Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2025-2026 год)

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. В семье пятеро детей: Алиса, Боря, Вася, Гена и Дима. Каждый из них любит либо апельси-

ны, либо яблоки. Двое любят апельсины, а трое - яблоки. Алиса и Боря любят разные фрукты, Боря и Вася - тоже

разные, Вася и Гена - разные, и даже Дима и Гена предпочитают разные. Кто любит апельсины, а кто - яблоки?

В этом задании каждому варианту из левого столбца соответствует ровно один вариант из правого столбца.

Ответы приведены ниже в нужном порядке.

Ответ:

Алиса

Яблоки

Боря

Апельсины

Вася

Яблоки

Гена

Апельсины

Дима

Яблоки

Решение.

Первый способ.

Так как Боря любит фрукт, отличающийся от любимых фруктов Алисы и Васи, то Алиса и Вася любят одинаковые

фрукты. Точно так же сошлись в предпочтениях Боря и Гена. А Вася и Дима любят одинаковые фрукты, отлича-

ющиеся от любимого фрукта Гены. Но тогда Алиса, Вася и Дима любят один и тот же фрукт, значит, это яблоки.

Следовательно, Боря и Гена любят апельсины.

Второй способ.

Разделим лист пополам и будем писать имена детей с одной стороны или по разные в зависимости от того, одина-

ковые они любят фрукты или нет.

По одну сторону будут находиться те, кто любит одно и то же, а по разные - разное. Тогда видно, что по одну

сторону находятся Алиса, Вася, Дима, а по другую - Боря и Гена. Это значит, что первые любят яблоки, а вторые -

апельсины.

Задание 1. Вариант 2. Гномы Ани, Беня, Веня, Дикси и Окси вырастили по одному цветку: розе или лилии.

Оказалось, что трое вырастили розы, а двое - лилии. Окси и Дикси вырастили одинаковые цветы, а Ани и Беня -

разные. Веня и Беня - тоже разные. Кто вырастил розы, а кто - лилии?

В этом задании каждому варианту из левого столбца соответствует ровно один вариант из правого столбца.

Ответы приведены ниже в нужном порядке.

Ответ:

Ани

Лилии

Беня

Розы

Веня

Лилии

Дикси

Розы

Окси

Розы

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. Корпорации «Аекс», «Баекс», «Ваер», «Дуо» и «Симакс» выпускают бытовую технику:

либо пылесосы, либо холодильники. Известно, что «Аекс» и «Симакс» выпускают разную технику, «Ваер» и «Аекс» -

тоже разную, «Ваер» и «Баекс» - разную, «Симакс» и «Дуо» - разную. Известно, что три компании выпускают

холодильники, а две - пылесосы. Кто выпускает холодильники, а кто - пылесосы?

В этом задании каждому варианту из левого столбца соответствует ровно один вариант из правого столбца.

Ответы приведены ниже в нужном порядке.

Ответ:

«Аекс»

Холодильники

«Баекс»

Холодильники

«Ваер»

Пылесосы

«Дуо»

Холодильники

«Симакс»

Пылесосы

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. Кошки Дуся, Куся, Муся, Пуся и Рыся любят либо молоко, либо сметану, но только один

из этих продуктов. Муся и Рыся любят разное, Муся и Пуся - разное, а Пуся и Куся - одно и то же. Известно,

что три кошки любят молоко, а две - сметану. Кто любит молоко, а кто - сметану?

В этом задании каждому варианту из левого столбца соответствует ровно один вариант из правого столбца.

Ответы приведены ниже в нужном порядке.

Ответ:

Дуся

Сметана

Куся

Молоко

Муся

Сметана

Пуся

Молоко

Рыся

Молоко

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. Если синюю проволоку разрезать одним прямым разрезом, как показано на рисунке,

то получится 6 кусочков. Сколько кусочков проволоки может получиться, если разрезать одним прямым разрезом

зелёную проволоку?

Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

✓ 2

✓ 3

✓ 4

✓ 5

✓ 6

✓ 7

• 8

Решение.

Разделим мысленно проволоку на три куска. Для удобства на рисунке они раскрашены в разные цвета.

Заметим, что если прямой разрез не проходит через красную точку, то каждый из цветных кусков таким разрезом

разбивается максимум на 3 части, но при этом соседние части, имеющие общую красную точку, в исходной проволоке

едины. То есть максимум у нас 3 зелёных части, 3 жёлтых и 3 чёрных. Из них одна зелёная и одна жёлтая - это две

части одного и того же куска проволоки, аналогично для ещё одного жёлтого и одного чёрного кусков. Если же разрез

проходит через красную точку, то фрагмент, содержащий эту точку, делится пополам. В любом случае максимальное

количество частей после разреза равно 3 + 3 + 3 - 2 = 7.

Примеры для разрезания на 2, 3, 4, 5, 6, 7 частей приведены ниже.

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. Если синюю проволоку разрезать одним прямым разрезом, как показано на рисунке, то по-

лучится 6 кусочков. Сколько кусочков проволоки может получиться, если разрезать одним прямым разрезом зелёную

проволоку?

Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

✓ 2

✓ 3

✓ 4

✓ 5

✓ 6

✓ 7

• 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Назовём красивым ряд чисел, которые можно записать друг за другом так, чтобы каждое

следующее получалось прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Например, ряд 1 3 5 - красивый

(прибавляется 2) и ряд 13 16 19 тоже красивый (прибавляется 3). Пусть теперь есть числа 11, 7, 23, 13, 19, 15. Какое

число нужно убрать, чтобы остальные пять можно было записать в виде красивого ряда?

Ответ:

• 11

• 7

• 23

✓ 13

• 19

• 15

Решение.

Выпишем все числа по возрастанию: 7 11 13 15 19 23.

Тогда разница между соседними равна: 4 2 2 2 4 4.

Откуда уже очевидно, что нужно убрать 13.

Задание 3. Вариант 2. Назовём красивым ряд чисел, которые можно записать друг за другом так, чтобы каждое

следующее получалось прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Например, ряд 1 3 5 - красивый

(прибавляется 2) и ряд 13 16 19 тоже красивый (прибавляется 3). Пусть теперь есть числа 9, 23, 11, 30, 2, 16. Какое

число нужно убрать, чтобы остальные пять можно было записать в виде красивого ряда?

Ответ:

• 9

• 23

✓ 11

• 30

• 2

• 16

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Назовём красивым ряд чисел, которые можно записать друг за другом так, чтобы каждое

следующее получалось прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Например, ряд 1 3 5 - красивый

(прибавляется 2) и ряд 13 16 19 тоже красивый (прибавляется 3). Пусть теперь есть числа 17, 29, 19, 11, 23, 5. Какое

число нужно убрать, чтобы остальные пять можно было записать в виде красивого ряда?

