Physics For Scientists And Engineers 6E - part 41

SECTION 6.3 •  Motion in Accelerated Frames

161

θ

T

mg

Inertial

observer

Noninertial

observer

θ

T

mg

(a)

(b)

F

  

fictitious

a

she  writes  Newton’s  second  law  as 

F ! T ( mg ! ma,

which in component form becomes

According to the noninertial observer riding in the car

(Fig. 6.13b), the cord also makes an angle " with the verti-
cal; however, to him the sphere is at rest and so its accelera-
tion  is  zero.  Therefore,  he  introduces  a  fictitious  force  in
the  horizontal  direction  to  balance  the  horizontal  compo-
nent of 

T and claims that the net force on the sphere is zero!

In this noninertial frame of reference, Newton’s second law
in component form yields

Noninertial observer

 

$

 

!

 F

x

+ !

T

 

 sin " ' F

fictitious

!

0

 

!

 F

y

+ !

T

 

 cos " ' mg ! 0

Inertial observer

 

$

  (1)           

!

 F

x

!

T

 

 sin " ! ma

  (2)           

!

 F

y

!

T

 

 cos " ' mg ! 0

!

We  see  that  these  expressions  are  equivalent  to  (1)  and
(2) if F

fictitious

!

ma, where a is the acceleration according

to the inertial observer. If we were to make this substitution
in the equation for F +

x

above, the noninertial observer ob-

tains  the  same  mathematical  results  as  the  inertial  ob-
server.  However,  the  physical  interpretation  of  the  deflec-
tion of the cord differs in the two frames of reference.

What  If?

Suppose  the  inertial  observer  wants  to  measure

the acceleration of the train by means of the pendulum (the
sphere hanging from the cord). How could she do this?

Answer Our intuition tells us that the angle " that the cord
makes  with  the  vertical  should  increase  as  the  acceleration
increases.  By  solving  (1)  and  (2)  simultaneously  for  a,  the
inertial observer can determine the magnitude of the car’s
acceleration  by  measuring  the  angle  " and  using  the  rela-
tionship  a ! g tan ". Because  the  deflection  of  the  cord
from the vertical serves as a measure of acceleration, a simple
pendulum can be used as an accelerometer.

Figure 6.13 (Example 6.8) A small sphere suspended from the ceiling of a boxcar

accelerating to the right is deflected as shown. (a) An inertial observer at rest outside

the car claims that the acceleration of the sphere is provided by the horizontal

component of 

T. (b) A noninertial observer riding in the car says that the net force on

the sphere is zero and that the deflection of the cord from the vertical is due to a

fictitious force 

F

fictitious

that balances the horizontal component of 

T.

Example 6.9 Fictitious Force in a Rotating System

Suppose a block of mass m lying on a horizontal, frictionless
turntable is connected to a string attached to the center of
the turntable, as shown in Figure 6.14. How would each of
the observers write Newton’s second law for the block?

Solution According  to  an  inertial  observer  (Fig.  6.14a),  if
the block rotates uniformly, it undergoes an acceleration of
magnitude  v

2

/r,  where  v is  its  linear  speed.  The  inertial

observer  concludes  that  this  centripetal  acceleration  is

162

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

n

T

m

 

g

(a)

Inertial observer

n

T

m

 

g

(b)

Noninertial observer

F

  

fictitious

Figure 6.14 (Example 6.9) A block of mass m connected to a string tied to the

center of a rotating turntable. (a) The inertial observer claims that the force causing

the circular motion is provided by the force 

T exerted by the string on the block.

(b) The noninertial observer claims that the block is not accelerating, and therefore

she introduces a fictitious force of magnitude mv

2

/r that acts outward and balances

the force 

T.

6.4 Motion in the Presence of Resistive Forces

In the preceding chapter we described the force of kinetic friction exerted on an ob-
ject moving on some surface. We completely ignored any interaction between the ob-
ject  and  the  medium  through  which  it  moves.  Now  let  us  consider  the  effect  of  that
medium, which can be either a liquid or a gas. The medium exerts a 

resistive force R

on the object moving through it. Some examples are the air resistance associated with
moving vehicles (sometimes called air drag) and the viscous forces that act on objects
moving through a liquid. The magnitude of 

R depends on factors such as the speed of

the object, and the direction of 

R is always opposite the direction of motion of the ob-

ject relative to the medium. Furthermore, the magnitude of 

R nearly always increases

with increasing speed.

