Алгебра. Тестовые задания для 10-11 класса муниципального этапа (2020 год) - часть 2

 

 

229.

 

Решите уравнение: 

cos

  . 

230.

 

Решите

 

уравнение: 

cos 2𝑥

 .  

231.

 

Решите

 

уравнение: 

cos 2𝑥

.  

232.

 

Решите уравнение: 

cos 9𝑥

1

. 

233.

 

Решите уравнение: 

log 2𝑥

1

2

.

 

234.

 

Решите уравнение: 

sin 4𝑥

0

. 

235.

 

Решите уравнение: 

sin

0

. 

236.

 

Решите

 

уравнение: 

sin 2𝑥

 .  

237.

 

Решите уравнение:

 

sin 4𝑥

. 

238.

 

Решите уравнение: 

tg

𝑥

0

. 

239.

 

Решите уравнение: 

tg

1

. 

240.

 

Решите уравнение: 

√𝑥

1

3

.

  

241.

 

Решите уравнение: 

√𝑥

3   √5 𝑥

.

  

242.

 

Решите уравнение: 

√𝑥

4   √2𝑥

1

 

.

  

243.

 

Решите уравнение: 

√𝑥

5

2

.

 

244.

 

Решите уравнение: 

|𝑥

5|

3

.

 

245.

 

Решите уравнение: 

√𝑥

8

2

. 

246.

 

Решите уравнение:

 

√𝑥

1

9

.

  

247.

 

Решите уравнение: 

𝑥

1

. 

248.

 

Решите уравнение: 

𝑥

3

.

 

249.

 

Решите уравнение: 

1

sin 2𝑥

0

.

 

250.

 

Решите уравнение: 

1

cos 2𝑥

0

.

 

251.

 

Решите уравнение: 

ctg 𝑥

3

0

.

 

252.

 

Решите уравнение: 

lg4𝑥

2

. 

253.

 

Решите уравнение: 

𝑡g 𝑥

2

0

. 

 

 

254.

 

График  какой  функции  получим,  если  осуществим  сдвиг  графика  функции 

𝑦

𝑥

 

вдоль оси абсцисс на 1 единичный отрезок вправо?  

255.

 

График  какой  функции  получим,  если  осуществим  сдвиг  графика  функции 

𝑦

𝑥

 

вдоль оси ординат на 1 единичный отрезок вниз?  

256.

 

Какая из приведенных функций 

𝑦

√𝑥

, 

𝑦

𝑥

, 

𝑦

𝑥

2𝑥

, 

y

 является четной? 

257.

 

Какая  из  приведенных  функций 

𝑦

𝑥

𝑥

, 

𝑦

5𝑥

𝑥

, 

𝑦

𝑥

𝑥

, 

𝑦

𝑥

𝑥

 

является нечетной? 

258.

 

Найдите значение производной функции:

 𝑦

5𝑥

cos 𝑥

 

 в точке 

𝑥

. 

259.

 

Найдите координаты точек пересечения графиков функций: 

𝑦

lg 𝑥

 и  

𝑦

2

 . 

260.

 

Найдите координаты точки пересечения графиков функций: 

y

lg𝑥

 и 

y

3

. 

261.

 

Найдите множество значений функции: 

𝑦

4

3

. 

262.

 

Найдите множество значений функции: 

𝑦

5

3

. 

263.

 

Найдите множество значений функции: 

𝑦

𝑥

5

. 

264.

 

Найдите множество значений функции: 

𝑦

3 sin 𝑥

. 

265.

 

Найдите множество значений функции: 

𝑦

2 cos 𝑥

. 

266.

 

Найдите наибольшее значение функции: 

𝑦

2

3 cos 𝑥

. 

267.

 

Найдите наименьшее значение функции: 

𝑦

1

2 sin 𝑥

. 

268.

 

Найдите наименьший положительный период функции: 

y

sin x

. 

269.

 

Найдите наименьший положительный период функции: 

y

cos x

. 

270.

 

Найдите наименьший положительный период функции: 

𝑦

cos 𝑥

. 

271.

 

Найдите область значений функции: 

𝑦

x

1

3

. 

272.

 

Найдите область значений функции: 

𝑦

x

1

3

. 

273.

 

Найдите область значений функции: 

𝑦

cos 𝑥

3

  

274.

 

Найдите область значений функции: 

𝑦

sin 𝑥

3

. 

275.

