Physics For Scientists And Engineers 6E - part 26

Problems

101

14. A projectile is fired at an angle of 30° from the horizontal

with some initial speed. Firing the projectile at what other
angle  results  in  the  same  horizontal  range  if  the  initial
speed is the same in both cases? Neglect air resistance.

15. The  maximum  range  of  a  projectile  occurs  when  it  is

launched  at  an  angle  of  45.0° with  the  horizontal,  if  air
resistance is neglected. If air resistance is not neglected,
will  the  optimum  angle  be  greater  or  less  than  45.0°?
Explain.

16. A projectile is launched on the Earth with some initial ve-

locity.  Another  projectile  is  launched  on  the  Moon  with
the  same  initial  velocity.  Neglecting  air  resistance,  which
projectile  has  the  greater  range?  Which  reaches  the
greater  altitude?  (Note  that  the  free-fall  acceleration  on
the Moon is about 1.6 m/s

2

.)

17. A coin on a table is given an initial horizontal velocity such

that  it  ultimately  leaves  the  end  of  the  table  and  hits  the
floor. At the instant the coin leaves the end of the table, a
ball is released from the same height and falls to the floor.
Explain  why  the  two  objects  hit  the  floor  simultaneously,
even though the coin has an initial velocity.

18. Explain  whether  or  not  the  following  particles  have  an

acceleration:  (a)  a  particle  moving  in  a  straight  line  with
constant speed and (b) a particle moving around a curve
with constant speed.

19. Correct  the  following  statement:  “The  racing  car  rounds

the turn at a constant velocity of 90 miles per hour.”

20. At the end of a pendulum’s arc, its velocity is zero. Is its ac-

celeration also zero at that point?

21. An object moves in a circular path with constant speed v.

(a) Is the velocity of the object constant? (b) Is its accelera-
tion constant? Explain.

22. Describe how a driver can steer a car traveling at constant

speed so that (a) the acceleration is zero or (b) the magni-
tude of the acceleration remains constant.

23. An ice skater is executing a figure eight, consisting of two

equal,  tangent  circular  paths.  Throughout  the  first  loop
she increases her speed uniformly, and during the second
loop  she  moves  at  a  constant  speed.  Draw  a  motion  dia-
gram showing her velocity and acceleration vectors at sev-
eral points along the path of motion.

24. Based on your observation and experience, draw a motion

diagram  showing  the  position,  velocity,  and  acceleration
vectors  for  a  pendulum  that  swings  in  an  arc  carrying  it
from an initial position 45° to the right of the central verti-
cal line to a final position 45° to the left of the central ver-
tical line. The arc is a quadrant of a circle, and you should
use  the  center  of  the  circle  as  the  origin  for  the  position
vectors.

25. What is the fundamental difference between the unit vec-

tors 

ˆr and ˆ" and the unit vectors i

ˆ

and 

ˆj

?

26. A sailor drops a wrench from the top of a sailboat’s mast

while the boat is moving rapidly and steadily in a straight
line.  Where  will  the  wrench  hit  the  deck?  (Galileo  posed
this question.)

27. A ball is thrown upward in the air by a passenger on a train

that is moving with constant velocity. (a) Describe the path
of the ball as seen by the passenger. Describe the path as
seen  by  an  observer  standing  by  the  tracks  outside  the
train.  (b)  How  would  these  observations  change  if  the
train were accelerating along the track?

28. A passenger on a train that is moving with constant velocity

drops a spoon. What is the acceleration of the spoon rela-
tive to (a) the train and (b) the Earth?

Section 4.1 The Position, Velocity, and Acceleration

Vectors

1.

A  motorist  drives  south  at  20.0 m/s  for  3.00  min,

then turns west and travels at 25.0 m/s for 2.00 min, and
finally travels northwest at 30.0 m/s for 1.00 min. For this
6.00-min  trip,  find  (a)  the  total  vector  displacement,  (b)
the  average  speed,  and  (c)  the  average  velocity.  Let  the
positive x axis point east.

2.

