Physics For Scientists And Engineers 6E - part 23

A stone is thrown from the top of a building upward at an
angle  of  30.0° to  the  horizontal  with  an  initial  speed  of
20.0 m/s, as shown in Figure 4.14. If the height of the build-
ing is 45.0 m,

(A)

how long does it take the stone to reach the ground?

Solution We  conceptualize the  problem  by  studying  Figure
4.14, in which we have indicated the various parameters. By
now, it should be natural to categorize this as a projectile mo-
tion problem.

To  analyze the  problem,  let  us  once  again  separate  mo-

tion  into  two  components.  The  initial  x and  y components
of the stone’s velocity are

To  find  t,  we  can  use  y

f

"

y

i

&

v

yi

t & a

y

t

2

(Eq.  4.9a)  with

y

i

"

0, y

f

" #

45.0 m, a

y

" #

g, and v

yi

"

10.0 m/s (there is a

negative sign on the numerical value of y

f

because we have

chosen the top of the building as the origin):

Solving  the  quadratic  equation  for  t gives,  for  the  positive 

root,  t "

To  finalize this  part,  think:  Does  the 

negative root have any physical meaning? 

(B)

What is the speed of the stone just before it strikes the

ground?

Solution We  can  use  Equation  4.8a,  v

yf

"

v

yi

&

a

y

t,  with

t " 4.22 s to obtain the y component of the velocity just be-
fore the stone strikes the ground:

Because v

xf

"

v

xi

"

17.3 m/s, the required speed is

To finalize this part, is it reasonable that the y component of
the  final  velocity  is  negative?  Is  it  reasonable  that  the  final
speed is larger than the initial speed of 20.0 m/s?

35.9 m/s

v

f

"

√

v

2

xf

&

v

2

yf

"

√

(17.3)

2

&

(#31.4)

2

 m/s "

v

yf

"

10.0 m/s # (9.80 m/s

2

)(4.22 s) "  #31.4 m/s

4.22 s.

#

45.0 m " (10.0 m/s)t #

1

2

(9.80 m/s

2

)t

2

1

2

v

yi

"

v

i 

sin

 

'

i

"

(20.0 m/s)sin

 

30.0) " 10.0 m/s

v

xi

"

v

i 

 

cos

 

'

i

"

(20.0 m/s)cos

 

30.0) " 17.3 m/s

S E C T I O N   4 . 3 •  Projectile Motion

89

Example 4.5 That’s Quite an Arm!

What  If?

What  if  a  horizontal  wind  is  blowing  in  the  same

direction as the ball is thrown and it causes the ball to have a
horizontal  acceleration  component  a

x

!

0.500 m/s

2

.  Which

part of this example, (A) or (B), will have a different answer?

Answer Recall that the motions in the x and y directions are
independent. Thus, the horizontal wind cannot affect the ver-
tical motion. The vertical motion determines the time of the
projectile in the air, so the answer to (A) does not change. The
wind will cause the horizontal velocity component to increase
with time, so that the final speed will change in part (B).

We can find the new final horizontal velocity component

by using Equation 4.8a:

and the new final speed:

v

f

"

√

v

xf

2

&

v

2

yf

"

√

(19.4)

2

&

(#31.4)

2

  

m/s " 36.9

 

m/s

"

19.4

 

m/s

v

xf

"

v

xi

&

a

x

t " 17.3

 

m/s & (0.500

 

m/s

2

)(4.22

 

s)

!

45.0 m

(0, 0)

y

x

v

i

 = 20.0 m/s

θ

i

 = 30.0

°

y

f  

= – 45.0 m

x

f

 = ?

x

f

Figure 4.14 (Example 4.5) A stone is thrown from the

top of a building.

Investigate this situation at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Now if we use Equation 4.9a to write an expression for the y
coordinate of the projectile at any moment, we obtain

Thus, by comparing the two previous equations, we see that
when  the  y coordinates  of  the  projectile  and  target  are
the same,  their  x coordinates  are  the  same  and  a  collision

y

P

"

x

P

  

tan '

i

#

1

2

gt

2

results. That is, when y

P

"

y

T

, x

P

"

x

T

. You can obtain the

same  result,  using  expressions  for  the  position  vectors  for
the projectile and target.

To finalize this problem, note that a collision can result

only when 

where d is the initial elevation

of  the  target  above  the  floor.  If  v

i

sin  '

i

is  less  than  this

value,  the  projectile  will  strike  the  floor  before  reaching
the target.

v

i  

sin '

i

-

√

gd

 

/

 

2

Investigate this situation at the Interactive Worked Example link at http://www.pse6.com.

Interactive

90

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

100 m

x

40.0 m/s

y

Figure 4.15 (Example 4.6) A package of emergency supplies is

dropped from a plane to stranded explorers.

Example 4.7 The End of the Ski Jump

A ski-jumper leaves the ski track moving in the horizontal di-
rection  with  a  speed  of  25.0 m/s,  as  shown  in  Figure  4.16.
The landing incline below him falls off with a slope of 35.0°.
Where does he land on the incline?

