Physics For Scientists And Engineers 6E - part 21

S E C T I O N   4 . 2 •  Two-Dimensional Motion with Constant Acceleration

81

where x, y, and 

r change with time as the particle moves while the unit vectors iˆ and jˆ

remain constant. If the position vector is known, the velocity of the particle can be ob-
tained from Equations 4.3 and 4.6, which give

(4.7)

Because 

a is assumed constant, its components a

x

and a

y

also are constants. Therefore,

we can apply the equations of kinematics to the x and y components of the velocity vec-
tor. Substituting, from Equation 2.9, v

xf

"

v

xi

&

a

x

t and v

yf

"

v

yi

&

a

y

t into Equation 4.7

to determine the final velocity at any time t, we obtain

(4.8)

This result states that the velocity of a particle at some time t equals the vector sum of
its initial velocity 

v

i

and the additional velocity 

at acquired at time t as a result of con-

stant acceleration. It is the vector version of Equation 2.9.

Similarly,  from  Equation  2.12  we  know  that  the  x and  y coordinates  of  a  particle

moving with constant acceleration are

Substituting  these  expressions  into  Equation  4.6  (and  labeling  the  final  position
vector

r

f

) gives

(4.9)

which  is  the  vector  version  of  Equation  2.12.  This  equation  tells  us  that  the  position
vector 

r

f

is the vector sum of the original position 

r

i

, a displacement 

v

i

t arising from

the initial velocity of the particle and a displacement 

at

2

resulting from the constant

acceleration of the particle.

Graphical representations of Equations 4.8 and 4.9 are shown in Figure 4.5. Note

from Figure 4.5a that 

v

f

is generally not along the direction of either 

v

i

or 

a because

the relationship between these quantities is a vector expression. For the same reason,

1

2

r

f 

"

r

i

&

v

i

t &

1

2

at

2

 " (x

i

iˆ & y

i 

jˆ) & (v

xi

iˆ & v

yi 

jˆ)t  &

1

2

(a

x

iˆ & a

y 

jˆ)t

2

r

f 

"

(x

i

&

v

xi

t &

1

2

a

x

t

2

)iˆ & (y

i

&

v

yi

t &

1

2

a

y

t

2

)jˆ

x

f

"

x

i

&

v

xi

t &

1

2

a

x

t

2

   

y

f

"

y

i

&

v

yi

t &

1

2

a

y

t

2

 v

f 

"

v

i

&

at

 " (v

xi

iˆ & v

yi

jˆ)& (a

x

iˆ & a

y

jˆ)t

v

f  

"

(v

xi

&

a

x

t)

iˆ & (v

yi

&

a

y

t)

jˆ

v "

dr

dt

"

dx

dt

iˆ &

dy

dt

 

jˆ " v

x 

iˆ & v

y

jˆ

y

x

a

y

t

v

yf

v

yi

v

f

v

i

at

v

xi

a

x

t

v

xf

(a)

y

x

y

f

y

i

r

f

v

i

t

v

xi

t

x

f

(b)

a

y

t

2

1

2

v

yi

t

r

i

at

2

1

2

a

x

t

2

1

2

x

i

Active Figure 4.5 Vector representations and components of (a) the velocity and (b) the posi-

tion of a particle moving with a constant acceleration a. 

Velocity vector as a function of

time

Position vector as a function of

time

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can investigate the effect of

different initial positions and

velocities on the final position

and velocity (for constant

acceleration).

82

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

Example 4.1 Motion in a Plane

A particle starts from the origin at t " 0 with an initial veloc-
ity  having  an  x component  of  20 m/s  and  a  y component
of # 15 m/s.  The  particle  moves  in  the  xy plane  with  an  x
component of acceleration only, given by a

x

"

4.0 m/s

2

.

(A)

Determine the components of the velocity vector at any

time and the total velocity vector at any time.

