КОМПАС-3D для студентов и школьников. Черчение, информатика, геометрия

Глава 11. Решения планиметрических задач с помощью двумерного редактора

179

Рис. 11.7. Определение периметра Р треугольника АВС с медианой AK = 20 мм, при:

а — АВ = 30 мм, BK = 16 мм; б — ВС = 35 мм, высоте АР = 15 мм;

в — ВС = 32 мм, АВ = 16 мм

11.

2. Примеры по разным темам

с решениями

Пример 11.8
Условие. Две окружности, диаметры которых равны 30 и 20 мм, имеют внут-
реннее касание в точке А (рис. 11.8, а). Найти диаметр третьей окружности,
касающейся двух и их общего диаметра.
Решение.  Вначале  необходимо  построить  две  окружности  заданных  диа-
метров  и  отрезок,  проходящий  через  их  центры.  Затем  необходимо  вызвать
команду  Окружность,  касательная  к  трем  кривым,  построить  третью
окружность и измерить ее диаметр.

Пример 11.9
Условие. В прямоугольном треугольнике ABC, гипотенуза АВ которого равна
30 мм, проведены медианы АМ и ВN (рис. 11.8, б). Известно, около четырех-
угольника ABMN можно описать окружность. Найти ее диаметр.

Рис. 11.8. Построения и измерения: а — примера 11.8; б — примера 11.9

Решение. Вначале строится отрезок АВ заданной длины. Затем из точек А и В
проводятся два отрезка под углами 135° и 45° и с использованием команды

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

180

Выровнять по границе определяется точка С. При включенной привязке
Середина несложно провести медианы АМ и ВN. На заключительном этапе
проводится Окружность по трем точкам и определяется ее диаметр.

Пример 11.10
Условие. Точка K лежит на продолжении стороны AD ромба ADCD за точку
D, Е — точка пересечения АС и BK (рис. 11.9), AK = 70 мм, точки А, В и Е
лежат на окружности диаметра 60 мм, центр которой принадлежит отрезку
AK. Найти длину отрезка BK.

Рис. 11.9. Этапы решения примера 11.10

Решение. В данном примере графическое решение получается в результате
построения параметрических изображений. Рассмотрим этапы решения при-
мера, показанные на рис. 11.10:



а — строится окружность и отрезок заданных размеров. Положение окруж-
ности фиксируется привязками к взаимно перпендикулярным отрезкам;



б — из точки D проводится дуга с центром в точке А;



в — точка дуги В привязкой Точка на кривой перемещается на окруж-
ность. Концы отрезков из точек А и K совмещаются с точкой В. В резуль-
тате точка В может перемещаться по окружности, при этом длины отрез-
ков АВ и KB будут изменяться;



г — проводится отрезок DC, параллельный и равный отрезку АВ. Точки
пересечения отрезков BK и АС с окружностью еще не совпадают;



д — точки пересечения отрезков BK и АС с окружностью объединяются
в точке Е, за счет изменения геометрии изображения на рис. 11.10, г. Из-
меряется длина отрезка BK = 35 мм.

Пример 11.11
Условие. Трапеция AEFG с основаниями ЕF и AG расположена в квадрате
ABCD со стороной 14 так, что точки E, F и G лежат на сторонах AB, BC и CD

Глава 11. Решения планиметрических задач с помощью двумерного редактора

181

соответственно (рис. 11.10). Диагонали АF и EG перпендикулярны, а
EG =

. Найти периметр трапеции.

Рис. 11.10. Построения и измерения примера 11.11:

а — форма искомой трапеции;

б — построение боковых сторон;

в — измерение длин сторон трапеции

Решение. На рис. 11.10, а показано, что трапеция с взаимно перпендикуляр-
ными диагоналями имеет равные по длине боковые стороны, а точка пересе-
чения  диагоналей  располагается  на  отрезке,  соединяющем  середины  парал-
лельных  сторон  трапеции.  На  рис. 11.10, б  выполнены  построения  по
размерам стороны АF и стороны EG, которая симметрична AF относительно
отрезка BD, с помощью команды Симметрия. На рис. 11.10, в показаны из-
меренные  длины  сторон  трапеции,  что  позволяет  найти периметр трапеции,
равный 45.