Ответ:

• 17

• 29

✓ 19

• 11

• 23

• 5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. Назовём красивым ряд чисел, которые можно записать друг за другом так, чтобы каждое

следующее получалось прибавлением к предыдущему одного и того же числа. Например, ряд 1 3 5 - красивый

(прибавляется 2) и ряд 13 16 19 тоже красивый (прибавляется 3). Пусть теперь есть числа 21, 5, 13, 19, 17, 9. Какое

число нужно убрать, чтобы остальные пять можно было записать в виде красивого ряда?

Ответ:

• 21

• 5

• 13

✓ 19

• 17

• 9

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. Оля выложила на стол в один ряд зелёный треугольник, белый квадрат, синий круг, синий

квадрат, красный треугольник - именно в таком порядке. Петя забрал из ряда какие-то две соседние фигуры, а Лиза

потом забрала две фигуры одинаковой формы. На столе осталась одна фигура. Какой она формы?

Ответ:

• Треугольник

• Круг

✓ Квадрат

Решение.

Лиза взяла либо два треугольника, либо два квадрата. Но если взяли квадраты, то никакие две фигуры из осталь-

ных не являются соседними. Значит, Лиза взяла треугольники. Среди оставшихся соседних - либо синий квадрат

и жёлтый круг, либо жёлтый круг и жёлтый квадрат. В любом случае остался квадрат.

Задание 4. Вариант 2. Маша выложила на стол в один ряд белый квадрат, красный треугольник, синий круг, синий

треугольник, чёрный квадрат - именно в таком порядке. Коля забрал из ряда какие-то две соседние фигуры, а Оля

потом забрала две фигуры одинаковой формы. На столе осталась одна фигура. Какой она формы?

Ответ:

✓ Треугольник

• Круг

• Квадрат

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. Лида выложила на стол в один ряд жёлтый треугольник, белый квадрат, красный квадрат,

белый круг, красный треугольник - именно в таком порядке. Коля забрал из ряда какие-то две соседние фигуры,

а Петя потом забрал две фигуры одинакового цвета. На столе осталась одна фигура. Какого она цвета?

Ответ:

• Жёлтого

✓ Белого

• Красного

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. Лида выложила на стол в один ряд зелёный треугольник, красный квадрат, зелёный квадрат,

красный круг, синий треугольник - именно в таком порядке. Коля забрал из ряда какие-то две соседние фигуры,

а Петя потом забрал две фигуры одинакового цвета. На столе осталась одна фигура. Какого она цвета?

Ответ:

• Зелёного

✓ Красного

• Синего

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1.

а) В семье Петровых детей зовут Валя, Костя и Женя. В семье Сидоровых детей тоже зовут Валя, Костя и Женя.

Если Саша Ким пойдёт в гости к Петровым, то вместе соберутся три девочки и один мальчик, а если в гости к Си-

доровым, то три мальчика и одна девочка. Известно, что оба Кости - мальчики, а имена Валя, Женя и Саша могут

носить как мальчики, так и девочки. Какого пола Саша Ким?

Ответ:

• Мальчик

✓ Девочка

б) Сколько всего в этой задаче мальчиков и девочек?

Ответ:

Мальчиков: 4

Девочек: 3

Решение.

Если все Кости - мальчики, то, когда соберутся Саша Ким и Валя, Костя, Женя Петровы, среди них будут три

девочки и только один мальчик - Костя. И поскольку уже точно известно, что Саша - девочка, Валя, Костя и Женя

Сидоровы - мальчики. Откуда получаем ответ:

Саша - девочка, два Кости, Валя и Женя Сидоровы - мальчики, Валя и Женя Петровы -девочки.

Задание 5. Вариант 2.

а) В семье Петровых детей зовут Валя, Юля и Женя. В семье Сидоровых детей тоже зовут Валя, Юля и Женя.

Если Саша Ким пойдёт в гости к Петровым, то вместе соберутся три мальчика и одна девочка, а если в гости

к Сидоровым, то два мальчика и две девочки. Известно, что обе Юли - девочки, а имена Валя, Женя и Саша могут

носить как мальчики, так и девочки. Какого пола Саша Ким?

Ответ:

✓ Мальчик

• Девочка

б) Сколько всего в этой задаче мальчиков и девочек?

Ответ:

Мальчиков: 4

Девочек: 3

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3.

а) В семье Петровых детей зовут Валя, Юля и Женя. В семье Сидоровых детей зовут Валя, Костя и Женя. Если

Саша Ким пойдёт в гости к Петровым, то вместе соберутся три мальчика и одна девочка, а если в гости к Сидоровым,

то одна девочка и три мальчика. Известно, что Юля - девочка, Костя - мальчик, а имена Валя, Женя и Саша могут

носить как мальчики, так и девочки. Какого пола Саша Ким?

Ответ:

✓ Мальчик

• Девочка

б) Сколько всего в этой задаче мальчиков и девочек?

Ответ:

Мальчиков: 5

Девочек: 2

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4.

а) В семье Петровых детей зовут Валя, Петя и Женя. В семье Сидоровых детей зовут Валя, Оля и Женя. Если

Саша Ким пойдёт в гости к Петровым, то вместе соберутся три девочки и один мальчик, а если в гости к Сидоровым,

то два мальчика и две девочки. Известно, что Оля - девочка, Петя - мальчик, а имена Валя, Женя и Саша могут

носить как мальчики, так и девочки. Какого пола Саша Ким?

Ответ:

• Мальчик

✓ Девочка

б) Сколько всего в этой задаче мальчиков и девочек?

Ответ:

Мальчиков: 3

Девочек: 4

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. Митя построил конструкцию из кубиков. На рисунке изображены вид спереди и вид слева

(кубики не приклеены и стоят друг на друге).

Сколько кубиков могло быть в этой конструкции? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

✓ 7

✓ 9

✓ 10

✓ 11

✓ 12

✓ 13

• 14

Решение.

Докажем, что больше 13 кубиков быть не может. Заметим, что вся конструкция должна располагаться на поле 4×2.

При этом в зелёной клетке может стоять конструкция не более чем из трёх кубиков, в красных клетках - не более

чем из двух, а в белых - максимум из одного.

Иначе «лишний» кубик был бы виден на исходной картинке с какой-то из сторон. Таким образом, максимально

получаем 2 + 2 + 2 + 3 + 1 + 1 + 1 + 1 = 13 кубиков. Для всех остальных вариантов есть пример конструкции. Ниже

на картинках указано, сколько кубиков в высоту стоит в той или иной клетке:

Задание 6. Вариант 2. Митя построил конструкцию из кубиков. На рисунке изображены вид спереди и вид слева

(кубики не приклеены и стоят друг на друге).

Сколько кубиков могло быть в этой конструкции? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

• 6

✓ 7

✓ 9

✓ 11

• 12

• 13

• 14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. Митя построил конструкцию из кубиков. На рисунке изображены вид спереди и вид слева

(кубики не приклеены и стоят друг на друге).

Сколько кубиков могло быть в этой конструкции? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

• 7

✓ 8

✓ 10

✓ 11

✓ 12

✓ 13

✓ 15

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. Митя построил конструкцию из кубиков. На рисунке изображены вид спереди и вид слева

(кубики не приклеены и стоят друг на друге).