Solution After carefully reading the problem, we conceptu-
alize what is happening to the particle. The components of
the  initial  velocity  tell  us  that  the  particle  starts  by  moving
toward the right and downward. The x component of veloc-
ity  starts  at  20 m/s  and  increases  by  4.0 m/s  every  second.
The  y component  of  velocity  never  changes  from  its  initial
value  of # 15 m/s.  We  sketch  a  rough  motion  diagram  of
the situation in Figure 4.6. Because the particle is accelerat-
ing in the & x direction, its velocity component in this direc-
tion will increase, so that the path will curve as shown in the
diagram.  Note  that  the  spacing  between  successive  images
increases  as  time  goes  on  because  the  speed  is  increasing.
The  placement  of  the  acceleration  and  velocity  vectors  in
Figure 4.6 helps us to further conceptualize the situation.

Because  the  acceleration  is  constant,  we  categorize this

problem  as  one  involving  a  particle  moving  in  two  dimen-
sions with constant acceleration. To analyze such a problem,
we use the equations developed in this section. To begin the
mathematical  analysis,  we  set  v

xi

"

20 m/s,  v

yi

" #

15 m/s,

a

x

"

4.0 m/s

2

, and a

y

"

0.

Equations 4.8a give

(1)

v

xf

"

v

xi

&

a

x

t " (20 & 4.0t) m/s

(2)

v

yf

"

v

yi

&

a

y

t " #15 m/s & 0 " #15 m/s

Therefore 

We  could  also  obtain  this  result  using  Equation  4.8  di-

rectly, noting that 

a " 4.0iˆ m/s

2

and 

v

i

"

[20

iˆ # 15jˆ] m/s.

To finalize this part, notice that the x component of velocity
increases in time while the y component remains constant;
this is consistent with what we predicted.

(B)

Calculate  the  velocity  and  speed  of  the  particle  at

t " 5.0 s.

Solution With t " 5.0 s, the result from part (A) gives

This  result  tells  us  that  at  t " 5.0 s,  v

xf

"

40 m/s  and

v

yf

" #

15 m/s. Knowing these two components for this two-

dimensional motion, we can find both the direction and the
magnitude of the velocity vector. To determine the angle '
that 

v makes with the x axis at t " 5.0 s, we use the fact that

tan ' " v

yf

/v

xf

:

" 

where the negative sign indicates an angle of 21° below the
positive x axis. The speed is the magnitude of 

v

f

:

" 

To finalize this part, we notice that if we calculate v

i

from the

x and y components of 

v

i

, we find that v

f

(

v

i

. Is this con-

sistent with our prediction?

43 m/s

v

f

"

" v

f

" "

√

v

2

xf

&

v

2

yf

"

√

(40)

2

&

(#

 

15)

2

 m/s

#

 

21)

(3)

     

' "

tan

#

1

#

v

yf

v

xf

$

  " tan

#

1

#

#

15 m/s

40 m/s

$

(40

iˆ # 15jˆ) m/s

v

f

"

%(20 & 4.0(5.0))iˆ # 15jˆ&

 

m/s "

%(20 & 4.0t)iˆ # 15jˆ& m/s

v

f

"

v

xi

iˆ & v

yi

jˆ "

from Figure 4.5b we see that 

r

f

is generally not along the direction of 

v

i

or 

a. Finally,

note that 

v

f

and 

r

f

are generally not in the same direction.

Because Equations 4.8 and 4.9 are vector expressions, we may write them in compo-

nent form:

(4.8a)

(4.9a)

These components are illustrated in Figure 4.5. The component form of the equations
for 

v

f

and 

r

f

show us that two-dimensional motion at constant acceleration is equivalent

to two independent motions—one in the x direction and one in the y direction—having
constant accelerations a

x

and a

y

.

r

f

"

r

i

&

v

i

t &

1

2

at

2

 

'

x

f

"

x

i

&

v

xi

t &

1

2

a

x

t

2

 

y

f

"

y

i

&

v

yi

t &

1

2

a

y

t

2

v

f

"

v

i

&

at

 

'

v

xf

"

v

xi

&

a

x

t

v

yf

"

v

yi

&

a

y

t

x

y

Figure 4.6 (Example 4.1) Motion diagram for the particle.

S E C T I O N   4 . 3 •  Projectile Motion

83

(C)

Determine the x and y coordinates of the particle at any

time t and the position vector at this time.