11.3. Сведение стереометрических задач
к планиметрическим

Основной способ решения стереометрических задач — сведение их к плани-
метрическим. Для этого можно применить метод проекций, заключающийся
в  проецировании  геометрического  объекта  на  подходящую  плоскость.  Пре-
имуществом  метода  проекций  является  то,  что  он  позволяет  отобразить  на
плоском  рисунке  и  увязать  друг  с  другом  элементы  объектов,  не  лежащие
в одной плоскости. При этом если объект расположить надлежащим образом
по отношению к плоскости рисунка, то искомые метрические характеристики
(и линейные, и угловые) проецируются на подходящую плоскость в заранее
предусмотренном виде, например в натуральную величину.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

182

Пример 11.12
Условие. Дана правильная пятиугольная пирамида ABCDEF. Радиус окруж-
ности, описанной вокруг основания АВCDE, равен 16 мм. Высота пирамиды
25 мм. Определить следующие метрические характеристики:



длину бокового ребра AF и угол его наклона к основанию;



расстояние от вершины В до противоположной грани и высоту этой грани;



угол между гранями с общим ребром AF и расстояние от этого ребра до
ребра CF;



диаметры вписанной в пирамиду и описанной вокруг пирамиды сфер;



угол между ребрами BF и EF, соединяющими вершину пирамиды с про-
тиволежащими вершинами основания;



угол между боковыми гранями Σ = BCF и Ω = DEF, не имеющими общего
ребра.

Решение примера представлено на рис. 11.11.

Рис. 11.11. Построения и измерения примера 11.12

Глава 12

Создание 3D-моделей
элементарных геометрических тел

Геометрическое  тело —  часть  пространства,  ограниченная  со  всех  сторон
поверхностью.
Поверхность —  это  множество  всех  последовательных  положений  движу-
щей линии. Эта линия, называемая образующей, при движении может сохра-
нять или изменять свою форму.
Закон  перемещения  образующей  обычно  определяется  другими  линиями,
называемыми направляющими, по которым скользит образующая при своем
движении.
Рассматривая  образование  геометрических  тел,  необходимо  отметить,  что
одно  и  то  же  геометрическое  тело  (а  следовательно,  и  его  модель)  может
быть получено различными способами.
В  данной  главе  рассматриваются  приемы  создания  различными  способами
твердотельных моделей элементарных геометрических тел — выпуклых мно-
гогранников и тел вращения.

12.1. Гранные поверхности и многогранники

Гранные  поверхности —  поверхности,  образованные  перемещением  прямо-
линейной  образующей  по  направляющей,  представляющей  собой  ломаную
линию.  На  рис. 12.1  показан  пример  пирамидальной  и  призматической  по-
верхностей.
Пирамидальная  поверхность  образована  движением  прямолинейной  обра-
зующей по ломаной направляющей, при этом одна точка, S — вершина обра-
зующей, неподвижна.
Призматическая  поверхность  образована  движением  прямолинейной  обра-
зующей по ломаной направляющей, при этом образующая перемещается па-
раллельно некоторому наперед заданному направлению.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

184

Рис. 12.1. Гранные поверхности: а — пирамидальная; б — призматическая

Многогранники — замкнутые поверхности, образованные некоторым количе-
ством граней.
Выпуклый многогранник расположен по одну сторону плоскости каждой грани
многогранника. Сами грани также являются выпуклыми многогранниками.
Пирамида  (рис. 12.2,  а) —  многогранник,  у  которого  одна  грань,  принимае-
мая за основание, является многоугольником, а остальные грани (боковые) —
треугольники с общей точкой S, называемой вершиной.
В зависимости от числа вершин у многоугольника основания, пирамиду на-
зывают: треугольной, если в основании треугольник; четырехугольной, если
в основании четырехугольник, и т. д.
Правильная пирамида имеет в основании правильный многоугольник, с цен-
тром которого совпадает высота правильной пирамиды. Если пирамида явля-
ется правильной, то в нее или около можно вписать или описать сферу, центр
которой лежит на высоте пирамиды.
Призма  (рис. 12.2,  б) —  многогранник,  у  которого  две  грани —  основания
являются  одинаковыми  и  взаимно  параллельными  многоугольниками,  а  ос-
тальные грани (боковые) — четырехугольниками.

Рис. 12.2. Многогранники: а — пирамида; б — призма

Прямая призма имеет боковые ребра, которые перпендикулярны основанию.
Правильная призма — это прямая призма, у которой основания — правиль-
ные многоугольники.

Глава 12. Создание 3D-моделей элементарных геометрических тел

185

Призматоид — многогранник, у которого параллельные основания являются
многоугольниками с произвольным числом углов, боковые грани — тре-
угольники (рис. 12.3, а) или трапеции (рис. 12.3, б).

