Physics For Scientists And Engineers 6E - part 25

S E C T I O N   4 . 6 •  Relative Velocity and Relative Acceleration

97

then straight downward along the same vertical line, as shown in Figure 4.22a. An ob-
server B on the ground sees the path of the ball as a parabola, as illustrated in Figure
4.22b. Relative to observer B, the ball has a vertical component of velocity (resulting
from the initial upward velocity and the downward acceleration due to gravity) and a
horizontal component.

Another example of this concept is the motion of a package dropped from an air-

plane  flying  with  a  constant  velocity—a  situation  we  studied  in  Example  4.6.  An  ob-
server on the airplane sees the motion of the package as a straight line downward to-
ward Earth. The stranded explorer on the ground, however, sees the trajectory of the
package  as  a  parabola.  Once  the  package  is  dropped,  and  the  airplane  continues  to
move horizontally with the same velocity, the package hits the ground directly beneath
the airplane (if we assume that air resistance is neglected)!

In a more general situation, consider a particle located at point ! in Figure 4.23.

Imagine that the motion of this particle is being described by two observers, one in ref-
erence frame S, fixed relative to Earth, and another in reference frame S$, moving to
the right relative to S (and therefore relative to Earth) with a constant velocity 

v

0

. (Rel-

ative to an observer in S$, S moves to the left with a velocity #

v

0

.) Where an observer

stands in a reference frame is irrelevant in this discussion, but for purposes of this dis-
cussion let us place each observer at her or his respective origin.

(a)

(b)

Path seen

by observer B

A

A

Path seen

by observer A

B

Figure 4.22 (a) Observer A on a moving skateboard throws a ball upward and sees it

rise and fall in a straight-line path. (b) Stationary observer B sees a parabolic path for

the same ball. 

S

r

r

′

v

0

t

S

′

O

′

O

v

0

!

Figure 4.23

A

particle located at ! is de-

scribed by two observers, one in the fixed

frame of reference S, and the other in the

frame S$, which moves to the right with a

constant velocity v

0

. The vector r is the par-

ticle’s position vector relative to S, and r$ is

its position vector relative to S$.

98

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

We  define  the  time  t " 0  as  that  instant  at  which  the  origins  of  the  two  reference

frames coincide in space. Thus, at time t, the origins of the reference frames will be sepa-
rated by a distance v

0

t. We label the position of the particle relative to the S frame with the

position vector 

r and that relative to the S$ frame with the position vector r$, both at time

t. The vectors 

r and r$ are related to each other through the expression r " r$& v

0

t, or

(4.21)

If we differentiate Equation 4.21 with respect to time and note that 

v

0

is constant,

we obtain

(4.22)

where 

v$ is the velocity of the particle observed in the S$ frame and v is its velocity ob-

served in the S frame. Equations 4.21 and 4.22 are known as 

Galilean transformation

equations. They relate the position and velocity of a particle as measured by observers
in relative motion.

Although observers in two frames measure different velocities for the particle, they

measure the same acceleration when 

v

0

is constant. We can verify this by taking the time

derivative of Equation 4.22:

Because 

v

0

is  constant,  d

v

0

/dt " 0.  Therefore,  we  conclude  that 

a$ " a because

a$ " d v$/dt and a " d v/dt. That is, the  acceleration  of  the  particle  measured  by
an observer in one frame of reference is the same as that measured by any other
observer moving with constant velocity relative to the first frame.

dv$

dt

"

dv

dt

#

dv

0

dt

v$ " v # v

0

dr$

dt

"

dr

dt

#

v

0

r$ " r # v

0

t

Quick Quiz 4.11

A passenger, observer A, in a car traveling at a constant hor-

izontal  velocity  of  magnitude  60 mi/h  pours  a  cup  of  coffee  for  the  tired  driver.  Ob-
server B stands on the side of the road and watches the pouring process through the
window of the car as it passes. Which observer(s) sees a parabolic path for the coffee as
it moves through the air? (a) A (b) B (c) both A and B (d) neither A nor B.

Example 4.10 A Boat Crossing a River

A boat heading due north crosses a wide river with a speed
of 10.0 km/h relative to the water. The water in the river has
a uniform speed of 5.00 km/h due east relative to the Earth.
Determine  the  velocity  of  the  boat  relative  to  an  observer
standing on either bank.

