Physics For Scientists And Engineers 6E - part 43

SECTION 6.5 •  Numerical Modeling in Particle Dynamics

169

The  acceleration  is  determined  from  the  net  force  acting  on  the  particle,  and  this
force may depend on position, velocity, or time:

(6.12)

It is convenient to set up the numerical solution to this kind of problem by num-

bering the steps and entering the calculations in a table. Table 6.3 illustrates how to do
this in an orderly way. Many small increments can be taken, and accurate results can
usually be obtained with the help of a computer. The equations provided in the table
can be entered into a spreadsheet and the calculations performed row by row to deter-
mine the velocity, position, and acceleration as functions of time. The calculations can
also  be  carried  out  using  a  programming  language,  or  with  commercially  available
mathematics packages for personal computers. Graphs of velocity versus time or posi-
tion versus time can be displayed to help you visualize the motion.

One  advantage  of  the  Euler  method  is  that  the  dynamics  is  not  obscured—the

fundamental  relationships  between  acceleration  and  force,  velocity  and  acceleration,
and  position  and  velocity  are  clearly  evident.  Indeed,  these  relationships  form  the
heart of the calculations. There is no need to use advanced mathematics, and the basic
physics governs the dynamics.

The Euler method is completely reliable for infinitesimally small time increments,

but for practical reasons a finite increment size must be chosen. For the finite differ-
ence  approximation  of  Equation  6.10  to  be  valid,  the  time  increment  must  be  small
enough that the acceleration can be approximated as being constant during the incre-
ment. We can determine an appropriate size for the time increment by examining the
particular problem being investigated. The criterion for the size of the time increment
may need to be changed during the course of the motion. In practice, however, we usu-
ally  choose  a  time  increment  appropriate  to  the  initial  conditions  and  use  the  same
value throughout the calculations.

The size of the time increment influences the accuracy of the result, but unfortu-

nately it is not easy to determine the accuracy of an Euler-method solution without a
knowledge of the correct analytical solution. One method of determining the accuracy
of the numerical solution is to repeat the calculations with a smaller time increment
and compare results. If the two calculations agree to a certain number of significant
figures, you can assume that the results are correct to that precision.

a(x, v, t) !

!

 F(x, v, t)

m

Step

Time

Position

Velocity

Acceleration

0

t

0

x

0

v

0

a

0

!

F(x

0

, v

0

, t

0

)/m

1

t

1

!

t

0

( 0

t

x

1

!

x

0

(

v

0

0

t

v

1

!

v

0

(

a

0

0

t

a

1

!

F(x

1

, v

1

, t

1

)/m

2

t

2

!

t

1

( 0

t

x

2

!

x

1

(

v

1

0

t

v

2

!

v

1

(

a

1

0

t

a

2

!

F(x

2

, v

2

, t

2

)/m

3

t

3

!

t

2

( 0

t

x

3

!

x

2

(

v

2

0

t

v

3

!

v

2

(

a

2

0

t

a

3

!

F(x

3

, v

3

, t

3

)/m

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

n

t

n

x

n

v

n

a

n

The Euler Method for Solving Dynamics Problems

Table 6.3

Example 6.15 Euler and the Sphere in Oil Revisited

Consider  the  sphere  falling  in  oil  in  Example  6.10.  Using
the Euler method, find the position and the acceleration of
the  sphere  at  the  instant  that  the  speed  reaches  90.0%  of
terminal speed.

Solution The net force on the sphere is

!F ! 'mg ( bv

170

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

Thus, the acceleration values in the last column of Table 6.3
are

Choosing a time increment of 0.1 ms, the first few lines of the
spreadsheet  modeled  after  Table  6.3  look  like  Table  6.4.  We
see that the speed is increasing while the magnitude of the ac-
celeration is decreasing due to the resistive force. We also see
that the sphere does not fall very far in the first millisecond.

Further down the spreadsheet, as shown in Table 6.5,

we find the instant at which the sphere reaches the speed

a !

*

F(x,

 

v,

 

t)

m

!

