Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2025-2026 год)

До конца года Петя успел получить 100 оценок: 25 пятёрок, 25 четвёрок, 25 троек и 25 двоек. Сколько из них было

заурядными?

Ответ: 75

Решение.

Пусть оценка n (n - одна из 2, 3, 4, 5) получена в первый раз последней. Тогда до этого были только заурядные

оценки, ведь оценка n встречалась на тот момент 0 раз - не чаще любой из остальных. При этом полученная в первый

раз оценка n будет незаурядной.

Второй незаурядной оценкой будет последняя из оценок 2, 3, 4 или 5, полученная во второй раз, и т.д.

Значит, всего будет 25 незаурядных оценок. Остальные 75 оценок - заурядные.

Задание 8. Вариант 2. Петя записывал свои оценки за домашние работы. Когда Пете выставляли очередную оценку

(2, 3, 4 или 5), он называл её заурядной, если до того момента хотя бы какая-то оценка встречалась не чаще этой.

До конца года Петя успел получить 80 оценок: 20 пятёрок, 20 четвёрок, 20 троек и 20 двоек. Сколько из них было

заурядными?

Ответ: 60

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Вася записывал свои оценки за домашние работы. Когда Васе выставляли очередную оценку

(2, 3, 4 или 5), он называл её заурядной, если до того момента хотя бы какая-то оценка встречалась не чаще этой.

До конца года Вася успел получить 60 оценок: 15 пятёрок, 15 четвёрок, 15 троек и 15 двоек. Сколько из них было

заурядными?

Ответ: 45

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 4. Вася записывал свои оценки за домашние работы. Когда Васе выставляли очередную оценку

(2, 3, 4 или 5), он называл её заурядной, если до того момента хотя бы какая-то оценка встречалась не чаще этой.

До конца года Вася успел получить 120 оценок: 30 пятёрок, 30 четвёрок, 30 троек и 30 двоек. Сколько из них было

заурядными?

Ответ: 90

Решение по аналогии с вариантом 1

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. Гриша вышел из дома в школу со скоростью 80 метров в минуту. После того как он прошёл

половину пути до школы, он понял, что если продолжит идти с такой же скоростью, то опоздает на 1 минуту. Поэтому

он ускорился до 100 метров в минуту и в итоге пришёл за 1 минуту до начала урока. Найдите расстояние между домом

Гриши и школой. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 1600.

Решение.

Обозначим через S половину расстояния от дома до школы (в метрах), а через t - время, оставшееся до начала

урока после того, как Гриша прошёл половину пути (в минутах). Тогда из первого условия мы получаем S = 80(t + 1),

а из второго - S = 100(t - 1). Приравняем эти два равенства и преобразуем:

80(t + 1) = 100(t - 1)

80t + 80 = 100t - 100

180 = 20t;

t =9.

Таким образом, половина пути составляет S = 80(t + 1) = 80(9 + 1) = 800 метров, а весь путь - 1600 метров.

Задание 1. Вариант 2. Гриша вышел из дома в школу со скоростью 100 метров в минуту. После того как он прошёл

он ускорился до 125 метров в минуту и в итоге пришёл за 1 минуту до начала урока. Найдите расстояние между домом

Гриши и школой. Ответ выразите в метрах.

Ответ: 2000.

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. После матча между командой лжецов (всегда лгут) и командой правдолюбов (всегда говорят

правду) двух представителей разных команд, A и B, спросили: «Как закончился матч?». Состоялся такой диалог:

A: Матч закончился вничью.

B: Нет, мы победили с перевесом в два мяча.

A: Всего в матче было забито 9 мячей.

B: Нет, в матче было забито 10 мячей.

Кто же выиграл и с каким счётом? Заполните пропуски в табло.

Ответ:

«Лжецы»

«Правдолюбы»

Решение.

Предположим, что команда A - правдолюбы. Тогда матч закончился вничью и суммарно было забито 9 мячей.

Но тогда каждая команда забила по

= 4.5 мяча - нецелое число. Противоречие.

Следовательно, команда B - правдолюбы. Тогда B забила на 2 мяча больше, чем A; также суммарно было забито

10 мячей. Обозначим через a количество мячей, забитых командой A, а через b - командой B. Тогда a + b = 10

и b - a = 2. Сложив равенства, получаем 2b = 12, откуда b = 6. Далее находим a = b - 2 = 6 - 2 = 4.

Задание 2. Вариант 2. После матча между командой лжецов (всегда лгут) и командой правдолюбов (всегда говорят

правду) двух представителей разных команд, A и B, спросили: «Как закончился матч?». Состоялся такой диалог:

A: Матч закончился вничью.

B: Нет, мы победили с перевесом в два мяча.

A: Всего в матче было забито 11 мячей.

B: Нет, в матче было забито 12 мячей.

Кто же выиграл и с каким счётом? Заполните пропуски в табло.

Ответ:

«Лжецы»

«Правдолюбы»

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. После матча между командой лжецов (всегда лгут) и командой правдолюбов (всегда говорят

правду) двух представителей разных команд, A и B, спросили: «Как закончился матч?». Состоялся такой диалог:

A: Матч закончился вничью.

B: Нет, мы победили с перевесом в два мяча.

A: Всего в матче было забито 13 мячей.

B: Нет, в матче было забито 14 мячей.

Кто же выиграл и с каким счётом? Заполните пропуски в табло.

Ответ:

«Лжецы»

«Правдолюбы»

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. После матча между командой лжецов (всегда лгут) и командой правдолюбов (всегда говорят

правду) двух представителей разных команд, A и B, спросили: «Как закончился матч?». Состоялся такой диалог:

A: Матч закончился вничью.

B: Нет, мы победили с перевесом в два мяча.

A: Всего в матче было забито 15 мячей.

B: Нет, в матче было забито 16 мячей.

Кто же выиграл и с каким счётом? Заполните пропуски в табло.

Ответ:

«Лжецы»

«Правдолюбы»

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Полина загадала трёхзначное число. Потом она заметила, что если умножить это число

на произведение всех его цифр, то получится 2877. Какое трёхзначное число могла задумать Полина? Укажите все

подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓137

Решение.

Разложим число 2877 на простые множители: 2877 = 3 · 7 · 137. Заметим, что задуманное число является делителем

числа 2877. Найдём все трёхзначные делители числа 2877: это 137, 137 · 3 = 411 и 137 · 7 = 959. Нетрудно видеть, что

из приведённых чисел подходит только 137.

Задание 3. Вариант 2. Полина загадала трёхзначное число. Потом она заметила, что если умножить это число

на произведение всех его цифр, то получится 1778. Какое трёхзначное число могла задумать Полина? Укажите все

подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓127

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Полина загадала трёхзначное число. Потом она заметила, что если умножить это число

на произведение всех его цифр, то получится 5495. Какое трёхзначное число могла задумать Полина? Укажите все

подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓157

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. Полина загадала трёхзначное число. Потом она заметила, что если умножить это число

на произведение всех его цифр, то получится 3633. Какое трёхзначное число могла задумать Полина? Укажите все

подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓173

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. На сторонах треугольника ABC взяли точки X, Y и Z так, что все звенья ломаной AXYBZC

оказались равны.

Чему равен угол A треугольника ABC, если угол B равен 110^◦? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 28

Решение. Обозначим угол BAC через α. Поскольку треугольник AXY равнобедренный, ∠AYX = α, и по теореме

о внешнем угле треугольника находим, что ∠BXY = 2α.

Поскольку треугольник BXY равнобедренный, получаем ∠XBY = ∠BXY = 2α. И, применяя вышеуказанную теоре-

му, приходим к ∠BYZ = 3α.

Поскольку BYZ тоже равнобедренный, получим что ∠BZY = 3α Применяя теорему о внешнем угле для равнобед-

ренного треугольника BZC получим, что ∠BCA =

∠BZY =

α.