Solution We can conceptualize this problem based on obser-
vations of winter Olympic ski competitions. We observe the
skier  to  be  airborne  for  perhaps  4  s  and  go  a  distance  of
about 100 m horizontally. We should expect the value of d,
the distance traveled along the incline, to be of the same or-
der of magnitude. We categorize the problem as that of a par-
ticle in projectile motion.

To analyze the problem, it is convenient to select the be-

ginning  of  the  jump  as  the  origin.  Because  v

xi

"

25.0  m/s

and v

yi

"

0, the x and y component forms of Equation 4.9a

are

(1)

(2)

   

y

f

"

v

yi

t &

1

2

a

y

t

2

" #

1

2

(9.80 m/s

2

)t

2

x

f

"

v

xi

t " (25.0 m/s)t

From  the  right  triangle  in  Figure  4.16,  we  see  that  the
jumper’s  x and  y coordinates  at  the  landing  point  are
x

f

"

d cos 35.0° and  y

f

" #

d sin 35.0°.  Substituting  these

relationships into (1) and (2), we obtain

(3)

Solving (3) for t and substituting the result into (4), we find
that d " 109 m. Hence, the x and y coordinates of the point
at which the skier lands are

To finalize the problem, let us compare these results to our
expectations. We expected the horizontal distance to be on
the order of 100 m, and our result of 89.3 m is indeed on

#

 

62.5 m

y

f

" #

d

 

 sin 35.0) " #(109 m)sin 35.0) "

89.3 m

x

f

"

d

 

 cos

 

 35.0) " (109 m)cos

 

 35.0) "

(4)

     

#

d

 

 sin 35.0) " #

1

2

(9.80 m/s

2

)t

2

d

 

 cos 35.0) " (25.0 m/s)t

Example 4.6 The Stranded Explorers

A plane drops a package of supplies to a party of explorers,
as shown in Figure 4.15. If the plane is traveling horizontally
at 40.0 m/s and is 100 m above the ground, where does the
package strike the ground relative to the point at which it is
released?

Solution Conceptualize what  is  happening  with  the  assis-
tance  of  Figure  4.15.  The  plane  is  traveling  horizontally
when it drops the package. Because the package is in free-
fall  while  moving  in  the  horizontal  direction,  we  categorize

this as a projectile motion problem. To analyze the problem,
we  choose  the  coordinate  system  shown  in  Figure  4.15,  in
which  the  origin  is  at  the  point  of  release  of  the  package.
Consider first its horizontal motion. The only equation avail-
able for finding the position along the horizontal direction
is  x

f

"

x

i

&

v

xi

t (Eq.  4.9a).  The  initial  x component  of  the

package  velocity  is  the  same  as  that  of  the  plane  when  the
package is released: 40.0 m/s. Thus, we have

If we know t, the time at which the package strikes the

ground, then we can determine x

f

, the distance the package

travels  in  the  horizontal  direction.  To  find  t,  we  use  the
equations that describe the vertical motion of the package.
We know that, at the instant the package hits the ground, its
y coordinate is y

f

" #

100 m. We also know that the initial

vertical  component  of  the  package  velocity  v

yi

is  zero  be-

cause at the moment of release, the package has only a hori-
zontal component of velocity.

From Equation 4.9a, we have

Substitution of this value for the time into the equation

for the x coordinate gives

The package hits the ground 181 m to the right of the drop
point.  To  finalize this  problem,  we  learn  that  an  object
dropped from a moving airplane does not fall straight down.
It  hits  the  ground  at  a  point  different  from  the  one  right 
below  the  plane  where  it  was  released.  This  was  an  impor-
tant consideration for free-fall bombs such as those used in
World War II.

181 m

x

f

"

(40.0 m/s)(4.52 s) "

t " 4.52

 

s

#

100 m " #

1

2

(9.80 m/s

2

)t

2

y

f

" #

1

2

gt

2

x

f

"

(40.0 m/s)t

S E C T I O N   4 . 4 •  Uniform Circular Motion

91

y

d

25.0 m/s

(0, 0)

x

= 35.0

°

φ

Figure 4.16 (Example 4.7) A ski jumper leaves the track moving in a horizontal direction.

We can find this optimal angle mathematically. We mod-

ify equations (1) through (4) in the following way, assuming
that the skier is projected at an angle ' with respect to the
horizontal:

If we eliminate the time t between these equations and then
use differentiation to maximize d in terms of ', we arrive (af-
ter  several  steps — see  Problem  72!)  at  the  following  equa-
tion for the angle ' that gives the maximum value of d:

For the slope angle in Figure 4.16, . " 35.0°; this equation
results in an optimal launch angle of ' " 27.5°. Notice that
for  a  slope  angle  of  . " 0°,  which  represents  a  horizontal
plane,  this  equation  gives  an  optimal  launch  angle  of
' "

45°, as we would expect (see Figure 4.11).

' "

45) #

.

2

(2) and (4)

 

:

 

y

f

"

(v

i

 

 

sin ')t #

1

2

gt

2

" #

d 

 

sin .