Сколько кубиков могло быть в этой конструкции? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

✓ 7

✓ 8

✓ 9

✓ 10

✓ 11

• 12

• 13

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. В один хоровод встали несколько гномов и эльфов. У них у всех принято лгать своим

и говорить правду существам другой расы. Каждый повернулся к своему соседу слева и сказал ему одну фразу.

Прозвучало 7 фраз «Ты эльф» и 9 - «Ты гном». Сколько гномов и сколько эльфов было в хороводе?

Ответ:

Гномов: 7

Эльфов: 9

Решение.

Заметим, что каждый эльф и эльфу, и гному сказал бы «Ты гном». А каждый гном и эльфу, и гному сказал бы

«Ты эльф». То есть количество фраз «Ты эльф» показывает количество гномов, а количество фраз «Ты гном» -

количество эльфов.

Задание 7. Вариант 2. В один хоровод встали несколько гномов и эльфов. У них у всех принято лгать своим

и говорить правду существам другой расы. Каждый повернулся к своему соседу слева и сказал ему одну фразу.

Прозвучало 5 фраз «Я эльф» и 8 - «Я гном». Сколько гномов и сколько эльфов было в хороводе?

Ответ:

Гномов: 5

Эльфов: 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. В один хоровод встали несколько гномов и эльфов. У них у всех принято говорить правду

своим и лгать существам другой расы. Каждый повернулся к своему соседу слева и сказал ему одну фразу. Прозвучало

4 фразы «Я эльф» и 9 - «Я гном». Сколько гномов и сколько эльфов было в хороводе?

Ответ:

Гномов: 9

Эльфов: 4

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 4. В один хоровод встали несколько гномов и эльфов. У них у всех принято говорить правду

5 фраз «Ты эльф» и 6 - «Ты гном». Сколько гномов и сколько эльфов было в хороводе?

Ответ:

Гномов: 6

Эльфов: 5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 6 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Искомый путь 1 - 5 - 3 - 2 - 6 - 2 - 4.

Искомый путь 1 - 5 - 6 - 2 - 3 - 2 - 4.

Такой путь невозможен, так как в дырочке № 5 встречаются три конца шнурка: два проходят через отверстие

в одном направлении, один - в противоположном. В таком случае тут должен быть конец шнурка, а это не так.

Задание 8. Вариант 2. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 6 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 6 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 4. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 6 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

4 класс

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. Когда Васе было столько лет, сколько Боре сейчас, Вася был в 2 раза старше Антона.

Сколько сейчас Васе лет, если Антону 15 и он младше Бори на 7 лет?

Ответ: 26

Решение.

Если Антону сейчас 15, то Боре сейчас 22. Значит, когда Васе было 22, он был в два раза старше Антона, то есть

Антону было 11. Следовательно, прошло 4 года. Значит, Васе сейчас 26 лет.

Задание 1. Вариант 2. Когда Коле было столько лет, сколько Васе сейчас, Коля был в 3 раза старше Феди. Сколько

сейчас Коле лет, если Феде 16 и он младше Васи на 5 лет?

Ответ: 30

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. Когда Марине будет столько лет, сколько Юле сейчас, Марина будет в 2 раза младше Феди.

Сколько сейчас Марине лет, если Феде 21 и он старше Юли на 5 лет?

Ответ: 5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. Когда Оле будет столько лет, сколько Юле сейчас, Оля будет в 3 раза младше Тани. Сколько

сейчас Оле лет, если Тане 33 и она старше Юли на 18 лет?

Ответ: 3

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. Маруся нарисовала на листе бумаги несколько непересекающихся фигур: квадраты, круги,

прямоугольники, возможно, треугольники (никаких других, кроме перечисленных, она не рисовала). Виталик сосчи-

тал, что среди них ровно 3 квадрата, 5 кругов, 8 прямоугольников и 19 синих фигур (он сосчитал все фигуры каждого

типа). Сколько треугольников могла нарисовать Маруся, если каждую нарисованную фигуру Виталик сосчитал хо-

тя бы раз? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

• 0

• 1

• 3

• 4

✓ 6

✓ 7

✓ 9

✓ 19

Решение.

Заметим, что квадрат является прямоугольником, значит, когда Виталик считал прямоугольники, он в том числе

сосчитал и квадраты. Тогда ровно 8 + 5 = 13 фигур - не треугольники. Поскольку по условию каждую фигуру

сосчитали хоть раз, все оставшиеся фигуры - это обязательно синие треугольники. Поэтому меньше 6 треугольников

быть не может (19 - 13 = 6). В этом случае все нарисованные фигуры синие. В то же время больше 19 треугольников

тоже не может быть, т.к. ими окажутся синие треугольники и тогда синих фигур будет больше 19. Мы получили

максимальное и минимальное возможное количество треугольников. Для любого количества от 6 до 19 есть пример.

Возьмём крайний случай, когда треугольников 6, а все фигуры синие. Если одну из нетреугольных фигур перекра-

сить, например, в красный цвет и добавить ещё один синий треугольник, то условие задачи будет снова выполняться,

а треугольников окажется 7. Затем можно перекрасить ещё одну синюю нетреугольную фигуру и добавить синий

треугольник - треугольников станет 8. И так далее, пока синие нетреугольные фигуры не кончатся и мы не получим

другой крайний случай - все синие фигуры являются треугольниками.

Задание 2. Вариант 2. Оля нарисовала на листе бумаги несколько непересекающихся фигур: квадраты, треуголь-

ники, прямоугольники, возможно, круги (никаких других, кроме перечисленных, она не рисовала). Виталик сосчитал,

что среди них ровно 4 квадрата, 6 треугольников, 5 прямоугольников и 15 красных фигур (он сосчитал все фигуры

каждого типа). Сколько треугольников могла нарисовать Оля, если каждую нарисованную фигуру Виталик сосчитал

хотя бы раз? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

• 0

• 1

• 3

✓ 4

✓ 6

✓ 7

4 класс

✓ 9

✓ 15

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. Костя нарисовал на листе бумаги несколько непересекающихся фигур: квадраты, круги,

прямоугольники, возможно, треугольники (никаких других, кроме перечисленных, он не рисовал). Женя сосчитал,

что среди них ровно 5 квадратов, 5 кругов, 7 прямоугольников и 10 синих фигур (он сосчитал все фигуры каждого

типа). Сколько треугольников мог нарисовать Костя, если каждую нарисованную фигуру Женя сосчитал хотя бы

раз? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

✓ 0

✓ 1

✓ 2

✓ 3

✓ 4

✓ 9

✓ 10

• 17

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. Гриша нарисовал на листе бумаги несколько непересекающихся фигур: квадраты, тре-

угольники, прямоугольники, возможно, круги (никаких других, кроме перечисленных, он не рисовал). Ваня сосчитал,

что среди них ровно 3 квадрата, 7 треугольников, 6 прямоугольников и 14 зелёных фигур (он сосчитал все фигуры

каждого типа). Сколько кругов мог нарисовать Гриша, если каждую нарисованную фигуру Ваня сосчитал хотя бы

раз? Выберите все подходящие варианты:

Ответ:

• 0

✓ 1

✓ 2

✓ 7

✓ 9

✓ 12

✓ 14

• 15

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 8 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

4 класс

Мы видим, что через дырочку № 1 ни с одной стороны не проходит шнурок. Поэтому такой рисунок тоже невоз-

можен.