Применяя теорему о сумме углов для треугольника ABC получим, что 180^◦ = α + ∠B +

α, откуда следует,

что α =

(180^◦ - ∠B) =

(180^◦ - 110^◦) = 28^◦.

Задание 4. Вариант 2. На сторонах треугольника ABC взяли точки X, Y и Z так, что все звенья ломаной AXYBZC

оказались равны.

Чему равен угол A треугольника ABC, если угол B равен 115^◦? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 26

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. На сторонах треугольника ABC взяли точки X, Y и Z так, что все звенья ломаной AXYBZC

оказались равны.

Чему равен угол A треугольника ABC, если угол B равен 125^◦? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 22

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. На сторонах треугольника ABC взяли точки X, Y и Z так, что все звенья ломаной AXYBZC

оказались равны.

Чему равен угол A треугольника ABC, если угол B равен 130^◦? Ответ выразите в градусах.

Ответ: 20

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. Толя загадал натуральное число n и выписал на доску все натуральные числа от 1 до n. Затем

он попытался сложить все выписанные числа и получил число 880, однако выяснилось, что ровно одно из выписанных

чисел он случайно добавил дважды. Чему могло равняться n? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ

записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓41

Решение.

Обозначим через k число, подсчитанное дважды. Тогда найденная Толей сумма равняется

n(n + 1)

S = 1 + ··· + (k - 1) + k + k + (k + 1) + ··· + n = k + 1 + 2 + ··· + n = k +

Оценим эту сумму: так как 1 ⩽ k ⩽ n,

n(n + 1)

+ 1 ⩽ S = 880 ⩽

+n.

Нетрудно видеть, что такому неравенству удовлетворяет только число n = 41. В самом деле, при n ⩾ 42 имеем

n(n + 1)

42 · 43

n(n + 1)

40 · 41

880 >

⩾

= 903, а при n ⩽ 40 имеем 880 ⩽

+n ⩽

+ 40 = 860. Само значение n = 41

41 · 42

подходит: при k = 19 имеем S =

+ 19 = 800.

Задание 5. Вариант 2. Толя загадал натуральное число n и выписал на доску все натуральные числа от 1 до n.

Затем он попытался сложить все выписанные числа и получил число 920, однако выяснилось, что ровно одно из вы-

писанных чисел он случайно добавил дважды. Чему могло равняться n? Укажите все подходящие варианты. Каждый

ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓42

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. Толя загадал натуральное число n и выписал на доску все натуральные числа от 1 до n.

Затем он попытался сложить все выписанные числа и получил число 960, однако выяснилось, что ровно одно из вы-

писанных чисел он случайно добавил дважды. Чему могло равняться n? Укажите все подходящие варианты. Каждый

ответ записывайте в отдельное поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓43

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. У Василисы есть красные и белые кубики, причём красных на 2 больше, чем белых.

Василиса сложила из всех кубиков большой куб без дырок и внутренних полостей, полностью красный снаружи.

Какое наименьшее количество красных кубиков у неё могло быть?

Ответ: 501

Решение.

Так как красных кубиков на 2 больше, чем белых, суммарное количество кубиков чётно. Следовательно, сторона

большого кубика содержит чётное количество кубиков. Обозначим это количество через n. Тогда всего кубиков n³.

Заметим, что все белые кубики не могут примыкать к границе, а потому содержатся во внутреннем кубе со сто-

роной n - 2. Поэтому число белых кубиков не более (n - 2)³, а красных - не менее n³ - (n - 2)³. Отсюда получаем

неравенство n³ -(n -2)³ ⩽ (n -2)³ +2, или n³ -2 ⩽ 2(n -2)³. Вспомним, что n чётно. Найдём первое n, удовлетворяющее

этому неравенству:

n = 2 : 2³ - 2 ⩽ 2 · 0³;6 ⩽ 0 - неверно.

n = 4 : 4³ - 2 ⩽ 2 · 2³;62 ⩽ 16 - неверно.

n = 6 : 6³ - 2 ⩽ 2 · 4³;214 ⩽ 128 - неверно.

n = 8 : 8³ - 2 ⩽ 2 · 6³;510 ⩽ 432 - неверно.

n = 10 : 10³ - 2 ⩽ 2 · 8³;998 ⩽ 1024 - верно.

10³ + 2

10³ - 2

При n = 10 число красных кубиков равно

= 501, а число белых кубиков -

= 499. Нетруд-

но видеть, что требуемую конструкцию сложить можно: Василисе достаточно сначала собрать красную границу

из 10³ - 8³ = 488 < 501 кубиков, а оставшиеся белые и красные кубики расположить внутри в любом порядке.

Задание 6. Вариант 2. У Василисы есть красные и белые кубики, причём красных на 4 больше, чем белых. Васи-

лиса сложила из всех кубиков большой куб без дырок и внутренних полостей, полностью красный снаружи. Какое

наименьшее количество красных кубиков у неё могло быть?

Ответ: 502

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. У Василисы есть красные и белые кубики, причём красных на 6 больше, чем белых. Васи-

лиса сложила из всех кубиков большой куб без дырок и внутренних полостей, полностью красный снаружи. Какое

наименьшее количество красных кубиков у неё могло быть?

Ответ: 503

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. У Василисы есть красные и белые кубики, причём красных на 2 меньше, чем белых. Васи-

лиса сложила из всех кубиков большой куб без дырок и внутренних полостей, полностью красный снаружи. Какое

наименьшее количество красных кубиков у неё могло быть?

Ответ: 499

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. В клетках таблицы 4 × 4 расставили числа 1, 2 и 3. После этого слева от тех строк и сверху

от тех столбцов, более чем в половине клеток которых встречается одно и то же число, записали это число. Затем все

числа в таблице стёрли. Какие картинки могли получиться? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

Решение.

Для отмеченных фигур подходящие расположения приведены на рисунке. Докажем, что для остальных фигур

подходящих расположений не существует.

Рассмотрим фигуру:

Раз над первыми двумя столбцами написали 1, то в каждом из них хотя бы по 3 единицы. Значит, всего в таб-

лице хотя бы 6 единиц и, следуя той же логике, хотя бы 6 двоек. Для троек выполним аналогичное рассуждение,

но по строкам. Таким образом, в таблице хотя бы 6 единиц, хотя бы 6 двоек и хотя бы 6 троек. Значит, в таблице

должно быть хотя бы 18 клеток, а всего их 16, противоречие.

Рассмотрим фигуру:

По аналогичным соображениям, в ней хотя бы 9 единиц и хотя бы 3 тройки. Докажем, что двоек не менее 5.

Действительно, в четвёртом столбце должно быть хотя бы 3 двойки. Во второй строке тоже должно быть хотя бы

3 двойки, причём не более одной из них в четвёртом столбце, а значит, в оставшейся части таблицы двоек не менее

двух. Значит, всего двоек действительно не менее 5. Значит, всего в таблице не менее 9+3+5 = 17 клеток, противоречие.

Рассмотрим фигуру:

По рассуждениям из предыдущего пункта, в ней не менее 5 единиц и не менее 5 троек. Докажем, что двоек

не менее 8. Действительно, во второй и третьей строках находится хотя бы по 3 двойки. Кроме того, во втором

и в третьем столбцах тоже хотя бы по три двойки, из которых хотя бы по одной находятся вне второй и третьей строк.

Значит, всего двоек не менее 3 + 3 + 1 + 1 = 8. Таким образом, в таблице не менее 5 + 5 + 8 = 18 клеток, противоречие.

Значит, могли получиться только отмеченные галочкой картинки.

Пример расстановок для отмеченных галочкой таблиц:

Задание 7. Вариант 2. В клетках таблицы 4 × 4 расставили числа 1, 2 и 3. После этого слева от тех строк и сверху

числа в таблице стёрли. Какие картинки НЕ могли получиться? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. В клетках таблицы 4 × 4 расставили числа 1, 2 и 3. После этого слева от тех строк и сверху

числа в таблице стёрли. Какие картинки могли получиться? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 4. В клетках таблицы 4 × 4 расставили числа 1, 2 и 3. После этого слева от тех строк и сверху

числа в таблице стёрли. Какие картинки НЕ могли получиться? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. В треугольнике ABC выполнено равенство ∠A = 2∠C. Биссектрисы AD и BE пересекаются

в точке X. Найдите DX, если AB = 5, BD = 3.