 

Найдите область определения функции:  

𝑦

√𝑥

7𝑥

12

. 

276.

 

Найдите область определения функции

: 

𝑓 𝑥

√9

3x

. 

277.

 

Найдите область определения функции:

 

𝑓 𝑥

√2х

12

.  

 

 

278.

 

Найдите область определения функции: 

𝑓 𝑥

√

. 

279.

 

Найдите область определения функции

: 

𝑓 𝑥

√16

2x

. 

280.

 

Найдите область определения функции:

 

𝑓 𝑥

√2х

4

. 

281.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

𝑥

2 𝑥

3

.  

282.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

√2х

16

. 

283.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

√

. 

284.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

√5

4𝑥

𝑥

. 

285.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

√4

𝑥

. 

286.

 

Найдите область определения функции: 

𝑦

lg 3𝑥

36

. 

287.

 

Найдите точку пересечения графика функции: 

y

3x

4

 c осью 

𝑂𝑦

. 

288.

 

Найдите точку пересечения графика функции: 

y

5x

2

 c осью 

𝑂𝑦

. 

289.

 

Укажите область значений функции: 

𝑦

cos 𝑥

3

.  

290.

 

Укажите область значений функции: 

𝑦

sin 𝑥

2

.  

291.

 

Укажите

 

отрицательный корень уравнения: 

𝑥

𝑥

6

0

.

 

292.

 

Вычислите интеграл:  

𝑥 𝑑𝑥

.    

293.

 

Вычислите интеграл:  

2𝑥𝑑𝑥

. 

294.

 

Вычислите интеграл: 

𝑥 𝑑𝑥

.  

295.

 

Вычислите интеграл: 

𝑥 𝑑𝑥

. 

296.

 

Вычислите интеграл: 

4𝑥𝑑𝑥

. 

297.

 

Вычислите интеграл: 

3𝑥 𝑑𝑥

. 

298.

 

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линями: 

𝑦

2𝑥, 𝑦

0, 𝑥

3

.  

299.

 

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линями: 

𝑦

𝑥, 𝑦

0, 𝑥

4

. 

300.

 

Материальная точка движется по закону 

𝑠 𝑡

𝑡

4𝑡

. Найдите ускорение в момент 

времени 

𝑡

5

. 

301.

 

Материальная точка движется по закону 

𝑠 𝑡

2𝑡

4𝑡

. Найдите ускорение в момент 

времени 

𝑡

2

. 

 

 

302.

 

Материальная точка движется прямолинейно по закону 

𝑠 𝑡

2𝑡

12𝑡

20

 (время 

t

 

измеряется  в  секундах,  перемещение 

𝑠

  –  в  метрах).  Через  сколько  секунд  после  начала 

движения точка остановится? 

303.

 

Найдите 

𝑓

, если 

𝑓 𝑥

4cos 𝑥

. 

304.

 

Найдите 

𝑓 𝜋

, если 

𝑓 𝑥

4sin 𝑥

. 

305.

 

Найдите все первообразные функции:

 

𝑓 𝑥

 cos 3𝑥

4

. 

306.

 

Найдите все первообразные функции:

 

𝑓 𝑥

sin 6𝑥

3

. 

307.

 

Найдите все первообразные функции: 

𝑓 𝑥

cos3𝑥

. 

308.

 

Найдите все первообразные функции:

 

𝑓 𝑥

sin2𝑥

. 

309.

 

Найдите все первообразные функции: 

𝑦

𝑥

. 

310.

 

Найдите все первообразные функции: 

𝑦

𝑥

. 

311.

 

Найдите производную функции:

 

𝑓 𝑥

  2𝑥

1

. 

312.

 

Найдите производную функции: 

𝑓 𝑥

  3𝑥

2

. 

313.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

3𝑥

1

. 

314.

 

Найдите производную функции:

 

𝑦

𝑥

𝑥

𝑥

𝑥

2

 в точке 

x

1

. 

315.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

cos 𝑥

𝑥

. 

316.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

sin 𝑥

7𝑒

. 

317.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

√𝑥

2 cos 𝑥

. 

318.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

√𝑥

𝑥

3

. 

319.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

√𝑥

𝑥

4

. 

320.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

𝑥

sin 𝑥

. 

321.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

𝑥

sin 𝑥

. 

322.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

2

2𝑥

𝑥

𝑥

 в точке 

𝑥

1

. 

323.