Искомый путь 1 - 6 - 2 - 7 - 4 - 8 - 3 - 6 - 5.

Задание 3. Вариант 2. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 8 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 8 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

4 класс

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

Задание 3. Вариант 4. Петя взял длинный шнурок и дощечку с 8 дырочками. Он продел шнурок в дырочки так,

что с одной стороны дощечки у него получился рисунок, показанный на картинке:

Как могла выглядеть противоположная сторона дощечки, если никакую линию на каждой из указанных картинок

он не проводил шнурком дважды (проводить линию одновременно с обеих сторон можно)? Выберите все подходящие

варианты:

Ответ:

4 класс

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. У Бориса есть линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. Первая отметка

(сантиметровая) приходится на 0 см. Борис сосчитал, что на этой линейке в точности 70 миллиметровых делений.

Чему равно расстояние между первым и последним делениями этой линейки? Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 77

Решение.

Между двумя сантиметровыми делениями расположено 9 миллиметровых. Поскольку линейка начинается с сан-

тиметровой отметки, получаем полных 7 сантиметров (7 · 9 = 63) и ещё 7 делений. Значит, ещё 7 мм. Сантиметровой

отметки дальше нет, так как иначе было бы ещё 9, а не 7 миллиметровых.

Задание 4. Вариант 2. У Феликса есть линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. Первая отметка

(сантиметровая) приходится на 0 см. Феликс сосчитал, что на этой линейке в точности 88 миллиметровых делений.

Чему равно расстояние между первым и последним делениями этой линейки? Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 97

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. У Ксюши есть линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. Первая отметка

(сантиметровая) приходится на 0 см. Ксюша сосчитала, что на этой линейке в точности 77 миллиметровых делений.

Чему равно расстояние между первым и последним делениями этой линейки? Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 85

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. У Беллы есть линейка с сантиметровыми и миллиметровыми делениями. Первая отметка

(сантиметровая) приходится на 0 см. Белла сосчитала, что на этой линейке в точности 60 миллиметровых делений.

4 класс

Чему равно расстояние между первым и последним делениями этой линейки? Ответ выразите в миллиметрах.

Ответ: 66

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. На новогоднем празднике каждый пятый ребёнок был в костюме Белоснежки. После того

как во время праздника пришло ещё девять детей в костюмах Гномиков, в костюме Белоснежки оказался каждый

восьмой ребёнок. Сколько всего детей в итоге участвовало в этом празднике?

Ответ: 24

Решение.

До прихода «гномиков» всех детей можно было разбить на группы по 5 человек, в каждой из которых была одна

«Белоснежка». После прихода «гномов» всех детей стало возможным разбить на группы по 8 человек, в каждой из ко-

торых была одна «Белоснежка» и 7 обладателей прочих костюмов. Так как «Белоснежек» осталось то же количество,

исходные группы увеличились на три человека. А так как пришло 9 детей, групп было 3. Значит, до прихода «гномов»

всего было 15 человек, а после - 24.

Задание 5. Вариант 2. На новогоднем празднике каждый шестой ребёнок был в костюме зайчика. После того как

во время праздника пришло ещё девять детей в костюмах Гномиков, в костюме зайчика оказался каждый девятый

ребёнок. Сколько всего детей в итоге участвовало в этом празднике?

Ответ: 27

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. На новогоднем празднике каждый пятый ребёнок был в костюме снежинки. После того

как во время праздника пришло ещё шестнадцать детей в костюмах зайчиков, в костюме снежинки оказался каждый

девятый ребёнок. Сколько всего детей в итоге участвовало в этом празднике?

Ответ: 36

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. На новогоднем празднике каждый пятый ребёнок был в костюме зайчика. После того как

во время праздника пришло ещё двенадцать детей в костюмах снежинок, в костюме зайчика оказался каждый восьмой

ребёнок. Сколько всего детей в итоге участвовало в этом празднике?

Ответ: 32

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. Однажды на вечеринке разговаривали четверо друзей.

Василиса заявила: «Во всех моих предложениях меньше семи слов».

Павел ответил: «А в моём предложении не больше восьми слов!»

Олег высказался: «Василиса и Павел оба сказали правду».

Коля мрачно добавил: «Но вообще-то либо Василиса, либо Олег, либо они оба солгали».

Кто сказал правду?

Ответ:

• Василиса

✓ Павел

• Олег

✓ Коля

Решение.

Рассмотрим заявление Василисы. В данном предложении ровно 7 слов. Значит, Василиса сейчас точно сказала

неправду. Отсюда сразу следует, что Олег тоже соврал, так как он сообщил, что Василиса сказала правду. Сосчитаем

слова в предложении Павла. Там ровно 8 слов, что согласуется с утверждением, что в этом предложении не больше

8 слов. Таким образом, Павел сказал правду - как и Коля, поскольку предложение «либо . . . , либо . . . , либо . . . »

будет истинным, если верна хотя бы одна его часть. А тут верна часть о том, что Василиса солгала.

4 класс

Задание 6. Вариант 2. Однажды на вечеринке разговаривали четверо друзей.

Аля заявила: «Во всех моих предложениях больше семи слов».

Рома ответил: «А в этом моём предложении не больше девяти слов!».

Олег высказался: «Аля и Рома оба солгали».

Федя мрачно добавил: «Но вообще-то либо Аля, либо Рома, либо они оба сказали правду».

Кто сказал правду?

Ответ:

• Аля

✓ Рома

• Олег

✓ Федя

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. Однажды на вечеринке разговаривали четверо друзей.

Ира заявила: «Во всех моих предложениях всегда больше восьми слов».

Миша ответил: «В этот раз ты лжёшь!»

Коля высказался: «Кто-то из вас точно солгал!»

Федя мрачно добавил: «Но вообще-то либо Ира, либо Коля, либо они оба солгали».

Кто сказал правду?

Ответ:

• Ира

✓ Миша

✓ Коля

✓ Федя

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. Однажды на вечеринке разговаривали четверо друзей.

Олег заявил: «Во всех моих предложениях больше семи слов».

Игорь ответил: «А в моём предложении не меньше восьми слов!»

Гриша высказался: «Олег и Игорь оба сказали правду».

Коля мрачно добавил: «Но вообще-то либо Олег, либо Гриша, либо они оба солгали».

Кто сказал правду?

Ответ:

• Олег

✓ Игорь

• Гриша

✓ Коля

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. У бабушки есть двое часов, но одни отстают на 5 минут каждый час, а другие убегают вперёд

на 5 минут каждый час. Однажды Петя в воскресенье в полдень (12 : 00) завёл все часы и установил правильное время.