Рис. 12.3. Призматоиды с боковыми гранями в виде:

а — треугольников; б — трапеций

Правильные многогранники имеют все грани в виде правильных и конгруэнт-
ных многоугольников, а многогранные углы при вершинах выпуклые и со-
держат одинаковое число граней.
Гранями правильных многогранников могут быть только правильные тре-
угольники, четырехугольники и пятиугольники. Одной из особенностей пра-
вильных многогранников является то, что каждый из них вписывается в сфе-
ру. Примерами правильных многогранников являются:



тетраэдр — правильный четырехгранник (рис. 12.4, а);



гексаэдр — правильный шестигранник (рис. 12.4, б);



октаэдр — правильный восьмигранник (рис. 12.4, в);



додекаэдр — правильный двенадцатигранник (рис. 12.4, г);



икосаэдр — правильный двадцатигранник (рис. 12.4, д).

Рис. 12.4. Правильные многогранники:

а — тетраэдр; б — гексаэдр; в — октаэдр;

г — додекаэдр; д — икосаэдр

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

186

12.2. Моделирование правильных
многогранников

Рассмотрим примеры 3D-моделирования правильных многогранников.

Пример 12.1
Условие. Создать твердотельную модель куба (см. рис. 12.4, б).
Решение. Модель куба получим в результате выдавливания квадрата на рас-
стояние, равное его стороне.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите

кнопку Создать

на панели Стандартная. В открывшемся окне вы-

берите тип нового документа Деталь.
В Дереве модели укажите Плоскость ХY. Введите название модели —
Куб (рис. 12.5).

Рис. 12.5. Выбор плоскости для построения куба

2. Нажмите кнопку Эскиз

на панели Текущее состояние. Плоскость хy

станет параллельной экрану.

3. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения

Геометрия

для вызова соответствующей Инструментальной панели.

4. На панели Глобальные привязки включите привязку По сетке, а также

включите изображение сетки на экране. Выберите команду Прямоуголь-
ник по центру и вершине

на Инструментальной панели режима

Геометрия.

5. Укажите точку — центр квадрата. Постройте квадрат со стороной, напри-

мер, 50 мм (рис. 12.6).
Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз

Глава 12. Создание 3D-моделей элементарных геометрических тел

187

Рис. 12.6. Эскиз куба

Рис. 12.7. Модель куба

6. Нажмите кнопку Операция выдавливания

на панели Редактирова-

ние детали

. Внизу экрана появится Панель свойств, на которой устано-

вите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 —
50.0. Ввод параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект

7. После включения Ориентация | Диметрия и команды Полутоновое изо-

бражение на панели Вид получится показанное на рис. 12.7 изображение
куба.

Пример 12.2
Условие. Создать твердотельную модель тетраэдра (см. рис. 12.4, а).
Решение. На рис. 12.8, а показаны две проекции тетраэдра с указанием связи
между его основными параметрами, на рис. 12.8, б — проекции тетраэдра и
описанной вокруг него сферы, а на рис. 12.8, в — проекции тетраэдра и впи-
санной сферы.
Модель тетраэдра создадим по сечениям. Первое сечение — основание тет-
раэдра, построенное, например, по величине радиуса R вписанной окружно-
сти. Вторым сечением будет вершина D, положение которой определяется
известными соотношениями (рис. 12.8, а).
В табл. 12.2 описаны действия, необходимые для создания 3D-модели тетра-
эдра.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите

кнопку Создать

на панели Стандартная. В открывшемся окне вы-

берите тип нового документа Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ХY. Введите название модели —

Тетраэдр (рис. 12.9).

3. Нажмите кнопку Эскиз

на панели Текущее состояние. Плоскость хy

станет параллельной экрану.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

188

Рис. 12.8. Связь параметров: а — элементов тетраэдра;

б — тетраэдра и описанной сферы; в — тетраэдра и вписанной сферы

Рис. 12.9. Выбор плоскости

построения тетраэдра

Рис. 12.10. Эскиз

основания тетраэдра

4. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения

Геометрия

для вызова соответствующей Инструментальной панели.

5. Выберите команду Многоугольник

. В Панели свойств укажите коли-

чество вершин многоугольника — 3.

