Physics For Scientists And Engineers 6E - part 24

S E C T I O N   4 . 4 •  Uniform Circular Motion

93

where v " v

i

"

v

f

and r " r

i

"

r

f

. This equation can be solved for 

"!v" and the expres-

sion so obtained can be substituted into 

to give the magnitude of the aver-

age acceleration over the time interval for the particle to move from ! to ":

Now imagine that points ! and " in Figure 4.17b become extremely close together.

As ! and " approach each other, !t approaches zero, and the ratio 

"!r"/!t approaches

the speed v. In addition, the average acceleration becomes the instantaneous accelera-
tion at point !. Hence, in the limit !t : 0, the magnitude of the acceleration is

Thus, in uniform circular motion the acceleration is directed inward toward the center
of the circle and has magnitude v

2

/r.

In many situations it is convenient to describe the motion of a particle moving with

constant speed in a circle of radius r in terms of the 

period T, which is defined as the

time required for one complete revolution. In the time interval T the particle moves a
distance  of  2,

r, which  is  equal  to  the  circumference  of  the  particle’s  circular  path.

Therefore, because its speed is equal to the circumference of the circular path divided
by the period, or v " 2,r/T, it follows that

(4.16)

T 

! 

2,r

v

a

c

"

v

2

r

" a " "

" !v "

!

t

"

v

r

 

" !r "

!

t

a " !v/!t

Quick Quiz 4.7

Which of the following correctly describes the centripetal ac-

celeration vector for a particle moving in a circular path? (a) constant and always per-
pendicular to the velocity vector for the particle (b) constant and always parallel to the
velocity vector for the particle (c) of constant magnitude and always perpendicular to
the velocity vector for the particle (d) of constant magnitude and always parallel to the
velocity vector for the particle.

Quick Quiz 4.8

A particle moves in a circular path of radius r with speed v. It

then  increases  its  speed  to  2v while  traveling  along  the  same  circular  path.  The  cen-
tripetal  acceleration  of  the  particle  has  changed  by  a  factor  of  (a)  0.25  (b)  0.5  (c)  2
(d) 4 (e) impossible to determine

Example 4.8 The Centripetal Acceleration of the Earth

What is the centripetal acceleration of the Earth as it moves
in its orbit around the Sun?

Solution We  conceptualize this  problem  by  bringing  forth
our  familiar  mental  image  of  the  Earth  in  a  circular  orbit
around the Sun. We will simplify the problem by modeling
the Earth as a particle and approximating the Earth’s orbit
as circular (it’s actually slightly elliptical). This allows us to
categorize this problem as that of a particle in uniform circu-
lar motion. When we begin to analyze this problem, we real-
ize  that  we  do  not  know  the  orbital  speed  of  the  Earth  in
Equation 4.15. With the help of Equation 4.16, however, we
can  recast  Equation  4.15  in  terms  of  the  period  of  the
Earth’s orbit, which we know is one year: 

To finalize this problem, note that this acceleration is much
smaller than the free-fall acceleration on the surface of the
Earth. An important thing we learned here is the technique
of  replacing  the  speed  v in  terms  of  the  period  T of  the
motion.

"

  5.93 * 10

#

3 

m/s

2

"

4,

2

(1.496 * 10

11 

m)

(1 yr)

2

 

 

#

1 yr

3.156 * 10

7

 s

$

2

a

c

"

v

2

r

"

#

2,r

T

$

2

r

"

4,

2

r

T

2

▲

PITFALL PREVENTION

4.5 Centripetal

Acceleration is not
Constant

We derived the magnitude of the
centripetal  acceleration  vector
and  found  it  to  be  constant  for
uniform  circular  motion.  But  the
centripetal  acceleration  vector  is  not
constant.  It  always  points  toward
the center of the circle, but con-
tinuously  changes  direction  as
the  object  moves  around  the  cir-
cular path.