Ответ: 2

Решение.

Для начала обозначим ∠C = α, тогда по условию ∠A = 2α, т.е. ∠CAD = ∠DAB = α. Тогда по сумме углов

треугольника ADC выполнено ∠ADC = 180^◦ - 2α, а ∠ADB = 2α.

Будем доказывать, что AB = BD + DX. Отметим на стороне AB такую точку Y,что BY = BD. Тогда по первому

признаку (BY = BD, ∠YBX = ∠DBX, BX = BX) треугольники BDX и BYX равны. Тогда ∠BYX = 2α = ∠BAC,

что означает, что XY ∥ AC.

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. У Даши есть 30 молочных шоколадок, 11 тёмных и 11 белых. Каждый день она съедает

одну из шоколадок. При этом она не ест два дня подряд один и тот же тип шоколада. Кроме того, на следующий день

после молочного она не ест тёмный, после тёмного она не ест белый, после белого - молочный. Какое наибольшее

количество своих шоколадок она сможет съесть таким образом?

Ответ: 34

Решение.

Заметим, что после молочного шоколада Даша всегда ест белый, после белого - тёмный, после тёмного - молоч-

ный. Поэтому за 3 любых последовательных дня Даша съест по одной шоколадке каждого вида. Следовательно, после

33 дней всегда останется только 19 плиток молочного шоколада. Тогда больше 34 шоколадок Даша съесть не сможет.

А ровно 34 - да, для этого ей нужно в первый день съесть молочный шоколад.

Задание 1. Вариант 2. У Даши есть 30 молочных шоколадок, 12 тёмных и 12 белых. Каждый день она съедает

одну из шоколадок. При этом она не ест два дня подряд один и тот же тип шоколада. Кроме того, на следующий день

после молочного она не ест тёмный, после тёмного она не ест белый, после белого - молочный. Какое наибольшее

количество своих шоколадок она сможет съесть таким образом?

Ответ: 37

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. У Даши есть 30 молочных шоколадок, 13 тёмных и 13 белых. Каждый день она съедает

одну из шоколадок. При этом она не ест два дня подряд один и тот же тип шоколада. Кроме того, на следующий день

после молочного она не ест тёмный, после тёмного она не ест белый, после белого - молочный. Какое наибольшее

количество своих шоколадок она сможет съесть таким образом?

Ответ: 40

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. У Даши есть 30 молочных шоколадок, 14 тёмных и 14 белых. Каждый день она съедает

одну из шоколадок. При этом она не ест два дня подряд один и тот же тип шоколада. Кроме того, на следующий день

после молочного она не ест тёмный, после тёмного она не ест белый, после белого - молочный. Какое наибольшее

количество своих шоколадок она сможет съесть таким образом?

Ответ: 43

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. У эксперта был набор из 18 внешне одинаковых гирек: 4 гирьки весом 1 г, 7 гирек весом 2 г

и 7 гирек весом 3 г. После того как две гирьки из набора потерялись, эксперт не может разложить их все на несколько

равных по весу кучек. Какие гирьки были потеряны?

Ответ:

Решение.

Суммарный вес всех гирь равен 4·1+7·2+7·3 = 39. Заметим, что если эксперт потерял две однограммовые гирьки,

то оставшийся суммарный вес гирек равен 39-1-1 = 37 - простое число. Поэтому если эксперт сможет разложить их

на несколько равных куч, то каждая куча должна весить по 1 г, что невозможно, так как есть трёхграммовые гири.

Покажем, что никакие другие гири из набора он не мог потерять:

• Потеряны 1, 2 - подходит разбиение на 2 кучки.

2+2+2+3+3+3+3=1+1+1+2+2+2+3+3+3

• Потеряны 1, 3 - подходит разбиение на 5 кучек.

2+2+3=2+2+3=2+2+3=1+1+2+3=1+3+3

• Потеряны 2, 2 - подходит разбиение на 5 кучек.

2+2+3=2+2+3=1+1+3=1+1+3=1+1+2+3

• Потеряны 2, 3 - подходит разбиение на 2 кучки.

1+1+2+2+2+3+3+3=1+1+2+2+2+3+3+3

• Потеряны 3, 3 - подходит разбиение на 3 кучки.

1+1+2+2+2+3=1+2+2+3+3=1+2+2+3+3

Задание 2. Вариант 2. У эксперта был набор из 19 внешне одинаковых гирек: 5 гирек весом 1 г, 7 гирек весом 2 г и

7 гирек весом 3 г. После того как две гирьки из набора потерялись, эксперт не может разложить их все на несколько

равных по весу кучек. Какие гирьки были потеряны?

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. У эксперта был набор из 21 внешне одинаковой гирьки: 7 гирек весом 1 г, 7 гирек весом 2 г

равных по весу кучек. Какие гирьки были потеряны?

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) биссектриса угла A перпендикулярна боковой стороне CD.

Найдите среднюю линию этой трапеции, если AD = 4, AB = 3.

Ответ: 2.5

Решение.

Продлим боковые стороны AB и CD трапеции до пересечения в точке X. Заметим, что треугольник ADX равно-

бедренный, так как в нём биссектриса совпадает с высотой, т.е. AD = AX. Заметим, что треугольник XBC подобен

треугольнику XAD и потому тоже равнобедренный, так что BC = XB = AX - AB = AD - AB.

Заметим, что тогда средняя линия трапеции равна

AD + BC

AD + (AD - AB)

2AD - AB

2·4-3

= 2.5.

Задание 3. Вариант 2. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) биссектриса угла A перпендикулярна боковой стороне CD.

Найдите среднюю линию этой трапеции, если AD = 5, AB = 3.

Ответ: 3.5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) биссектриса угла A перпендикулярна боковой стороне CD.

Найдите среднюю линию этой трапеции, если AD = 7, AB = 5.

Ответ: 4.5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. В трапеции ABCD (BC ∥ AD) биссектриса угла A перпендикулярна боковой стороне CD.

Найдите среднюю линию этой трапеции, если AD = 8, AB = 5.

Ответ: 5.5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. В одной стране действует прогрессивная система налогообложения. Если человек зараба-

тывает до 1000 тугриков, то он платит 10 % налогов. Если он зарабатывает больше 1000 тугриков, то с 1000 тугриков

он платит 10 % налогов, а со всей оставшейся суммы он платит 30 % налогов.

Настя в 2023 году заработала больше 1000 тугриков, а в 2024 году заработала на 80 % больше, чем в 2023 году.

При этом после вычета налогов в 2024 году она получила на 70 % больше, чем в 2023 году. Сколько заработала Настя

в 2023 году?

Ответ: 2000

Решение.

Обозначим сумму в тугриках, которую заработала Настя в 2023 году, через x. Тогда в 2024 году она заработала

1.8x тугриков. Теперь вычислим, сколько Настя получила в 2023 и в 2024 годах. Поскольку в 2023 году Настя зара-

ботала больше 1000 тугриков, 1000 тугриков облагались налогом в 10 %, а оставшиеся x - 1000 тугриков - в 30 %.

Таким образом, в 2023 году Настя после уплаты налогов получила 900 + 0.7(x - 1000) = 0.7x + 200 тугриков.

В 2024 году Настя заработала больше, чем в 2023 году, то есть также больше 1000 тугриков. Значит, 1000 тугриков

облагались налогом в 10 %, а оставшиеся 1.8x - 1000 - в 30 %. Значит, после уплаты налогов в 2024 году Настя

заработала 900 + 0.7(1.8x - 1000) = 1.26x + 200 тугриков. Получаем уравнение 1.26x + 200 = 1.7(0.7x + 200), откуда

1.26x + 200 = 1.19x + 340. Таким образом, 0.07x = 140, откуда x = 2000. Значит, Настя заработала 2000 тугриков

в 2023 году.