Solution Because  x

i

"

y

i

"

0  at  t " 0,  Equation  4.9a  gives

Therefore, the position vector at any time t is

(Alternatively,  we  could  obtain 

r

f

by  applying  Equation  4.9

directly,  with 

v

f

"

(20

iˆ # 15jˆ) m/s  and  a " 4.0iˆ m/s

2

.  Try

it!) Thus, for example, at t " 5.0 s, x " 150 m, y " # 75 m,
and 

r

f

"

(150

iˆ # 75jˆ) m.  The  magnitude  of  the  displace-

ment of the particle from the origin at t " 5.0 s is the mag-
nitude of 

r

f

at this time:

Note that this is not the distance that the particle travels in this
time! Can you determine this distance from the available data?

r

f

"

" r

f

" "

√

(150)

2

&

(#75)

2

 

m " 170

 

m

%(20t & 2.0t

2

)

iˆ # 15t jˆ& m

(4)

   

r

f

"

x

f

iˆ & y

f

jˆ "

(#

 

15t)

  

m

y

f

"

v

yi

t "

(20t & 2.0t

2

) m

x

f

"

v

xi

t &

1

2

a

x

t

2

"

To  finalize this  problem,  let  us  consider  a  limiting  case

for very large values of t in the following 

What If?

What If?

What if we wait a very long time and then observe

the motion of the particle? How would we describe the mo-
tion of the particle for large values of the time?

Answer Looking at Figure 4.6, we see the path of the parti-
cle curving toward the x axis. There is no reason to assume
that this tendency will change, so this suggests that the path
will  become  more  and  more  parallel  to  the  x axis  as  time
grows  large.  Mathematically,  let  us  consider  Equations  (1)
and (2). These show that the y component of the velocity re-
mains constant while the x component grows linearly with t.
Thus, when t is very large, the x component of the velocity
will be much larger than the y component, suggesting that
the velocity vector becomes more and more parallel to the
x axis.

Equation  (3)  gives  the  angle  that  the  velocity  vector

makes with the x axis. Notice that ' : 0 as the denomina-
tor (v

xf

) becomes much larger than the numerator (v

yf

).

Despite the fact that the velocity vector becomes more and

more parallel to the x axis, the particle does not approach a
limiting value of y. Equation (4) shows that both x

f

and y

f

con-

tinue to grow with time, although x

f

grows much faster.

4.3 Projectile Motion

Anyone  who  has  observed  a  baseball  in  motion  has  observed  projectile  motion.  The
ball moves in a curved path, and its motion is simple to analyze if we make two assump-
tions:  (1)  the  free-fall  acceleration 

g is  constant  over  the  range  of  motion  and  is  di-

rected  downward,

1

and  (2)  the  effect  of  air  resistance  is  negligible.

2

With  these  as-

sumptions, we find that the path of a projectile, which we call its trajectory, is always a
parabola. 

We use these assumptions throughout this chapter.

To show that the trajectory of a projectile is a parabola, let us choose our reference

frame such that the y direction is vertical and positive is upward. Because air resistance
is neglected, we know that a

y

" #

g (as in one-dimensional free fall) and that a

x

"

0.

Furthermore, let us assume that at t " 0, the projectile leaves the origin (x

i

"

y

i

"

0)

with speed v

i

, as shown in Figure 4.7. The vector 

v

i

makes an angle '

i

with the horizon-

tal. From the definitions of the cosine and sine functions we have

Therefore, the initial x and y components of velocity are

(4.10)

Substituting the x component into Equation 4.9a with x

i

"

0 and a

x

"

0, we find that

(4.11)

x

f

"

v

xi

t " (v

i

 

 

cos '

i

)t

v

xi

"

v

i

 

  

cos '

i

   

v

yi

"

v

i

 

 

 

sin

  

'

i

cos '

i

"

v

xi

/v

i

   

sin '

i

"

v

yi

/v

i

1

This assumption is reasonable as long as the range of motion is small compared with the radius of

the Earth (6.4 * 10

6

m). In effect, this assumption is equivalent to assuming that the Earth is flat over

the range of motion considered.

