Physics For Scientists And Engineers 6E - part 27

Problems

105

Figure  P4.35  represents  the  total  acceleration  of  a  parti-
cle  moving  clockwise  in  a  circle  of  radius  2.50 m  at  a
certain instant of time. At this instant, find (a) the radial
acceleration, (b) the speed of the particle, and (c) its tan-
gential acceleration.

35.

36.

A ball swings in a vertical circle at the end of a rope 1.50 m
long.  When  the  ball  is  36.9° past  the  lowest  point  on  its 
way  up,  its  total  acceleration  is  (#22.5ˆi& 20.2ˆj) m/s

2

.  At

that instant, (a) sketch a vector diagram showing the com-
ponents of its acceleration, (b) determine the magnitude
of its radial acceleration, and (c) determine the speed and
velocity of the ball.

37.

A race car starts from rest on a circular track. The car in-
creases  its  speed  at  a  constant  rate  a

t

as  it  goes  once

around the track. Find the angle that the total acceleration
of the car makes—with the radius connecting the center of
the  track  and  the  car—at  the  moment  the  car  completes
the circle.

Section 4.6 Relative Velocity and Relative

Acceleration

38.

Heather  in  her  Corvette  accelerates  at  the  rate  of
(3.00iˆ # 2.00jˆ) m/s

2

, while Jill in her Jaguar accelerates

at (1.00iˆ & 3.00jˆ) m/s

2

. They both start from rest at the

origin of an xy coordinate system. After 5.00 s, (a) what is
Heather’s speed with respect to Jill, (b) how far apart are
they,  and  (c)  what  is  Heather’s  acceleration  relative  to
Jill?

39. A  car  travels  due  east  with  a  speed  of  50.0 km/h.  Rain-

drops are falling at a constant speed vertically with respect
to the Earth. The traces of the rain on the side windows of
the car make an angle of 60.0° with the vertical. Find the
velocity of the rain with respect to (a) the car and (b) the
Earth.

40. How long does it take an automobile traveling in the left

lane at 60.0 km/h to pull alongside a car traveling in the
same direction in the right lane at 40.0 km/h if the cars’
front bumpers are initially 100 m apart?
A  river  has  a  steady  speed  of  0.500 m/s.  A  student  swims
upstream  a  distance  of  1.00 km  and  swims  back  to  the
starting  point.  If  the  student  can  swim  at  a  speed  of

41.

1.20 m/s in still water, how long does the trip take? Com-
pare  this  with  the  time  the  trip  would  take  if  the  water
were still.

42. The pilot of an airplane notes that the compass indicates a

heading due west. The airplane’s speed relative to the air
is  150 km/h.  If  there  is  a  wind  of  30.0 km/h  toward  the
north,  find  the  velocity  of  the  airplane  relative  to  the
ground. 

43.

Two swimmers, Alan and Beth, start together at the same
point on the bank of a wide stream that flows with a speed
v. Both move at the same speed c(c ( v), relative to the wa-
ter.  Alan  swims  downstream  a  distance  L and  then  up-
stream  the  same  distance.  Beth  swims  so  that  her  motion
relative  to  the  Earth  is  perpendicular  to  the  banks  of  the
stream. She swims the distance L and then back the same
distance,  so  that  both  swimmers  return  to  the  starting
point. Which swimmer returns first? (Note: First guess the
answer.)

44. A bolt drops from the ceiling of a train car that is acceler-

ating northward at a rate of 2.50 m/s

2

. What is the acceler-

ation  of  the  bolt  relative  to  (a)  the  train  car?  (b)  the
Earth?
A science student is riding on a flatcar of a train traveling
along  a  straight  horizontal  track  at  a  constant  speed  of
10.0 m/s.  The  student  throws  a  ball  into  the  air  along  a
path that he judges to make an initial angle of 60.0° with
the  horizontal  and  to  be  in  line  with  the  track.  The  stu-
dent’s  professor,  who  is  standing  on  the  ground  nearby,
observes the ball to rise vertically. How high does she see
the ball rise?

46.

A  Coast  Guard  cutter  detects  an  unidentified  ship  at  a 
distance  of  20.0 km  in  the  direction  15.0° east  of  north.
The ship is traveling at 26.0 km/h on a course at 40.0° east
of north. The Coast Guard wishes to send a speedboat to
intercept the vessel and investigate it. If the speedboat trav-
els  50.0 km/h,  in  what  direction  should  it  head?  Express
the  direction  as  a  compass  bearing  with  respect  to  due
north.

Additional Problems

47.