Задание 4. Вариант 2. В одной стране действует прогрессивная система налогообложения. Если человек зараба-

тывает до 2000 тугриков, то он платит 10 % налогов. Если он зарабатывает больше 2000 тугриков, то с 2000 тугриков

он платит 10 % налогов, а со всей оставшейся суммы он платит 30 % налогов.

Настя в 2023 году заработала больше 2000 тугриков, а в 2024 году заработала на 80 % больше, чем в 2023 году.

При этом после вычета налогов в 2024 году она получила на 70 % больше, чем в 2023 году. Сколько заработала Настя

в 2023 году?

Ответ: 4000

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. В одной стране действует прогрессивная система налогообложения. Если человек зараба-

тывает до 3000 тугриков, то он платит 10 % налогов. Если он зарабатывает больше 3000 тугриков, то с 3000 тугриков

он платит 10 % налогов, а со всей оставшейся суммы он платит 30 % налогов.

Настя в 2023 году заработала больше 3000 тугриков, а в 2024 году заработала на 80 % больше, чем в 2023 году.

При этом после вычета налогов в 2024 году она получила на 70 % больше, чем в 2023 году. Сколько заработала Настя

в 2023 году?

Ответ: 6000

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. В одной стране действует прогрессивная система налогообложения. Если человек зараба-

тывает до 4000 тугриков, то он платит 10 % налогов. Если он зарабатывает больше 4000 тугриков, то с 4000 тугриков

он платит 10 % налогов, а со всей оставшейся суммы он платит 30 % налогов.

Настя в 2023 году заработала больше 4000 тугриков, а в 2024 году заработала на 80 % больше, чем в 2023 году.

При этом после вычета налогов в 2024 году она получила на 70 % больше, чем в 2023 году. Сколько заработала Настя

в 2023 году?

Ответ: 8000

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. Петя загадал трёхзначное число, состоящее из различных ненулевых цифр. Сумма этого

числа и всех трёхзначных чисел, которые могут быть получены из него перестановкой цифр, равна 4440. Какое

наименьшее число мог загадать Петя?

Ответ: 389

Решение.

Пусть Петя написал число abc = 100a + 10b + c. Тогда у него также написаны числа acb, bac, bca, cab, cba. Сумма

этих чисел равна:

(100a + 10b + c) + (100a + 10c + b) + (100b + 10a + c) + (100b + 10c + a) + (100c + 10a + b) + (100c + 10b + a) =

= (200 + 20 + 2)(a + b + c) = 4440.

Получаем, что a + b + c = 20. Несложно видеть, что наименьшее число, состоящее из ненулевых различных цифр

с суммой 20, равно 389.

Задание 5. Вариант 2. Петя загадал трёхзначное число, состоящее из различных ненулевых цифр. Сумма этого

числа и всех трёхзначных чисел, которые могут быть получены из него перестановкой цифр, равна 4662. Какое

наименьшее число мог загадать Петя?

Ответ: 489

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. Петя загадал трёхзначное число, состоящее из различных ненулевых цифр. Сумма этого

числа и всех трёхзначных чисел, которые могут быть получены из него перестановкой цифр, равна 4884. Какое

наименьшее число мог загадать Петя?

Ответ: 589

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. Петя загадал трёхзначное число, состоящее из различных ненулевых цифр. Сумма этого

числа и всех трёхзначных чисел, которые могут быть получены из него перестановкой цифр, равна 5106. Какое

наименьшее число мог загадать Петя?

Ответ: 689

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. На ферме 25 свиней живут в свинарнике 5 × 5, разделённом перегородками так, что каждая

свинья имеет свой загончик 1 × 1. Все загончики разделены между собой перегородками. Однажды, испугавшись

землетрясения, некоторые свиньи перебежали в соседние загончики, а некоторые остались в своих. Когда пришёл

фермер, он увидел следующую картину повреждений:

Пунктирными линиями обозначены перегородки, которые были сломаны перебегающими свиньями. Сколько сви-

ней могли остаться в своём загончике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное

поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓5

✓6

✓7

✓8

Решение.

Видно, что весь квадрат 5 × 5 разбит на отдельные фигуры. Каждая свинья могла перебежать только внутри своей

фигуры, поэтому достаточно рассматривать каждую фигуру по отдельности.

Рассмотрим пятиклеточную фигуру, состоящую из клеток 1, 2, 3, 7, 8. В этой фигуре 5 клеток и сломано тоже

5 перегородок. Поскольку для того, чтобы перегородка была сломана, через неё должна пробежать хотя бы одна

свинья, а каждая свинья ломает не более одной перегородки, получаем, что каждая из пяти свиней должна куда-то

перебежать. Значит, в этой фигуре на месте осталось 0 свиней. Для второй такой фигуры (из клеток 6, 11, 12, 16, 17)

рассуждение аналогично.

Для квадратов 1 × 1 (клетки 4, 5, 13, 14, 15) понятно, что свиньи остались внутри них.

Рассмотрим прямоугольник 1 × n, где n ⩾ 2 (на картинке есть три таких фигуры: (9, 10), (18, 19, 20), (21, 22, 23, 24, 25)).

В нём клеток, а сломанных перегородок

- 1. Таким образом, перебежать должна была хотя бы

- 1 свинья, т.е.

осталось на месте не более одной. При этом возможны оба случая: когда перебежали все и когда одна осталась на месте.

Первый случай возможен, если с левых

- 1 клеток свиньи перебежали вправо, а свинья в правой клетке перебежала

влево. Второй случай возможен, если свинья в правой клетке осталась на месте, а остальные перебежали вправо.

Таким образом получаем, что в пяти фигурах точно есть ровно по одной свинье, оставшейся на месте. А кроме

этого, в трёх фигурах число оставшихся на месте свиней равно либо 0, либо 1, причём эти числа не зависят друг

от друга. Значит, количество свиней, оставшихся на месте, может быть любым натуральным числом от 5 до 8, т.е.

ответом является набор чисел 5, 6, 7, 8.

Задание 6. Вариант 2. На ферме 25 свиней живут в свинарнике 5 × 5, разделённом перегородками так, что каждая

свинья имеет свой загончик 1 × 1. Все загончики разделены между собой перегородками. Однажды, испугавшись

землетрясения, некоторые свиньи перебежали в соседние загончики, а некоторые остались в своих. Когда пришёл

фермер, он увидел следующую картину повреждений:

Пунктирными линиями обозначены перегородки, которые были сломаны перебегающими свиньями. Сколько сви-

ней могли остаться в своём загончике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное

поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓6

✓7

✓8

✓9

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. На ферме 25 свиней живут в свинарнике 5 × 5, разделённом перегородками так, что каждая

свинья имеет свой загончик 1 × 1. Все загончики разделены между собой перегородками. Однажды, испугавшись

землетрясения, некоторые свиньи перебежали в соседние загончики, а некоторые остались в своих. Когда пришёл

фермер, он увидел следующую картину повреждений:

Пунктирными линиями обозначены перегородки, которые были сломаны перебегающими свиньями. Сколько сви-

ней могли остаться в своём загончике? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное

поле, добавляя их при необходимости.

Ответ:

✓7

✓8

✓9

✓10

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. Колонизаторам Марса нужно доставить в лагерь образцы почвы. В их распоряжении

имеются 3 беспилотных машины, которые могут переносить образцы. У одной при полном баке запаса топлива хватит

на 4000 метров, у второй - на 3400 метров, у третьей - на 3000 метров. Изначально все машины находятся в лагере

и колонизаторы могут перекладывать образцы из одной машины в другую. С какого максимального расстояния

удастся взять пробы грунта? Ответ выразите в метрах. В конце машины могут находиться где угодно. Топливо между

машинами передавать нельзя, машины не могут буксировать друг друга.