A golf ball is hit off a tee at the edge of a cliff. Its x and y
coordinates as functions of time are given by the following
expressions: 

(a)  Write  a  vector  expression  for  the  ball’s  position  as  a
function of time, using the unit vectors ˆi and ˆj. By taking

and

   

y " (4.00 m/s)t # (4.90 m/s

2

)t

2

x " (18.0 m/s)t

1, 

2

, 

3

= straightforward, intermediate, challenging

= full solution available in the Student Solutions Manual and Study Guide

= coached solution with hints available at http://www.pse6.com

= computer useful in solving problem

= paired numerical and symbolic problems

P R O B L E M S

derivatives, obtain expressions for (b) the velocity vector v
as a function of time and (c) the acceleration vector a as a
function of time. Next use unit-vector notation to write ex-
pressions for (d) the position, (e) the velocity, and (f) the
acceleration of the golf ball, all at t " 3.00 s.

3. When  the  Sun  is  directly  overhead,  a  hawk  dives  toward

the ground with a constant velocity of 5.00 m/s at 60.0° be-
low the horizontal. Calculate the speed of her shadow on
the level ground.

4.

The  coordinates  of  an  object  moving  in  the  xy plane  vary
with time according to the equations x " #(5.00 m) sin(/t)
and y " (4.00 m) # (5.00 m) cos(/t), where / is a constant
and t is in seconds. (a) Determine the components of veloc-
ity  and  components  of  acceleration  at  t " 0.  (b)  Write  ex-
pressions for the position vector, the velocity vector, and the
acceleration vector at any time t ( 0 . (c) Describe the path
of the object in an xy plot.

102

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

Section 4.2 Two-Dimensional Motion with 

Constant Acceleration

5. At t " 0, a particle moving in the xy plane with constant ac-

celeration has a velocity of v

i

"

(3.00ˆi # 2.00ˆj) m/s and is

at  the  origin.  At  t " 3.00  s,  the  particle’s  velocity  is
v " (9.00ˆi & 7.00ˆj) m/s. Find (a) the acceleration of the
particle and (b) its coordinates at any time t.

6. The vector position of a particle varies in time according to

the  expression  r " (3.00ˆi # 6.00t

2

ˆj)  m.  (a)  Find  expres-

sions for the velocity and acceleration as functions of time.
(b)  Determine  the  particle’s  position  and  velocity  at 
t " 1.00 s.

7.

A fish  swimming  in  a  horizontal  plane  has  velocity
v

i

"

(4.00ˆi & 1.00ˆj) m/s at a point in the ocean where the

position relative to a certain rock is r

i

"

(10.0ˆi # 4.00ˆj) m.

After  the  fish  swims  with  constant  acceleration  for  20.0  s,
its velocity  is  v " (20.0ˆi # 5.00ˆj) m/s.  (a)  What  are  the
components of the acceleration? (b) What is the direction of
the acceleration with respect to unit vector ˆi? (c) If the fish
maintains constant acceleration, where is it at t " 25.0 s, and
in what direction is it moving?

8. A  particle  initially  located  at  the  origin  has  an  accelera-

tion  of  a " 3.00ˆj m/s

2

and  an  initial  velocity  of

v

i

"

500ˆi m/s.  Find  (a)  the  vector  position  and  velocity 

at  any  time  t and  (b)  the  coordinates  and  speed  of  the 
particle at t " 2.00 s.

9.

It  is  not  possible  to  see  very  small  objects,  such  as  viruses, 
using  an  ordinary  light  microscope.  An  electron  micro-
scope can view such objects using an electron beam instead
of a light beam. Electron microscopy has proved invaluable
for  investigations  of  viruses,  cell  membranes  and  subcellu-
lar  structures,  bacterial  surfaces,  visual  receptors,  chloro-
plasts,  and  the  contractile  properties  of  muscles.  The
“lenses”  of  an  electron  microscope  consist  of  electric  and
magnetic  fields  that  control  the  electron  beam.  As  an  ex-
ample  of  the  manipulation  of  an  electron  beam,  consider 
an electron traveling away from the origin along the x axis 
in  the  xy plane  with  initial  velocity  v

i

"

v

i

ˆi.  As  it  passes

through  the  region  x " 0  to  x " d,  the  electron  experi-
ences  acceleration  a " a

x

ˆi & a

y

ˆj,  where  a

x

and  a

y

are  constants.  For  the  case  v

i

"