 

Найдите производную функции: 

𝑦

4𝑒

cos 𝑥

. 

324.

 

Найдите промежутки убывания функции: 

𝑓 𝑥

𝑥

2𝑥

3

. 

325.

 

Найдите промежутки убывания функции: 

𝑓 𝑥

𝑥

2𝑥

3

. 

326.

 

Найдите скорость тела, движущегося по закону 

𝑠 𝑡

𝑡

2

, в момент времени 

𝑡

5

.  

327.

 

Найдите скорость тела, движущегося по закону 

𝑠 𝑡

𝑡

2

 ,  в момент времени  

𝑡

6

. 

 

 

328.

 

Найдите

 

стационарные точки

 

функции: 

𝑦

𝑥

2𝑥

3

. 

 

329.

 

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 

𝑦

ln 2𝑥

1

, в точке 

𝑥

0

? 

330.

 

Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции 

𝑦

𝑒

, в точке 

𝑥

0

 

? 

331.

 

Найдите угловой коэффициент касательной: 

𝑦

√𝑥

3𝑥

, в точке 

𝑥

1

. 

332.

 

Найдите угловой коэффициент касательной: 

𝑦

4𝑥

√𝑥

, в точке 

𝑥

1

. 

333.

 

При каких значениях

 

переменной 

 

имеет смысл

 

выражение: 

√𝑥

7

?  

334.

 

При каких значениях

 

переменной имеет смысл

 

выражение: 

√𝑥

10

? 

335.

 

При каких значениях переменной 

х

 значение выражения 

sin

 

 

равно 0?

 

336.

 

При каких значениях 

х

 выполняется равенство: 

3

27

? 

337.

 

При каких значениях 

х

 выполняется равенство: 

5

125

? 

338.

 

Тело  движется  прямолинейно  по  закону 

𝑠 𝑡

2𝑡

𝑡

1

  (время 

t

  измеряется  в 

секундах,  перемещение 

𝑠

  –  в  метрах).    Найдите  скорость  тела  через 

3

 с  после  начала 

движения. 

339.

 

Найдите пятый член геометрической прогрессии 

72; 12; 2 …

 

340.

 

Найдите  разность  арифметической  прогрессии,  первый  член  которой  равен 

12

,  а 

восьмой равен 

9

. 

341.

 

В ящике лежат 

10

 шариков, 

3

 из которых белые. Какова вероятность того, что вынутый 

наугад шар окажется белым? 

342.

 

Вероятность выигрыша на некоторой бирже в течение первого из двух фиксированных 

дней равна 0,3, а в течение второго дня – 0,2. Найдите вероятность того, что на этой бирже 
выигрыши произойдут в каждый из этих двух дней. 

343.

 

Для  сигнализации  об  угоне  установлены  два  независимых  датчика.  Вероятность  того, 

что  при  угоне  сработает  первый  датчик,  равна  0,8,  а  что  сработает  второй  –  0,9.  Найдите 
вероятность того, что при угоне сработают оба датчика. 

344.

 

Игральный  кубик  подбрасывают  один  раз.  Какова  вероятность  того,  что  выпавшее 

число окажется четным? 

345.

 

Из  колоды  карт  (36  листов)  наугад  вынимается  одна  карта.  Какова  вероятность  того, 

что эта карта либо дама, либо валет?  

346.

 

Из  колоды  карт  (36  листов)  наугад  вынимается  одна  карта.  Какова  вероятность  того, 

что эта карта либо шестерка, либо туз?  

347.

 

Из множества натуральных чисел от 27 до 36 (включая 27 и 36) выбирается одно число. 

Какова вероятность того, что оно делиться на 5.  

 

 

348.

 

Из множества натуральных чисел от 56 до 65 (включая 56 и 65) выбирается одно число. 

Какова вероятность того, что оно делиться на 2.  

349.

 

На экзамене 20 билетов. Ученик не выучил 7 из них. Найдите вероятность того, что ему 

попадется выученный билет.  

350.

 

На экзамене 35 билетов. Ученик не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему 

попадется выученный билет.  

351.

 

Сколькими способами могут занять очередь в школьной столовой 6 учащихся? 

352.

 

Сколькими способами можно из 7 различных роз выбрать 3?  

353.

 

Сколькими  способами  можно  составить  расписание  5  уроков  на  один  день  из  5 

различных учебных предметов? 

354.

 

Среди 

9

 платков, которые лежат в ящике, 

2

 платка белые. Наугад берут один платок. 