6. Укажите точку центра многоугольника. Постройте треугольник по диа-

метру вписанной окружности, равному, например, 30 мм (рис. 12.10).
Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз

7. В Дереве модели укажите Плоскость ZY. Нажмите кнопку Эскиз

на

панели Текущее состояние.
Выполните команды Операции | Спроецировать объект и укажите ребро
основания. Измените стиль линии спроецированного отрезка. Проведите
горизонтальную ось из начала координат и дугу R45 с центром в начале

Глава 12. Создание 3D-моделей элементарных геометрических тел

189

спроецированного отрезка (стиль Основная не использовать) —
рис. 12.11.
На панели Геометрия

выберите команду Точка

и укажите точку

пересечения оси и дуги (вершины D). Заканчивается эскиз повторным на-
жатием кнопки Эскиз

Рис. 12.11. Горизонтальная ось

8. Нажмите кнопку Операция по сечениям

на панели Редактирование

детали

9. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2. Эти названия появятся

в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект

10. После задания Ориентация | Изометрия YZX и включения коман-

ды Невидимые линии тонкие

на панели Вид получится изображе-

ние тетраэдра, показанное на рис. 12.4, а.

Пример 12.3
Условие. Создать параметрическую твердотельную модель тетраэдра, гео-
метрией которого можно управлять, задавая длину ребра.
Решение. Для создания модели:

1. Выполните команду Файл | Создать или нажмите кнопку Создать

на панели Стандартная. В открывшемся окне выберите тип нового доку-
мента Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ZХ. Введите название модели —

Тетраэдр п_р_м.

3. Нажмите кнопку Эскиз

на панели Текущее состояние. Выбери-

те команду Многоугольник

. В Панели свойств укажите количест-

во вершин многоугольника — 3. Укажите точку центра многоугольника.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

190

Постройте треугольник по диаметру вписанной окружности, равному, на-
пример, 30 мм.

4. На панели Параметризация выберите команду Горизонтальность

(рис. 12.12, а) и укажите отрезок, который должен быть горизонтальным
(для исключения при изменении геометрии тетраэдра возможных поворо-
тов в пространстве его основания). Чтобы обеспечить равенство длин ре-
бер тетраэдра, выберите команду Равенство длин (рис. 12.12, б) и попар-
но укажите отрезки.

Рис. 12.12. Наложение ограничений: а — горизонтальность; б — равенство длин

5. Нанесите в эскизе два фиксированных размера и присвойте этим размерам

имена L1 и L (рис. 12.13).

Рис. 12.13. Нанесение фиксированных размеров и присвоение им имен

6. Выполните команды Вид | Панели инструментов | Переменные. В ко-

лонке Выражение в строке L1 введите: L/2 (рис. 12.14, а). В строке L
введите новое значение длины стороны треугольника: 50 (рис. 12,14, б).
В эскизе изменится геометрия треугольника. Заканчивается эскиз повтор-
ным нажатием кнопки Эскиз

7. В Дереве модели укажите Плоскость ZY. Нажмите кнопку Эскиз

8. В эскизе 2 выполните команды Операции | Спроецировать объект и

укажите ребро основания. Измените стиль линии спроецированного от-
резка. Проведите горизонтальную ось из начала координат и отрезок

Глава 12. Создание 3D-моделей элементарных геометрических тел

191

из начала спроецированного отрезка под заданным углом (рис. 12.15). При
построении отрезков стиль Основная не использовать.

Рис. 12.14. Управление отображением треугольника:

а — ввод выражения; б — ввод новой длины

9. На панели Геометрия

выберите команду Точка

и укажите точку

пересечения оси и дуги (Вершины D). Заканчивается эскиз повторным
нажатием кнопки Эскиз

Рис. 12.15. Эскиз 2

10. Нажмите кнопку Операция по сечениям

на панели Редактирование

детали

11. В Дереве модели укажите Эскиз: 1 и Эскиз: 2. Эти названия появятся

в списке сечений Панели свойств. Нажмите кнопку Создать объект

12. После задания Ориентация | Изометрия YZX и включения команды

Невидимые линии тонкие

на панели Вид получится изображение

тетраэдра, показанное на рис. 12.4, а.

Для последующего изменения геометрии тетраэдра, достаточно в окне
Переменные (см. рис. 12.14, б) в строке L ввести новое значение длины реб-
ра тетраэдра.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

192

Следует отметить, что 3D-модель тетраэдра можно создать и другим спосо-
бом, в результате выдавливания равностороннего треугольника с уклоном
внутрь. При этом необходима информация о величинах:



А — глубины выдавливания;



В — угла уклона.