'

 

mg ( bv

m

! '

 

g (

bv

m

0.900v

T

,  which  is  0.900 ) 5.00 cm/s ! 4.50 cm/s.  This

calculation  shows  that  this  occurs  at  t ! 11.6 ms,  which
agrees within its uncertainty with the value obtained in Ex-
ample 6.10. The 0.1-ms difference in the two values is due
to  the  approximate  nature  of  the  Euler  method.  If  a
smaller time increment were used, the instant at which the
speed reaches 0.900v

T

approaches the value calculated in

Example 6.10.

From  Table  6.5,  we  see  that  the  position  and  accelera-

tion of the sphere when it reaches a speed of 0.900v

T

are

y !

and

a ! '99 cm/s

2

 

'

0.035 cm

Time 

Acceleration 

Step

(ms)

Position (cm)

Velocity (cm/s)

(cm/s

2

)

0

0.0

0.000 0

0.0

'

980.0

1

0.1

0.000 0

'

0.10

'

960.8

2

0.2

0.000 0

'

0.19

'

942.0

3

0.3

0.000 0

'

0.29

'

923.5

4

0.4

'

0.000 1

'

0.38

'

905.4

5

0.5

'

0.000 1

'

0.47

'

887.7

6

0.6

'

0.000 1

'

0.56

'

870.3

7

0.7

'

0.000 2

'

0.65

'

853.2

8

0.8

'

0.000 3

'

0.73

'

836.5

9

0.9

'

0.000 3

'

0.82

'

820.1

10

1.0

'

0.000 4

'

0.90

'

804.0

The Sphere Begins to Fall in Oil

Table 6.4

Time 

Acceleration 

Step

(ms)

Position (cm)

Velocity (cm/s)

(cm/s

2

)

110

11.0

'

0.032 4

'

4.43

'

111.1

111

11.1

'

0.032 8

'

4.44

'

108.9

112

11.2

'

0.033 3

'

4.46

'

106.8

113

11.3

'

0.033 7

'

4.47

'

104.7

114

11.4

'

0.034 2

'

4.48

'

102.6

115

11.5

'

0.034 6

'

4.49

'

100.6

116

11.6

'

0.035 1

'

4.50

'

98.6

117

11.7

'

0.035 5

'

4.51

'

96.7

118

11.8

'

0.036 0

'

4.52

'

94.8

119

11.9

'

0.036 4

'

4.53

'

92.9

120

12.0

'

0.036 9

'

4.54

'

91.1

The Sphere Reaches 0.900 v

T

Table 6.5

Newton’s  second  law  applied  to  a  particle  moving  in  uniform  circular  motion  states
that the net force causing the particle to undergo a centripetal acceleration is

(6.1)

A particle moving in nonuniform circular motion has both a radial component of

acceleration and a nonzero tangential component of acceleration. In the case of a par-

!

 

F ! ma

c

!

mv

 

2

r

S U M M A R Y

Take a practice test for

this chapter by clicking the
Practice Test link at
http://www.pse6.com.

Questions

171

ticle rotating in a vertical circle, the gravitational force provides the tangential compo-
nent of acceleration and part or all of the radial component of acceleration.

An observer in a noninertial (accelerating) frame of reference must introduce 

fic-

titious  forces when  applying  Newton’s  second  law  in  that  frame.  If  these  fictitious
forces  are  properly  defined,  the  description  of  motion  in  the  noninertial  frame  is
equivalent to that made by an observer in an inertial frame. However, the observers in
the two frames do not agree on the causes of the motion.

An object moving through a liquid or gas experiences a speed-dependent 

resis-

tive  force. This resistive force, which opposes the motion relative to the medium,
generally increases with speed. The magnitude of the resistive force depends on the
size  and  shape  of  the  object  and on  the  properties  of  the  medium  through  which
the object is moving. In the limiting case for a falling object, when the magnitude of
the resistive force equals the object’s weight, the object reaches its 

terminal speed.

Euler’s method provides a means for analyzing the motion of a particle under the
action of a force that is not simple.

1. Why does mud fly off a rapidly turning automobile tire?
2. Imagine  that  you  attach  a  heavy  object  to  one  end  of  a

spring,  hold  onto  the  other  end  of  the  spring,  and  then
whirl  the  object  in  a  horizontal  circle.  Does  the  spring
stretch? If so, why? Discuss this in terms of the force caus-
ing the motion to be circular. 