Какова вероятность того, что он белый? 

355.

 

На рисунке изображен график функции 

y

f x

 и отмечены точки A, B, C, D на оси 

Ох. Пользуясь графиком, выберите те из них, в которых значение функции отрицательно. 

 

 

 

356.

 

На рисунке изображен график функции 

y

f x

  и отмечены точки A, B, C, D на оси 

Ох. Пользуясь графиком, выберите те из них, в которых значение функции положительно.  

 

 

 

357.

 

На  рисунке  жирными  точками  показано  суточное  количество  осадков,  выпадавших  в 

некотором  городе  с  8  по  24  января.  По  горизонтали  указываются  числа  месяца,  по 
вертикали — количество  осадков,  выпавших в  соответствующий  день,  в  миллиметрах.  Для 
наглядности  жирные  точки на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку,  какого 
числа впервые выпало ровно 1,5 миллиметра осадков. 

 

 

 

 

 

358.

 

На  рисунке  жирными  точками  показано  суточное  количество  осадков,  выпадавших  в 

некотором  городе  с  7  по  22  ноября.  По  горизонтали  указываются  числа  месяца,  по 
вертикали — количество  осадков,  выпавших в  соответствующий  день,  в  миллиметрах.  Для 
наглядности  жирные  точки на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку,  какого 
числа в городе впервые выпало ровно 0,5 миллиметра осадков. 

 

 

 

359.

 

На  диаграмме  показано  распределение  выплавки  алюминия  в  10  странах (в  тысячах 

тонн)  за  2009  год.  Среди  представленных  стран  первое  место по  выплавке  алюминия 
занимал Бахрейн, десятое место — Новая Зеландия. Какое место занимали Нидерланды? 

 

 

 

360.

 

На  диаграмме  показано  распределение  выплавки  меди  в  10  странах  мира  (в  тысячах 

тонн)  за  2006  год.  Среди  представленных  стран  первое  место  по  выплавке  меди  занимали 
США, десятое место — Казахстан. Какое место занимала Канада? 

 

 

 

 

 

361.

 

На  диаграмме  показана  среднемесячная  температура  воздуха  (в  градусах  Цельсия)  в 

Краснодаре  по  результатам  многолетних  наблюдений.  Найдите  по  диаграмме  количество 
месяцев  с  начала  февраля  по  конец  мая,  когда  среднемесячная  температура  в  Краснодаре 
ниже 5°. 

 

 

 

362.

 

На  диаграмме  показана  среднемесячная  температура  воздуха  (в  градусах  Цельсия)  в 

Саратове  по  результатам  многолетних  наблюдений.  Найдите  по  диаграмме  количество 
месяцев  с  начала  апреля  по  конец  ноября,  когда  среднемесячная  температура  в  Саратове 
выше 5° С. 

 

 

 

363.

 

На  графике  показан  процесс  разогрева  двигателя  легкового  автомобиля.  На  оси 

абсцисс  откладывается  время  в  минутах,  прошедшее  с  момента  запуска  двигателя,  на  оси 
ординат –  температура  двигателя  в  градусах  Цельсия.  Определите  по  графику,  на  сколько 
градусов нагреется двигатель с пятой по восьмую минуту разогрева. 

 

 

 

 

 

364.

 

На  графике  показан  процесс  разогрева  двигателя  легкового  автомобиля.  На  оси 

абсцисс  откладывается  время  в  минутах,  прошедшее  с  момента  запуска  двигателя,  на  оси 
ординат — температура двигателя в градусах Цельсия. Определите по графику, до скольких 
градусов Цельсия нагрелся двигатель за первые 2 минуты. 

 

 

 

365.

 

На  рисунке  жирными  точками  показана  цена  унции  золота  на  момент  закрытия 

биржевых  торгов  во  все  рабочие  дни  с  11  по  27  июля  2000  года.  По  горизонтали 
указываются  числа  месяца,  по  вертикали — цена  унции  золота  в  долларах  США.  Для 
наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность 
между  наибольшей  и  наименьшей  ценой  золота  на  момент  закрытия  торгов  в  указанный 
период (в долларах США за унцию). 

 

 

 

366.