The  “Vomit  Comet.”  In  zero-gravity  astronaut  training  and
equipment  testing,  NASA  flies  a  KC135A  aircraft  along  a
parabolic  flight  path.  As  shown  in  Figure  P4.47,  the  air-
craft climbs from 24 000 ft to 31 000 ft, where it enters the
zero-g parabola  with  a  velocity  of  143 m/s  nose-high  at
45.0

o

and  exits  with  velocity  143 m/s  at  45.0° nose-low.

During this portion of the flight the aircraft and objects in-
side its padded cabin are in free fall—they have gone bal-
listic.  The  aircraft  then  pulls  out  of  the  dive  with  an  up-
ward  acceleration  of  0.800g,  moving  in  a  vertical  circle
with radius 4.13 km. (During this portion of the flight, oc-
cupants  of  the  plane  perceive  an  acceleration  of  1.8g.)
What are the aircraft (a) speed and (b) altitude at the top
of the maneuver? (c) What is the time spent in zero grav-
ity? (d) What is the speed of the aircraft at the bottom of
the flight path? 

45.

30.0

°

2.50 m

a

v

a  =  15.0 m/s

2

Figure P4.35

106

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

48.

As some molten metal splashes, one droplet flies off to the
east with initial velocity v

i

at angle '

i

above the horizontal,

and another droplet to the west with the same speed at the
same  angle  above  the  horizontal,  as  in  Figure  P4.48.  In
terms  of  v

i

and  '

i

,  find  the  distance  between  them  as  a

function of time. 

49.

A ball on the end of a string is whirled around in a hori-
zontal  circle  of  radius  0.300 m.  The  plane  of  the  circle  is
1.20 m  above  the  ground.  The  string  breaks  and  the  ball
lands  2.00 m  (horizontally)  away  from  the  point  on  the
ground directly beneath the ball’s location when the string
breaks.  Find  the  radial  acceleration  of  the  ball  during  its
circular motion.

50.

A projectile is fired up an incline (incline angle .) with an
initial speed v

i

at an angle '

i

with respect to the horizontal

('

i

(

.

), as shown in Figure P4.50. (a) Show that the pro-

jectile travels a distance d up the incline, where

(b) For what value of '

i

is d a maximum, and what is that

maximum value?

d "

2v 

2

i

 

cos

 

'

i

 

 

 

sin('

i

#

.

)

g

  

cos

2

.

Barry Bonds hits a home run so that the baseball just clears
the top row of bleachers, 21.0 m high, located 130 m from
home plate. The ball is hit at an angle of 35.0° to the hori-
zontal,  and  air  resistance  is  negligible.  Find  (a)  the  initial
speed of the ball, (b) the time at which the ball reaches the
cheap seats, and (c) the velocity components and the speed
of the ball when it passes over the top row. Assume the ball
is hit at a height of 1.00 m above the ground.

52.

An astronaut on the surface of the Moon fires a cannon to
launch  an  experiment  package,  which  leaves  the  barrel
moving  horizontally.  (a)  What  must  be  the  muzzle  speed
of  the  package  so  that  it  travels  completely  around  the
Moon  and  returns  to  its  original  location?  (b)  How  long
does this trip around the Moon take? Assume that the free-
fall  acceleration  on  the  Moon  is  one-sixth  that  on  the
Earth.

53.

A pendulum with a cord of length r " 1.00 m swings in a
vertical  plane  (Fig.  P4.53).  When  the  pendulum  is  in
the two  horizontal  positions  ' " 90.0° and  ' " 270°,  its
speed is 5.00 m/s. (a) Find the magnitude of the radial
acceleration  and  tangential  acceleration  for  these  posi-
tions. (b) Draw vector diagrams to determine the direc-

51.

24 000

31000

Altitude, ft

1.8 g

45

° nose high

45

° nose low

Maneuver time, s

1.8 g

Zero-g

r

0

65

Figure P4.47

Figure P4.50

Figure P4.48

Figure P4.53

Courtesy of NASA

θ

i

v

i

v

i

θ

i

Path of the projectile

φ

d

v

i

θ  

i

g

φ

a

r

θ

a

t

a

r

Problems

107

tion  of  the  total  acceleration  for  these  two  positions.
(c) Calculate  the  magnitude  and  direction  of  the  total
acceleration.

54.

A  basketball  player  who  is  2.00  m  tall  is  standing  on  the
floor  10.0  m  from  the  basket,  as  in  Figure  P4.54.  If  he
shoots the ball at a 40.0° angle with the horizontal, at what
initial  speed  must  he  throw  so  that  it  goes  through  the
hoop without striking the backboard? The basket height is
3.05 m.