Ответ: 3225

Решение.

Задание 7. Вариант 2. Колонизаторам Марса нужно доставить в лагерь образцы почвы. В их распоряжении име-

ются 3 беспилотных машины, которые могут переносить образцы. У одной при полном баке запаса топлива хватит

на 12000 метров, у второй - на 10200 метров, у третьей - на 9000 метров. Изначально все машины находятся в ла-

гере и колонизаторы могут перекладывать образцы из одной машины в другую. С какого максимального расстояния

машинами передавать нельзя, машины не могут буксировать друг друга.

Ответ: 9675

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. Колонизаторам Марса нужно доставить в лагерь образцы почвы. В их распоряжении име-

ются 3 беспилотных машины, которые могут переносить образцы. У одной при полном баке запаса топлива хватит

на 20000 метров, у второй - на 17000 метров, у третьей - на 15000 метров. Изначально все машины находятся в ла-

гере и колонизаторы могут перекладывать образцы из одной машины в другую. С какого максимального расстояния

машинами передавать нельзя, машины не могут буксировать друг друга.

Ответ: 16125

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на ри-

сунке. A и B - вершины, C - середина стороны одного из треугольников.

Найдите AC, если известно, что AB = 10.

Ответ: 15

Решение.

Отметим точки D и M, как на рисунке.

Опустим из точки A перпендикуляр AS на прямую MD. Заметим, что AM = MD, поскольку AM является ме-

дианой прямоугольного треугольника, AD = MD, поскольку они являются соответствующими сторонами в равных

треугольниках. Тогда треугольник AMD равносторонний, поэтому S является серединой отрезка MD. Тогда, по-

скольку CS является средней линией прямоугольника, он равняется длинному катету прямоугольного треугольника,

то есть AB. Заметим, что в прямоугольном треугольнике ABD выполнено равенство BD = 2AD, таким образом,

∠ABD = 30^◦, и все отмеченные на картинке красные углы равны 30^◦.

В прямоугольном треугольнике ABS также выполнено равенство ∠ABS = 30^◦, и потому AB = 2AS. Тогда

AS + 2AS

2AS

Таким образом, AC =

AB = 15.

Задание 8. Вариант 2. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на ри-

сунке. A и B - вершины, C - середина стороны одного из треугольников.

Найдите AC, если известно, что AB = 12.

Ответ: 18

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Четыре одинаковых прямоугольных треугольника расположены так, как показано на ри-

сунке. A и B - вершины, C - середина стороны одного из треугольников.

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными

точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты x, x² и 3x, как показано на рисунке.

Чему равно расстояние между двумя соседними отмеченными точками?

Ответ: 3/4

Решение.

Задание 1. Вариант 2. На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными

точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты x, x² и 4x, как показано на рисунке.

Чему равно расстояние между двумя соседними отмеченными точками?

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными

точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты x, x² и 3x, как показано на рисунке.

Чему равно расстояние между двумя соседними отмеченными точками?

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. На прямой отмечены точки, расстояния между любыми двумя соседними отмеченными

точками равны. Известно, что три из этих точек имеют координаты x, x² и 2x, как показано на рисунке.

Чему равно расстояние между двумя соседними отмеченными точками?

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 50 г,

второй - максимум 40 г, третий - максимум 80 г. Вчера ёжики несли на себе суммарно 150 г. А сегодня первый ёжик

несёт столько же, сколько вчера, второй - в два раза больше, чем вчера, третий - в 4 раза меньше, чем вчера. Какова

суммарная масса груза, который несут на себе сегодня ёжики? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 110

Решение.

Вчера второй ёжик нёс на себе не более 20 г, первый - не более 50 г, третий - не более 80 г, то есть всего они

переносили не более 150 г. Но по условию они переносили ровно 150 г, что возможно только в случае, когда первый

нёс на себе 50 г, второй - 20 г, третий - 80 г. Поэтому сегодня они переносят 50 + 2 · 20 +

= 110 г.

Задание 2. Вариант 2. Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 40 г,

второй - максимум 50 г, третий - максимум 120 г. Вчера ёжики несли на себе суммарно 185 г. А сегодня первый

ёжик несёт столько же, сколько вчера, второй - в два раза больше, чем вчера, третий - в 3 раза меньше, чем вчера.

Какова суммарная масса груза, который несут на себе сегодня ёжики? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 130

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 60 г,

второй - максимум 100 г, третий - максимум 90 г. Вчера ёжики несли на себе суммарно 200 г. А сегодня первый

ёжик несёт столько же, сколько вчера, второй - в два раза больше, чем вчера, третий - в 3 раза меньше, чем вчера.

Какова суммарная масса груза, который несут на себе сегодня ёжики? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 190

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. Три ёжика переносят на себе заготовки на зиму. Первый ёжик может нести максимум 50 г,

второй - максимум 60 г, третий - максимум 90 г. Вчера ёжики несли на себе суммарно 160 г. А сегодня первый ёжик

несёт столько же, сколько вчера, второй - в три раза больше, чем вчера, третий - в 3 раза меньше, чем вчера. Какова

суммарная масса груза, который несут на себе сегодня ёжики? Ответ выразите в граммах.

Ответ: 140

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Команды «Зенит», «Динамо» и «Локомотив» играли в волейбол. В каждом матче участво-

вали две из этих команд, в волейболе не бывает ничьих. Команда «Зенит» выиграла 10 матчей и проиграла 7 матчей.

Команда «Динамо» выиграла 8 матчей и проиграла 17 матчей. Команда «Локомотив» проиграла 9 матчей. Сколько

матчей выиграла команда «Локомотив»?

Ответ: 15

Решение.

Заметим, что суммарное количество выигранных матчей равно суммарному количеству проигранных матчей,

так как каждый матч по одному разу засчитывается и в выигранные, и в проигранные. Если обозначить за x ко-

личество выигранных «Локомотивом» матчей, то получаем уравнение

10 + 8 + x = 7 + 17 + 9,

откуда x = 15.

Задание 3. Вариант 2. Команды «Зенит», «Динамо» и «Локомотив» играли в волейбол. В каждом матче участвова-

ли две из этих команд, в волейболе не бывает ничьих. Команда «Зенит» выиграла 10 матчей и проиграла 17 матчей.

Команда «Динамо» выиграла 19 матчей и проиграла 4 матча. Команда «Локомотив» выиграла 3 матча. Сколько

матчей проиграла команда «Локомотив»?

Ответ: 11

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Команды «Зенит», «Динамо» и «Локомотив» играли в волейбол. В каждом матче участво-

вали две из этих команд, в волейболе не бывает ничьих. Команда «Зенит» выиграла 9 матчей и проиграла 20 матчей.

Команда «Динамо» выиграла 18 матчей и проиграла 6 матчей. Команда «Локомотив» выиграла 7 матчей. Сколько

матчей проиграла команда «Локомотив»?

Ответ: 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. Команды «Зенит», «Динамо» и «Локомотив» играли в волейбол. В каждом матче участво-

вали две из этих команд, в волейболе не бывает ничьих. Команда «Зенит» выиграла 2 матчей и проиграла 10 матчей.

Команда «Динамо» выиграла 13 матчей и проиграла 6 матчей. Команда «Локомотив» проиграла 9 матчей. Сколько

матчей выиграла команда «Локомотив»?

Ответ: 10

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1.

Четыре действительных числа a, b, c и d удовлетворяют условиям

a <b <c <d и

Какие из следующих выражений обязательно положительны?

Ответ:

• a+b+c+d

✓ -a - b + c + d

✓ -a - b - c + d

• a-b+c-d

• -a + b + c - d

Решение.

Задание 4. Вариант 2.

Четыре действительных числа a, b, c и d удовлетворяют условиям

a <b <c <d и

Какие из следующих выражений обязательно положительны?

