Physics For Scientists And Engineers 6E - part 20

77

Motion in Two Dimensions

C H A P T E R   O U T L I N E

4.1 The Position, Velocity, and

Acceleration Vectors

4.2 Two-Dimensional Motion with

Constant Acceleration

4.3 Projectile Motion

4.4 Uniform Circular Motion

4.5 Tangential and Radial

Acceleration

4.6 Relative Velocity and Relative

Acceleration

▲

Lava spews from a volcanic eruption. Notice the parabolic paths of embers projected into

the air. We will find in this chapter that all projectiles follow a parabolic path in the absence
of air resistance. (© Arndt/Premium Stock/PictureQuest)

Chapter 4

I

n this chapter we explore the kinematics of a particle moving in two dimensions. Know-

ing the basics of two-dimensional motion will allow us to examine—in future chapters—a
wide variety of motions, ranging from the motion of satellites in orbit to the motion of
electrons  in  a  uniform  electric  field.  We  begin  by  studying  in  greater  detail  the  vector
nature of position, velocity, and acceleration. As in the case of one-dimensional motion,
we  derive  the  kinematic  equations  for  two-dimensional  motion  from  the  fundamental
definitions of these three quantities. We then treat projectile motion and uniform circular
motion  as  special  cases  of  motion  in  two  dimensions.  We  also  discuss  the  concept  of
relative motion, which shows why observers in different frames of reference may measure
different positions, velocities, and accelerations for a given particle.

4.1 The Position, Velocity, and 

Acceleration Vectors

In  Chapter  2  we  found  that  the  motion  of  a  particle  moving  along  a  straight  line  is
completely known if its position is known as a function of time. Now let us extend this
idea to motion in the xy plane. We begin by describing the position of a particle by its
position vector r, drawn from the origin of some coordinate system to the particle lo-
cated in the xy plane, as in Figure 4.1. At time t

i

the particle is at point !, described by

position vector 

r

i

. At some later time t

f

it is at point ", described by position vector 

r

f

.

The path from ! to " is not necessarily a straight line. As the particle moves from !
to " in the time interval !t " t

f

#

t

i

, its position vector changes from 

r

i

to 

r

f

. As we

learned in Chapter 2, displacement is a vector, and the displacement of the particle is
the difference between its final position and its initial position. We now define the 

dis-

placement vector !r for the particle of Figure 4.1 as being the difference between its
final position vector and its initial position vector:

(4.1)

The direction of !

r is indicated in Figure 4.1. As we see from the figure, the magnitude of

!

r is less than the distance traveled along the curved path followed by the particle.

As we saw in Chapter 2, it is often useful to quantify motion by looking at the ratio

of a displacement divided by the time interval during which that displacement occurs,
which gives the rate of change of position. In two-dimensional (or three-dimensional)
kinematics,  everything  is  the  same  as  in  one-dimensional  kinematics  except  that  we
must  now  use  full  vector  notation  rather  than  positive  and  negative  signs  to  indicate
the direction of motion.

We define the 

average velocity of a particle during the time interval !t as the dis-

placement of the particle divided by the time interval:

(4.2)

v ! 

!

r

!

t

!

r ! 

 

r

f

#

r

i

Path of

particle

x

y

!

 t

i

r

i

∆r

"

 t

f

r

f

O

Figure 4.1 A particle moving in

the xy plane is located with the posi-

tion vector r drawn from the origin

to the particle. The displacement of

the particle as it moves from ! to
"

in the time interval !t " t

f

#

t

i

is

equal to the vector !r " r

f

#

r

i

.

Displacement vector

Average velocity

78

S E C T I O N   4 . 1 •  The Position, Velocity, and Acceleration Vectors

79

Multiplying  or  dividing  a  vector  quantity  by  a  positive  scalar  quantity  such  as  !t
changes only the magnitude of the vector, not its direction. Because displacement is a
vector quantity and the time interval is a positive scalar quantity, we conclude that the
average velocity is a vector quantity directed along !

r.

Note that the average velocity between points is independent of the path taken. This is

because average velocity is proportional to displacement, which depends only on the
initial and final position vectors and not on the path taken. As with one-dimensional
motion,  we  conclude  that  if  a  particle  starts  its  motion  at  some  point  and  returns  to
this point via any path, its average velocity is zero for this trip because its displacement
is  zero.  Figure  4.2  suggests  such  a  situation  in  a  baseball  park.  When  a  batter  hits  a
home run, he runs around the bases and returns to home plate. Thus, his average ve-
locity is zero during this trip. His average speed, however, is not zero.