На следующий день бабушка в какой-то момент обнаружила, что показания приборов отличаются ровно на 5 часов.

Сколько времени было на самом деле в этот момент? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

Ответ: 18 : 00

Решение.

Каждый час показания часов расходятся на 10 минут. Чтобы набежала разница в 5 часов (=300 минут), должно

пройти 30 часов. То есть это 6 часов вечера в понедельник.

Задание 7. Вариант 2. У бабушки есть двое часов, но одни отстают на 10 минут каждый час, а другие убегают

вперёд на 10 минут каждый час. Однажды Петя в воскресенье вечером (18 : 00) завёл все часы и установил правиль-

ное время. На следующий день бабушка в какой-то момент обнаружила, что показания приборов отличаются ровно

на 5 часов. Сколько времени было на самом деле в этот момент? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

Ответ: 9 : 00

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. У бабушки есть двое часов, но одни отстают на 3 минуты каждый час, а другие убегают

вперёд на 3 минуты каждый час. Однажды утром в 10 : 00 Петя завёл все часы и установил правильное время.

На следующий день бабушка в какой-то момент обнаружила, что показания приборов отличаются ровно на 3 часа.

Сколько времени было на самом деле в этот момент? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

Ответ: 16 : 00

Решение по аналогии с вариантом 1

4 класс

Задание 7. Вариант 4. У бабушки есть двое часов, но одни отстают на 6 минут каждый час, а другие убегают вперёд

на 6 минут каждый час. Однажды утром в 11 : 00 Петя завёл все часы и установил правильное время. На следующий

день бабушка в какой-то момент обнаружила, что показания приборов отличаются ровно на 6 часов. Сколько времени

было на самом деле в этот момент? Ответ запишите в 24-часовом формате ЧЧ:ММ.

Ответ: 17 : 00

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1.

Имеется длинная клетчатая фигура из 2024 клеток, как показано на рисунке.

Сколькими способами из неё можно вырезать один прямоугольник из двух клеточек(

или

Ответ: 2696

Решение.

В фигуре 2024 клетки (диагональных клеток 674 - они для удобства выделены синим).

Вертикальных

674 и 674 вертикальных

. То есть вертикальных 674 · 2 и столько же горизонтальных.

Итого 2696.

Задание 8. Вариант 2.

Имеется длинная клетчатая фигура из 2324 клеток, как показано на рисунке.

5 класс

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. Винни-Пух и Пятачок решили сделать грядку и посадить на ней картофель и морковь.

Всего они выкопали 105 лунок в ряд. В каждую вторую лунку Винни-Пух бросил клубень картофеля, а в каждую

третью лунку Пятачок бросил семена моркови. Первый клубень попал во вторую лунку, первое семечко - в третью.

Сколько оказалось лунок, в которые попали и клубень картофеля, и семена моркови?

Ответ: 17

Решение.

Пронумеруем лунки на грядке. Из условия следует, что картофель находится в лунках с чётными номерами: 2, 4,

6, 8, . . . 104, а семена моркови - в лунках с номерами, кратными трём: 3, 6, 9, 12, . . . , 105.

Чтобы в лунке оказались морковь и картофель, её номер должен быть чётным и одновременно делился на 3,

получаем следующие номера: 6, 12, 18, . . . , 102, т.е. каждая шестая лунка. Так как 102 = 6 · 17, всего таких лунок

будет 17.

Задание 1. Вариант 2. Винни-Пух и Пятачок решили сделать грядку и посадить на ней картофель и морковь.

Всего они выкопали 109 лунок в ряд. В каждую вторую лунку Винни-Пух бросил клубень картофеля, а в каждую

третью лунку Пятачок бросил семена моркови. Первый клубень попал во вторую лунку, первое семечко - в третью.

Сколько оказалось лунок, в которые попали и клубень картофеля, и семена моркови?

Ответ: 18

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. Винни-Пух и Пятачок решили сделать грядку и посадить на ней картофель и морковь.

Всего они выкопали 117 лунок в ряд. В каждую вторую лунку Винни-Пух бросил клубень картофеля, а в каждую

третью лунку Пятачок бросил семена моркови. Первый клубень попал во вторую лунку, первое семечко - в третью.

Сколько оказалось лунок, в которые попали и клубень картофеля, и семена моркови?

Ответ: 19

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. Винни-Пух и Пятачок решили сделать грядку и посадить на ней картофель и морковь.

Всего они выкопали 125 лунок в ряд. В каждую вторую лунку Винни-Пух бросил клубень картофеля, а в каждую

третью лунку Пятачок бросил семена моркови. Первый клубень попал во вторую лунку, первое семечко - в третью.

Сколько оказалось лунок, в которые попали и клубень картофеля, и семена моркови?

Ответ: 20

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. Найдите периметр фигуры, выделенной красным цветом, если сторона каждого, входящего

в неё квадрата равна 5 см. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 50

Решение.

Заметим, что красные границы исходной фигуры можно передвинуть так, что получится прямоугольник 2 × 3

с таким же периметром:

5 класс

На рисунке граница AB перейдёт в CD, а BD перейдёт в AC. Аналогично с остальными границами.

Периметр полученного прямоугольника равен (2 · 5 + 3 · 5) · 2 = 50 см.

Задание 2. Вариант 2. Найдите периметр фигуры, выделенной красным цветом, если сторона каждого, входящего

в неё квадрата равна 6 см. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 60

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. Найдите периметр фигуры, выделенной красным цветом, если сторона каждого, входящего

в неё квадрата равна 7 см. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 70

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. Найдите периметр фигуры, выделенной красным цветом, если сторона каждого, входящего

в неё квадрата равна 8 см. Ответ выразите в сантиметрах.

Ответ: 80

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. Пять внучек - Аня, Белла, Валя, Галя и Даша - собрались проведать свою бабушку.

Известно, что Аня пришла позже Беллы, а Валя пришла раньше, чем Галя и Даша. Кто из внучек пришёл к бабушке

первой, если это была не Валя?

Ответ:

• Аня

✓ Белла

• Валя

• Галя

• Даша

Решение.

Определим, кто из внучек точно не мог прийти первой. Аня пришла позже Беллы, поэтому она не первая. Галя

и Даша пришли позже Вали, поэтому они тоже не первые. По условию Валя не могла быть первой, значит, первой

могла быть только Белла.

Замечание. Такая возможность существует, например, первой пришла Белла, второй - Валя, третьей - Аня,

а последними - Галя и Даша.

5 класс

Задание 3. Вариант 2. Пять внучек - Аня, Белла, Валя, Галя и Даша - собрались проведать свою бабушку.

Известно, что Белла пришла позже Вали, а Галя пришла раньше, чем Даша и Аня. Кто из внучек пришёл к бабушке

первой, если это была не Галя?