1.80 * 10

7

m/s, 

a

x

"

8.00 * 10

14

m/s

2

and  a

y

"

1.60 * 10

15

m/s

2

,  deter-

mine at x " d " 0.0100 m (a) the position of the electron,
(b) the velocity of the electron, (c) the speed of the electron,
and (d) the direction of travel of the electron (i.e., the angle
between its velocity and the x axis). 

Section 4.3 Projectile Motion

Note: Ignore air resistance in all problems and take 
g " 9.80 m/s

2

at the Earth’s surface.

10. To  start  an  avalanche  on  a  mountain  slope,  an  artillery

shell  is  fired  with  an  initial  velocity  of  300 m/s  at  55.0°
above  the  horizontal.  It  explodes  on  the  mountainside
42.0 s after firing. What are the x and y coordinates of the
shell where it explodes, relative to its firing point?

11.

In a local bar, a customer slides an empty beer mug

down  the  counter  for  a  refill.  The  bartender  is
momentarily  distracted  and  does  not  see  the  mug,  which
slides off the counter and strikes the floor 1.40 m from the
base  of  the  counter.  If  the  height  of  the  counter  is
0.860 m,  (a)  with  what  velocity  did  the  mug  leave  the
counter,  and  (b)  what  was  the  direction  of  the  mug’s
velocity just before it hit the floor?

12. In a local bar, a customer slides an empty beer mug down

the counter for a refill. The bartender is momentarily dis-
tracted  and  does  not  see  the  mug,  which  slides  off  the
counter and strikes the floor at distance d from the base of
the counter. The height of the counter is h. (a) With what
velocity  did  the  mug  leave  the  counter,  and  (b)  what  was
the  direction  of  the  mug’s  velocity  just  before  it  hit  the
floor?

13.

One strategy in a snowball fight is to throw a snowball at a
high  angle  over  level  ground.  While  your  opponent  is
watching the first one, a second snowball is thrown at a low
angle timed to arrive before or at the same time as the first
one.  Assume  both  snowballs  are  thrown  with  a  speed  of
25.0 m/s. The first one is thrown at an angle of 70.0° with
respect to the horizontal. (a) At what angle should the sec-
ond snowball be thrown to arrive at the same point as the
first? (b) How many seconds later should the second snow-
ball be thrown after the first to arrive at the same time?

14. An astronaut on a strange planet finds that she can jump a

maximum horizontal distance of 15.0 m if her initial speed
is  3.00 m/s.  What  is  the  free-fall  acceleration  on  the
planet?

15. A projectile is fired in such a way that its horizontal range

is  equal  to  three  times  its  maximum  height.  What  is  the
angle of projection?

16.

A rock is thrown upward from the level ground in such a
way  that  the  maximum  height  of  its  flight  is  equal  to  its
horizontal range d. (a) At what angle ' is the rock thrown?
(b) What If? Would your answer to part (a) be different on
a different planet? (c) What is the range d

max

the rock can

attain if it is launched at the same speed but at the optimal
angle for maximum range?

17.

A ball is tossed from an upper-story window of a building.
The ball is given an initial velocity of 8.00 m/s at an angle
of  20.0° below  the  horizontal.  It  strikes  the  ground  3.00  s
later. (a) How far horizontally from the base of the building
does the ball strike the ground? (b) Find the height from
which  the  ball  was  thrown.  (c)  How  long  does  it  take  the
ball to reach a point 10.0 m below the level of launching? 

18.