2

This  assumption  is  generally  not justified,  especially  at  high  velocities.  In  addition,  any  spin

imparted to a projectile, such as that applied when a pitcher throws a curve ball, can give rise to some
very interesting effects associated with aerodynamic forces, which will be discussed in Chapter 14.

Assumptions of projectile

motion

84

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

x

v

xi

v

yi

v

v

xi

θ

v

y

v

g

v

xi

v

y

 = 0

v

xi

v

y

v

v

i

v

yi

v

xi

y

θ

θ

i

θ

θ

i

θ

!

"

#

$

%

Active Figure 4.7 The parabolic path of a projectile that leaves the origin with

a velocity v

i

. The velocity vector v changes with time in both magnitude and

direction. This change is the result of acceleration in the negative y direction.

The x component of velocity remains constant in time because there is no accel-

eration along the horizontal direction. The y component of velocity is zero at

the peak of the path.

A welder cuts holes through a heavy

metal construction beam with a hot

torch. The sparks generated in the

process follow parabolic paths. 

The T

elegraph Colour Library/Getty Images

Repeating with the y component and using y

i

"

0 and a

y

" #

g, we obtain

(4.12)

Next, from Equation 4.11 we find t " x

f

/(v

i

cos '

i

) and substitute this expression for t

into Equation 4.12; this gives

This  equation  is  valid  for  launch  angles  in  the  range  0 + '

i

+

,

/2.  We  have  left  the

subscripts off the x and y because the equation is valid for any point (x, y) along the
path of the projectile. The equation is of the form y " ax # bx

2

, which is the equation

of a parabola that passes through the origin. Thus, we have shown that the trajectory of
a projectile is a parabola. Note that the trajectory is completely specified if both the ini-
tial speed v

i

and the launch angle '

i

are known.

The vector expression for the position vector of the projectile as a function of time

follows directly from Equation 4.9, with 

a " g:

This expression is plotted in Figure 4.8, for a projectile launched from the origin, so
that 

r

i

"

0.

The final position of a particle can be considered to be the superposition of the ini-

tial position 

r

i

, the term 

v

i

t, which is the displacement if no acceleration were present,

and the term 

gt

2

that arises from the acceleration due to gravity. In other words, if

there were no gravitational acceleration, the particle would continue to move along a
straight path in the direction of 

v

i

. Therefore, the vertical distance 

gt

2

through which

the particle “falls” off the straight-line path is the same distance that a freely falling ob-
ject would fall during the same time interval. 

In  Section  4.2,  we  stated  that  two-dimensional  motion  with  constant  acceleration

can  be  analyzed  as  a  combination  of  two  independent  motions  in  the  x and  y direc-
tions,  with  accelerations  a

x

and  a

y

.  Projectile  motion  is  a  special  case  of  two-

dimensional  motion  with  constant  acceleration  and  can  be  handled  in  this  way,  with
zero acceleration in the x direction and a

y

" #

g in the y direction. Thus, 

when ana-

lyzing  projectile  motion,  consider  it  to  be  the  superposition  of  two  motions:

1

2

1

2

r

f

"

r

i

&

v

i

t &

1

2

gt

2

y " (tan '

i

)x #

#

g

2v

2

i

  

 

  

cos

2

 

 

'

i

$

x

2

y

f

"

v

yi

t &

1

2

a

y

t

2

"

(v

i

 

 

sin '

i

)t #

1

2

gt

2

▲

PITFALL PREVENTION

4.2 Acceleration at the

Highest Point

As discussed in Pitfall Prevention
2.8,  many  people  claim  that  the
acceleration  of  a  projectile  at
the  topmost  point  of  its  trajec-
tory  is  zero.  This  mistake  arises
from  confusion  between  zero
vertical velocity and zero acceler-
ation.  If  the  projectile  were  to
experience  zero  acceleration  at
the highest point, then its veloc-
ity  at  that  point  would  not
change—the  projectile  would
move  horizontally  at  constant
speed  from  then on!  This  does
not happen, because the acceler-
ation  is  NOT  zero  anywhere
along the trajectory.

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can change launch angle and

initial speed. You can also ob-

serve the changing compo-

nents of velocity along the tra-

jectory of the projectile.