Ответ:

• Аня

• Белла

✓ Валя

• Галя

• Даша

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. Пять внучек - Аня, Белла, Валя, Галя и Даша - собрались проведать свою бабушку.

Известно, что Валя пришла позже Гали, а Даша пришла раньше, чем Аня и Белла. Кто из внучек пришёл к бабушке

первой, если это была не Даша?

Ответ:

• Аня

• Белла

• Валя

✓ Галя

• Даша

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. Пять внучек - Аня, Белла, Валя, Галя и Даша - собрались проведать свою бабушку.

Известно, что Галя пришла позже Даши, а Аня пришла раньше, чем Белла и Валя. Кто из внучек пришёл к бабушке

первой, если это была не Аня?

Ответ:

• Аня

• Белла

• Валя

• Галя

✓ Даша

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. Из серой фигуры, состоящей из 5 одинаковых квадратов вырезали фигуру, состоящую

также из 5 одинаковых квадратов, причём сторона квадрата вырезанной фигуры вдвое меньше стороны квадрата

серой фигуры.

Найдите площадь оставшейся части серой фигуры, если площадь вырезанной равна 46.

Ответ: 138

Решение.

Сопоставим каждый из пяти серых квадратов с одним из вырезанных (белых) квадратов. Это можно сделать

так: мысленно разрежем белый «крестик» на 5 квадратов и каждый из них переместим в соответствующий ему

серый. Тогда получается, что из каждого серого квадрата вырезали ровно 1/4 часть и 3/4 части осталось. Значит,

площадь вырезанной части в 3 раза меньше, чем площадь оставшейся. Следовательно, площадь оставшейся серой

части равна 3 · 46 = 138.

Задание 4. Вариант 2. Из серой фигуры, состоящей из 5 одинаковых квадратов вырезали фигуру, состоящую

также из 5 одинаковых квадратов, причём сторона квадрата вырезанной фигуры вдвое меньше стороны квадрата

серой фигуры.

5 класс

Найдите площадь оставшейся части серой фигуры, если площадь вырезанной равна 49.

Ответ: 147

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. Из серой фигуры, состоящей из 5 одинаковых квадратов вырезали фигуру, состоящую

также из 5 одинаковых квадратов, причём сторона квадрата вырезанной фигуры вдвое меньше стороны квадрата

серой фигуры.

Найдите площадь оставшейся части серой фигуры, если площадь вырезанной равна 52.

Ответ: 156

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. Из серой фигуры, состоящей из 5 одинаковых квадратов вырезали фигуру, состоящую

также из 5 одинаковых квадратов, причём сторона квадрата вырезанной фигуры вдвое меньше стороны квадрата

серой фигуры.

Найдите площадь оставшейся части серой фигуры, если площадь вырезанной равна 51.

Ответ: 153

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. В чёрном пакете лежат 4 красных, 3 синих и 5 жёлтых носков. Коля знает, что ровно три

из них дырявые. Какое наименьшее число носков должен достать Коля не глядя, чтобы среди них наверняка нашлись

два не дырявых носка одного цвета?

Ответ: 7

Решение.

Заметим, что если взять 6 носков, то может оказаться, что взято по два носка каждого цвета и среди них 3 дырявых,

причём все дырявые разных цветов. Тогда мы не сможем выбрать два не дырявых носка одного цвета.

Теперь докажем, что если взять 7 носков, то среди них обязательно окажется нужная пара. Предположим, что это

не так. Тогда не дырявых носков каждого цвета не более одного. Тогда всего не дырявых носков не более 3. С учётом

того, что дырявых может быть взято не более 3, всего взято носков не более 6. Противоречие.

Задание 5. Вариант 2. В чёрном пакете лежат 5 красных, 3 синих и 4 жёлтых носка. Коля знает, что ровно три

из них дырявые. Какое наименьшее число носков должен достать Коля не глядя, чтобы среди них наверняка нашлись

три не дырявых носка одного цвета?

Ответ: 10

5 класс

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 3. В чёрном пакете лежат 4 красных, 5 синих и 6 жёлтых носков. Коля знает, что ровно два

из них дырявые. Какое наименьшее число носков должен достать Коля не глядя, чтобы среди них наверняка нашлись

три не дырявых носка одного цвета?

Ответ: 9

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. В чёрном пакете лежат 5 красных, 4 синих и 6 жёлтых носков. Коля знает, что ровно четыре

из них дырявые. Какое наименьшее число носков должен достать Коля не глядя, чтобы среди них наверняка нашлись

два не дырявых носка одного цвета?

Ответ: 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную

на рисунке.

На один из треугольников ушло 135 спичек. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?

Ответ: 9

Решение.

Рассмотрим нижнюю строку в треугольнике, пусть в ней k спичек. Выделим k треугольников (назовём их единич-

ными), для которых спички, лежащие в основании, являются стороной. Например, для треугольника со стороной 3

мы выделим 3 красных единичных треугольника:

Если эти треугольники убрать, то получится треугольник, сторона которого содержит k - 1 спичку.

Аналогично уберём теперь у полученного треугольника нижний ряд единичных треугольников, получив треуголь-

ник, сторона которого содержит k - 2 спички. Проделывая эту операцию, в конце концов получим треугольник со сто-

роной в одну спичку.

Понятно, что количество единичных треугольников равно 1 + 2 + . . . + k. Тогда количество спичек в треугольнике

со стороной в k спичек равно 3 · (1 + 2 + · · · + k).

Имеем следующее равенство: 3 · (1 + 2 + · · · + k) = 135, что равносильно 1 + 2 + 3 + · · · + k = 45.

Таким образом, нужно складывать последовательные натуральные числа до тех пор, пока не получится 45. Это

произойдёт при k = 9, при этом ответ единственный, так как все меньшие суммы будут меньше 45, а все большие -

больше.

Задание 6. Вариант 2. Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную

на рисунке.

5 класс

На один из треугольников ушло 165 спичек. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?

Ответ: 10

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную

на рисунке.

На один из треугольников ушло 198 спичек. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?

Ответ: 11

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. Маша создала последовательность треугольников из спичек, используя схему, показанную

на рисунке.

На один из треугольников ушло 234 спички. Из скольких спичек состоит одна сторона этого треугольника?

Ответ: 12

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. Известно, что из клетчатого прямоугольника 10 × n можно по линиям сетки вырезать

вертикальный или горизонтальный прямоугольник 1 × 2 ровно 275 способами. Чему равно n?

Ответ: 15

Решение.

Расположим прямоугольник так, чтобы у него было 10 столбцов и n строк. При вырезании прямоугольника 1 × 2

его можно расположить вертикально или горизонтально.

1. Если его расположить горизонтально, то для каждой строки существует 9 способов расположения. Так как

строк n, всего способов 9n.

2. Если прямоугольник 1 × 2 расположить вертикально, то для каждого столбца существует n - 1 способ его

расположения. Так как столбцов 10, всего способов 10(n - 1).