3. Describe a situation in which the driver of a car can have a

centripetal acceleration but no tangential acceleration.

4. Describe the path of a moving body in the event that its ac-

celeration is constant in magnitude at all times and (a) per-
pendicular to the velocity; (b) parallel to the velocity.

5. An  object  executes  circular  motion  with  constant  speed

whenever  a  net  force  of  constant  magnitude  acts  perpen-
dicular  to  the  velocity.  What  happens  to  the  speed  if  the
force is not perpendicular to the velocity?

6. Explain why the Earth is not spherical in shape and bulges

at the equator.

7. Because the Earth rotates about its axis, it is a noninertial

frame of reference. Assume the Earth is a uniform sphere.
Why would the apparent weight of an object be greater at
the poles than at the equator? 

8. What causes a rotary lawn sprinkler to turn?
9. If someone told you that astronauts are weightless in orbit

because they are beyond the pull of gravity, would you ac-
cept the statement? Explain.
It has been suggested that rotating cylinders about 10 mi in
length and 5 mi in diameter be placed in space and used as
colonies. The purpose of the rotation is to simulate gravity
for the inhabitants. Explain this concept for producing an
effective imitation of gravity.

11. Consider  a  rotating  space  station,  spinning  with  just  the

right  speed  such  that  the  centripetal  acceleration  on  the
inner surface is g. Thus, astronauts standing on this inner
surface  would  feel  pressed  to  the  surface  as  if  they  were
pressed into the floor because of the Earth’s gravitational
force.  Suppose  an  astronaut  in  this  station  holds  a  ball
above her head and “drops” it to the floor. Will the ball fall
just like it would on the Earth?

10.

12. A pail of water can be whirled in a vertical path such that

none  is  spilled.  Why  does  the  water  stay  in  the  pail,  even
when the pail is above your head?

13. How  would  you  explain  the  force  that  pushes  a  rider  to-

ward the side of a car as the car rounds a corner?
Why does a pilot tend to black out when pulling out of a
steep dive?

15. The  observer  in  the  accelerating  elevator  of  Example  5.8

would  claim  that  the  “weight”  of  the  fish  is  T,  the  scale
reading.  This  is  obviously  wrong.  Why  does  this  observa-
tion  differ  from  that  of  a  person  outside  the  elevator,  at
rest with respect to the Earth?

16. If  you  have  ever  taken  a  ride  in  an  express  elevator  of  a

high-rise building, you may have experienced a nauseating
sensation  of  heaviness  or  lightness  depending  on  the  di-
rection  of  the  acceleration.  Explain  these  sensations.  Are
we truly weightless in free-fall?
A  falling  sky  diver  reaches  terminal  speed  with  her  para-
chute closed. After the parachute is opened, what parame-
ters change to decrease this terminal speed?

18. Consider  a  small  raindrop  and  a  large  raindrop  falling

through the atmosphere. Compare their terminal speeds.
What  are  their  accelerations  when  they  reach  terminal
speed?

19. On long journeys, jet aircraft usually fly at high altitudes of

about  30  000 ft.  What  is  the  main  advantage  of  flying  at
these altitudes from an economic viewpoint?

20. Analyze  the  motion  of  a  rock  falling  through  water  in

terms of its speed and acceleration as it falls. Assume that
the resistive force acting on the rock increases as the speed
increases.

21. “If  the  current  position  and  velocity  of  every  particle  in

the Universe were known, together with the laws describ-
ing  the  forces  that  particles  exert  on  one  another,  then
the  whole  future  of  the  Universe  could  be  calculated.
The  future  is  determinate  and  preordained.  Free  will  is
an  illusion.”  Do  you  agree  with  this  thesis?  Argue  for  or
against it.

17.

14.

Q U E S T I O N S

172

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

Section 6.1 Newton’s Second Law Applied to

Uniform Circular Motion

A  light  string  can  support  a  stationary  hanging  load  of
25.0 kg before breaking. A 3.00-kg object attached to the
string rotates on a horizontal, frictionless table in a circle
of radius 0.800 m, while the other end of the string is held
fixed. What range of speeds can the object have before the
string breaks?

