Physics For Scientists And Engineers 6E - part 42

SECTION 6.4 •  Motion in the Presence of Resistive Forces

165

so that,

(6.9)

Using this expression, we can determine how the terminal speed depends on the di-
mensions of the object. Suppose the object is a sphere of radius r. In this case, A . r

2

(from  A ! /r

2

)  and  m . r

3

(because  the  mass  is  proportional  to  the  volume  of  the

sphere, which is 

). Therefore, 

.

Table 6.1 lists the terminal speeds for several objects falling through air.

v

T

 . 

√

r

V !

4

3

 

/

r

  

3

v

T

!

√

2mg

D-A

Object

Mass (kg) 

Cross-Sectional Area (m

2

)

v

T

(m/s)

Sky diver

75

0.70

60

Baseball (radius 3.7 cm)

0.145

4.2 ) 10

'

3

43

Golf ball (radius 2.1 cm)

0.046

1.4 ) 10

'

3

44

Hailstone (radius 0.50 cm)

4.8 ) 10

'

4

7.9 ) 10

'

5

14

Raindrop (radius 0.20 cm)

3.4 ) 10

'

5

1.3 ) 10

'

5

9.0

Terminal Speed for Various Objects Falling Through Air

Table 6.1

Conceptual Example 6.11 The Sky Surfer

Consider  a  sky  surfer  (Fig.  6.17)  who  jumps  from  a  plane
with  her  feet  attached  firmly  to  her  surfboard,  does  some
tricks,  and  then  opens  her  parachute.  Describe  the  forces
acting on her during these maneuvers.

Solution When the surfer first steps out of the plane, she has
no  vertical  velocity.  The  downward  gravitational  force  causes
her to accelerate toward the ground. As her downward speed
increases, so does the upward resistive force exerted by the air
on her body and the board. This upward force reduces their
acceleration, and so their speed increases more slowly. Eventu-
ally,  they  are  going  so  fast  that  the  upward  resistive  force
matches the downward gravitational force. Now the net force
is zero and they no longer accelerate, but reach their terminal
speed. At some point after reaching terminal speed, she opens
her parachute, resulting in a drastic increase in the upward re-
sistive force. The net force (and thus the acceleration) is now
upward, in the direction opposite the direction of the velocity.
This  causes  the  downward  velocity  to  decrease  rapidly;  this
means the resistive force on the chute also decreases. Eventu-
ally the upward resistive force and the downward gravitational
force balance each other and a much smaller terminal speed
is reached, permitting a safe landing.

(Contrary to popular belief, the velocity vector of a sky

diver never points upward. You may have seen a videotape in
which a sky diver appears to “rocket” upward once the chute
opens.  In  fact,  what  happens  is  that  the  diver  slows  down
while  the  person  holding  the  camera  continues  falling  at
high speed.)

Figure 6.17 (Conceptual Example 6.11) A sky surfer.

Jump Run Productions / Getty Images

Quick  Quiz  6.7

A  baseball  and  a  basketball,  having  the  same  mass,  are

dropped through air from rest such that their bottoms are initially at the same height
above the ground, on the order of 1 m or more. Which one strikes the ground first?
(a) the baseball (b) the basketball (c) both strike the ground at the same time.

166

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

0

2

4

1

3

Terminal speed (m/s)

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

Resistive 

force 

(N)

(a)

0

6

12

2

Terminal speed squared (m/s)

2

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12

0.14

0.16

0.18

Resistive 

force 

(N)

10

8

4

(b)

Example 6.12 Falling Coffee Filters

The dependence of resistive force on speed is an empirical
relationship.  In  other  words,  it  is  based  on  observation
rather than on a theoretical model. Imagine an experiment
in which we drop a series of stacked coffee filters, and mea-
sure their terminal speeds. Table 6.2 presents data for these
coffee filters as they fall through the air. The time constant ,
is  small,  so  that  a  dropped  filter  quickly  reaches  terminal
speed. Each filter has a mass of 1.64 g. When the filters are
nested  together,  they  stack  in  such  a  way  that  the  front-
facing  surface  area  does  not  increase.  Determine  the  rela-
tionship  between  the  resistive  force  exerted  by  the  air  and
the speed of the falling filters.

