ГКИНП-13. ИНСТРУКЦИЯ ПО ВЫЧИСЛЕНИЮ НИВЕЛИРОВОК - часть 12

 

44 

 

После считки всех данных таблицы коэффициентов условных уравнений первой и 

второй руки один из вычислителей составляет и решает нормальные уравнения. 

Общий вид нормальных уравнений применительно к примеру  

 

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

1

2

3

4

1

0,

qaa k

qab k

qac k

qad k

W

+

+

+

+

=

 

 

[ ]

[ ]

[ ]

[

]

1

2

3

4

2

0,

qab k

qbb k

qbc k

qbd k

W

+

+

+

+

=

 

 

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

1

2

3

4

3

0,

qac k

qbc k

qcc k

qcd k

W

+

+

+

+

=

 

 

[

]

[

]

[ ]

[

]

1

2

3

4

4

0.

qad k

qbd k

qcd k

qdd k

W

+

+

+

+

=

 

 

Коэффициенты  нормальных  уравнений  вычисляют  с  точностью  до  0,01. 

Коррелаты  вычисляют  с  точностью  до  0,001,  а  в  таблицу  условных  уравнений 

выписывают с точностью до 0,01. 

Вычисленные  коэффициенты  нормальных  уравнений  контролируют  сравнением 

сумм  S"  всех  коэффициентов  каждого  нормального  уравнения  со  значениями 

коэффициентов 

 

[

] [

] [

] [

]

,...

,

,

,

S

qd

S

qc

S

qb

S

qa

′

′

′

′

 

непосредственно вычисленными. 

Для  контроля  решения  нормальных  уравнений  образуют  сумму  S  =  S" + W  и 

записывают в графу S, а в графу «Контроль» - сумму, полученную из вычислений. 

Решение нормальных уравнений выполняют по схеме Гаусса. 

Расхождение фактической суммы с контрольной не должно превышать величины, 

вычисляемой по формуле 

 

,

2 n

S

=

∆

 

 

где 

S

∆

- 

разность фактической и контрольной сумм, выраженная в единицах последнего 

знака; п- число слагаемых. 

Контролем правильности решения нормальных уравнений служит равенство [kS"] = - [W], 

которое должно соблюдаться с точностью 

n

1

,

0

, 

где п — число уравнений. 

В табл. 11 приведен пример составления и решения нормальных уравнений. 

После  решения  нормальных  уравнений  и  нахождения  коррелат  определяют 

значения искомых поправок Vi в превышения ходов по формуле 

 

.

4

3

2

1

k

d

q

k

c

q

k

b

q

k

a

q

V

i

i

i

i

i

i

i

i

i

+

+

+

=

 

Вычисление   поправок   производят   в   таблице коэффициентов условных уравнений. 

Полученные  значения      поправок      записывают      в      колонку  V  в  строках, 

соответствующих номерам ходов. 

Правильность вычисления поправок проверяют или подстановкой их в условные 

уравнения 

[ ]

1

W

aV

=

−

; 

[ ]

;

2

W

bV

=

−

 

[ ]

;

3

W

cV

=

−

[ ]

,

4

W

dV

=

−

 

или сравнением величин [PV

2

] 

и - [kW], разность которых не должна превышать 

[ ]

.

1

,

0

2

PV

 

После  контроля  вычисления  поправок  их  выписывают  на  схему  над 

превышениями и там же вычисляют и записывают уравненные высоты узловых точек. 

Вычислив  и  считав  полученные высоты  узловых  точек,  производят уравнивание 

отдельных ходов в соответствии с указаниями § 89. 

Среднюю квадратическую ошибку единицы веса вычисляют по формуле 

 

 

 

 

45 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Таблица 11 

 

Составление и решение нормальных уравнений 

 

k

1

 

k

2

 

k

3

 

k

4

 

S" 

W 

S 

Контроль 

+2,94 

-0,68 

 

 

+2,26 

-78,0 

-75,74 

-75,74 

-1,000 

+0,231 

 

 

 

+26,531 

+25,762 

+25,762 

+20,083 

 

 

 

 

 

 

 

 

+2,69 

-0,08 

 

+1,93 

+90,00 

+91,93 

+91,93 

 

+2,53 

-0,08 

 

 

+71,98 

+74,43 

+74,43 

 

-1,000 

+0,032 

 

 

-28,451 

-29,419 

-29,419 

 

-27,915 

 

 

 

 

 

 

 

 

+0,41 

-0,08 

+0,25 

-10,00 

-9,75 

-9,75 

 

 

+0,41 

-0,08 

 

-7,70 

-7,37 

-7,37 

 

 

-1,000 

+0,195 

 

+18,780 

+17,975 

+17,976 

 

 

+16,739 

 

 

 

 

 

 

 

 

+1,31 

+1,23 

+15,00 

+16,23 

16,23 

 

 

 

+1,29 

 

+13,50 

+14,79 

+14,79 

 

 

 

-1,000 

 

-10,465 

-11,465 

-11,465 

 

 

 

-10,465 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Контроль 

[ ]

2

,

17

−

=

′′

S

k

 

          

[ ]

W

−

    =  -17,0 

 

 

[ ]

,

2

r

PV

=

µ

 

 

где r — число условных уравнений. 