2. A curve in a road forms part of a horizontal circle. As a

car goes around it at constant speed 14.0 m/s, the total
force  on  the  driver  has  magnitude  130 N.  What  is  the
total  vector  force  on  the  driver  if  the  speed  is  18.0 m/s
instead?

3. In the Bohr model of the hydrogen atom, the speed of the

electron  is  approximately  2.20 ) 10

6

m/s.  Find  (a)  the

force acting on the electron as it revolves in a circular orbit
of radius 0.530 ) 10

'

10

m and (b) the centripetal acceler-

ation of the electron.

4. In  a  cyclotron  (one  type  of  particle  accelerator),  a

deuteron (of atomic mass 2.00 u) reaches a final speed of
10.0% of the speed of light while moving in a circular path
of radius 0.480 m. The deuteron is maintained in the cir-
cular path by a magnetic force. What magnitude of force is
required?
A coin placed 30.0 cm from the center of a rotating, hori-
zontal turntable slips when its speed is 50.0 cm/s. (a) What
force causes the centripetal acceleration when the coin is
stationary relative to the turntable? (b) What is the coeffi-
cient of static friction between coin and turntable?

6. Whenever two Apollo astronauts were on the surface of the

Moon, a third astronaut orbited the Moon. Assume the or-
bit  to  be  circular  and  100 km  above  the  surface  of  the
Moon,  where  the  acceleration  due  to  gravity  is  1.52 m/s

2

.

The radius of the Moon is 1.70 ) 10

6

m. Determine (a) the

astronaut’s orbital speed, and (b) the period of the orbit.
A crate of eggs is located in the middle of the flat bed of a
pickup truck as the truck negotiates an unbanked curve in
the road. The curve may be regarded as an arc of a circle
of  radius  35.0 m.  If  the  coefficient  of  static  friction  be-
tween  crate  and  truck  is  0.600,  how  fast  can  the  truck  be
moving without the crate sliding?

8. The cornering performance of an automobile is evaluated

on  a  skidpad,  where  the  maximum  speed  that  a  car  can
maintain  around  a  circular  path  on  a  dry,  flat  surface  is
measured.  Then  the  centripetal  acceleration,  also  called
the  lateral  acceleration,  is  calculated  as  a  multiple  of  the
free-fall acceleration g. The main factors affecting the per-
formance  are  the  tire  characteristics  and  the  suspension
system of the car. A Dodge Viper GTS can negotiate a skid-
pad of radius 61.0 m at 86.5 km/h. Calculate its maximum
lateral acceleration.

7.

5.

1.

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com 

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

9.

Consider  a  conical  pendulum  with  an  80.0-kg  bob  on  a
10.0-m  wire  making  an  angle  of  5.00° with  the  vertical
(Fig. P6.9).  Determine  (a)  the  horizontal  and  vertical
components of the force exerted by the wire on the pen-
dulum and (b) the radial acceleration of the bob.

10. A car initially traveling eastward turns north by traveling in

a  circular  path  at  uniform  speed  as  in  Figure  P6.10.  The
length of the arc ABC is 235 m, and the car completes the
turn in 36.0 s. (a) What is the acceleration when the car is
at  B located  at  an  angle  of  35.0°?  Express  your  answer  in
terms of the unit vectors ˆ

i and ˆj. Determine (b) the car’s

average speed and (c) its average acceleration during the
36.0-s interval.

11.

A 4.00-kg object is attached to a vertical rod by two strings,
as in Figure P6.11. The object rotates in a horizontal circle
at constant speed 6.00 m/s. Find the tension in (a) the up-
per string and (b) the lower string.

12. Casting  of  molten  metal  is  important  in  many  industrial

processes.  Centrifugal  casting  is  used  for  manufacturing
pipes, bearings and many other structures. A variety of so-
phisticated  techniques  have  been  invented,  but  the  basic
idea  is  as  illustrated  in  Figure  P6.12.  A  cylindrical  enclo-
sure is rotated rapidly and steadily about a horizontal axis.
Molten metal is poured into the rotating cylinder and then
cooled,  forming  the  finished  product.  Turning  the  cylin-

θ

Figure P6.9

y

A

O

B

C

x

35.0

°

Figure P6.10