Consider  again  the  motion  of  a  particle  between  two  points  in  the  xy plane,  as

shown in Figure 4.3. As the time interval over which we observe the motion becomes
smaller and smaller, the direction of the displacement approaches that of the line tan-
gent to the path at !. The 

instantaneous velocity v is defined as the limit of the aver-

age velocity !

r/!t as !t approaches zero:

(4.3)

That is, the instantaneous velocity equals the derivative of the position vector with

respect to time. The direction of the instantaneous velocity vector at any point in a par-
ticle’s  path  is  along  a  line  tangent  to  the  path  at  that  point  and  in  the  direction  of 
motion.

The  magnitude  of  the  instantaneous  velocity  vector  v "

" v " is  called  the  speed,

which is a scalar quantity.

As a particle moves from one point to another along some path, its instantaneous

velocity vector changes from 

v

i

at time t

i

to 

v

f

at time t

f

. Knowing the velocity at these

points  allows  us  to  determine  the  average  acceleration  of  the  particle—the 

average

acceleration  of a particle as it moves is defined as the change in the instantaneous
velocity vector !

v divided by the time interval !t during which that change occurs:

(4.4)

a

 ! 

v

f

#

v

i

t

f

#

t

i

"

!

v

!

t

a

v 

!  lim

!

t : 0

 

!

r

!

t

"

dr

dt

Figure 4.2 Bird’s-eye view of a baseball dia-

mond. A batter who hits a home run travels

around the bases, ending up where he began.

Thus, his average velocity for the entire trip is

zero. His average speed, however, is not zero

and is equal to the distance around the bases

divided by the time interval during which he

runs around the bases.

Mark C. Burnett/Photo Researchers, Inc.

Direction of v at 

!

O

y

x

!

∆r

3

∆r

2

∆r

1

"

"

"

'

"

Figure 4.3 As a particle moves be-

tween two points, its average veloc-

ity is in the direction of the dis-

placement vector !r. As the end

point of the path is moved from "

to "$ to "%, the respective dis-

placements and corresponding

time intervals become smaller and

smaller. In the limit that the end

point approaches !, !t approaches

zero, and the direction of !r ap-

proaches that of the line tangent to

the curve at !. By definition, the

instantaneous velocity at ! is 

directed along this tangent line.

80

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

Because is the ratio of a vector quantity !

v and a positive scalar quantity !t, we con-

clude that average acceleration is a vector quantity directed along !

v. As indicated in

Figure 4.4, the direction of !

v is found by adding the vector # v

i

(the negative of 

v

i

) to

the vector 

v

f

, because by definition !

v " v

f

#

v

i

.

When  the  average  acceleration  of  a  particle  changes  during  different  time  inter-

vals, it is useful to define its instantaneous acceleration. The 

instantaneous accelera-

tion a is defined as the limiting value of the ratio !v/!t as !t approaches zero:

(4.5)

In other words, the instantaneous acceleration equals the derivative of the velocity vec-
tor with respect to time.

It is important to recognize that various changes can occur when a particle

accelerates. First, the magnitude of the velocity vector (the speed) may change
with time as in straight-line (one-dimensional) motion. Second, the direction of
the velocity vector may change with time even if its magnitude (speed) remains
constant, as in curved-path (two-dimensional) motion. Finally, both the magni-
tude and the direction of the velocity vector may change simultaneously.

a 

!  lim

!

t : 0

 

!

v

!

t

"

d v

dt

a

Instantaneous acceleration

Quick  Quiz  4.1

Which  of  the  following  cannot  possibly be  accelerating?

(a) An  object  moving  with  a  constant  speed  (b)  An  object  moving  with  a  constant
velocity (c) An object moving along a curve.

Quick Quiz 4.2

Consider the following controls in an automobile: gas pedal,

brake, steering wheel. The controls in this list that cause an acceleration of the car are
(a) all three controls (b) the gas pedal and the brake (c) only the brake (d) only the
gas pedal.

x

y

O

!

v

i

r

i

r

f

v

f

"

–v

i

∆v

v

f

or

v

i

∆v

v

f

Figure 4.4 A particle moves

from position ! to position ".

Its velocity vector changes from

v

i

to v

f

. The vector diagrams at

the upper right show two ways of

determining the vector !v from

the initial and final velocities.

4.2 Two-Dimensional Motion with 

Constant Acceleration

In  Section  2.5,  we  investigated  one-dimensional  motion  in  which  the  acceleration  is
constant because this type of motion is common. Let us consider now two-dimensional
motion during which the acceleration remains constant in both magnitude and direc-
tion. This will also be useful for analyzing some common types of motion.

The position vector for a particle moving in the xy plane can be written

(4.6)

 r " x iˆ & yjˆ

▲

PITFALL PREVENTION

4.1 Vector Addition

While  the  vector  addition  dis-
cussed  in  Chapter  3  involves  dis-
placement vectors,  vector  addition
can  be  applied  to  any type  of 
vector  quantity.  Figure  4.4,  for 
example,  shows  the  addition  of
velocity vectors  using  the  graphi-
cal approach.