Solution To  conceptualize this  problem,  imagine  moving
across a river while the current pushes you along the river.
You will not be able to move directly across the river, but will
end up downstream, as suggested in Figure 4.24. Because of
the separate velocities of you and the river, we can categorize
this as a problem involving relative velocities. We will analyze
this  problem  with  the  techniques  discussed  in  this  section.
We know 

v

br

, the velocity of the boat relative to the river, and

v

rE

, the velocity of the river relative to Earth. What we must

find is 

v

bE

, the velocity of the boat relative to Earth. The rela-

tionship between these three quantities is

v

bE

"

v

br

&

v

rE

E

N

S

W

v

rE

v

br

v

bE

θ

Figure 4.24 (Example 4.10) A boat aims directly

across a river and ends up downstream.

Galilean coordinate

transformation

Galilean velocity transformation

Summary

99

Example 4.11 Which Way Should We Head?

If the boat of the preceding example travels with the same
speed of 10.0 km/h relative to the river and is to travel due
north, as shown in Figure 4.25, what should its heading be?

Solution This example is an extension of the previous one,
so we have already conceptualized and categorized the problem.
The analysis now involves the new triangle shown in Figure
4.25. As in the previous example, we know 

v

rE

and the mag-

nitude  of  the  vector 

v

br

,  and  we  want 

v

bE

to  be  directed

across the river. Note the difference between the triangle in
Figure 4.24 and the one in Figure 4.25—the hypotenuse in
Figure  4.25  is  no  longer 

v

bE

.  Therefore,  when  we  use  the

Pythagorean theorem to find 

v

bE

in this situation, we obtain

Now that we know the magnitude of 

v

bE

, we can find the di-

rection in which the boat is heading:

To  finalize this  problem,  we  learn  that  the  boat  must  head
upstream  in  order  to  travel  directly  northward  across  the
river.  For  the  given  situation,  the  boat  must  steer  a  course
30.0° west of north.

What If?

Imagine that the two boats in Examples 4.10 and

4.11 are racing across the river. Which boat arrives at the op-
posite bank first?

30.0)

' "

tan

#

1

#

v

rE

v

bE

$

"

tan

#

1

#

5.00
8.66

$

"

v

bE

"

√

v

2

br

#

v

2

rE

"

√

(10.0)

2

#

(5.00)

2

 km/h " 8.66 km/h

Answer In Example 4.10, the velocity of 10 km/h is aimed
directly across the river. In Example 4.11, the velocity that is
directed across the river has a magnitude of only 8.66 km/h.
Thus, the boat in Example 4.10 has a larger velocity compo-
nent directly across the river and will arrive first.

The  terms  in  the  equation  must  be  manipulated  as  vector
quantities; the vectors are shown in Figure 4.24. The quan-
tity 

v

br

is due north, 

v

rE

is due east, and the vector sum of

the two, 

v

bE

, is at an angle ', as defined in Figure 4.24. Thus,

we can find the speed v

bE

of the boat relative to Earth by us-

ing the Pythagorean theorem:

"

11.2 km/h

v

bE

"

√

v

2

br

&

v

2

rE

"

√

(10.0)

2

&

(5.00)

2

 km/h

The direction of 

v

bE

is

The boat is moving at a speed of 11.2 km/h in the direction
26.6° east of north relative to Earth. To finalize the problem,
note  that  the  speed  of  11.2 km/h  is  faster  than  your  boat
speed  of  10.0 km/h.  The  current  velocity  adds  to  yours  to
give you a larger speed. Notice in Figure 4.24 that your re-
sultant velocity is at an angle to the direction straight across
the river, so you will end up downstream, as we predicted.

26.6)

' "

tan

#

1

#

v

rE

v

br

$

"

tan

#

1

#

5.00
10.0

$

"

v

rE

v

br

v

bE

θ

E

N

S

W

Figure 4.25 (Example 4.11) To move directly

across the river, the boat must aim upstream.

If  a  particle  moves  with  constant acceleration 

a and  has  velocity  v

i

and  position 

r

i

at

t " 0, its velocity and position vectors at some later time t are

(4.8)

(4.9)

For two-dimensional motion in the xy plane under constant acceleration, each of these
vector expressions is equivalent to two component expressions—one for the motion in
the x direction and one for the motion in the y direction.

Projectile  motion is  one  type  of  two-dimensional  motion  under  constant  accel-

eration,  where  a

x

"

0  and  a

y

" #

g.  It  is  useful  to  think  of  projectile  motion  as  the

superposition  of  two  motions:  (1)  constant-velocity  motion  in  the  x direction  and

r

f

"

r

i

&

v

i

t &

1

2

at

2

v

f

"

v

i

&

at

S U M M A R Y

Take a practice test for

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100

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

(2) free-fall motion in the vertical direction subject to a constant downward accelera-
tion of magnitude g " 9.80 m/s

2

.