Ответ:

• a-b+c+d

✓ -a + b + c + d

✓ -a + b - c + d

• a+b+c-d

• -a - b + c - d

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3.

Четыре действительных числа a, b, c и d удовлетворяют условиям

a <b <c <d и

Какие из следующих выражений обязательно положительны?

Ответ:

✓ -a + b - c + d

✓ -a - b - c + d

✓ -a - b + c + d

• a-b-c-d

• -a + b - c - d

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4.

Четыре действительных числа a, b, c и d удовлетворяют условиям

a <b <c <d и

Какие из следующих выражений обязательно положительны?

Ответ:

✓ -a + b - c + d

✓ -a - b + c + d

✓ -a + b + c + d

• a+b+c-d

• -a + b + c - d

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. Две черепахи движутся по линиям сетки прямоугольника 5 × 6 со стороной 1, стартуя

одновременно: одна из точки A, другая - из B.

Черепаха, стартующая из A, всегда движется вправо или вверх, а черепаха, стартующая из B, всегда движется влево

или вниз. Скорость черепахи, стартующей из A, составляет две трети скорости другой черепахи. Сколько существует

единичных отрезков сетки, на которых черепахи могут встретиться?

Ответ: 10

Решение.

Посмотрим на точку встречи. Объединённые пути черепашек образуют путь из точки A в точку B, который всегда

идёт вправо или вверх. Поэтому суммарно черепашки пройдут путь из 11 отрезков: 6 вправо и 5 вверх.

Пусть скорость черепашки A равна 2x отрезков в минуту, тогда скорость черепашки B равна 3x. Значит, ско-

рость сближения черепашек равна 5x, т.е. черепашки встретятся через

минуты. Значит, до встречи черепашка A

проползёт

· 2x =

длины отрезков.

Посмотрим, на каких отрезках может оказаться черепашка A, если проползёт

длины отрезков:

Несложно видеть, что в каждой из точек, где может оказаться A, может оказаться и B. Итого, черепашки могут

встретиться на 10 отрезках.

Задание 5. Вариант 2. Две черепахи движутся по линиям сетки прямоугольника 7 × 8 со стороной 1, стартуя

одновременно: одна из точки A, другая - из B.

Черепаха, стартующая из A, всегда движется вправо или вверх, а черепаха, стартующая из B, всегда движется

влево или вниз. Скорость черепахи, стартующей из A, составляет три четверти скорости другой черепахи. Сколько

существует единичных отрезков сетки, на которых черепахи могут встретиться?

Ответ: 14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. Две черепахи движутся по линиям сетки прямоугольника 9 × 5 со стороной 1, стартуя

одновременно: одна из точки A, другая - из B.

Черепаха, стартующая из A, всегда движется вправо или вверх, а черепаха, стартующая из B, всегда движется

влево или вниз. Скорость черепахи, стартующей из A, в полтора раза больше скорости другой черепахи. Сколько

существует единичных отрезков сетки, на которых черепахи могут встретиться?

Ответ: 11

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. Две черепахи движутся по линиям сетки прямоугольника 7 × 5 со стороной 1, стартуя

одновременно: одна из точки A, другая -- из B.

Черепаха, стартующая из A, всегда движется вправо или вверх, а черепаха, стартующая из B, всегда движется

влево или вниз. Скорость черепахи, стартующей из A, составляет две пятых скорости другой черепахи. Сколько

существует единичных отрезков сетки, на которых черепахи могут встретиться?

Ответ: 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. Петя написал на доске 7 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил,

что:

• сумма любых трёх из них делится на 3;

• сумма любых четырёх из них делится на 4;

• сумма любых пяти из них делится на 5.

Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.

Ответ: 361

Решение.

Докажем, что все числа дают одинаковые остатки при делении на 3, 4 и 5.

Обозначим через s сумму трёх чисел, отличных от каких-то двух a и b. Тогда s + a и s + b делятся на 3, откуда

получаем, что a -b делится на 3, это и значит, что числа a и b дают одинаковые остатки при делении на 3. Аналогично

доказывается, что любые два числа дают одинаковые остатки при делении на 3, на 4 и на 5.

Значит, разность любых двух чисел делится на НОК(3, 4, 5) = 60, т.е. разность любых двух чисел не меньше 60.

Тогда наибольшее число не меньше 1 + 60 · 6 = 361.

При этом числа 1, 61, 121, 181, 241, 301, 361 подходят под условие, так как все они дают остатки 1 при делении

на каждое из чисел 3, 4, 5.

Задание 6. Вариант 2. Петя написал на доске 11 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил,

что:

• сумма любых трёх из них делится на 3;

• сумма любых четырёх из них делится на 4;

• сумма любых семи из них делится на 7.

Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.

Ответ: 841

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. Петя написал на доске 11 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил,

что:

• сумма любых трёх из них делится на 3;

• сумма любых пяти из них делится на 5;

• сумма любых восьми из них делится на 8.

Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.

Ответ: 1201

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. Петя написал на доске 10 натуральных чисел, среди которых нет одинаковых, и заметил,

что:

• сумма любых пяти из них делится на 5;

• сумма любых шести из них делится на 6;

• сумма любых семи из них делится на 7.

Найдите наименьшее возможное значение наибольшего из написанных на доске чисел.

Ответ: 1891

Решение по аналогии с вариантом 1

Какую наименьшую длину может иметь отрезок AP? Через S_XYZ обозначается площадь треугольника XYZ.

Ответ: 9

Решение.

Заметим, что

S_ABC = S_ABP + S_ACP + S_BCP = 4S_BCP.

У треугольников PBC и ABC общее основание BC, поэтому высота из точки P на сторону BC в четыре раза меньше,

чем высота из A.

Значит, условие равносильно тому, что P лежит на прямой, на расстоянии 1/4 высоты из точки A. Ближайшая

к A точка на этой прямой - основание высоты из точки A, т.е. на расстоянии 3/4 от высоты треугольника (см. чертёж)

√

Осталось посчитать длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной 8

3 Это можно сделать многими

способами, мы воспользуемся теоремой Пифагора:

Задание 8. Вариант 1. Действительные числа x₁, x₂, x₃, x₄ таковы, что x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 10 и

2 +x3 +x4

= 25.

1 +x3 +x4

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

x₁

2x₂

3x₃

4x₄

Чему равно значение выражения

2 +x3 +x4

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

Ответ: 240

Решение.

Решим задачу, когда x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = a и

= b.

2 +x3 +x4

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

Каждое слагаемое из искомой суммы можно представить в виде

(

)

kx_k

-1 ,

a-x_k

где k = 1, 2, 3, 4. Следовательно,

(

)

1x₁

2x₂

3x₃

4x₄

- (1 + 2 + 3 + 4).

a-x₁

a-x₂

a-x₃

a-x₄

a-x₁

a-x₂

a-x₃

a-x₄

Так как по условию

= b, и 1 + 2 + 3 + 4 = 10, получаем ответ: ab - 10.

a-x

a-x₂

a-x₃

a-x₄

Задание 8. Вариант 2. Действительные числа x₁, x₂, x₃, x₄ таковы, что x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 5 и

2 +x3 +x4

= 24.

1 +x3 +x4

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

x₁

2x₂

3x₃

4x4

Чему равно значение выражения

x₂ + x₃ + x₄

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

Ответ: 110

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Действительные числа x₁, x₂, x₃, x₄ таковы, что x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 6 и

x₂ + x₃ + x₄

= 15.

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

x₁

2x₂

3x₃

4x₄

Чему равно значение выражения

x₂ + x₃ + x₄

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

Ответ: 80

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 4. Действительные числа x₁, x₂, x₃, x₄ таковы, что x₁ + x₂ + x₃ + x₄ = 20 и

x₂ + x₃ + x₄

= 13.