Дальнейшую оценку точности выполняют в соответствии с указаниями § 99. 

9.  ПОЛИГОННЫЕ УСЛОВИЯ 

§ 102. При уравнивании систем линий, когда веса линий можно определять по формуле 

L

P

1

=  (L — 

длина линии в километрах), объем вычислительных работ может быть значительно 

уменьшен благодаря применению правил, предложенных проф. В. В. Поповым *. 

Сущность этих правил заключается в том, что составление нормальных уравнений для 

полигонов и составление уравнений поправок можно выполнить непосредственно по чертежу. 

Порядок действий при уравнивании нивелирной сети с учетом предложений В. В. 

Попова следующий: 

- 

составляют схему уравнивания; 

- 

по  схеме  сети  составляют  нормальные  уравнения  коррелат  и 

решаются эти уравнения; 

- 

по  схеме  сети  составляют  уравнения  поправок;    производят 

вычисления поправок в превышения и оценку точности; 

- 

вычисляют вероятнейшие значения высот узловых точек; 

- 

уравнивают  отдельные  линии  и  вычисляют  высоты  промежуточных  знаков  в 

соответствии с указаниями § 89. 
___________________________________ 

 

* 

Проф. В. В.  Попов.  Уравновешивание  полигонов.  М.,  Геодезиздат,  1952. 

 

46 

Схему  сети  составляют  в  соответствии  с  указаниями  §  96,  но  дополнительно  на 

ней  римскими  цифрами  нумеруют  полигоны  и  стрелкой  указывают  направление  при 

вычислении невязки. 

По  схеме  сети  по  правилам  В.  В.  Попова  составляют  нормальные  уравнения. 

Число нормальных уравнений определяют в соответствии с указаниями § 101. 

Правила проф. В. В. Попова формулируются следующим образом: 
1. 

Каждому    полигону      приписывается      своя      коррелата,    номер  которой 

соответствует номеру полигона. 

2. 

В  нормальное  уравнение  данного  полигона  входит  столько  коррелат,  со 

сколькими полигонами он имеет общие ходы, плюс коррелаты этого полигона. 

3. 

Квадратичный  коэффициент  нормального  уравнения  коррелат  данного 

полигона  равен сумме обратных весов входящих в него ходов (т. е. периметру полигона, 

так как за вес хода берется величина, обратно пропорциональная длине хода). 

В уравнение этот коэффициент входит с коррелатой данного полигона. 
4. 

Неквадратичные  коэффициенты  нормального  уравнения  коррелат  входят  с 

коррелатами  полигонов,  смежных  данному.  Величина  неквадратичного  коэффициента 

равна  обратному  весу  хода  (или  сумме  обратных  весов  ходов),  входящего  в  полигон, 

смежный  с  данным.  Он  будет  иметь  знак  плюс,  если  направление  этого    хода    в  двух  

смежных  полигонах   одинаковое,   и знак  минус в противном случае. 

5. 

Поправка  в  превышение  по  данному  ходу  равна  его  обратному  весу, 

умноженному  на  алгебраическую  сумму  коррелат  полигонов,  для  которых  этот  ход 

является  общим.  Если  направление  хода  и  полигона  совпадают,  коррелата  берется  со 

знаком плюс, в противном случае — со знаком минус. 

Применение изложенных правил сделано к нивелирной сети, изображенной на рис. 8. 

В  этой  сети  два  замкнутых  полигона  и  исходных  репера,  поэтому  нормальных 

уравнений три. 

 

(

)

,

0

1

2

2

1

2

1

=

+

−

+

W

k

q

k

q

q

 

 

(

)

,

0

2

2

3

2

1

2

=

+

+

+

−

W

k

q

q

k

q

 

 

.

0

3

3

4

=

+ W

k

q

 

 

С учетом цифровых данных имеем 

 

,

0

16

6

32

2

1

=

−

− k

k

 

 

,

0

8

11

6

2

1

=

−

+

−

k

k

 

 

.

0

11

12

3

=

+

k

 

 

Решив систему, получим 

 

;

704

,

0

1

+

=

k

  

;

114

,

1

2

+

=

k

    

.

918

,

0

3

−

=

k

 

Поправки в превышения вычисляют по формулам  

 

(

)

,

3

,

18

704

,

0

26

1

1

1

мм

k

q

V

−

=

−

=

−

=

 

 

(

) (

)

,

5

,

2

114

,

1

704

,

6

2

1

2

2

мм

k

k

q

V

−

=

−

=

−

=

 

 

(

)

,

6

,

5

114

,

1

5

2

3

3

мм

k

q

V

+

=

=

=

 

 

(

)

.

0

,

11

918

,

0

12

3

4

4

мм

k

q

V

−

=

−

=

=

 

Контролем вычисления поправок и уравнивания является повторное определение 

невязок полигонов по уравненным превышениям. 

Средняя квадратическая ошибка единицы веса 

 

 

47 

[ ]

,

2

r

PV

=

µ

 

 

где  r - число условий. 
 

 

 
 

 
 
 

Средняя  квадратическая  ошибка  нивелирования  на  1  км  хода  должна  вычисляться  по 

формуле 

 

,

c

m

µ

±

=

 

 

В примере 

µ

=

m

, так как 

.

L

I

P

=