A particle moving in a circle of radius r with constant speed v is in 

uniform circu-

lar motion. It undergoes a radial acceleration a

r

because the direction of 

v changes in

time. The magnitude of 

a

r

is the 

centripetal acceleration a

c

:

(4.19)

and its direction is always toward the center of the circle.

If a particle moves along a curved path in such a way that both the magnitude and

the direction of 

v change in time, then the particle has an acceleration vector that can

be described by two component vectors: (1) a radial component vector 

a

r

that causes

the change in direction of 

v and (2) a tangential component vector a

t

that causes the

change  in  magnitude  of 

v.  The  magnitude  of  a

r

is  v

2

/r,  and  the  magnitude  of 

a

t

is

d

"v"/dt. 

The velocity 

v of a particle measured in a fixed frame of reference S can be related

to the velocity 

v$ of the same particle measured in a moving frame of reference S$ by

(4.22)

where 

v

0

is the velocity of S$ relative to S. 

v$ " v # v

0

a

c

"

v

2

r

1. Can  an  object  accelerate  if  its  speed  is  constant?  Can  an

object accelerate if its velocity is constant?

2. If you know the position vectors of a particle at two points

along its path and also know the time it took to move from
one point to the other, can you determine the particle’s in-
stantaneous velocity? Its average velocity? Explain.

3. Construct motion diagrams showing the velocity and accel-

eration  of  a  projectile  at  several  points  along  its  path  if
(a) the projectile is launched horizontally and (b) the pro-
jectile is launched at an angle ' with the horizontal.

4. A  baseball  is  thrown  with  an  initial  velocity  of  (10ˆi &

15ˆj) m/s.  When  it  reaches  the  top  of  its  trajectory,  what
are (a) its velocity and (b) its acceleration? Neglect the ef-
fect of air resistance.

5. A  baseball  is  thrown  such  that  its  initial  x and  y compo-

nents of velocity are known. Neglecting air resistance, de-
scribe  how  you  would  calculate,  at  the  instant  the  ball
reaches the top of its trajectory, (a) its position, (b) its ve-
locity,  and  (c)  its  acceleration.  How  would  these  results
change if air resistance were taken into account?

6. A  spacecraft  drifts  through  space  at  a  constant  velocity.

Suddenly a gas leak in the side of the spacecraft gives it a
constant  acceleration  in  a  direction  perpendicular  to  the
initial velocity. The orientation of the spacecraft does not
change, so that the acceleration remains perpendicular to
the original direction of the velocity. What is the shape of
the path followed by the spacecraft in this situation?

7. A ball is projected horizontally from the top of a building.

One  second  later  another  ball  is  projected  horizontally
from the same point with the same velocity. At what point
in the motion will the balls be closest to each other? Will
the  first  ball  always  be  traveling  faster  than  the  second

ball? What will be the time interval between when the balls
hit  the  ground?  Can  the  horizontal  projection  velocity  of
the second ball be changed so that the balls arrive at the
ground at the same time?

8. A  rock  is  dropped  at  the  same  instant  that  a  ball,  at  the

same  initial  elevation,  is  thrown  horizontally.  Which  will
have the greater speed when it reaches ground level?

9. Determine which of the following moving objects obey the

equations  of  projectile  motion  developed  in  this  chapter.
(a) A ball is thrown in an arbitrary direction. (b) A jet air-
plane  crosses  the  sky  with  its  engines  thrusting  the  plane
forward. (c) A rocket leaves the launch pad. (d) A rocket
moving through the sky after its engines have failed. (e) A
stone is thrown under water.

10. How can you throw a projectile so that it has zero speed at

the top of its trajectory? So that it has nonzero speed at the
top of its trajectory?

11. Two projectiles are thrown with the same magnitude of ini-

tial  velocity,  one  at  an  angle  ' with  respect  to  the  level
ground and the other at angle 90° # '. Both projectiles will
strike the ground at the same distance from the projection
point. Will both projectiles be in the air for the same time
interval?

12. A  projectile  is  launched  at  some  angle  to  the  horizontal

with some initial speed v

i

, and air resistance is negligible. Is

the projectile a freely falling body? What is its acceleration
in  the  vertical  direction?  What  is  its  acceleration  in  the
horizontal direction?

13. State which of the following quantities, if any, remain con-

stant as a projectile moves through its parabolic trajectory:
(a)  speed,  (b)  acceleration,  (c)  horizontal  component  of
velocity, (d) vertical component of velocity.

Q U E S T I O N S