Таким образом, количество способов вырезать прямоугольник 1 × 2 будет равно 9n + 10(n - 1) = 19n - 10. По усло-

вию 19n - 10 = 275, тогда n = 15.

Задание 7. Вариант 2. Известно, что из клетчатого прямоугольника 10 × n можно по линиям сетки вырезать

вертикальный или горизонтальный прямоугольник 1 × 2 ровно 294 способами. Чему равно n?

Ответ: 16

5 класс

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. Известно, что из клетчатого прямоугольника 10 × n можно по линиям сетки вырезать

вертикальный или горизонтальный прямоугольник 1 × 2 ровно 313 способами. Чему равно n?

Ответ: 17

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 4. Известно, что из клетчатого прямоугольника 10 × n можно по линиям сетки вырезать

вертикальный или горизонтальный прямоугольник 1 × 2 ровно 256 способами. Чему равно n?

Ответ: 14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. Петя заполнил таблицу 4 × 5 (4 строки и 5 столбцов) числами от 1 до 5, так, что в каждой

строке все числа оказались различны и в каждом столбце все числа оказались различны. Затем он сложил все числа

в первом и последнем столбцах. Какие из данных чисел он наверняка НЕ сможет получить?

Выберите все подходящие варианты.

Ответ:

✓ 20

• 21

• 23

• 25

• 26

Решение.

Наименьшей суммой различных чисел в столбце может быть 1 + 2 + 3 + 4 = 10, а наибольшей - 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Докажем, что в первом и последнем столбцах не могут быть одновременно две наименьшие и две наибольшие

суммы.

Если в первом и последнем столбцах будут наименьшие суммы, то в этих столбцах нет числа 5. Заметим, что в каж-

дой строке каждое число должно встретиться ровно по одному разу. Это следует из того, что столбцов 5 и чисел тоже 5,

значит, в таблице число 5 должно быть записано ровно 4 раза. Тогда во втором, третьем или четвёртом столбцах чис-

ло 5 встретится хотя бы два раза. Противоречие.

Аналогично если в первом и последнем столбцах наибольшие суммы, то в них нет числа 1. Тогда число 1 должно

встретиться четыре раза в столбцах со второго по четвёртый. Значит, в каком-то столбце число 1 встретится хотя бы

два раза. Снова противоречие.

Покажем, как получить все остальные суммы S от 21 до 27.

Для S = 21 можно составить следующую таблицу:

Здесь в последней строке указана сумма чисел в столбце.

Заметим, что перестановка столбцов не нарушает условие задачи. Тогда, взяв указанную выше таблицу в качестве

исходной, перестановкой столбцов можно получить любую сумму в диапазоне от 10 + 11 до 13 + 14.

Задание 8. Вариант 2. Петя заполнил таблицу 4 × 5 (4 строки и 5 столбцов) числами от 1 до 5, так что в каждой

в первом и последнем столбцах. Какие из данных чисел он наверняка НЕ сможет получить?

Выберите все подходящие варианты.

Ответ:

• 22

• 23

• 26

• 27

✓ 28

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 3. Петя заполнил таблицу 4 × 5 (4 строки и 5 столбцов) числами от 1 до 5, так, что в каждой

в первом и последнем столбцах. Какие из данных чисел он наверняка НЕ сможет получить?

Ответ:

✓ 20

6 класс

Максимальное количество баллов за олимпиаду - 8

Задание 1. Вариант 1. Найдите знаменатель несократимой дроби, равной числу 0.000625.

Ответ: 1600

Решение.

Задание 1. Вариант 2. Найдите знаменатель несократимой дроби, равной числу 0.00375.

Ответ: 800

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 3. Найдите знаменатель несократимой дроби, равной числу 0.0064.

Ответ: 625

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 1. Вариант 4. Найдите знаменатель несократимой дроби, равной числу 0.00875.

Ответ: 800

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 1. По реке от мостика А до мостика Б мячик плывёт 5 минут. Петя за такое же время

проплывает от Б до А. За сколько секунд Петя проплывёт от А до Б?

Ответ: 100

Решение.

Мячик плывёт по реке со скоростью её течения, поэтому течение направлено от А к Б. Следовательно, от Б к А

мальчик плывёт против течения со скоростью, равной разности собственной скорости Пети и скорости течения реки.

На путь от Б до А Петя тратит столько же секунд, сколько мячик плыл от А до Б, значит, они плыли с одинаковыми

скоростями. Поэтому собственная скорость Пети в 2 раза больше скорости течения реки. Если же Петя будет плыть

по течению, то его скорость будет в три раза больше скорости течения реки и на заплыв от А до Б мальчик потратит

в три раза меньше времени, чем мячик. 5 · 60 = 300 секунд плывёт мячик, 300 : 3 = 100 секунд потратит Петя на путь

от А до Б.

Задание 2. Вариант 2. По реке от мостика А до мостика Б мячик плывёт 7 минут. Петя проплывает от Б до А

в два раза быстрее. За сколько секунд Петя проплывёт от А до Б?

Ответ: 105

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 3. По реке от мостика А до мостика Б мячик плывёт 6 минут. Петя проплывает от Б до А

в три раза быстрее. За сколько секунд Петя проплывёт от А до Б?

Ответ: 72

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 2. Вариант 4. По реке от мостика А до мостика Б мячик плывёт 8 минут. Петя проплывает от Б до А

в четыре раза быстрее. За сколько секунд Петя проплывёт от А до Б?

Ответ: 80

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 1. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один

из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно трёх врагов. Сколько аборигенов

могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя

их при необходимости.

Ответ:

✓ 4

✓ 6

Решение.

Поскольку у каждого аборигена 3 врага, на острове живут хотя бы 4 аборигена. Докажем, что на острове не может

жить более 6 аборигенов. Рассмотрим пару врагов A, B. Любой другой житель острова по условию не может одновре-

менно дружить с A и B, то есть он является врагом хотя бы одного из A и B. Но у A, кроме B, ровно два врага, и у B,

кроме A, ровно два врага, и поэтому всего жителей не более 6.

Докажем, что пяти жителей быть не может. Предположим противное. Пусть каждый поздоровается за руку со сво-

ими тремя врагами. В этих рукопожатиях участвует 5 · 3 = 15 рук, но число участвующих рук должно быть чётным,

поскольку в каждом рукопожатии участвует две руки - противоречие.

6 класс

Приведём примеры, показывающие, что 4 и 6 аборигенов жить на острове могут. Действительно, если аборигенов

четверо и любые двое враждуют, условие задачи выполняется. Если аборигенов шестеро, они образуют две тройки

друзей: A, B, C и D, E, F, и любые двое из разных троек враждуют, условие задачи также выполняется.

Задание 3. Вариант 2. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один

из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно четырёх врагов. Сколько аборигенов

могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя

их при необходимости.

Ответ:

✓ 5

✓ 6

✓ 8

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 3. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один

из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно пять врагов. Сколько аборигенов

могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя

их при необходимости.