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

x₁

2x₂

3x₃

4x₄

Чему равно значение выражения

x₂ + x₃ + x₄

x₁ + x₃ + x₄

x₁ + x₂ + x₄

x₁ + x₂ + x₃

Ответ: 250

Решение по аналогии с вариантом 1

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. Прямоугольник 2 × 3 и прямоугольник 3 × 4 поместили внутрь квадрата с целочисленной

стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать друг друга. Какую наименьшую площадь

может иметь квадрат?

Ответ: 25

Решение.

Заметим, что поместить оба указанных прямоугольника в квадрат 4×4 или меньший не удастся, так как суммарная

площадь прямоугольников равна 6+12 = 18, что больше, чем площадь квадрата 4×4, которая равна 16. Как поместить

прямоугольники в квадрат 5 × 5, указано на рисунке:

Задание 1. Вариант 2. Прямоугольник 3 × 5 и прямоугольник 4 × 3 поместили внутрь квадрата с целочисленной

стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать друг друга. Какую наименьшую площадь

может иметь квадрат?

Ответ: 36

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. Прямоугольник 3 × 6 и прямоугольник 4 × 5 поместили внутрь квадрата с целочисленной

стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать друг друга. Какую наименьшую площадь

может иметь квадрат?

Ответ: 49

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. Прямоугольник 4 × 7 и прямоугольник 6 × 4 поместили внутрь квадрата с целочисленной

стороной так, что они могут иметь общие точки, но не могут перекрывать друг друга. Какую наименьшую площадь

может иметь квадрат?

Ответ: 64

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. Участниками чемпионата по вольной борьбе являются мужчины и женщины. Количество

женщин составляет 52 % от общего числа участников, а их суммарный вес - 48 % общего веса участников. Найдите

отношение среднего веса мужчин к среднему весу женщин. Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 169/144

Решение.

Пусть в чемпионате участвуют x мужчин и y женщин.

Тогда по условию y = 0.52(x + y) или 0.48y = 0.52x (1).

Пусть S₁ - средний вес мужчин, S₂ - средний вес женщин. Тогда y · S₂ - суммарный вес женщин, а x · S₁ + y · S₂ -

суммарный вес всех участников.

S₁

0.52²x

0.52²

13²

169

S₂

0.48²x

0.48²

12²

144

Задание 2. Вариант 2. Участниками чемпионата по вольной борьбе являются мужчины и женщины. Количество

женщин составляет 56 % от общего числа участников, а их суммарный вес - 44 % общего веса участников. Найдите

отношение среднего веса мужчин к среднему весу женщин. Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 196/121

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. Участниками чемпионата по вольной борьбе являются мужчины и женщины. Количество

женщин составляет 54 % от общего числа участников, а их суммарный вес - 46 % общего веса участников. Найдите

отношение среднего веса мужчин к среднему весу женщин. Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 729/529

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. Участниками чемпионата по вольной борьбе являются мужчины и женщины. Количество

женщин составляет 58 % от общего числа участников, а их суммарный вес - 42 % общего веса участников. Найдите

отношение среднего веса мужчин к среднему весу женщин. Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 841/441

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал

ошибку в одном из чисел: написал десятки на месте единиц, а единицы на месте десятков, поэтому результат оказался

на 1449 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске?

Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.

Ответ:

✓ 41

✓ 52

Решение.

Пусть исходные двузначные числа имеют вид ab и cd. Тогда из условия следует, что

ab · cd + 1449 = ab · dc.

Перепишем последнее равенство в виде

ab(dc - cd) = 1449. ⇔ ab · 9(d - c) = 1449 ⇔ ab · (d - c) = 161 = 23 · 7.

Так как 23 - простое число, a, d, c - цифры, последнее равенство возможно, только если d - c = 7 и ab = 23.

Так как d, c - цифры и c ≠ 0, либо d = 8, c = 1, либо d = 9, c = 2.

Получаем две пары чисел ab и cd: (23, 18) и (23, 29). Проверкой убеждаемся, что они подходят. Суммы чисел

в парах равны 41 и 52 соответственно.

Задание 3. Вариант 2. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал

на 1197 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске?

Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.

Ответ:

✓ 37

✓ 48

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал

на 1827 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске?

Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.

Ответ:

✓ 48

✓ 58

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. Петя переписал в тетрадь два двузначных числа с доски и перемножил их. Он сделал

на 1071 больше, чем должен был быть. Какие числа были записаны на доске?

Укажите все подходящие варианты. Для каждой возможной пары чисел в качестве ответа запишите их сумму.

Ответ:

✓ 35

✓ 46

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. Компьютер генерирует 2 натуральных случайных числа x, y в диапазоне от 1 до 32.

На плоскости рассматривается точка A с координатами (x,y). Какова вероятность, что расстояния от точки A до точек

с координатами (1,1), (1,32), (32,1), (32,32) попарно различны? Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 15/16

Решение.

Заметим, что всего различных точек с координатами в диапазоне от 1 до 32 будет 32 · 32 = 1024.

Точки с координатами (1,1), (1,32), (32,1), (32,32) являются вершинами квадрата со стороной 32.

Оси симметрии квадрата - это его диагонали и прямые, проходящие через середины противоположных сторон.

Расстояния от A до вершин квадрата попарно различны тогда и только тогда, когда точка A не лежит на осях

симметрии квадрата.

Заметим, что средние линии данного квадрата не проходят через целочисленные точки, поэтому ни одна из на-

ших случайных точек на средних линиях не окажется. Тогда достаточно исключить точки диагоналей. На каждой

из диагоналей квадрата находится по 32 точки с целыми координатами, при этом точка пересечения диагоналей не це-

лочисленная, поэтому дважды мы ничего не посчитаем. Значит, вероятность того, что расстояния от сгенерированной

1024 - 32 - 32

960

точки до вершин квадрата попарно различны, равна

1024

Задание 4. Вариант 2. Компьютер генерирует 2 натуральных случайных числа x, y в диапазоне от 1 до 34. На плос-

кости рассматривается точка A с координатами (x,y). Какова вероятность, что расстояния от точки A до точек с ко-

ординатами (1,1), (1,34), (34,1), (34,34) попарно различны? Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 16/17

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. Компьютер генерирует 2 натуральных случайных числа x, y в диапазоне от 1 до 28. На плос-

кости рассматривается точка A с координатами (x,y). Какова вероятность, что расстояния от точки A до точек с ко-

ординатами (1,1), (1,28), (28,1), (28,28) попарно различны? Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 13/14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. Компьютер генерирует 2 натуральных случайных числа x, y в диапазоне от 1 до 26. На плос-

кости рассматривается точка A с координатами (x,y). Какова вероятность, что расстояния от точки A до точек с ко-

ординатами (1,1), (1,26), (26,1), (26,26) попарно различны? Ответ выразите в виде обыкновенной дроби.

Ответ: 12/13

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1.

Пусть a, b - целые числа, такие, что все корни уравнения

(x² - ax + 20)(x² + 17x + b) = 0

являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное значение числа a и наименьшее возмож-

ное значение числа b.

Ответ: a = -21, b = 16

Решение.

Каждая из скобок в левой части представляет собой приведённый квадратный трёхчлен, имеющий не более двух

корней. Корни каждого из трёхчленов не зависят от корней другого трёхчлена, поэтому можно их рассматривать

отдельно.

числа, дающие -17 в сумме и минимальное по модулю произведение. При фиксированной сумме произведение будет

минимальным, если числа находятся максимально далеко друг от друга. Действительно, для чисел n - a и n + a (a ≥ 0)

с фиксированной суммой n - a + n + a = 2n их произведение (n - a)(n + a) = n² - a² тем меньше, чем больше a.

Получается, что x₃ = -1, x₄ = -16 значит b = 16.

Задание 5. Вариант 2. Пусть a, b - целые числа, такие, что все корни уравнения

(x² - ax + 22)(x² + 15x + b) = 0

являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное значение числа a и наименьшее возмож-

ное значение числа b.