The magnitude of the resistive force can depend on speed in a complex way, and

here we consider only two situations. In the first situation, we assume the resistive force
is proportional to the speed of the moving object; this assumption is valid for objects
falling slowly through a liquid and for very small objects, such as dust particles, moving
through air. In the second situation, we assume a resistive force that is proportional to
the square of the speed of the moving object; large objects, such as a skydiver moving
through air in free fall, experience such a force.

Resistive Force Proportional to Object Speed

If we assume that the resistive force acting on an object moving through a liquid or gas
is proportional to the object’s speed, then the resistive force can be expressed as

(6.2)

where 

v is the velocity of the object and b is a constant whose value depends on the

properties of the medium and on the shape and dimensions of the object. If the object
is a sphere of radius r, then b is proportional to r. The negative sign indicates that 

R is

in the opposite direction to 

v.

Consider a small sphere of mass m released from rest in a liquid, as in Figure 6.15a.

Assuming that the only forces acting on the sphere are the resistive force 

R ! 'b v and

R ! 'b

 

v

provided  by  the  force 

T exerted  by  the  string  and  writes

Newton’s second law as T ! mv

2

/r.

According  to  a  noninertial  observer  attached  to  the

turntable (Fig 6.14b), the block is at rest and its acceleration is

zero. Therefore, she must introduce a fictitious outward force
of  magnitude  mv

2

/r to  balance  the  inward  force  exerted  by

the string. According to her, the net force on the block is zero,
and she writes Newton’s second law as T ' mv

2

/r ! 0.

SECTION 6.4 •  Motion in the Presence of Resistive Forces

163

the  gravitational  force 

F

g

,  let  us  describe  its  motion.

1

Applying  Newton’s  second  law

to the vertical motion, choosing the downward direction to be positive, and noting that

F

y

!

mg ' bv, we obtain

(6.3)

where the acceleration dv/dt is downward. Solving this expression for the acceleration
gives

(6.4)

This equation is called a differential equation, and the methods of solving it may not be fa-
miliar to you as yet. However, note that initially when v ! 0, the magnitude of the resis-
tive force bv is also zero, and the acceleration dv/dt is simply g. As t increases, the magni-
tude  of  the  resistive  force  increases  and  the  acceleration  decreases.  The  acceleration
approaches  zero  when  the  magnitude  of  the  resistive  force  approaches  the  sphere’s
weight. In this situation, the speed of the sphere approaches its 

terminal speed v

T

. In

reality, the sphere only approaches terminal speed but never reaches terminal speed. 

We can obtain the terminal speed from Equation 6.3 by setting a ! dv/dt ! 0. This

gives

The expression for v that satisfies Equation 6.4 with v ! 0 at t ! 0 is

(6.5)

This function is plotted in Figure 6.15c. The symbol e represents the base of the nat-
ural  logarithm,  and  is  also  called  Euler’s  number: e ! 2.718  28.  The 

time  constant

, !

m/b (Greek letter tau) is the time at which the sphere released from rest reaches

63.2% of its terminal speed. This can be seen by noting that when t ! ,, Equation 6.5
yields v ! 0.632v

T

.

v !

mg

b

 

(1 ' e

'

bt/m

) ! v

T

 

(1 ' e

'

t/,

)

mg ' bv

T

!

0

        or        v

T

!

mg

b

dv

dt

!

g '

b

m

 

v

mg ' bv ! ma ! m

dv

dt

!

(c)

v

v

T

0.632v

T

t

τ

R

mg

v

(a)

v = v

T

a = 0

v = 0

a = g

(b)

Active Figure 6.15 (a) A small sphere falling through a liquid. (b) Motion diagram of

the sphere as it falls. (c) Speed–time graph for the sphere. The sphere reaches a

maximum (or terminal) speed v

T

, and the time constant 

,

is the time interval during

which it reaches a speed of 0.632v

T

.

Terminal speed

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can vary the size and mass of

the sphere and the viscosity

(resistance to flow) of the

surrounding medium, then

observe the effects on the

sphere’s motion and its

speed–time graph.