The small archerfish (length 20 to 25 cm) lives in brackish
waters of southeast Asia from India to the Philippines. This
aptly  named  creature  captures  its  prey  by  shooting  a
stream of water drops at an insect, either flying or at rest.
The bug falls into the water and the fish gobbles it up. The
archerfish has high accuracy at distances of 1.2 m to 1.5 m,
and  it  sometimes  makes  hits  at  distances  up  to  3.5  m.  A
groove  in  the  roof  of  its  mouth,  along  with  a  curled
tongue, forms a tube that enables the fish to impart high
velocity to the water in its mouth when it suddenly closes
its  gill  flaps.  Suppose  the  archerfish  shoots  at  a  target

Problems

103

2.00 m  away,  at  an  angle  of  30.0

o

above  the  horizontal.

With what velocity must the water stream be launched if it
is not to drop more than 3.00 cm vertically on its path to
the target? 

A  place-kicker  must  kick  a  football  from  a  point

36.0 m (about 40 yards) from the goal, and half the crowd
hopes the ball will clear the crossbar, which is 3.05 m high.
When  kicked,  the  ball  leaves  the  ground  with  a  speed  of
20.0 m/s at an angle of 53.0° to the horizontal. (a) By how
much does the ball clear or fall short of clearing the cross-
bar? (b) Does the ball approach the crossbar while still ris-
ing or while falling?

20.

A firefighter, a distance d from a burning building, directs
a  stream  of  water  from  a  fire  hose  at  angle  '

i

above  the

horizontal  as  in  Figure  P4.20.  If  the  initial  speed  of
the stream is v

i

, at what height h does the water strike the

building? 

19.

21.

A  playground  is  on  the  flat  roof  of  a  city  school,  6.00  m
above the street below. The vertical wall of the building is
7.00 m high, to form a meter-high railing around the play-
ground.  A  ball  has  fallen  to  the  street  below,  and  a
passerby  returns  it  by  launching  it  at  an  angle  of  53.0°
above the horizontal at a point 24.0 meters from the base
of the building wall. The ball takes 2.20 s to reach a point
vertically  above  the  wall.  (a)  Find  the  speed  at  which  the
ball was launched. (b) Find the vertical distance by which
the ball clears the wall. (c) Find the distance from the wall
to the point on the roof where the ball lands.

22.

A  dive  bomber  has  a  velocity  of  280 m/s  at  an  angle  '
below  the  horizontal.  When  the  altitude  of  the  aircraft  is
2.15 km, it releases a bomb, which subsequently hits a tar-
get  on  the  ground.  The  magnitude  of  the  displacement
from  the  point  of  release  of  the  bomb  to  the  target  is
3.25 km. Find the angle '.

23.

A soccer player kicks a rock horizontally off a 40.0-m high
cliff  into  a  pool  of  water.  If  the  player  hears  the  sound  of
the  splash  3.00  s  later,  what  was  the  initial  speed  given  to
the rock? Assume the speed of sound in air to be 343 m/s.

24.

A basketball star covers 2.80 m horizontally in a jump to dunk
the ball (Fig. P4.24). His motion through space can be mod-
eled precisely as that of a particle at his center of mass, which
we will define in Chapter 9. His center of mass is at elevation
1.02  m  when  he  leaves  the  floor.  It  reaches  a  maximum
height of 1.85 m above the floor, and is at elevation 0.900 m
when  he  touches  down  again.  Determine  (a)  his  time  of

v

i

d

h

θ

i

Figure P4.20

Frederick McKinney/Getty Images

Bill Lee/Dembinsky Photo Associates

Jed Jacobsohn/Allsport/Getty Images

Figure P4.24

104

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

Figure P4.27

Figure P4.32

28. From information on the endsheets of this book, compute

the  radial  acceleration  of  a  point  on  the  surface  of  the
Earth  at  the  equator,  due  to  the  rotation  of  the  Earth
about its axis.

29. A  tire  0.500 m  in  radius  rotates  at  a  constant  rate  of

200 rev/min. Find the speed and acceleration of a small
stone lodged in the tread of the tire (on its outer edge).