Period of circular motion

94

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

4.5 Tangential and Radial Acceleration

Let us consider the motion of a particle along a smooth curved path where the velocity
changes both in direction and in magnitude, as described in Figure 4.18. In this situa-
tion, the velocity vector is always tangent to the path; however, the acceleration vector 

a

is at some angle to the path. At each of three points !, ", and # in Figure 4.18, we
draw dashed circles that represent a portion of the actual path at each point. The ra-
dius of the circles is equal to the radius of curvature of the path at each point.

As the particle moves along the curved path in Figure 4.18, the direction of the to-

tal acceleration vector 

a changes from point to point. This vector can be resolved into

two components, based on an origin at the center of the dashed circle: a radial compo-
nent a

r

along the radius of the model circle, and a tangential component a

t

perpendic-

ular to this radius. The total acceleration vector 

a can be written as the vector sum of

the component vectors:

(4.17)

The  tangential  acceleration  component  causes  the  change  in  the  speed  of  the
particle. This component is parallel to the instantaneous velocity, and is given by

(4.18)

The radial acceleration component arises from the change in direction of the ve-
locity vector and is given by

(4.19)

where r is the radius of curvature of the path at the point in question. We recognize the
radial component of the acceleration as the centripetal acceleration discussed in Section
4.4. The negative sign indicates that the direction of the centripetal acceleration is toward
the center of the circle representing the radius of curvature, which is opposite the direc-
tion of the radial unit vector ˆ

r, which always points away from the center of the circle.

Because 

a

r

and 

a

t

are  perpendicular  component  vectors  of 

a,  it  follows 

that  the  magnitude  of 

a is 

.  At  a  given  speed,  a

r

is  large  when 

the radius of curvature is small (as at points ! and " in Fig. 4.18) and small when r is
large (such as at point #). The direction of 

a

t

is either in the same direction as 

v (if v

is increasing) or opposite 

v (if v is decreasing).

In uniform circular motion, where v is constant, a

t

"

0 and the acceleration is al-

ways completely radial, as we described in Section 4.4. In other words, uniform circular
motion is a special case of motion along a general curved path. Furthermore, if the di-
rection of 

v does not change, then there is no radial acceleration and the motion is

one-dimensional (in this case, a

r

"

0, but a

t

may not be zero).

a "

√

a

r

 

2

&

a

2

t   

a

r

" #

a

c

" #

v

2

r

a

t

"

d

 

" v "

dt

a " a

r

&

a

t

Path of

particle

a

t

a

r

a

a

t

a

r

a

!

"

#

a

t

a

r

a

Active Figure 4.18 The motion of a particle along an arbitrary curved path lying in

the xy plane. If the velocity vector v (always tangent to the path) changes in direction

and magnitude, the components of the acceleration a are a tangential component a

t

and a radial component a

r

.

Total acceleration

Tangential acceleration

Radial acceleration

At the Active Figures link

at http://www.pse6.com, you

can study the acceleration

components of a roller coaster

car.

S E C T I O N   4 . 5 •  Tangential and Radial Acceleration

95

Quick Quiz 4.9

A particle moves along a path and its speed increases with

time. In which of the following cases are its acceleration and velocity vectors parallel?
(a) the path is circular (b) the path is straight (c) the path is a parabola (d) never.

Quick Quiz 4.10

A particle moves along a path and its speed increases with

time. In which of the following cases are its acceleration and velocity vectors perpendic-
ular everywhere along the path? (a) the path is circular (b) the path is straight (c) the
path is a parabola (d) never.

ˆ

ˆ

θ

x

y

O

r

r

(a)

O

(b)

a

r

a

a

t

a  =  a

r

  +  a

t

"

Figure 4.19 (a) Descriptions of the unit vectors

ˆr 

and

ˆ"

. (b) The total acceleration a of

a particle moving along a curved path (which at any instant is part of a circle of radius r)

is the sum of radial and tangential component vectors. The radial component vector is

directed toward the center of curvature. If the tangential component of acceleration 

becomes zero, the particle follows uniform circular motion.