Solution At terminal speed, the upward resistive force bal-
ances  the  downward  gravitational  force.  So,  a  single  filter
falling at its terminal speed experiences a resistive force of

Two  filters  nested  together  experience  0.032  2 N  of  resis-
tive  force,  and  so  forth.  A  graph  of  the  resistive  force  on
the  filters  as  a  function  of  terminal  speed  is  shown  in
Figure 6.18a. A straight line would not be a good fit, indi-
cating  that  the  resistive  force  is  not proportional  to  the
speed.  The  behavior  is  more  clearly  seen  in  Figure  6.18b,
in  which  the  resistive  force  is  plotted  as  a  function  of  the
square of the terminal speed. This indicates a proportion-
ality of the resistive force to the square of the speed, as sug-
gested by Equation 6.6.

R ! mg ! (1.64 g)

"

1 kg

100 0 g

#

(9.80 m/s

2

) ! 0.016 1 N

Number of

Filters

v

T

(m/s)

a

1

1.01

2

1.40

3

1.63

4

2.00

5

2.25

6

2.40

7

2.57

8

2.80

9

3.05

10

3.22

Terminal Speed for 
Stacked Coffee Filters

Table 6.2

a

All values of v

T

are approximate.

Figure 6.18 (Example 6.12) (a) Relationship between the

resistive force acting on falling coffee filters and their terminal

speed. The curved line is a second-order polynomial fit.

(b) Graph relating the resistive force to the square of the

terminal speed. The fit of the straight line to the data points

indicates that the resistive force is proportional to the terminal

speed squared. Can you find the proportionality constant?

Pleated coffee filters can be nested together so that the force of

air resistance can be studied.

Charles D. Winters

Example 6.13 Resistive Force Exerted on a Baseball

A pitcher hurls a 0.145-kg baseball past a batter at 40.2 m/s
(! 90 mi/h).  Find  the  resistive  force  acting  on  the  ball  at
this speed.

Solution We do not expect the air to exert a huge force
on  the  ball,  and  so  the  resistive  force  we  calculate  from
Equation  6.6  should  not  be  more  than  a  few  newtons.

mg

SECTION 6.5 •  Numerical Modeling in Particle Dynamics

167

6.5 Numerical Modeling in Particle Dynamics

3

As we have seen in this and the preceding chapter, the study of the dynamics of a parti-
cle focuses on describing the position, velocity, and acceleration as functions of time.
Cause-and-effect relationships exist among these quantities: Velocity causes position to
change, and acceleration causes velocity to change. Because acceleration is the direct
result of applied forces, any analysis of the dynamics of a particle usually begins with an
evaluation of the net force acting on the particle.

Until now, we have used what is called the analytical method to investigate the position,

velocity, and acceleration of a moving particle. This method involves the identification of
well-behaved functional expressions for the position of a particle (such as the kinematic
equations of Chapter 2), generated from algebraic manipulations or the techniques of
calculus.  Let  us  review  this  method  briefly  before  learning  about  a  second  way  of  ap-
proaching  problems  in  dynamics.  (Because  we  confine  our  discussion  to  one-dimen-
sional motion in this section, boldface notation will not be used for vector quantities.)

If a particle of mass m moves under the influence of a net force  F, Newton’s sec-

ond law tells us that the acceleration of the particle is a ! F/m. In general, we apply
the analytical method to a dynamics problem using the following procedure:

1. Sum all the forces acting on the particle to find the net force  F.
2. Use this net force to determine the acceleration from the relationship a ! F/m.
3. Use this acceleration to determine the velocity from the relationship dv/dt ! a.
4. Use this velocity to determine the position from the relationship dx/dt ! v.

The following straightforward example illustrates this method.

!

!

!

!

First,  we  must  determine  the  drag  coefficient  D.  We  do
this by imagining that we drop the baseball and allow it to
reach  terminal  speed.  We  solve  Equation  6.9  for  D and
substitute  the  appropriate  values  for  m,  v

T

,  and  A from

Table  6.1.  Taking  the  density  of  air  as  1.20 kg/m

3

,  we

obtain

!

0.305

D !

2mg

v

T

 

2

-

A

!

2(0.145 kg)(9.80 m/s

2

)

(43 m/s)

2

(1.20 kg/m

3

)(4.2 ) 10

'

3

 m

2

)

This  number  has  no  dimensions.  We  have  kept  an  extra
digit beyond the two that are significant and will drop it at
the end of our calculation.