30. As their booster rockets separate, Space Shuttle astronauts

typically feel accelerations up to 3g, where g " 9.80 m/s

2

.

In their training, astronauts ride in a device where they ex-

perience such an acceleration as a centripetal acceleration.
Specifically, the astronaut is fastened securely at the end of
a  mechanical  arm  that  then  turns  at  constant  speed  in  a
horizontal  circle.  Determine  the  rotation  rate,  in  revolu-
tions  per  second,  required  to  give  an  astronaut  a  cen-
tripetal acceleration of 3.00g while in circular motion with
radius 9.45 m. 

31. Young  David  who  slew  Goliath  experimented  with  slings

before tackling the giant. He found that he could revolve a
sling of length 0.600 m at the rate of 8.00 rev/s. If he in-
creased the length to 0.900 m, he could revolve the sling
only  6.00  times  per  second.  (a)  Which  rate  of  rotation
gives  the  greater  speed  for  the  stone  at  the  end  of  the
sling? (b) What is the centripetal acceleration of the stone
at  8.00 rev/s?  (c)  What  is  the  centripetal  acceleration  at
6.00 rev/s?

32. The astronaut orbiting the Earth in Figure P4.32 is prepar-

ing to dock with a Westar VI satellite. The satellite is in a
circular orbit 600 km above the Earth’s surface, where the
free-fall  acceleration  is  8.21 m/s

2

.  Take  the  radius  of  the

Earth  as  6  400  km.  Determine  the  speed  of  the  satellite
and  the  time  interval  required  to  complete  one  orbit
around the Earth.

Section 4.5 Tangential and Radial Acceleration

A  train  slows  down  as  it  rounds  a  sharp  horizontal  turn,
slowing from 90.0 km/h to 50.0 km/h in the 15.0 s that it
takes  to  round  the  bend.  The  radius  of  the  curve  is 
150 m. Compute the acceleration at the moment the train
speed  reaches  50.0 km/h.  Assume  it  continues  to  slow
down at this time at the same rate.

34. An  automobile  whose  speed  is  increasing  at  a  rate

of 0.600 m/s

2

travels  along  a  circular  road  of  radius

20.0 m.  When  the  instantaneous  speed  of  the  automo-
bile  is  4.00 m/s,  find  (a)  the  tangential  acceleration
component, (b) the centripetal acceleration component,
and (c) the magnitude and direction of the total acceler-
ation.

33.

Sam Sargent/Liaison International

Courtesy of NASA

flight (his “hang time”), (b) his horizontal and (c) vertical ve-
locity components at the instant of takeoff, and (d) his take-
off angle. (e) For comparison, determine the hang time of a
whitetail  deer  making  a  jump  with center-of-mass  elevations
y

i

"

1.20 m, y

max

"

2.50 m, y

f

"

0.700 m.

25.

An archer shoots an arrow with a velocity of 45.0 m/s at an
angle of 50.0° with the horizontal. An assistant standing on
the level ground 150 m downrange from the launch point
throws  an  apple  straight  up  with  the  minimum  initial
speed necessary to meet the path of the arrow. (a) What is
the  initial  speed  of  the  apple?  (b)  At  what  time  after  the
arrow launch should the apple be thrown so that the arrow
hits the apple?

26.

A  fireworks  rocket  explodes  at  height  h,  the  peak  of  its
vertical  trajectory.  It  throws  out  burning  fragments  in  all
directions, but all at the same speed v. Pellets of solidified
metal  fall  to  the  ground  without  air  resistance.  Find
the smallest  angle  that  the  final  velocity  of  an  impacting
fragment makes with the horizontal.

Section 4.4 Uniform Circular Motion

Note: Problems 8, 10, 12, and 16 in Chapter 6 can also be
assigned with this section.

The athlete shown in Figure P4.27 rotates a 1.00-kg

discus  along  a  circular  path  of  radius  1.06  m.  The  maxi-
mum  speed  of  the  discus  is  20.0 m/s.  Determine  the 
magnitude  of  the  maximum  radial  acceleration  of  the 
discus.

27.