Example 4.9 Over the Rise

A car exhibits a constant acceleration of 0.300 m/s

2

parallel

to  the  roadway.  The  car  passes  over  a  rise  in  the  roadway
such that the top of the rise is shaped like a circle of radius
500 m. At the moment the car is at the top of the rise, its ve-
locity vector is horizontal and has a magnitude of 6.00 m/s.
What is the direction of the total acceleration vector for the
car at this instant?

Solution Conceptualize the situation using Figure 4.20a. Be-
cause the car is moving along a curved path, we can catego-

rize this as a problem involving a particle experiencing both
tangential  and  radial  acceleration.  Now  we  recognize  that
this is a relatively simple plug-in problem. The radial accel-
eration  is  given  by  Equation  4.19.  With  v " 6.00 m/s  and
r " 500 m, we find that

The radial acceleration vector is directed straight downward

#

0.072

 

0 m/s

2

a

r

" #

v

2

r

" #

(6.00 m/s)

2

500 m

"

It  is  convenient  to  write  the  acceleration  of  a  particle  moving  in  a  circular  path

in terms  of  unit  vectors.  We  do  this  by  defining  the  unit  vectors ˆ

r  and ˆ" shown  in

Figure 4.19a, where ˆ

r is a unit vector lying along the radius vector and directed radially

outward from the center of the circle and ˆ" is a unit vector tangent to the circle. The di-
rection  of ˆ" is  in  the  direction  of  increasing  ',  where  ' is  measured  counterclockwise
from the positive x axis. Note that both ˆ

r and ˆ" “move along with the particle” and so

vary in time. Using this notation, we can express the total acceleration as

(4.20)

These vectors are described in Figure 4.19b. 

a " a

t

&

a

r

"

d

 

" v "

dt

 "ˆ #

v

2

r

 rˆ

96

C H A P T E R   4 •  Motion in Two Dimensions

4.6 Relative Velocity and Relative Acceleration

In this section, we describe how observations made by different observers in different
frames  of  reference  are  related  to  each  other.  We  find  that  observers  in  different
frames of reference may measure different positions, velocities, and accelerations for a
given  particle.  That  is,  two  observers  moving  relative  to  each  other  generally  do  not
agree on the outcome of a measurement.

As an example, consider two observers watching a man walking on a moving belt-

way at an airport in Figure 4.21. The woman standing on the moving beltway will see
the man moving at a normal walking speed. The woman observing from the stationary
floor  will  see  the  man  moving  with  a  higher  speed,  because  the  beltway  speed  com-
bines with his walking speed. Both observers look at the same man and arrive at differ-
ent values for his speed. Both are correct; the difference in their measurements is due
to the relative velocity of their frames of reference.

Suppose a person riding on a skateboard (observer A) throws a ball in such a way

that  it  appears  in  this  person’s  frame  of  reference  to  move  first  straight  upward  and

while  the  tangential  acceleration  vector  has  magnitude
0.300 m/s

2

and is horizontal. Because 

a " a

r

&

a

t

, the mag-

nitude of 

a is

"

0.309 m/s

2

a "

√

a

2

r  

&

  

a

2

t

"

√

(#0.072

 

0)

2

&

(0.300)

2

 

 

m/s

2

If . is the angle between 

a and the horizontal, then

This angle is measured downward from the horizontal. (See
Figure 4.20b.)

#

13.5°

. "

tan

#

1

a

r

a

t

"

tan

#

1

#

#

0.072

 

0 m/s

2

0.300 m/s

2

$

"

a

t

 = 0.300 m/s

2

a

t

v

v = 6.00 m/s

φ

a

r

a

t

a

(b)

(a)

Figure 4.20 (Example 4.9) (a) A car passes over a rise that is shaped like a circle.

(b) The total acceleration vector a is the sum of the tangential and radial acceleration

vectors a

t

and a

r

.

Figure 4.21 Two observers measure the speed of a man walking on a moving beltway.

The woman standing on the beltway sees the man moving with a slower speed than the

woman observing from the stationary floor.