Ответ:

✓ 6

✓ 10

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 3. Вариант 4. На острове живут аборигены. Любые два из них либо дружат, либо враждуют. Ни один

из аборигенов не дружит с врагом своего друга, и каждый абориген имеет ровно семь врагов. Сколько аборигенов

могло жить на острове? Укажите все подходящие варианты. Каждый ответ записывайте в отдельное поле, добавляя

их при необходимости.

Ответ:

✓ 8

✓ 14

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 1. Длина одной из сторон прямоугольника равна 14. Оказалось, что его можно разрезать

на маленькие прямоугольники 3 × 4. Какую наименьшую площадь может иметь большой прямоугольник?

Ответ: 168

Решение.

Площадь прямоугольника - целое число, так как делится на 3 · 4 = 12. Так как одна из сторон равна 14, площадь

искомого прямоугольника должна делиться на 14 (то есть на 2 и на 7). Кроме того, прямоугольник можно разрезать

на прямоугольники 3 × 4, площадь каждого из которых равна 3 · 4 = 12, значит, его площадь должна делиться на 12

(то есть на 4 и на 3). Чтобы число делилось на 2, 3, 4 и 7, оно должно делиться на 3 · 4 · 7 = 84. Два минимальных

таких числа - 84 и 168. Докажем, что прямоугольник не может иметь площадь 84. Предположим противное, тогда

вторая сторона прямоугольника равна 6. В таком случае прямоугольники 2 × 3 не могут располагаться вертикально,

иначе над или под ними останутся клетки, которые не могут быть включены ни в какой прямоугольник 2 × 3.

Но и горизонтально все прямоугольники располагаться не могут, так как 14 не делится на 4. Следовательно,

площадь прямоугольника не менее 168. Ниже приведён пример прямоугольника площадью 168, удовлетворяющего

условию.

6 класс

Задание 4. Вариант 2. Длина одной из сторон прямоугольника равна 10. Оказалось, что его можно разрезать

на маленькие прямоугольники 3 × 4. Какую наименьшую площадь может иметь большой прямоугольник?

Ответ: 120

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 3. Длина одной из сторон прямоугольника равна 22. Оказалось, что его можно разрезать

на маленькие прямоугольники 3 × 4. Какую наименьшую площадь может иметь большой прямоугольник?

Ответ: 264

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 4. Вариант 4. Длина одной из сторон прямоугольника равна 26. Оказалось, что его можно разрезать

на маленькие прямоугольники 3 × 4. Какую наименьшую площадь может иметь большой прямоугольник?

Ответ: 312

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 1. Примем за единицу измерения площади площадь одного квадратика. Найдите площадь

фигуры, изображённой на рисунке:

Ответ: 39

Решение.

Перекроим фигуру в прямоугольник, переложив голубые фрагменты на место розовых (см. картинку ниже). Длина

горизонтальной стороны полученного прямоугольника равна 13, а ширина -3. Значит, его площадь равна 13 · 3 = 39.

Задание 5. Вариант 2. Примем за единицу измерения площади площадь одного квадратика. Найдите площадь

фигуры, изображённой на рисунке:

Ответ: 36

Решение по аналогии с вариантом 1

6 класс

Задание 5. Вариант 3. Примем за единицу измерения площади площадь одного квадратика. Найдите площадь

фигуры, изображённой на рисунке:

Ответ: 33

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 5. Вариант 4. Примем за единицу измерения площади площадь одного квадратика. Найдите площадь

фигуры, изображённой на рисунке:

Ответ: 42

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 1. Вася взял три различных натуральных числа a, b и c и написал на доске семь чисел:

a, b, c, a + b, b + c, c + a, a + b + c.

Какое наибольшее количество простых чисел могло быть среди них?

Ответ: 5

Решение.

Докажем, что среди семи выписанных чисел есть хотя бы три чётных.

Первый случай. Если среди чисел a, b, c есть хотя бы два чётных, то они и их сумма образуют тройку различных

чётных чисел.

Второй случай. Если числа a, b, c нечётны, то их попарные суммы a + b, b + c, c + a различны и чётны.

Третий случай. Если среди a, b, c ровно одно чётное, например, a, то a, b + c, a + b + c представляют собой тройку

чётных чисел. При этом либо все три числа разные, либо a = b + c.

Единственное чётное простое число - 2. Если выписано три разных чётных числа, то среди выписанных чётных

чисел хотя бы два являются составными. Простых чисел среди выписанных не более 7 - 2 = 5.

Если в третьем случае оказалось, что a = b + c, то, поскольку b + c > 2, все три выписанных чётных числа -

составные и простых чисел не более 4.

Пример: при a = 2, b = 3, c = 11 на доске будут выписаны числа 2, 3, 11, 5, 14, 13, 16, среди них пять простых: 2,

3, 5, 11, 13.

Задание 6. Вариант 2. Вася взял четыре различных натуральных числа a, b, c и d и написал на доске десять чисел:

a, b, c, d, a + b, a + c, a + d, b + c, b + d, c + d.

Какое наибольшее количество простых чисел могло быть среди них?

Ответ: 7

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 3. Вася взял три различных натуральных числа a, b и c и написал на доске семь чисел:

a, b, c, 2a + b + c, a + 2b + c, a + b + 2c, a + b + c.

Какое наибольшее количество простых чисел могло быть среди них?

Ответ: 5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 6. Вариант 4. Вася взял три различных натуральных числа a, b и c и написал на доске семь чисел:

6 класс

a, b, c, a + 3b, b + 3c, c + 3a, a + b + c.

Какое наибольшее количество простых чисел могло быть среди них?

Ответ: 5

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 1. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный

случайно стёр всё решение, а в записи условия - две цифры (далее они обозначены звёздочками):

37 · (72 + 3x) = 14 ∗ ∗45.

Помогите Оле восстановить ответ.

Ответ: 1271

Решение.

Задание 7. Вариант 2. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный

случайно стёр всё решение, а в записи условия - две цифры (далее они обозначены звёздочками):

41 · (126 + 3x) = 12 ∗ ∗45.

Помогите Оле восстановить ответ.

Ответ: 973

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 3. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный

случайно стёр всё решение, а в записи условия - две цифры (далее они обозначены звёздочками):

29 · (253 + 11x) = 18 ∗ ∗15.

Помогите Оле восстановить ответ.

Ответ: 562

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 7. Вариант 4. Оля решала на доске уравнение, и ответ оказался целым числом. На перемене дежурный

случайно стёр всё решение, а в записи условия - две цифры (далее они обозначены звёздочками):

31 · (126 + 7x) = 16 ∗ ∗65.

Помогите Оле восстановить ответ.

Ответ: 727

Решение по аналогии с вариантом 1

Задание 8. Вариант 1. Петя записывал свои оценки за домашние работы. Когда Пете выставляли очередную оценку

(2, 3, 4 или 5), он называл её заурядной, если до того момента хотя бы какая-то оценка встречалась не чаще этой.

Математика (с ответами). Всероссийская олимпиада школьников в Москве (2025-2026 год) - часть 1