 

На  рисунке  жирными  точками  показана  цена  тонны  никеля  на  момент  закрытия 

биржевых  торгов  во  все  рабочие  дни  с  10  по  26  ноября  2014  года.  По  горизонтали 
указываются  числа  месяца,  по  вертикали — цена  тонны  никеля  в  долларах  США.  Для 
наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите по рисунку разность 
между  наибольшей  и  наименьшей  ценой  никеля  на  момент  закрытия  торгов  в  указанный 
период (в долларах США за тонну). 

 

 

 

 

 

367.

 

На  рисунке  жирными  точками  показана  цена  тонны  никеля  на  момент  закрытия 

биржевых торгов во все рабочие дни с 6 по 20 мая 2015 года. По горизонтали указываются 
числа  месяца,  по  вертикали — цена  тонны  никеля  в  долларах  США.  Для  наглядности 
жирные  точки  на  рисунке  соединены  линией.  Определите  по  рисунку,  какого  числа  цена 
тонны никеля на момент закрытия торгов была наибольшей за указанный период. 

 

 

 

368.

 

При  работе  фонарика  батарейка  постепенно  разряжается  и  напряжение  в 

электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи 
от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в 
часах,  на  вертикальной  оси  –  напряжение  в  вольтах.  Определите  по  рисунку,  какое 
напряжение будет в цепи через 15 часов работы фонарика. Ответ дайте в вольтах. 

 

 

 

369.

 

При  работе  фонарика  батарейка  постепенно  разряжается,  и  напряжение  в 

электрической цепи фонарика падает. На рисунке показана зависимость напряжения в цепи 
от времени работы фонарика. На горизонтальной оси отмечается время работы фонарика в 
часах,  на  вертикальной  –  напряжение  в  вольтах.  Определите  по  рисунку,  за сколько  часов 
напряжение упадет с 1 вольта до 0,8 вольта. 

 

 

 

 

 

370.

 

На  графике  показана  зависимость  температуры  двигателя  от  времени  в  процессе 

разогрева двигателя легкового автомобиля. На оси абсцисс откладывается время в минутах, 
прошедшее  от  момента  запуска  двигателя.  На  оси  ординат  –  температура  двигателя  в 
градусах Цельсия. Определите по графику, за сколько минут двигатель нагреется с 300С до 
400С. 

 

 

 

371.

 

На  графике  изображена  зависимость  атмосферного  давления  от  высоты  над  уровнем 

моря.  По  горизонтали  указана  высота  над  уровнем  моря  в  километрах,  по  вертикали  – 
атмосферное  давление  в  миллиметрах  ртутного  столба.  Определите  по  графику,  на  какой 
высоте  атмосферное  давление  равно  660  миллиметров  ртутного  столба.  Ответ  дайте  в 
километрах. 

 

 

 

372.

 

На  графике  изображена  зависимость  атмосферного  давления  от  высоты  над  уровнем 

моря.  По  горизонтали  указана  высота  над  уровнем  моря  в  километрах,  по  вертикали  – 
атмосферное  давление  в  миллиметрах  ртутного  столба.  Найдите,  чему  равно  атмосферное 
давление на высоте 9,5 км. Ответ дайте в миллиметрах ртутного столба. 

 

 

 

 

373.

 

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. 

По  горизонтали  указано  время  суток,  по  вертикали  –  значение  температуры  в  градусах 
Цельсия. Найдите наименьшее значение температуры в первой половине суток. Ответ дайте 
в градусах Цельсия. 

 

 

 

374.

 

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. 

По  горизонтали  указано  время  суток,  по  вертикали  –  значение  температуры  в  градусах 
Цельсия. Найдите наибольшее значение температуры в первой половине суток. Ответ дайте 
в градусах Цельсия. 

 

 

 

375.

 

На рисунке показано, как изменялась температура воздуха на протяжении одних суток. 

По  горизонтали  указано  время  суток,  по  вертикали  –  значение  температуры  в  градусах 
Цельсия. Сколько часов в первой половине суток температура не превышала 90С? 

 

 

 

 

 

376.

 

На  рисунке  жирными  точками  показана  цена  нефти  на  момент  закрытия  биржевых 

торгов во все рабочие дни с 4 по 19 апреля 2016 года. По  горизонтали указываются числа 
месяца,  по  вертикали — цена  барреля  нефти  в  долларах  США.  Для  наглядности  жирные 
точки  на  рисунке соединены  линией.  Определите  по рисунку,  какого  числа цена  нефти  на 
момент закрытия торгов составила 24 доллара за баррель. 

 

 

 

377.