Пример 12.4
Условие. Создать твердотельную модель октаэдра (см. рис. 12.4, в).
Решение. На рис. 12.16, а показана фронтальная и горизонтальная проекция
октаэдра. Определим величины А и В для конкретного примера (рис. 12.16, б),
в котором длина ребра октаэдра равна 50 мм. В результате несложных по-
строений и измерений (рис. 12.16, в) определяем: А = 35,35 мм, В = 35,268°.

Рис. 12.16. Параметры октаэдра: а — искомые; б — грани; в — установленные

На примере создания модели октаэдра рассмотрим полнофукциональное ис-
пользование операции Выдавливание.

1. Для создания модели выполните команду Файл | Создать или нажмите

кнопку Создать

на панели Стандартная. В открывшемся окне вы-

берите тип нового документа Деталь.

2. В Дереве модели укажите Плоскость ХY. Введите название модели —

Октаэдр (рис. 12.17).

3. Нажмите кнопку Эскиз

на панели Текущее состояние. Плоскость хy

станет параллельной экрану.

4. В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения

Геометрия

для вызова соответствующей Инструментальной панели.

Глава 12. Создание 3D-моделей элементарных геометрических тел

193

Рис. 12.17. Выбор плоскости для построения октаэдра

5. На панели Глобальные привязки включите привязку По сетке и изо-

бражение сетки на экране. Выберите команду Прямоугольник по центру
и вершине

6. Укажите точку центра квадрата. Постройте квадрат со стороной, напри-

мер 50 мм. Заканчивается эскиз повторным нажатием кнопки Эскиз

7. Нажмите кнопку Операция выдавливания

на панели Редактирова-

ние детали

. Внизу экрана появится Панель свойств, на которой уста-

новите параметры выдавливания: Два направления; Расстояние 1 —
35.35; Уклон 1 — 35.268; Расстояние 2 — 35.35; Уклон 2 — 35.268. Ввод
параметров заканчивается нажатием кнопки Создать объект

8. После включения Ориентация | Диметрия и команды Невидимые ли-

нии тонкие

на панели Вид получится изображение октаэдра, пока-

занное на рис. 12.4, в.

При  создании  моделей  правильных  многогранников  выбиралась  пользова-
тельская  ориентация  Изометрия  YZX.  Это  позволяло  нагляднее  представ-
лять  модели  куба  и  октаэдра  с  помощью  ориентации  Диметрия  по  сравне-
нию с выбором других пользовательских ориентаций Изометрия.

Пример 12.5
Условие. Создать твердотельную модель икосаэдра (см. рис. 12.4, д).
Решение. На рис. 12.18 проиллюстрированы этапы создания 3D-модели ико-
саэдра.
Рассмотрим последовательность действий, необходимых для создания 3D-
модели икосаэдра.

1. Выберите Создать | Деталь | кнопка OK. В Дереве модели укажите

Плоскость ХY. Введите название модели — Икосаэдр.
Нажмите кнопку Эскиз

В появившейся Компактной панели нажмите кнопку переключения
Геометрия

для вызова соответствующей Инструментальной панели.

Часть IV. Геометрия с КОМПАС-3D

194

Рис. 12.18. Элементы икосаэдра: а — верхняя пирамида; б — нижняя пирамида;

в — массив призм 1; г — массив призм 2; д — в сборе

2. Выберите команду Многоугольник

. В Панели свойств укажите коли-

чество  вершин  многоугольника —  5.  Укажите  точку  центра  многоуголь-
ника.  Постройте  пятиугольник  по  диаметру  описанной  окружности,  рав-
ному,  например,  40  мм  (рис. 12.19).  Заканчивается  эскиз  повторным
нажатием кнопки Эскиз

3. Нажмите кнопку Операция выдавливания

на панели Редактирова-

ние детали

. Внизу экрана появится Панель свойств, на которой уста-

новите параметры выдавливания: Прямое направление; Расстояние 1 —
12.36; Уклон 1 — 52.6227. Ввод параметров заканчивается нажатием
кнопки Создать объект

Результат представлен на рис. 12.20.

4. Выберите Операции | Плоскость | Смещенная. В Панели свойств укажите

Расстояние — 20; направление смещения — Обратное направление.
Нажмите кнопку Создать объект

Результат представлен на рис. 12.21.

Рис. 12.19. Эскиз

основания пирамиды

Рис. 12.20. Верхняя

пирамида

Рис. 12.21. После операции

смещения

КОМПАС-3D для студентов и школьников. Черчение, информатика, геометрия - часть 12