(1) and (3)

 

:

 

x

f

"

(v

i

 

 

cos ')t " d

 

 cos .

this order of magnitude. It might be useful to calculate the
time interval that the jumper is in the air and compare it to
our estimate of about 4 s.

What  If?

Suppose  everything  in  this  example  is  the  same

except that the ski jump is curved so that the jumper is pro-
jected upward at an angle from the end of the track. Is this a
better design in terms of maximizing the length of the jump?

Answer If the initial velocity has an upward component, the
skier will be in the air longer, and should therefore travel fur-
ther. However, tilting the initial velocity vector upward will re-
duce  the  horizontal  component  of  the  initial  velocity.  Thus,
angling the end of the ski track upward at a large angle may ac-
tually reduce the distance. Consider the extreme case. The skier
is projected at 90° to the horizontal, and simply goes up and
comes back down at the end of the ski track! This argument
suggests that there must be an optimal angle between 0 and
90° that represents a balance between making the flight time
longer and the horizontal velocity component smaller.

4.4 Uniform Circular Motion

Figure 4.17a shows a car moving in a circular path with constant speed v. Such motion is
called 

uniform circular motion, and occurs in many situations. It is often surprising

to students to find that 

even though an object moves at a constant speed in a cir-

cular path, it still has an acceleration. To see why, consider the defining equation
for average acceleration, 

(Eq. 4.4).

Note that the acceleration depends on the change in the velocity vector. Because ve-

locity is a vector quantity, there are two ways in which an acceleration can occur, as
mentioned in Section 4.1: by a change in the magnitude of the velocity and/or by a
change in the direction of the velocity. The latter situation occurs for an object mov-
ing with constant speed in a circular path. The velocity vector is always tangent to the

a " !v/!t

▲

PITFALL PREVENTION

4.4 Acceleration of a

Particle in Uniform
Circular Motion

Remember  that  acceleration  in
physics is defined as a change in
the  velocity, not  a  change  in  the
speed (contrary to the everyday in-
terpretation). In circular motion,
the velocity vector is changing in
direction,  so  there  is  indeed  an
acceleration.

92

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

path of the object and perpendicular to the radius of the circular path. We now show
that  the  acceleration  vector  in  uniform  circular  motion  is  always  perpendicular  to
the  path  and  always  points  toward  the  center  of  the  circle.  An  acceleration  of  this
nature  is  called  a 

centripetal  acceleration  (centripetal means center-seeking), and its

magnitude is 

(4.15)

where r is the radius of the circle. The subscript on the acceleration symbol reminds us
that the acceleration is centripetal.

First note that the acceleration must be perpendicular to the path followed by the

object, which we will model as a particle. If this were not true, there would be a compo-
nent of the acceleration parallel to the path and, therefore, parallel to the velocity vec-
tor. Such an acceleration component would lead to a change in the speed of the parti-
cle along the path. But this is inconsistent with our setup of the situation—the particle
moves with constant speed along the path. Thus, for uniform circular motion, the accel-
eration vector can only have a component perpendicular to the path, which is toward
the center of the circle.

To derive Equation 4.15, consider the diagram of the position and velocity vectors

in Figure 4.17b. In addition, the figure shows the vector representing the change in po-
sition  !

r.  The  particle  follows  a  circular  path,  part  of  which  is  shown  by  the  dotted

curve. The particle is at ! at time t

i

, and its velocity at that time is 

v

i

; it is at " at some

later time t

f

, and its velocity at that time is 

v

f

. Let us also assume that 

v

i

and 

v

f

differ

only in direction; their magnitudes are the same (that is, v

i

"

v

f

"

v, because it is uni-

form circular motion). In order to calculate the acceleration of the particle, let us begin
with the defining equation for average acceleration (Eq. 4.4):

In Figure 4.17c, the velocity vectors in Figure 4.17b have been redrawn tail to tail.
The  vector  !

v connects  the  tips  of  the  vectors,  representing  the  vector  addition

v

f

"

v

i

& !

v. In both Figures 4.17b and 4.17c, we can identify triangles that help us

analyze the motion. The angle !' between the two position vectors in Figure 4.17b
is the same as the angle between the velocity vectors in Figure 4.17c, because the ve-
locity vector

v is always perpendicular to the position vector r. Thus, the two trian-

gles are similar. (Two triangles are similar if the angle between any two sides is the
same  for  both  triangles  and  if  the  ratio  of  the  lengths  of  these  sides  is  the  same.)
This enables us to write a relationship between the lengths of the sides for the two
triangles:

" !v "

v

"

" !r "

r

a ! 

v

f

#

v

i

t

f

#

t

i

"

!

v

!

t

a

c

"

v

2

r

(a)

v

r

O

(c)

∆v

∆

θ

θ

v

f

v

i

(b)

∆r

v

i

v

f

!

r

i

r

f

"

∆

θ

θ

Figure 4.17 (a) A car moving along a circular path at constant speed experiences uni-

form circular motion. (b) As a particle moves from ! to ", its velocity vector changes

from v

i

to v

f

. (c) The construction for determining the direction of the change in ve-

locity !v, which is toward the center of the circle for small !r.

Centripetal acceleration