 

На рисунке изображён график значений атмосферного давления в некотором городе за 

три  дня.  По  горизонтали  указаны  дни  недели,  по  вертикали — значения  атмосферного 
давления  в  миллиметрах  ртутного  столба.  Определите  по  рисунку  наименьшее  значение 
атмосферного давления за данные три дня (в миллиметрах ртутного столба). 

 

 

 

378.

 

На  рисунке  жирными  точками  показана  цена  серебра,  установленная  во  все  рабочие 

дни в октябре. По горизонтали указываются числа месяца, по вертикали — цена серебра  в 
рублях за грамм. Для наглядности жирные точки на рисунке соединены линией. Определите 
по рисунку наименьшую цену серебра в период с 9 по 22 октября. Ответ дайте в рублях за 
грамм. 

 

 

 

 

 

379.

 

Для транспортировки 5 тонн груза на 350 км можно воспользоваться услугами одной из 

трёх  фирм-перевозчиков.  Стоимость  перевозки  и  грузоподъёмность  автомобилей  для 
каждого  перевозчика  указаны  в  таблице.  Сколько  рублей  придётся  заплатить  за  самую 
дешёвую перевозку? 

Перевозчик 

Стоимость перевозки 

одним автомобилем (на 10 км) 

Грузоподъёмность 

автомобиля (тонны) 

А 

80 руб. 

1,6 

Б 

110 руб. 

2,2 

В 

170 руб. 

3,4 

 

380.

 

Для транспортировки 5 тонн груза на 350 км можно воспользоваться услугами одной из 

трёх  фирм-перевозчиков.  Стоимость  перевозки  и  грузоподъёмность  автомобилей  для 
каждого  перевозчика  указаны  в  таблице.  Сколько  рублей  придётся  заплатить  за  самую 
дешёвую перевозку? 

Перевозчик 

Стоимость перевозки 

одним автомобилем (на 10 км) 

Грузоподъёмность 

автомобиля (тонны) 

А 

80 руб. 

1,6 

Б 

110 руб. 

2,2 

В 

140 руб. 

2,8 

 

Математика 11 класс Вариант МА1910209

1

СтатГрад 2019 2020 уч г

ритерии

ени ния з д ний с р з рн т м т ет м

а Решите уравнение

2

2 sin

cos

2

6sin

0.

x

x

x

+

−

−

=

б Найдите все корни этого уравнения принадлежа ие отрезку

7

2

2

.

Ре ение

а Преобразуем исходное уравнение:

2

2 sin

cos

2

6sin

0

x

x

x

+

−

−

=

;   

2

sin

0,

2 sin

cos

2

0,

sin

0;

x

x

x

x

=

+

−

=

2

sin

0,

2 cos

0,

cos

sin

0;

x

x

x

x

=

=

−

sin

0,

cos

1

2 cos

0,

sin

0,

x

x

x

x

=

−

=

откуда

n

x

=

,  n

Z

или

2

4

k

x

+

= −

,  k

Z

или

2

2

m

x

+

= −

,  m

Z

.

б Корни принадлежа ие отрезку

7

2

2

отбер м с помо ью единичной

окружности

3

7

2

2

7

4

Получаем

2 ,  3

и

7

2

.

т ет

: а

x

n

=

,  n

Z

; 

2

4

x

k

= − +

,  k

Z

; 

2

2

x

m

= − +

,  m

Z

б

2 ; 

3 ; 

7

2

.

13

Математика 11 класс Вариант МА1910209

2

СтатГрад 2019 2020 уч г

держ ние критерия

лл

Обоснованно получены верные ответы в обоих пунктах

2

Обоснованно получен верный ответ в пункте

а

или в пункте

б

.

Л

Получен неверный ответ из

-

за вычислительной ошибки но при этом

имеется верная последовательность всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных

выше

0

ак имал ый балл

2

Все р бра правильной треугольной пирамиды

SBCD

с вершиной

S

равны 9

Основание

O

высоты

SO

этой пирамиды является серединой отрезка

1

SS , 

M

—

середина ребра

SB

точка

L

лежит на ребре

CD

так что

:

7 : 2.

CL LD

=

а Докажите что сечение пирамиды

SBCD

плоскостью

1

S LM —

равно

-

бедренная трапеция

б Вычислите длину средней линии этой трапеции

Ре ение

B

M

P

S

C

K

L

B

D

O

T

S

1

1

а Провед м медиану

1

S M

треугольника

1

SS B , 

которая пересекает медиану

1

BB

основания

BCD

в точке

T

Тогда

1

:

4 : 5

=

поскольку

BO

также

является медианой треугольника

1

SS B .