Ответ: a = -23, b = 14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. Пусть a, b - целые числа, такие, что все корни уравнения

(x² - ax + 25)(x² + 19x + b) = 0

являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное значение числа a и наименьшее возмож-

ное значение числа b.

Ответ: a = -26, b = 18

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. Пусть a, b - целые числа, такие, что все корни уравнения

(x² - ax + 23)(x² + 13x + b) = 0

являются отрицательными целыми числами. Найдите наименьшее возможное значение числа a и наименьшее возмож-

ное значение числа b.

Ответ: a = -24, b = 12

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. На доске написаны числа

1, 2, . . . , k. Двое игроков по очереди вычёркивают по одному

числу. Если после очередного хода сумма невычеркнутых чисел стала кратна 3, то игра заканчивается и сделавший

последний ход проигрывает. При каком k игрок, ходящий вторым, имеет выигрышную стратегию? Выберите все

подходящие варианты.

Ответ:

• 20

✓ 25

• 26

✓ 27

Решение.

Рассмотрим все значения k по модулю 6.

для случая k = 6n + 1. Если t = 1, то теперь сумма чисел на доске даёт остаток 2 от деления на 3; на доске по 2n

чисел, дающих остатки 0 и 1 от деления на 3, и 2n + 1 число, дающее остаток 2 от деления на 3.

Стратегия второго состоит в том, что если первый взял своим предыдущим ходом число a, то второй берёт такое b,

что a + b

3. В обосновании этой стратегии осталось заметить, что после обмена ходов сумма всех чисел на доске

сохраняет остаток 2 от деления на 3; количество остатков 0 сохраняет чётность; число остатков 2 остаётся больше

числа остатков 1, поэтому у второго игрока всегда есть ход.

Замечание. Аналогично можно доказать, что при k = 6n + 4 и k = 6n первый игрок имеет выигрышную стратегию,

а при k = 6n + 5 выигрышную стратегию имеет второй игрок. В условии задачи не приводятся варианты ответа

с такими k, поэтому разбор этих случаев оставляем читателю.

Задание 6. Вариант 2. На доске написаны числа

1, 2, . . . , k. Двое игроков по очереди вычёркивают по одному

числу. Если после очередного хода сумма невычеркнутых чисел стала кратна 3, то игра заканчивается и сделавший

последний ход проигрывает. При каком k игрок, ходящий вторым, имеет выигрышную стратегию? Выберите все

подходящие варианты.

Ответ:

• 32

• 38

✓ 39

✓ 43

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. На доске написаны числа 1, 2, . . . , k. Двое игроков по очереди вычёркивают по одному

числу. Если после очередного хода сумма невычеркнутых чисел стала кратна 3, то игра заканчивается и сделавший

последний ход проигрывает. При каком k игрок, ходящий первым, имеет выигрышную стратегию? Выберите все

подходящие варианты.

Ответ:

✓ 32

• 33

• 37

✓ 50

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. На доске написаны числа 1, 2, . . . , k. Двое игроков по очереди вычёркивают по одному

числу. Если после очередного хода сумма невычеркнутых чисел стала кратна 3, то игра заканчивается и сделавший

последний ход проигрывает. При каком k игрок, ходящий первым, имеет выигрышную стратегию? Выберите все

подходящие варианты.

Ответ:

• 33

• 37

✓ 38

✓ 44

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. На луче OA расположены точки B и C так, что OA : OB : OC = 3 : 4 : 6. Точка D выбрана

так, что OD и DB перпендикулярны. Найдите CD, если AD = 5.

Ответ: 10

Решение.

Обозначим OC за 6x, тогда OA = 3x, OB = 4x, AB = OB - OA = x, BC = OC - OB = 2x. Пусть точка E -

середина OB, тогда OE = 1/2 OB = 2x, AE = OA - OE = x. Медиана DE прямоугольного треугольника ODB равна

половине гипотенузы, поэтому DE = OE = 2x. Рассмотрим треугольники DEA и CED. Эти треугольники подобны,

так как у них общий угол ∠DEC и

. Из подобия треугольников получаем, что DC = 2AD = 10.

Задание 7. Вариант 2. На луче OA расположены точки B и C так, что OA : OB : OC = 2 : 3 : 6. Точка D выбрана

так, что OD и DB перпендикулярны. Найдите CD, если AD = 6.

Ответ: 18

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. На луче OA расположены точки B и C так, что OA : OB : OC = 3 : 4 : 6. Точка D выбрана

так, что OD и DB перпендикулярны. Найдите CD, если AD = 6.

Ответ: 12

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 4. На луче OA расположены точки B и C так, что OA : OB : OC = 2 : 3 : 6. Точка D выбрана

так, что OD и DB перпендикулярны. Найдите CD, если AD = 5.

Ответ: 15

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. Компания из десяти человек удовлетворяет условию: если два человека знакомы, то у одного

из них не более двух знакомых в этой компании. Найдите наибольшее возможное количество пар знакомых в этой

компании.

Ответ: 16

Решение.

Переформулируем задачу на язык графов. Рассмотрим граф, в котором вершины - люди, пары знакомых -

рёбра. Требуется найти наибольшее число рёбер в таком графе. Назовём людей (и вершины) замкнутыми, если у них

не более двух знакомых, а остальные вершины назовём общительными.

Заметим, что общительные не знакомы между собой, поэтому хотя бы один конец любого ребра выходит из за-

мкнутой вершины. Следовательно, число рёбер в графе не больше суммы степеней замкнутых вершин.

Пусть замкнутых не более 8, тогда рёбер не более 8 · 2 = 16.

Пусть замкнутых ровно 9. Тогда степень единственной общительной вершины не более 9.

Тогда сумма степеней графа не более 9 · 2 + 9 = 27, поэтому число рёбер не больше 13.

Пусть замкнутых ровно 10. Тогда число рёбер равно половине суммы степеней, которая, в свою очередь, не пре-

вышает 10 · 2 = 20. Следовательно, число рёбер не больше 10.

Пример графа с 16 рёбрами приведён на рисунке

Задание 8. Вариант 2. Компания из двенадцати человек удовлетворяет условию: если два человека знакомы,

то у одного из них не более двух знакомых в этой компании. Найдите наибольшее возможное количество пар знакомых

в этой компании.

Ответ: 20

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Компания из четырнадцати человек удовлетворяет условию: если два человека знакомы,

в этой компании.

Ответ: 24

Решение по аналогии с вариантом 1

ВСЕРОССИЙСКАЯ ОЛИМПИАДА ШКОЛЬНИКОВ

МАТЕМАТИКА. 2025-2026 уч. г.

ШКОЛЬНЫЙ ЭТАП. 4 КЛАСС

Максимальное количество баллов - 8.

Вес каждой задачи - 1 балл, частичные баллы не ставятся.

Задача 1.

1.1. Вставьте вместо квадратиков знаки « + », « - », « ∙ », « : » так, чтобы

получилось верное равенство. Знаки могут повторяться.

Ответ: 5 · 4 + 3 · 2 + 1 = 27.

1.2. Вставьте вместо квадратиков знаки « + », « - », « ∙ », « : » так, чтобы

получилось верное равенство. Знаки могут повторяться.

Ответ: 5 + 4 · 3 · 2 - 1 = 28.

Задача 2.

2.1. Петя загадал число, умножил его на 2, прибавил 3, вычел 4 и разделил на 5.

Получилось 11. Какое число загадал Петя?

Ответ: 28.

2.2. Петя загадал число, умножил его на 5, прибавил 4, вычел 3 и разделил на 2.

Получилось 28. Какое число загадал Петя?

Ответ: 11.

2.3. Петя загадал число, умножил его на 2, прибавил 3, вычел 4 и разделил на 5.

Получилось 13. Какое число загадал Петя?

Ответ: 33.

2.4. Петя загадал число, умножил его на 5, прибавил 4, вычел 3 и разделил на 2.

Получилось 33. Какое число загадал Петя?

Ответ: 13.

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2025-2026 год) - часть 2