1

There is also a buoyant force acting on the submerged object. This force is constant, and its

magnitude is equal to the weight of the displaced liquid. This force changes the apparent weight

of the sphere by a constant factor, so we will ignore the force here. We discuss buoyant forces in

Chapter 14.

164

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

We can check that Equation 6.5 is a solution to Equation 6.4 by direct differentiation:

(See Appendix Table B.4 for the derivative of e raised to some power.) Substituting into
Equation 6.4 both this expression for dv/dt and the expression for v given by Equation
6.5 shows that our solution satisfies the differential equation.

dv

dt

!

d

dt

 

"

mg

b

'

mg

b

 e

'

bt/m

#

! '

mg

b

 

d

dt

 e

'

bt/m

!

ge

'

bt/m

Air Drag at High Speeds

For objects moving at high speeds through air, such as airplanes, sky divers, cars, and
baseballs, the resistive force is approximately proportional to the square of the speed.
In these situations, the magnitude of the resistive force can be expressed as

(6.6)

where - is the density of air, A is the cross-sectional area of the moving object measured
in  a  plane  perpendicular  to  its  velocity,  and  D is  a  dimensionless  empirical  quantity
called the drag coefficient. The drag coefficient has a value of about 0.5 for spherical ob-
jects but can have a value as great as 2 for irregularly shaped objects.

Let  us  analyze  the  motion  of  an  object  in  free-fall  subject  to  an  upward  air  resistive

force of magnitude

. Suppose an object of mass m is released from rest. As Fig-

ure  6.16  shows,  the  object  experiences  two  external  forces:

2

the  downward  gravitational

force 

F

g

!

m

g and the upward resistive force R. Hence, the magnitude of the net force is

(6.7)

where we have taken downward to be the positive vertical direction. Combining  F ! ma
with Equation 6.7, we find that the object has a downward acceleration of magnitude

(6.8)

We can calculate the terminal speed v

T

by using the fact that when the gravitational

force is balanced by the resistive force, the net force on the object is zero and therefore
its acceleration is zero. Setting a ! 0 in Equation 6.8 gives

g '

"

D-A

2m

#

v

 

T

2

  ! 0

a ! g '

"

D-A

2m

#

v

 

2

!

!

 

F ! mg '

 

1

2

 

D-Av

 

2

R !

1

2

 

D-Av

 

2

R !

1

2

 

D-Av

 

2

Example 6.10 Sphere Falling in Oil

A  small  sphere  of  mass  2.00 g  is  released  from  rest  in  a
large  vessel  filled  with  oil,  where  it  experiences  a  resistive
force  proportional  to  its  speed.  The  sphere  reaches  a  ter-
minal  speed  of  5.00 cm/s.  Determine  the  time  constant  ,
and the time at which the sphere reaches 90.0% of its ter-
minal speed.

Solution Because the terminal speed is given by v

T

!

mg/b,

the coefficient b is

Therefore, the time constant , is 

5.10 ) 10

'

3

 s

, !

m

b

!

2.00 g

392 g/s

!

b !

mg

v

T

!

(2.00 g)(980 cm/s

2

)

5.00 cm/s

!

392 g/s

The speed of the sphere as a function of time is given by

Equation 6.5. To find the time t at which the sphere reaches
a speed of 0.900v

T

, we set v ! 0.900v

T

in Equation 6.5 and

solve for t:

Thus,  the  sphere  reaches  90.0%  of  its  terminal  speed  in  a
very short time interval.

11.7 ms

!

11.7 ) 10

'

3

 s !

 t ! 2.30, ! 2.30(5.10 ) 10

'

3

 s)

'

t

,

!

ln(0.100) ! '2.30 

 e

'

t/,

!

0.100 

1 ' e

'

t/,

!

0.900 

0.900v

T

!

v

T

  

(1 'e

'

t/,

) 

v

v

T

R

mg

R

mg

Figure 6.16 An object falling

through air experiences a resistive

force 

R and a gravitational force

F

g

!

m

g. The object reaches

terminal speed (on the right)

when the net force acting on it is

zero, that is, when 

R ! ' F

g

or

R ! mg. Before this occurs, the

acceleration varies with speed

according to Equation 6.8.

2

There is also an upward buoyant force that we neglect.