3.05 m

40.0

°

10.0 m

2.00 m

Figure P4.54

Figure P4.57

Figure P4.55

55.

When baseball players throw the ball in from the outfield,
they  usually  allow  it  to  take  one  bounce  before  it  reaches
the infield, on the theory that the ball arrives sooner that
way. Suppose that the angle at which a bounced ball leaves
the ground is the same as the angle at which the outfielder
threw it, as in Figure P4.55, but that the ball’s speed after
the  bounce  is  one  half  of  what  it  was  before  the  bounce.
(a) Assuming the ball is always thrown with the same initial
speed, at what angle ' should the fielder throw the ball to
make  it  go  the  same  distance  D with  one  bounce  (blue
path)  as  a  ball  thrown  upward  at  45.0° with  no  bounce
(green path)? (b) Determine the ratio of the times for the
one-bounce and no-bounce throws.

56.

A boy can throw a ball a maximum horizontal distance of
R on a level field. How far can he throw the same ball verti-
cally  upward?  Assume  that  his  muscles  give  the  ball  the
same speed in each case.

57.

A stone at the end of a sling is whirled in a vertical circle of
radius  1.20  m  at  a  constant  speed  v

0

"

1.50 m/s  as  in

Figure P4.57.  The  center  of  the  sling  is  1.50  m  above  the
ground. What is the range of the stone if it is released when
the sling is inclined at 30.0° with the horizontal (a) at ! ?
(b) at " ? What is the acceleration of the stone (c) just be-
fore it is released at ! ? (d) just after it is released at ! ?

45.0

°

θ

D

θ

v

0

30.0

°

30.0

°

1.20 m

v

0

!

"

58.

A quarterback throws a football straight toward a receiver
with  an  initial  speed  of  20.0 m/s,  at  an  angle  of  30.0°
above the horizontal. At that instant, the receiver is 20.0 m
from  the  quarterback.  In  what  direction  and  with  what
constant  speed  should  the  receiver  run  in  order  to  catch
the football at the level at which it was thrown?
Your grandfather is copilot of a bomber, flying horizontally
over level terrain, with a speed of 275 m/s relative to the
ground, at an altitude of 3 000 m. (a) The bombardier re-
leases  one  bomb.  How  far  will  it  travel  horizontally  be-
tween  its  release  and  its  impact  on  the  ground?  Neglect
the effects of air resistance. (b) Firing from the people on
the ground suddenly incapacitates the bombardier before
he  can  call,  “Bombs  away!”  Consequently,  the  pilot  main-
tains  the  plane’s  original  course,  altitude,  and  speed
through a storm of flak. Where will the plane be when the
bomb  hits  the  ground?  (c)  The  plane  has  a  telescopic
bomb sight set so that the bomb hits the target seen in the
sight at the time of release. At what angle from the vertical
was the bomb sight set?

60.

A high-powered rifle fires a bullet with a muzzle speed of
1.00 km/s.  The  gun  is  pointed  horizontally  at  a  large
bull’s eye target—a set of concentric rings—200 m away.
(a)  How  far  below  the  extended  axis  of  the  rifle  barrel
does a bullet hit the target? The rifle is equipped with a
telescopic sight. It is “sighted in” by adjusting the axis of
the  telescope  so  that  it  points  precisely  at  the  location
where the bullet hits the target at 200 m. (b) Find the an-
gle  between  the  telescope  axis  and  the  rifle  barrel  axis.
When shooting at a target at a distance other than 200 m,
the  marksman  uses  the  telescopic  sight,  placing  its
crosshairs  to  “aim  high”  or  “aim  low”  to  compensate  for
the different range. Should she aim high or low, and ap-
proximately how far from the bull’s eye, when the target
is  at  a  distance  of  (c)  50.0  m,  (d)  150  m,  or  (e)  250  m?
Note: The trajectory of the bullet is everywhere so nearly
horizontal  that  it  is  a  good  approximation  to  model  the
bullet  as  fired  horizontally  in  each  case. What  if  the  tar-
get is uphill or downhill? (f) Suppose the target is 200 m
away, but the sight line to the target is above the horizon-
tal by 30°. Should the marksman aim high, low, or right
on?  (g)  Suppose  the  target  is  downhill  by  30°.  Should 
the  marksman  aim  high,  low,  or  right  on?  Explain  your
answers.

59.