We can now use this value for D in Equation 6.6 to find

the magnitude of the resistive force:

! 1.2 N

!

1

2

 

(0.305)(1.20 kg/m

3

)(4.2 ) 10

'

3

 m

2

)(40.2 m/s)

2

R !

 

1

2

 

D-Av

 

2

3

The  authors  are  most  grateful  to  Colonel  James  Head  of  the  U.S.  Air  Force  Academy  for

preparing this section.

Example 6.14 An Object Falling in a Vacuum—Analytical Method

Consider a particle falling in a vacuum under the influence
of the gravitational force, as shown in Figure 6.19. Use the
analytical method to find the acceleration, velocity, and po-
sition of the particle.

Solution The only force acting on the particle is the down-
ward gravitational force of magnitude F

g

, which is also the net

force. Applying Newton’s second law, we set the net force act-
ing on the particle equal to the mass of the particle times its
acceleration (taking upward to be the positive y direction):

F

g

!

ma

y

! '

 

mg

Figure 6.19 (Example 6.14) An object falling in vacuum under

the influence of gravity.

168

CHAPTE R 6 •  Circular Motion and Other Applications of Newton’s Laws

The analytical method is straightforward for many physical situations. In the “real

world,” however, complications often arise that make analytical solutions difficult and
perhaps  beyond  the  mathematical  abilities  of  most  students  taking  introductory
physics. For example, the net force acting on a particle may depend on the particle’s
position,  as  in  cases  where  the  gravitational  acceleration  varies  with  height.  Or  the
force may vary with velocity, as in cases of resistive forces caused by motion through a
liquid or gas.

Another complication arises because the expressions relating acceleration, velocity,

position,  and  time  are  differential  equations  rather  than  algebraic  ones.  Differential
equations are usually solved using integral calculus and other special techniques that
introductory students may not have mastered. 

When such situations arise, scientists often use a procedure called numerical model-

ing to study motion. The simplest numerical model is called the Euler method, after
the Swiss mathematician Leonhard Euler (1707–1783).

The Euler Method

In the 

Euler method for solving differential equations, derivatives are approximated

as  ratios  of  finite  differences.  Considering  a  small  increment  of  time  0t,  we  can  ap-
proximate the relationship between a particle’s speed and the magnitude of its accel-
eration as

Then the speed v(t ( 0t) of the particle at the end of the time interval 0t is approxi-
mately equal to the speed v(t) at the beginning of the time interval plus the magnitude
of the acceleration during the interval multiplied by 0t:

(6.10)

Because  the  acceleration  is  a  function  of  time,  this  estimate  of  v(t ( 0t)  is  accurate
only if the time interval 0t is short enough such that the change in acceleration during
the interval is very small (as is discussed later). Of course, Equation 6.10 is exact if the
acceleration is constant.

The position x(t ( 0t) of the particle at the end of the interval 0t can be found in

the same manner:

(6.11)

You may be tempted to add the term 

to this result to make it look like the

familiar  kinematics  equation,  but  this  term  is  not  included  in  the  Euler  method  be-
cause 0t is assumed to be so small that (0t)

2

is nearly zero.

If the acceleration at any instant t is known, the particle’s velocity and position at a

time t ( 0t can be calculated from Equations 6.10 and 6.11. The calculation then pro-
ceeds in a series of finite steps to determine the velocity and position at any later time.

1

2

 

a(0t)

2

x(t ( 0t)

% x(t) ( v(t)

 

0

t

v(t)

%

0

x

0

t

!

x(t ( 0t) ' x(t)

0

t

v(t ( 0t)

% v(t) ( a(t)

 

0

t

a(t)

%

0

v

0

t

!

v(t ( 0t) ' v(t)

0

t

Thus,  a

y

! '

g,  which  means  the  acceleration  is  constant.

Because dv

y

/dt ! a

y

, we see that dv

y

/dt ! ' g, which may be

integrated to yield

Then, because v

y

!

dy/dt, the position of the particle is ob-

tained  from  another  integration,  which  yields  the  well-

v

y

(t) ! v

yi

'

gt

known result

In  these  expressions,  y

i

and  v

yi

represent  the  position  and

speed of the particle at t

i

!

0.

 y(t) ! y

i

(

v

yi

t '

1

2

 

gt

 

2