning

basket

Juice spout

Pulp

Motor

Figure P6.30

40.0

°

620 kg

20.0 m

40.0 m/s

Figure P6.36

176

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

speed  v

0

and  then  slows  down  by  coasting  on  his  skates.

Show that the skater’s speed at any time t after crossing the
finish  line  is  v(t) ! v

0

/(1 ( ktv

0

).  This  problem  also  pro-

vides the background for the two following problems.

41.

(a) Use the result of Problem 40 to find the position x as a
function of time for an object of mass m, located at x ! 0
and  moving  with  velocity  v

0

ˆi at time t ! 0 and thereafter

experiencing  a  net  force  ' kmv

2

ˆi.  (b)  Find  the  object’s

velocity as a function of position.

42.

At major league baseball games it is commonplace to flash
on the scoreboard a speed for each pitch. This speed is de-
termined  with  a  radar  gun  aimed  by  an  operator  posi-
tioned behind home plate. The gun uses the Doppler shift
of microwaves reflected from the baseball, as we will study
in Chapter 39. The gun determines the speed at some par-
ticular  point  on  the  baseball’s  path,  depending  on  when
the operator pulls the trigger. Because the ball is subject to
a drag force due to air, it slows as it travels 18.3 m toward
the  plate.  Use  the  result  of  Problem  41(b)  to  find  how
much  its  speed  decreases.  Suppose  the  ball  leaves  the
pitcher’s hand at 90.0 mi/h ! 40.2 m/s. Ignore its vertical
motion. Use data on baseballs from Example 6.13 to deter-
mine the speed of the pitch when it crosses the plate.

43.

You can feel a force of air drag on your hand if you stretch
your arm out of the open window of a speeding car. [Note:
Do  not  endanger  yourself.]  What  is  the  order  of  magni-
tude of this force? In your solution state the quantities you
measure or estimate and their values.

Section 6.5 Numerical Modeling in Particle

Dynamics

44.

A  3.00-g  leaf  is  dropped  from  a  height  of  2.00 m

above  the  ground.  Assume  the  net  downward  force  ex-
erted on the leaf is F ! mg ' bv, where the drag factor is
b ! 0.030  0 kg/s.  (a)  Calculate  the  terminal  speed  of  the
leaf. (b) Use Euler’s method of numerical analysis to find
the  speed  and  position  of  the  leaf,  as  functions  of  time,
from the instant it is released until 99% of terminal speed
is reached. (Suggestion: Try 0t ! 0.005 s.)

A hailstone of mass 4.80 ) 10

'

4

kg falls through

the air and experiences a net force given by

F ! 'mg ( Cv

2

where  C ! 2.50 ) 10

'

5

kg/m.  (a)  Calculate  the  terminal

speed of the hailstone. (b) Use Euler’s method of numeri-
cal analysis to find the speed and position of the hailstone
at 0.2-s intervals, taking the initial speed to be zero. Con-
tinue  the  calculation  until  the  hailstone  reaches  99%  of
terminal speed.

46.

A 0.142-kg baseball has a terminal speed of 42.5 m/s

(95  mi/h).  (a)  If  a  baseball  experiences  a  drag  force  of
magnitude  R ! Cv

2

,  what  is  the  value  of  the  constant  C ?

(b)  What  is  the  magnitude  of  the  drag  force  when  the
speed  of  the  baseball  is  36.0 m/s?  (c)  Use  a  computer  to
determine  the  motion  of  a  baseball  thrown  vertically  up-
ward at an initial speed of 36 m/s. What maximum height
does the ball reach? How long is it in the air? What is its
speed just before it hits the ground? 

45.

47.

A 50.0-kg parachutist jumps from an airplane and falls

to  Earth  with  a  drag  force  proportional  to  the  square  of
the speed, R ! Cv

2

. Take C ! 0.200 kg/m (with the para-

chute  closed)  and  C ! 20.0 kg/m  (with  the  chute  open).
(a)  Determine  the  terminal  speed  of  the  parachutist  in
both configurations, before and after the chute is opened.
(b)  Set  up  a  numerical  analysis  of  the  motion  and  com-
pute the speed and position as functions of time, assuming
the  jumper  begins  the  descent  at  1 000 m  above  the
ground  and  is  in  free  fall  for  10.0 s  before  opening  the
parachute. (Suggestion: When the parachute opens, a sud-
den large acceleration takes place; a smaller time step may
be necessary in this region.)

48.

Consider a 10.0-kg projectile launched with an initial

speed of 100 m/s, at an elevation angle of 35.0°. The resis-
tive force is 

R ! ' bv, where b ! 10.0 kg/s. (a) Use a nu-

merical  method  to  determine  the  horizontal  and  vertical
coordinates of the projectile as functions of time. (b) What
is the range of this projectile? (c) Determine the elevation
angle  that  gives  the  maximum  range  for  the  projectile.
(Suggestion: Adjust the elevation angle by trial and error to
find the greatest range.)

49.

A professional golfer hits her 5-iron 155 m (170 yd). A

46.0-g  golf  ball  experiences  a  drag  force  of  magnitude
R ! Cv

2

, and has a terminal speed of 44.0 m/s. (a) Calcu-

late the drag constant C for the golf ball. (b) Use a numer-
ical  method  to  calculate  the  trajectory  of  this  shot.  If  the
initial velocity of the ball makes an angle of 31.0° (the loft
angle) with the horizontal, what initial speed must the ball
have  to  reach  the  155-m  distance?  (c)  If  this  same  golfer
hits her 9-iron (47.0° loft) a distance of 119 m, what is the
initial speed of the ball in this case? Discuss the differences
in trajectories between the two shots. 

Additional Problems

50.

In a home laundry dryer, a cylindrical tub containing wet
clothes is rotated steadily about a horizontal axis, as shown
in Figure P6.50. So that the clothes will dry uniformly, they
are  made  to  tumble.  The  rate  of  rotation  of  the  smooth-
walled tub is chosen so that a small piece of cloth will lose
contact with the tub when the cloth is at an angle of 68.0°

68.0

°

Figure P6.50