Точка

,

L

в свою очередь делит отрезок

1

B D

в отношении

1

:

4 : 5

DL L

=

так

как

:

2 : 7

LD LC

=

и отрезок

1

BB

—

медиана треугольника

BCD . 

Следовательно сторона сечения

, 

проходя ая через точки

L

и

T ,

парал

-

лельна стороне

BD

основания

BCD . 

Пусть прямая

LT

пересекает

BC

в точке

P .

Провед м через точку

M

среднюю линию в треугольнике

SBD

пусть она

пересекает сторону

SD

в точке

K . 

Тогда

PMKL —

искомое сечение прич м

14

Математика 11 класс Вариант МА1910209

3

СтатГрад 2019 2020 уч г

BP

DL

=

и

BM

KD

=

з равенства треугольников

BMP

и

DKL

получим

MP

KL

=

а значит

PMKL —

равнобедренная трапеция

б Большее основание

PL

трапеции равно 7 поскольку треугольник

LPC

правильный Второе основание

MK

равно 4 5 поскольку

MK —

средняя

линия правильного треугольника

SBD

Следовательно средняя линия

трапеции равна

7

4,5

5,75

2

+

=

.

т ет

б 5 75

держ ние критерия

лл

меется верное доказательство утверждения пункта

а

и

обоснованно получен верный ответ в пункте

б

2

Верно доказан пункт

а

Л

Верно реш н пункт

б

при отсутствии обоснований в пункте

а

1

Решение не соответствует ни одному из критериев перечис

-

ленных выше

0

ак имал ый балл

2

Решите неравенство

2

2

3

1

56

15

40

13

x

x

x

x

+

+

+

+

.

Ре ение

Запишем исходное неравенство в виде

3

1

0

5

8

7

8

x

x

x

x

−

+

+

+

+

;

5

7

3

0

8

7

5

x

x

x

x

x

+

−

+

+

+

+

;

2

16

0

5

7

8

x

x

x

x

+

+

+

+

;

2

0

5

7

x

x

+

+

при условии

8

x

−

.

Следовательно

8

x

< −

,  8

7

x

− < < −

, 

5

x

> −

.

т ет

; 8

− −

; 

8; 7

− −

; 

5;

− +

.

15

Математика 11 класс Вариант МА1910209

4

СтатГрад 2019 2020 уч г

держ ние критерия

лл

Обоснованно получен верный ответ

2

Решение содержит вычислительную ошибку возможно приведшую

к неверному ответу но при этом имеется верная последовательность

всех шагов решения

1

Решение не соответствует ни одному из критериев перечисленных

выше

0

ак имал ый балл

2

В треугольнике

ABC

проведена биссектриса

BK .

а Докажите что

AK

CK

AB

BC

=

.

б Найдите пло адь треугольника

ABC

если

13

AB

=

, 

7

BC

=

и

7 13

4

BK

=

.

Ре ение

а Пусть

2

ABC

=

Пло ади треугольников

ABK

и

CBK

равны

1

sin

2

ABK

AB BK

S

=

; 

1

sin

2

CBK

BC BK

S

=

.

Тогда

ABK

CBK

S

AB

S

BC

=

.

Опустим из точки

B

высоту

BH

Тогда

1

2

ABK

S

AK BH

=

; 

1

2

CBK

S

CK BH

=

; 

ABK

CBK

S

AK

S

CK

=

.

Следовательно

CK

AK

BC

AB

=

.

б По теореме косинусов:

2

2

2

2

cos

CK

BC

BK

BC BK

=

+

−

; 

2

2

2

2

cos

AK

AB

BK

AB BK

=

+

−

.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

cos

2

cos

CK

BC

BC

BK

BC BK

AB

BK

AB BK

AK

AB

+

−

=

=

+

−

; 

2

2

2

cos

BK AB

BC

AB BC

AB

BC

−

=

−

; 

13 7 7 13

5

cos

2

2 7 13 4

2 13

AB

BC

BK

AB BC

+

+

=

=

=

; 

3 3

sin

2 13

=

.

Тогда

15 3

3 3

5

sin 2

sin

2

26

2 13 2 13

ABC

=

=

=

.

16

A

B

C

K H