108

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

A hawk is flying horizontally at 10.0 m/s in a straight line,
200  m  above  the  ground.  A  mouse  it  has  been  carrying
struggles  free  from  its  grasp.  The  hawk  continues  on  its
path at the same speed for 2.00 seconds before attempting
to retrieve its prey. To accomplish the retrieval, it dives in a
straight  line  at  constant  speed  and  recaptures  the  mouse
3.00 m above the ground. (a) Assuming no air resistance,
find the diving speed of the hawk. (b) What angle did the
hawk make with the horizontal during its descent? (c) For
how long did the mouse “enjoy” free fall?

62.

A  person  standing  at  the  top  of  a  hemispherical  rock  of
radius R kicks a ball (initially at rest on the top of the rock)
to give it horizontal velocity v

i

as in Figure P4.62. (a) What

must be its minimum initial speed if the ball is never to hit
the rock after it is kicked? (b) With this initial speed, how
far from the base of the rock does the ball hit the ground?

61.

A  car  is  parked  on  a  steep  incline  overlooking  the

ocean,  where  the  incline  makes  an  angle  of  37.0° below
the horizontal. The negligent driver leaves the car in neu-
tral,  and  the  parking  brakes  are  defective.  Starting  from
rest at t " 0, the car rolls down the incline with a constant
acceleration of 4.00 m/s

2

, traveling 50.0 m to the edge of a

vertical  cliff.  The  cliff  is  30.0  m  above  the  ocean.  Find
(a) the  speed  of  the  car  when  it  reaches  the  edge  of  the
cliff and the time at which it arrives there, (b) the velocity
of  the  car  when  it  lands  in  the  ocean,  (c)  the  total  time
interval that the car is in motion, and (d) the position of
the car when it lands in the ocean, relative to the base of
the cliff.

64.

A  truck  loaded  with  cannonball  watermelons  stops  sud-
denly  to  avoid  running  over  the  edge  of  a  washed-out
bridge  (Fig.  P4.64).  The  quick  stop  causes  a  number  of
melons to fly off the truck. One melon rolls over the edge
with an initial speed v

i

"

10.0 m/s in the horizontal direc-

tion. A cross-section of the bank has the shape of the bot-
tom  half  of  a  parabola  with  its  vertex  at  the  edge  of  the
road,  and  with  the  equation  y

2

"

16x,  where  x and  y are

measured in meters. What are the x and y coordinates of
the melon when it splatters on the bank?

65.

The determined coyote is out once more in pursuit of the
elusive  roadrunner.  The  coyote  wears  a  pair  of  Acme  jet-
powered roller skates, which provide a constant horizontal

63.

acceleration of 15.0 m/s

2

(Fig. P4.65). The coyote starts at

rest 70.0 m from the brink of a cliff at the instant the road-
runner zips past him in the direction of the cliff. (a) If the
roadrunner  moves  with  constant  speed,  determine  the
minimum  speed  he  must  have  in  order  to  reach  the  cliff
before the coyote. At the edge of the cliff, the roadrunner
escapes by making a sudden turn, while the coyote contin-
ues straight ahead. His skates remain horizontal and con-
tinue to operate while he is in  flight, so that the coyote’s
acceleration while in the air is (15.0ˆi # 9.80ˆj) m/s

2

. (b) If

the  cliff  is  100  m  above  the  flat  floor  of  a  canyon,  deter-
mine where the coyote lands in the canyon. (c) Determine
the components of the coyote’s impact velocity.

Figure P4.62

Figure P4.65

Figure P4.64

R

x

v

i

v

i

 = 10 m/s

Coyoté

Stupidus

Chicken

Delightus

BEEP

BEEP

66.

Do not hurt yourself; do not strike your hand against any-
thing.  Within  these  limitations,  describe  what  you  do
to give your hand a large acceleration. Compute an order-
of-magnitude  estimate  of  this  acceleration,  stating the
quantities you measure or estimate and their values.
A  skier  leaves  the  ramp  of  a  ski  jump  with  a  velocity  of
10.0 m/s,  15.0° above  the  horizontal,  as  in  Figure  P4.67.
The slope is inclined at 50.0°, and air resistance is negligi-
ble.  Find  (a)  the  distance  from  the  ramp  to  where  the
jumper lands and (b) the velocity components just before
the  landing.  (How  do  you  think  the  results  might  be  af-
fected  if  air  resistance  were  included?  Note  that  jumpers
lean  forward  in  the  shape  of  an  airfoil,  with  their  hands 
at  their  sides,  to  increase  their  distance.  Why  does  this
work?)

67.